PDF 學測試題關鍵解析

今

^{年的學測試題比起102年99}課綱第一屆學測試題顯得簡單多了，中等程度的同 學似乎有機會拿到滿級分，而對數學有恐懼而一度覺得想放棄數學的同學此時應該可 感受到一分耕耘、一分收獲，永不放棄的學習態度是多麼的可貴，勝利的果實是多麼 的甜美！

本份試題比起往年，更是趨近於「中間偏易」的原則，基本題很多，而且跨章節的題目幾乎

沒有出現，所有試題皆是一眼就可看出是屬於哪個章節的題目，程度好的同學想藉此突出表現並 不如容易。另外，本份試題各冊的配分並不平均，尤其第四冊更是受到命題教授的冷落，第二、

四章並沒有考題出現，而二次曲線這個單元由於在指考中亦非命題範圍，就本屆學生而言，此單 元的定位與價值值得我們好好的深省！

一、各冊配分情形：

冊別 單 元 題型

單選題 多選題 選填題 配分 合計

數與式 4 8 10

多項式函數 10 B 10

第 一

冊 指數、對數函數 1 5

25

數列與級數 11 5

排列、組合 5 F 10

機 率 6 5

第 二 冊

數據分析 12 5

25

三 角 A,H 10

直線與圓 3 7 C 15

第 三

冊 平面向量 9 E 10

35

空間向量 2 D 10

空間中的平面與直線 0

矩 陣 G 5

第 四 冊

二次曲線 0

15

前 言

數學考科 103 ^年 學測試題關鍵解析

二、試題題型、特色分析：

1. 由於沒有跨章節的題目，由統計表可看出：

(1) 第一冊的數與式出了二題令人有點意外，如果拿其中一題換成第四冊的題目也許會更恰當 些。

(2) 第二冊的排列組合考了二題，但一題是二項式定理的公式展開即可得解，另一題瓷磚舖蓋

問題也許考生第一眼會感到困難，但由於本份試題難度不高，如果其他題目做完再來處理

這題，同學們應當會發現慢慢排就可得到答案，而傳統的排列組合單元同學們所關注的基 本排列組合定義P、C皆無出現，也是令我們感到奇怪的地方。

(3) 參數式的觀念於多選9 ( 平面向量 )、選填D ( 空間向量) 共考了兩次，不僅顯示其 在命題 教授的眼中地位是多麼的重要，亦讓我們聯想到參數式這個工具好像蠻有用的。

