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99

數學考科

屏東高中/劉玉芳

前 言

一、各冊配分情形：

冊別 單 元

題型

配分 合計 單選題 多選

題 選填題 第

一 冊

數與坐標系 0

15

數列與級數 0

多項式 9 B,F 15

第 二 冊

指數與對數 5 5

20

三角函數的基本概念 8 5

三角函數的性質與應用 E,G 10 第

三冊

向量 4 5

30 空間中的直線與平面 2 11 A,D 20

圓與球面 6 5

第 四 冊

圓錐曲線 7 H 10

35

排列組合 1 10 C 15

機率與統計(I) 3 12 10

1. 由上表可看出，單純的第一冊之數與坐標系、數列與級數兩章的題目並沒出現，但並不是該 兩章節不重要，取而代之的是跨章節考題來涵蓋這兩章的概念 ( 例如多選題第10題 ) 。 2. 數乙指考中列入題幹不考的單元 ( 三角函數、第三冊、圓錐曲線、… ) ，試題仍出現且 比重不輕，且明年甄選比例上限又提高到60％，同學在校學習或復習時，仍應將每個單元好 好研讀，不可有所偏頗。

二、試題題型、特色分析：

1. 本年度考題中跨章節的考題比往年多 ( 單選題第4題、多選題第6題、第9題、第10題、

選填題A、G ) 且計算量增加，對於中後段的同學明顯不利，但依最後大考中心公佈的成績

分布，高分群並不因此而減少，仍是90分才能獲得15級分，所以對數學成績優異的同學並沒 有特別的影響。

2. 學習數學最重要的是基本觀念，觀念清楚的同學一題甚至有多種解法，本年度仍和前幾年一 樣，一題多解的情形仍不少。

3. 以下列出幾題筆者認為比較特殊的題目與各位分享：

(1) 單選6：除了向量內積的基本性質外，本題是所謂的 “軌跡方程式” 的問題，這類問 題對

一般中下程度的同學其實有些難，當同學依照題意找出P點，符合的兩條方程式 (

一為平面方程式、一為球面方程式 ) 時，他必須了解到P點的軌跡就是要判斷 這兩個幾何圖形的相交情形。

(2) 多選8：本題將餘弦函數的性質好好的考了一下，對觀念清楚的同學得分是易如反掌，

但

對觀念不甚明瞭的同學而言就不那麼有趣了。

(3) 多選10：本題以遞迴關係式為題幹，但問的選項包含第一冊數論的觀念，對程度普通的 同學真的有點難。

(4) 多選12：今年信賴區間的考題比去年學測的那題簡單多了，得分關鍵在計算能力，其實 去年指考乙所考的那題就有這個味道，以後的趨勢應是如此。

(5) 選填D：本題做法可利用前兩式求得的 ( x , y ) 解代入第三式或者利用矩陣的列運算 求

得，甚至高三選修數學(I)中三線共點的三階行列式做法也可 ( 此方法更快速，

計算更簡單，所以同學們千萬不要為了準備學測而全盤不理高三課程 ) 。 此定理如下：

平面上三相異直線L1： a1x ＋ b1y ＝c1，L2： a2x ＋ b2y ＝c2，L3： a3x ＋ b3y ＝c3

兩兩不平行，則此三線共點的充要條件為＝0。

(6) 選填題H：筆者在復習圓錐曲線這單元時常常提醒同學此單元的考題特別注重拋物線、

橢圓、雙曲線的定義，很多年的試題都是利用此定義變化出新題目出來，例 如看到拋物線上點到焦點的距離就要轉成點到準線的距離去思考，通常題目 就迎刃而解了。

試 題 詳 解

第壹部分：選擇題

^{（佔 60 分）}

一、單選題

（佔35分）

說明：第1至7題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5分，答錯不倒扣。

1. 若數列a1，a2，…，ak，…， a10 中每一項皆為1或－1，則a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10

之值有多少種可能？

(1) 10 (2) 11 (3) P (4) C (5) 2¹⁰

【答　　案】 (2)