2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：

(1) 單選6：本題為條件機率的應用問題，難度不高，同學們在學習過程中應有機會接觸到此

類型題目，就算沒看過此題，只要聯想到樹狀圖也許同學們就想到如何解出答案

了。

(2) 多選11：這是一道關於等差數列性質的題目，學測這幾年有關等差、等比性質的探討試

題並不陌生 ( 例如102年多選12 )，此題是箇中較簡單的一題，對於觀念正確的

同學而言此題得分並不難，而對出題有興趣的老師若將此題修改成等比觀念應

會變成一道不錯的考題。

(3) 多選12：本題有關失業率的題目雖然筆者將之歸類在數據分析這單元，不過解決此題只

需用到能讀出數據，進而解釋一些數據中所呈現的現象的能力即可，課本中所

習得的眾多統計量計算能力並派不上用場，殊為可惜！

(4) 選填C：本題與單選2頗為相似，依題意利用距離觀念即可得解，不禁令我們想到這兩

題是否太簡單了些！

筆者另提供一個做法以供參考：依題意畫出圖後，同學們應可聯想到△OAB為

30-60-90的直角三角形，而欲到A、B等距離，吾人可作AB的中垂線，此線

交AB處即為C點，再由邊長比1: 3 : 2可得BC4 3。

(5) 選填E：這是一道看起來像是必須用到| u ＋ v |²＝| u |²＋2 u ． v ＋| v |²的傳統觀念解

題的題目，但用此種方法解題的同學應有感受到用此方法，其計算似乎不是那麼

的簡單。此外，若不是可由選填題的空格猜出答案，細心的同學應還要判斷

k＝－1為何不合？為此，筆者另有一個用「菱形的對角線平分夾角」的觀念來

解決此題的方法 ( 見試題解析 )，其做法就簡單多了，僅在此提供給各位老師檢

討時參考。

(6) 選填F：本題不管是討論第一排或第三排的排法，總會得到正確答案，此乃遵循「慢慢

排，土法煉鋼」的排列組合原則，其並不失為一個好方法。依以往經驗，排列組

合這單元總會有同學感到恐懼，生怕考題太難而不願思考，也不知要復習到甚麼

難度的題目，其實近年來的排列組合題目數據皆不大，土法煉鋼通常可以得分，

老師們可藉此題消除同學們心中的迷惑。另外，筆者再提供一種利用遞迴定義的

做法以供各位老師解題參考 ( 見試題解析 )，此法或許在考場中同學們不容易想

到；不過，若以欣賞數學的角度看此解法，遞迴定義是不是蠻神奇的呢？

第壹部分：選擇題

（占 60 分）

一、單選題（占 30 分）

說明︰第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答 案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個 選項者，該題以零分計算。

1. 請問下列哪一個選項等於log ( 2 ^{( 35 )} )？

(1) 5 log ( 2³ ) (2) 3×5 log 2 (3) 5 log 2×log 3 (4) 5 ( log 2＋log 3 ) (5) 3⁵ log 2

【答 案】(5)

【概念中心】能利用對數性質做基本運算。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】log ( 2 ^{( 35 )} )＝3⁵．log 2，

故選(5)。

2. 令A ( 5 , 0 , 12 )、B ( －5 , 0 , 12 ) 為坐標空間中之兩點，且令P為xy平面上滿足 PA＝ PB ＝13的點。請問下列哪一個選項中的點可能為P？

(1) ( 5 , 0 , 0 ) (2) ( 5 , 5 , 0 ) (3) ( 0 , 12 , 0 ) (4) ( 0 , 0 , 0 ) (5) ( 0 , 0 , 24 )

【答 案】(4)

【概念中心】了解空間中xy平面上點的假設法，並利用空間中的距離公式解題。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】∵ P在xy平面上 ∴ 設P ( x , y , 0 )

∵ PA ＝ PB ＝13 ∴ ( x－5 )²＋y²＋12² ＝ ( x＋5 )²＋y²＋12² ＝13 平方得x²－10x＋25＋y²＋144＝x²＋10x＋25＋y²＋144＝169







x＝0………○1

x²－10x＋25＋y²＋144＝169……○2

○1代入○2得y＝0

∴ P坐標為 ( 0 , 0 , 0 ) 故選(4)。

試 題 詳 解 與 分 析

3. 在坐標平面上，以 ( 1 , 1 )，( －1 , 1 )，( －1 , －1 ) 及 ( 1 , －1 ) 等四個點為頂點的正方形，

與圓x²＋y²＋2x＋2y＋1＝0有幾個交點？

(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 0個

【答 案】(2)

【概念中心】能在平面上作出圓方程式的圖形並求出其與已知正方形的交點個數。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】x²＋y²＋2x＋2y＋1＝0

 ( x＋1 )²＋( y＋1 )²＝1，圓心C ( －1 , －1 )，半徑r＝1，

作圖如右，

可得兩圖有2個交點，

故選(2)。

4. 請問滿足絕對值不等式 | 4x－12 | ≤ 2x的實數x所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 6

【答 案】(4)