【概念中心】排列組合的基本原理−−加法原理

【命題出處】南一版第四冊第二章排列組合

【試題解析】 若有10個1，0個－1，則和為10 若有9個1，1個－1，則和為8 若有8個1，2個－1，則和為6

若有0個1，10個－1，則和為－10

∴ a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10共有11種可能 故選(2)

2. 已知a，b為整數且行列式 ＝ 4，則絕對值 | a＋ b | 為何？

(1) 16 (2) 31 (3) 32

(4) 39 (5) 條件不足，無法確定

【答　　案】 (3)

【概念中心】二階行列式的運算；質數的分解

【命題出處】南一版第三冊第二章空間中的直線與平面

【試題解析】＝4  35－ab＝4  ab＝31

∴ a，b二者為31與1或－31與－1二種可能  a＋b＝32或－32

∴ | a＋b |＝32 故選(3)

3. 箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩 球顏色不同，則得獎金100元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望 值為何？

(1) 20元　　 (2) 30元　　(3) 40元　　 (4) 50元　　 (5) 60元

【答　　案】 (5)

【概念中心】機率的定義與期望值的求法

【命題出處】南一版第四冊第三章機率與統計(I)

【試題解析】抽出一紅一白的機率為＝＝

∴ 期望值為×100＝60 (元) 故選(5)

4. 坐標平面上給定兩點A ( 1 , 0 )與B ( 0 , 1 )，又考慮另外三點 P (π, 1 ) 、Q ( － , 6 )與 R ( 2 , log432 )。令△PAB的面積為p、△QAB的面積為q、△RAB的面積為 r。請問下 列哪一個選項是正確的？

(1) p＜q＜ r　　(2) p＜r ＜q　　(3) q＜p＜ r　　(4) q＜r ＜p　　(5) r＜q＜p

【答　　案】 (1)

【概念中心】同底三角形高愈大者面積愈大；對數的基本運算；

平面上點到直線的距離公式

【命題出處】南一版第三冊第一章向量

【試題解析】∵ △PAB、△QAB、△RAB具有相同的底邊

∴ 高愈大者面積愈大

又AB直線方程式為x＋y－1＝0，

且d ( P , AB )＝＝≒

d ( Q , AB )＝＝≒

d ( R , AB )＝＝＝＝

∵ d ( P , AB )＜d ( Q , AB )＜d ( R , AB )

∴ △PAB＜△QAB＜△RAB  p＜q＜r 故選(1)

5. 在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌1千隻，並且以每小時增加8％的速率繁殖。如 果依此速率持續繁殖，則100小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？

(1) 9千隻 　 (2) 108千隻 　 (3) 2200 千隻　 (4) 3200 千隻　 (5) 32000千隻

【答　　案】 (3)

【概念中心】利用對數估計相當大的數字：對數內插法

【命題出處】南一版第二冊第一章指數與對數

【試題解析】細菌總量為1000 ( 1＋8％ )¹⁰⁰隻，

又log ( 1＋8％ )¹⁰⁰＝100 log1.08＝100log＝100 ( log108－log100 ) ＝100 ( log2²×3³－log100 )＝100 ( 2log2＋3log3－2 ) ＝100 ( 0.602＋1.4313－2 )＝100×0.0333＝3.33＝3＋0.33 設logx＝0.33

a loga

2 0.301

x 0.33

3 0.4771

由內插法可得＝  ＝ x≒2＋0.16＝2.16

∴ log( 1＋8％)¹⁰⁰＝3＋log2.16＝log10³＋log2.16＝log ( 2.16×10³ )

 ( 1＋8％ )¹⁰⁰＝2.16×10³≒2200 即所求為2200千隻，故選(3)

6. 坐標空間中O為原點，點A的坐標為 ( 1 , 2 , 1 ) 。設S是以O為球心、4為半徑的球面。

請問在S上滿足內積OA． OP ＝6的所有點P所成的圖形為何？

(1) 空集合 (2) 一個點 (3) 兩個點 (4) 一個圓 (5) 兩個圓

【答　　案】 (4)

【概念中心】內積的定義；空間中球面與平面的相交情形

【命題出處】南一版第三冊第三章圓與球面

【試題解析】球面S為以O為球心，4為半徑之球面　∴ S：x²＋y²＋z²＝16 設球面S上點P ( x , y , z )，則P點滿足x²＋y²＋z²＝16，

又OA． OP ＝ 6  ( 1 , 2 , 1 ) ．( x , y , z )＝6  x＋2y＋ z －6＝0

∵ 球心O到平面x＋2y＋ z －6＝0之距離為＝＜4

∴ 之圖形為一圓

即所有P點所成的圖形為一個圓，故選 (4)

7. 令橢圓Γ1：＋＝1、Γ2：＋＝2、Γ3：＋＝的長軸長分別為l 1、 l 2、l 3。請問下列哪一個選項是正確的？

(1) l 1 ＝l 2＝ l 3 (2) l 1 ＝l 2＜l 3 (3) l 1＜l 2＜ l 3 (4) l 1 ＝l 3＜l 2 (5) l 1＜l 3＜l 2

【答　　案】 (4)

【概念中心】由橢圓的標準式求長軸長

【命題出處】南一版第四冊第一章圓錐曲線

【試題解析】Γ1：＋＝1，a1＝5，l1＝2a1＝2×5＝10 Γ2：＋＝1，a2＝5，l2＝2×5＝10

Γ3：＋＝0  ＋＝1，a3＝5，l3＝2×5＝10

 l1＝l3＜l2，故選(4)

二、多選題

（佔25分）

說明︰第8至12題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選 項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得5分，只錯一 個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

8. 設θ1、θ2、θ3、θ4分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於0與2π之間。已知 | cosθ1 |＝| cosθ2 |＝| cosθ3 |＝| cosθ4 |＝，請問下列哪些選項是正確的？

(1)θ1＜　　 (2)θ1＋θ2＝π　　(3) cosθ3＝－

　 (4) sinθ ４＝ 　　(5)θ4＝θ3＋

【答　　案】 (2)(3)

【概念中心】廣義角三角函數的求值及其在四個象限的對稱關係

【命題出處】南一版第二冊第二章三角函數的基本概念

【試題解析】∵ | cosθ1 |＝cosθ1＝， cos＝，＜

又y＝cosx在 ( 0 , ) 間為遞減 ∴ θ1＞ 又 | cosθ1 |＝| cosθ2 |＝| cosθ3 |＝| cosθ4 |， 得θ1＋θ2＝π

cosθ3＝－cosθ1＝－

sinθ4＝＜0

cosθ4＝不滿足θ4＝θ3＋　　故選(2)(3) 9. 下列哪些方程式有實數解？

(1) x³ ＋x－1＝0　　　 (2) 2^x ＋2^-x＝0　　　 (3) log2 x＋log x 2＝1 (4) sin x ＋ cos2x ＝3　　　(5) 4sin x＋3cos x＝

【答　　案】 (1)(5)

【概念中心】各類方程式的實根存在與否

【命題出處】南一版第一冊第三章多項式；

南一版第二冊第一章指數與對數、第三章三角函數的性質與應用

【試題解析】 (1) ○ ：x³＋x－1＝0為實係數三次多項式方程式必有實根 (2) ×：2^x＋＝ 0  ( 2^x )² ＋1＝0　∵ 2^x＞0　∴ 無實數解 (3) ×：log2x＋－1＝0  ( log2x )²－( log2x )　＋1＝0

∵ D＝( －1 )²－4＝－3＜0　∴ log2x無實數解  x無實數解

(4) ×：sinx ≤ 1，cos2x ≤ 1　∴ sinx＋cos2x ≤ 2，不可能存在sin x＋cos2x＝3 (5) ○：∵ －5 ≤ 4sinx＋3cosx ≤ 5　∴ 4sinx＋3cosx＝有實數解

故選(1)(5)