【概念中心】利用分段討論的方法以解決絕對值不等式。

【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式

【試題解析】( i ) 若x ≥ 3，則4x－12 ≤ 2x  2x ≤ 12  x ≤ 6，即3 ≤ x ≤ 6。

(ii) 若x＜3，則－( 4x－12 ) ≤ 2x  6x ≥ 12  x ≥ 2，即2 ≤ x＜3。

由( i )，(ii)得解為2 ≤ x ≤ 6，區間長度為6－2＝4，

故選(4)。

5. 設 ( 1＋ 2 )⁶＝a＋b 2 ，其中a，b為整數。請問b等於下列哪一個選項？

(1) C ⁶0＋2C ⁶2＋2²C ⁶4＋2³C ⁶6

(2) C ⁶1＋2C ⁶3＋2²C ⁶5

(3) C ⁶0＋2C ⁶1＋2²C ⁶2＋2³C ⁶3＋2⁴C ⁶4＋2⁵C ⁶5＋2⁶C ⁶6

(4) 2C ⁶1＋2²C ⁶3＋2³C ⁶5

(5) C ⁶0＋2²C ⁶2＋2⁴C ⁶4＋2⁶C ⁶6

【答 案】(2)

【概念中心】能利用二項式定理展開，以求得特殊項係數。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】由二項式定理可得

( 1＋ 2 )⁶＝C ⁶0＋C ⁶1( 2 )＋C ⁶2( 2 )²＋C 3⁶( 2 )³＋C ⁶4( 2 )⁴＋ C 5⁶( 2 )⁵＋C ⁶6( 2 )⁶ ，

比較得

b＝C ⁶1＋C ⁶3( 2 )²＋C ⁶5( 2 )⁴＝C ⁶1＋2C ⁶3＋2²C ⁶5， 故選(2)。

6. 某疾病可分為兩種類型：第一類占70％，可藉由藥物A治療，其每一次療程的成功率為

70％，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物A治療方式完全無效。

在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物A第一次療程失敗的情況下，進行第二次療 程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？

(1) 0.25 (2) 0.3 (3) 0.35 (4) 0.4 (5) 0.45

【答 案】(2)

【概念中心】利用樹狀圖來幫助解決條件機率與獨立事件的問題。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】

第一類

治療成功

治療失敗 ──── 第二次治療成功 第二類

治療成功

治療失敗 ──── 第二次治療成功 設C表示第一次治療失敗的事件，D表示第二次治療成功的事件，

則P ( C )＝0.7×0.3＋0.3×1＝0.51，

P ( C∩D )＝0.7×0.3×0.7＋0.3×1×0＝0.147

∴ P ( D | C )＝ P ( C∩D )

P ( C ) ＝ 0.147

0.51 ＝0.288…0.3，故選(2)。

二、多選題（占 30 分）

說明︰第7題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5 分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選 項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設坐標平面上，x坐標與y坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。

(1) y＝x² (2) 3y＝9x＋1 (3) y²＝－x－2 (4) x²＋y²＝3 (5) y＝log 9 x＋ 1

2

【答 案】(1)(3)(5)

【概念中心】能作出各種方程式的圖形及觀察圖形上是否存在格子點。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】(1) ○：( 1 , 1 ) 即是y＝x²上的格子點。

(2) ×：3y＝9x＋1  y＝3x＋ 1

3 ，若x是整數，則y必不為整數

∴ 3y＝9x＋1圖形上沒有格子點

(3) ○：取y＝0，則x＝－2，則 ( －2 , 0 ) 即為格子點。

(4) ×：x²＋y²＝3  x＝± 3－y² 。

○1 若y＝0  x＝± 3 ( 不合 )；○2 若y＝±1  x＝± 2 ( 不合 )，

即x²＋y²＝3上沒有格子點。

(5) ○：若x＝3，則y＝log 9 3＋ 1 2 ＝ 1

2 ＋ 1

2 ＝1，則 ( 3 , 1 ) 是為圖形上的格子點。

故選(1)(3)(5)。

0.7 0.3

0.7 0.3 0 1

0.7

0

8. 關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) 13 ＞3.5 (2) 13 ＜3.6 (3) 13 － 3 ＞ 10

(4) 13 ＋ 3 ＞ 16 (5) 1

13 － 3 ＞0.6

【答 案】(1)(4)