10. 設a1，a2，…，an，…為一實數數列，且對所有的正整數n滿足an＋ 1 ＝－an。請問下 列哪些選項是正確的？

(1) 如果a1＝1，則a2＝1

(2) 如果a1是整數，則此數列的每一項都是整數 (3) 如果a1是無理數，則此數列的每一項都是無理數

(4) a2 ≤ a4 ≤… ≤ a2n ≤ …（n為正整數）

(5) 如果ak是奇數，則ak＋ 2 ，ak＋ 4 ，…，ak＋ 2n，…都是奇數（n為正整數）

【答　　案】(2)(3)(4)

【概念中心】遞迴關係式；整數與有理數的運算性質

【命題出處】南一版第一冊第一章數與坐標系、第二章數列與級數；

南一版第四冊第二章排列組合

【試題解析】(1) ×：a2＝－a1＝1－a1

若a1＝1，則a2＝1－1＝0

(2) ○ ：∵ 為連續二個整數相乘除以 2，其必為整數

∴ 若a1是整數，則此數列的每一項都是整數

(3) ○ ：∵ 有理數與無理數的差必是無理數

∴ 若a1是無理數  a2＝整數－無理數＝無理數 以下各項皆是無理數

(4) ○：∵ an＋2＝－an＋1

又an＋1＝－an

∴ an＋2＝－( －an )＝( n＋1 )＋an

即an＋2－an＝n＋1＞0

 a2 ≤ a4 ≤ a6 ≤ a8 ≤ … (5) ×：由a4－a2＝2＋1＝3，

a6－a4＝4＋1＝5，

得若a2是奇數，則a4是偶數，a6是奇數，a8是偶數，…

故選(2)(3)(4)

11. 坐標空間中，直線L上距離點Q最近的點稱為Q在L上的投影點。已知L為平面

2x－y＝2上通過點 ( 2 , 2 , 2 ) 的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點O在L上的

投影點？

(1) ( 2 , 2 , 2 ) 　　　　　　(2) ( 2 , 0 , 2 ) 　　　　　　　(3) ( , － , 0 ) (4) ( , － , －2 ) 　　　(5) ( , － , － )

【答　　案】(1)(3)(5)

【概念中心】直線落在平面上時，直線的方向向量與平面的法向量垂直之性質

【命題出處】南一版第三冊第二章空間中的直線與平面

【試題解析】設 A ( 2 , 2 , 2 ) ，則原點O在L上之投影H必滿足H在平面2x－y＝2上，

且HO．HA＝0

(1) ○ ：若 H ( 2 , 2 , 2 ) ，則 ( 2 , 2 , 2 ) 在2x－y＝2上，

且HO．HA＝ ( － 2 , － 2 , － 2 ) ． ( 0 , 0 , 0 ) ＝0

(2) ×：若 H ( 2 , 0 , 2 ) 　∵ ( 2 , 0 , 2 ) 不在2x－y＝2上　∴ 不合 (3) ○ ：若 H ( , , 0 ) ，則 ( , , 0 ) 在2x－y＝2上

且HO．HA＝ ( , , 0 ) ． ( , , 2 ) ＝0

(4) ×：若 H ( , , － 2 ) ，則 ( , , － 2 ) 在2x－y＝2上，

但HO．HA＝ ( , , 2 ) ． ( , , 4 ) ＝8≠0

(5) ○ ：若H ( , , )，則 ( , , ) 在2x－ y＝2上，

且HO ．HA＝( , , )．( , , )＝＝0 故選(1)(3)(5)

12. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下 表：

請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？

(1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例

(2) 在95％的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為

〔 0.48 , 0.56 〕（計算到小數點後第二位，以下四捨五入）

(3) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數

(4) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例 ^p 介於0.52與0.59之間 (5) 如果不區分性別，此次抽樣 p 的標準差介於0.02與0.04之間

【答　　案】 (2)(4)

【概念中心】信心水準與信賴區間意義的解讀與計算

【命題出處】南一版第四冊第三章機率與統計(I)

【試題解析】(1) ×：表中所得的數據是抽樣所得的資料，並非普查所得的資料，

故不可說全台男性公民贊成的比例大於女性公民的比例。

(2) ○ ：全台女性公民贊成此議題的95％信賴區間為

〔0.52－ 2×0.02 , 0.52 ＋2×0.02〕＝〔 0.48 , 0.56 〕。

(3) ×：＝ 0.02  n1 ＝＝ 624 ( 人 ) ＝ 0.04  n2 ＝＝151.1875約151人

∴ 此次抽樣女性公民數大於男性公民數

(4) ○ ： ^p≒ ＝≒0.53 (5) ×：≒≒＜0.02 故選(2)(4)

第貳部分：選填題

（佔40分）

女性公民 男性公民 贊成此議題的比例 p 0.52 0.59

p 的標準差 0.02 0.04

說明︰1. 第A至H題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 ( 13－32 )。

2. 每題完全答對得5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 坐標平面上有一個平行四邊形ABCD，其中點A的坐標為 ( 2 , 1 )，點B的坐標為 ( 8

, 2 )，點C在第一象限且知其x坐標為12。若平行四邊形ABCD的面積等於38平方單位，

則點D的坐標為 ( , )。

【答　　案】6，8

【概念中心】向量相等的概念；利用行列式求平行四邊形面積

【命題出處】南一版第三冊第二章空間中的直線與平面

【試題解析】設C ( 12 , y )，又△ABC面積為平行四邊形ABCD的面積之半 AB＝( 6 , 1 )，AC＝( 10 , y－1 )

∴ △ABC＝ ||＝×38  | 6y－6－10 |＝38

 | 6y－16 |＝38  6y－16＝38或－38  y＝9或 ( 不合 )

∴ C ( 12 , 9 )，設D ( a , b )

∵ AD＝BC

 ( a－2 , b－1 )＝( 12－8 , 9－2 )

 ( a , b )＝( 6 , 8 ) 即點D的坐標為 ( 6 , 8 )

B. 設f (x) 為滿足下列條件的最低次實係數多項式：f (x) 最高次項的係數為1，且3－ 2i、 i 、5皆為方程式f (x)＝0的解（其中i²＝－1）。則f (x) 之常數項為。

【答　　案】－65

【概念中心】實係數方程式虛根成對定理

【命題出處】南一版第一冊第三章多項式

【試題解析】由實係數方程式虛根成對定理知

f (x)＝0的根有3－2i，3＋2i，i，－i，5

∴ 滿足條件的最低次多項式為

f (x)＝〔x－( 3－2i )〕〔x－( 3＋2i )〕( x－i ) ( x＋i ) ( x－5 ) 其常數項為 ( －1 )⁴( 3－2i ) ( 3＋2i ) (i) (i) (5)

＝13×(－1 )×5 ＝－65

C. 有一個兩列三行的表格如右圖。在六個空格中分別填入數字1、

2、3、4、5、6（不得重複），則1、2這兩個數字在同一行或同一 列的方法有種。

【答　　案】432

【概念中心】分類討論與組合的計算

【命題出處】南一版第四冊第二章排列組合

【試題解析】(1) 1，2在同一行  C×2！×4！＝3×2×24＝144

(2) 1，2在同一列  C×P×4！＝2×6×24＝288

由(1)(2)得共有144＋288＝432 (種)

D. 設實數a＞0。若x 、y的方程組 有解，則 a＝。

【答　　案】14

【概念中心】二元一次方程組解三線共點問題

【命題出處】南一版第三冊第二章空間中的直線與平面

【試題解析】 之解為x＝＝＝，

y＝＝＝

∵ 方程組有解　∴ ( , ) 必也在直線x－ay＝122上

∴ ( )－a ( ) ＝122

 2－a－a＋2a²＝366  a²－a－182＝0 ( a－14 ) ( a＋13 )＝0

 a＝14或－13 ( 不合 )

∴ a＝14

E. 如右圖，直角三角形ABD中，∠A為直角，C為邊上的點。已知

＝6，＝5，∠ABD＝2∠ABC，則＝。

( 化成最簡分數 )