【概念中心】根式的運算及比較大小。

【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式

【試題解析】(1) ○：3.5²＝12.25＜13 ∴ 13 ＞3.5 (2) ×：3.6²＝12.96＜13 ∴ 13 ＞3.6

(3) ×：( 13 － 3 )²＝16－2 39 ＝16－2×6.…＜10

∴ 13 － 3 ＜ 10

(4) ○：( 13 ＋ 3 )²＝16＋2 39 ＞16

∴ 13 ＋ 3 ＞ 16

(5) ×： 1

13 － 3 ＝ 13 ＋ 3

10 ，而0.6＝ 6

10

∵ 13 ＜4， 3 ＜2 ∴ 13 ＋ 3 ＜6

∴ 1

13 － 3 ＜0.6 故選(1)(4)。

9. 一物體由坐標平面中的點 ( －3 , 6 ) 出發，沿著向量 v 所指的方向持續前進，可以進入第 一象限。請選出正確的選項。

(1) v ＝( 1 , －2 ) (2) v ＝( 1 , －1 ) (3) v ＝( 0.001 , 0 ) (4) v ＝( 0.001 , 1 ) (5) v ＝( －0.001 , 1 )

【答 案】(2)(3)(4)

【概念中心】能寫出平面上直線參數式，並利用參數t以控制直線上點的位置。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】(1) ×：令





x＝－3＋t＞0 y＝6－2t＞0 





t＞3

t＜3，不合。

(2) ○：令





x＝－3＋t＞0 y＝6－t＞0 





t＞3

t＜6 3＜t＜6。

(3) ○：令





x＝－3＋0.001t＞0

y＝6  t＞3000。

(4) ○：令





x＝－3＋0.001t＞0

y＝6＋t＞0 





t＞3000

t＞－6  t＞3000。

(5) ×：令





x＝－3－0.001t＞0

y＝6＋t＞0 





t＜－3000

t＞－6 ，不合。

故選(2)(3)(4)。

10. 設f (x) 為實係數二次多項式，且已知f (1)＞0、f (2)＜0、f (3)＞0。

令g (x)＝f (x)＋( x－2 ) ( x－3 )，請選出正確的選項。

(1) y＝f (x) 的圖形是開口向下的拋物線 (2) y＝g (x) 的圖形是開口向下的拋物線 (3) g (1)＞f (1)

(4) g (x)＝0在1與2之間恰有一個實根

(5) 若α為f (x)＝0的最大實根，則g (α)＞0

【答 案】(3)(4)

【概念中心】能假設多項式以判斷圖形特性，並利用勘根定理找出實根的所在範圍。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】(1) ×：由右圖可知

y＝f (x) 圖形是開口向上的拋物線。

(2) ×：設f (x)＝ax²＋bx＋c，a＞0，

則g (x)＝ax²＋bx＋c＋( x²－5x＋6 )＝( a＋1 ) x²＋( b－5 ) x＋( c＋6 )

∵ a＋1＞0 ∴ g (x) 是開口向上之拋物線

(3) ○：g (1)＝f (1)＋( 1－2 ) ( 1－3 )＝f (1)＋2  g (1)＞f (1)。

(4) ○：g (2)＝f (2)＋( 2－2 ) ( 2－3 )＝f (2)＜0，且g (1)＞f (1)＞0

∴ g (1)．g (2)＜0，又g (x) 為二次多項式函數

∴ g (x)＝0在1與2之間恰有一實根 (5) ×：∵ α是f (x)＝0之最大實根 ∴ 2＜α＜3

∴ g (α)＝f (α)＋(α－2 ) (α－3 )＝0＋(α－2 ) (α－3 )＜0 故選(3)(4)。

11. 設a₁＝1且a₁, a₂, a₃, …為等差數列。請選出正確的選項。

(1) 若a100＞0，則a1000＞0 (2) 若a₁₀₀＜0，則a₁₀₀₀＜0 (3) 若a1000＞0，則a100＞0 (4) 若a₁₀₀₀＜0，則a₁₀₀＜0 (5) a1000－a10＝10 ( a100－a1 )