【答　　案】

【概念中心】三角函數的定義；餘弦的二倍角公式

【命題出處】南一版第二冊第三章三角函數的性質與應用

【試題解析】設∠ABC＝θ，則∠ABD＝2θ

 cosθ＝，

又cos2θ＝2cos²θ－1＝2 ( )²－1＝

∴ ＝  ＝

F. 設a、b為實數。已知坐標平面上拋物線y＝x²＋ax＋b與x軸交於P、Q兩點，且＝7。若

拋物線y＝x²＋ax＋( b＋2 ) 與x軸的兩交點為R、S，則＝。

【答　　案】

【概念中心】了解方程式的根就是函數圖形與 x軸交點的x坐標；

根與係數關係的應用

【命題出處】南一版第一冊第三章多項式

【試題解析】設y＝x²＋ax＋b＝0之二根為p，q 則 ，又＝7  | p－q |＝7  ( p－q )²＝49

 ( p＋q )²－4pq＝49  a²－4b＝49……

設y＝x²＋ax＋( b＋2 )＝0之二根為r，s，則

 ＝| r－s |＝＝

＝＝＝＝

G. 已知△ABC中，＝2、＝3且∠A＝2∠C，則＝。( 化成最簡分數 )

【答　　案】

【概念中心】正弦定理；二倍角公式、三倍角公式的運用

【命題出處】南一版第二冊第二章三角函數的基本概念、第三章三角函數的性質與應用

【試題解析】由正弦定理得＝  ＝

∵ sinθ≠0　∴ ＝  cosθ＝

又∠B＝180°－ ( θ＋2θ )＝180°－3θ，由正弦定理得

＝  ＝

 ＝　∵ sinθ≠0

∴ ＝2 ( 3－4sin²θ)＝6－8sin²θ＝6－8 ( 1－cos²θ)＝6－8 ( 1－ )＝

H. 坐標平面上給定點A ( , 2 )、直線L：y＝－5與拋物線Γ：x²＝8y。以d ( P , L ) 表示點P到 直線L的距離。若點P在Γ上變動，則 | d ( P , L ) － | 之最大值為。（化成最簡分數）

【答　　案】

【概念中心】拋物線的定義與應用

【命題出處】南一版第四冊第一章圓錐曲線

【試題解析】Γ：x²＝8y＝4．2．y

∴ c＝2　即Γ之焦點為F ( 0 , 2 ) 設Γ之準線為L′：y＝－2

∵ d ( P , L )＝d ( P , L′ )＋3 且由拋物線定義知＝d ( P , L′ )

∴ | d ( P , L ) － |＝| ＋3－ |

作FA與Γ之交點P，則－有最大值＝

∴ 所求最大值為 | 3＋ |＝

結 論

一、考題趨勢：

1. 依筆者的觀察，從94年學測以來，試題難度似乎比93年之前有增加些，所以今後同學復習時準 備的方向應在基本觀念多加強、計算能力再加以提升才可以。

2. 今年排列組合、機率的題目出現的不少但都不難，有些同學在初學這單元時都做太難的題目而 對此單元有恐懼症，甚至在高三復習時就有放棄的想法，其實大可不必如此，因為只要會基 本觀念、定義，甚至有些題目慢慢排就會得出答案，所以準備此單元的方法就是好好的把歷 屆考題拿出來做做看並詳讀基本概念就可以了。

3. 以上考題趨勢在本人所參與編著的「焦點攻略」總復習講義皆曾提及並要同學多加留心注 意，「焦點攻略」一書近幾年皆大改版以更符合現今考題趨勢，期望各位先進不吝加以指 導。

二、結語：

聽了今年考生出考場時對本年度試題的反應及大考中心一再強調本份試題是屬於「中間難 度」，再參考最後出爐的分析結果後，深深感覺同學們與出題教授在對試題看法的差異，建議同 學們在學習數學時的態度應再朝向觀念清楚並勤於計算兩方面同時著手，更重要的是不論對數學 是否有強烈的興趣，「永不放棄」是成功的不二法門，試想學測並不是要選拔能成為數學家的人 才，所以題目並不會艱澀不堪，一分耕耘一定會有一分收穫的！