【答 案】(2)(3)(5)

【概念中心】了解等差數列的性質以判斷兩項之大小關係。

【命題出處】南一版數學第二冊第一章 數列與級數

【試題解析】(1) ×：令公差d＝－ 1

100 ，則a100＝1＋99 ( －1

100 )＝ 1

100 ＞0，

但a1000＝1＋999 ( －1

100 )＝ －899 100 ＜0。

(2) ○：a₁₀₀＝a₁＋99d＜0  99d＜－1  d＜ －1 99 ， 則a1000＝1＋999d＜1＋999 ( －1

99 )＜0。

(3) ○：a1000＝1＋999d＞0  d＞ －1 999 ， 則a₁₀₀＝1＋99d＞1＋99 ( －1

999 )＞0。

(4) ×：令d＝ －1

100 ，則a1000＝1＋999 ( －1

100 )＝ －899 100 ＜0，

但a₁₀₀＝1＋99 ( －1

100 )＝ 1

100 ＞0。

(5) ○：a1000－a10＝( a1＋999d )－( a1＋9d )＝990d，

而a₁₀₀－a₁＝( a₁＋99d )－a₁＝99d，

得a1000－a10＝10 ( a100－a1 )。

故選(2)(3)(5)。

12. 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表

達 ( 進行統計分析時，所有年齡以整數表示 )。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，

其中的年齡範圍有所重疊。

年齡範圍 35～44 歲 35～39 歲 40～44 歲 45～49 歲 失業率 12.66 ( ％ ) 9.80 ( ％ ) 13.17 ( ％ ) 7.08 ( ％ ) 請根據上表選出正確的選項。

(1) 在上述四個年齡範圍中， 以40～44 歲的失業率為最高

(2) 40～44 歲勞動力人數多於45～49 歲勞動力人數

(3) 40～49 歲的失業率等於 ( 13.17＋7.08

2 ) ％

(4) 35～39 歲勞動力人數少於40～44 歲勞動力人數

(5) 如果40～44歲的失業率降低，則45～49 歲的失業率會升高

【答 案】(1)(4)

【概念中心】能由表中資料了解各年齡層失業率數據的意義。

【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析

【試題解析】(1) ○：13.17＞9.8＞7.08。

(2) ×：無法比較勞動力人數。

(3) ×：若40～44歲及45～49歲人數相同，

失業率才是 13.17％．m＋7.08％．m

m＋m ＝( 13.17＋7.08

2 ) ％。

(4) ○：設35～39歲的勞動人力有x人，40～44歲勞動人力有y人，

則 9.8％．x＋13.17％．y

x＋y ＝12.66％  9.8x＋13.17y＝12.66x＋12.66y

 0.51y＝2.86x ∴ y＞x

(5) ×：40～44歲失業率降低，與45～49 歲的失業率是否會升高沒有關係。

故選(1)(4)。

第貳部分：選填題

（占 40 分）

說明︰1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號 ( 13－36 )。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設圓O之半徑為24， OC ＝26， OC 交圓O於A點，

CD 切圓O於D點，B為A點到 OD 的垂足，如右邊 的示意圖。則 AB ＝

__________

○¹³○¹⁴○¹⁵

○¹⁶○¹⁷ 。( 化為最簡分數 )

【答 案】 120 13

【概念中心】能利用三角定義求出特定邊長。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】設∠COD＝θ

∵ OC ＝26 ∴ OD ＝26 cosθ＝24

∴ cosθ＝ 24 26 ＝ 12

13  sinθ＝ 1－( 12

13 )² ＝ 5 13

∴ AB ＝24 sinθ＝24× 5

13 ＝ 120 13

B. 坐標平面上，若直線y＝ax＋b ( 其中a，b為實數 ) 與二次函數y＝x²的圖形恰交於一點，

亦與二次函數y＝( x－2 )²＋12的圖形恰交於一點，則a＝_________○¹⁸ ，b＝_________○¹⁹○²⁰ 。

【答 案】6，－9

【概念中心】能了解直線與拋物線交於一點的意義，並利用判別式解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】





y＝ax＋b

y＝x²  x²＝ax＋b  x²－ax－b＝0

∵ 兩圖形交於一點 ∴ D＝0  a²＋4b＝0…………○¹ 又





y＝ax＋b

y＝( x－2 )²＋12 x²－4x＋4＋12＝ax＋b  x²－( 4＋a ) x＋( 16－b )＝0 兩圖形亦交於一點 ∴ D＝0  ( 4＋a )²－4 ( 16－b )＝0

 a²＋8a＋4b－48＝0………○²

○²－○¹得8a－48＝0  a＝6代入○¹得b＝－9。

C. 小鎮A距離一筆直道路6公里，並與道路上的小鎮B相距12公里。今欲在此道路上蓋一 家超級市場使其與A，B等距，則此超級市場與A的距離須為___________○²¹ ○²² 公里。( 化為最 簡根式 )

【答 案】4 3

【概念中心】將平面上點的位置坐標化，並利用距離公式解題。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】坐標化如右圖，設超市位置為C，

則 OB ＝ 12²－6² ＝6 3

∵ AC ＝ BC

 ( x－0 )²＋( 0－6 )² ＝6 3 －x，

兩端平方得x²＋36＝108－12 3 x＋x²

 x＝2 3

∴ CA ＝ BC ＝6 3 －2 3 ＝4 3

D. 坐標空間中有四點A ( 2 , 0 , 0 )、B ( 3 , 4 , 2 )、C ( －2 , 4 , 0 ) 與D ( －1 , 3 , 1 )。若點P在 直線CD上變動，則內積 PA． PB之最小可能值為

__________

○²³

○²⁴ 。( 化為最簡分數 )

【答 案】 5 4

【概念中心】利用直線參數式假設空間中的動點坐標，並配合配方法求得內積的最小值。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】∵ CD＝( 1 , －1 , 1 )

∴ ←→

CD參數式為





x＝－2＋t y＝4－t z＝t

，t ，取P ( －2＋t , 4－t , t )

則 PA． PB＝( 4－t , －4＋t , －t )．( 5－t , t , 2－t ) ＝( 4－t ) ( 5－t )＋( －4＋t ) t＋( －t ) ( 2－t ) ＝3t²－15t＋20＝3 ( t－ 5

2 )²＋ 5 4 ， 當t＝ 5

2 時，有最小值為 5 4 。

E. 設 u ， v 為兩個長度皆為1的向量。若 u ＋ v 與 u 的夾角為75°，則 u 與 v 的內積為 __________

○²⁵ ○²⁶

○²⁷ 。( 化為最簡根式 )

【答 案】 － 3 2

【概念中心】利用內積定義及a²=a．a的觀念解題。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】| u ＋ v |²＝| u |²＋| v |²＋2 u ． v ＝2＋2 u ． v

 | u ＋ v |＝ 2＋2 u ． v ＝ 2 ． 1＋ u ． v ， 又 ( u ＋ v )． u ＝| u ＋ v | | u | cos75°

 u ． u ＋ v ． u ＝ 2 ． 1＋ u ． v ．1． 6 － 2 4

 1＋ u ． v ＝ 2 ． 1＋ u ． v ． 6 － 2

4 ，

令 u ． v ＝k，則1＋k＝ 1＋k ． 3 －1

2 ，

平方得 ( 1＋k )²＝( 1＋k )． 2－ 3 2

 ( k＋1 ) ( k＋ 3

2 )＝0  k＝－1或k＝ － 3

2 。

但k＝－1時， u ． v ＝1．1．cosθ＝－1  θ＝180°，

此時 u ＋ v 與 u 不可能夾75° ∴ u ． v ＝ － 3 2

＜另解＞

∵ | u |＝| v |

∴ u ＋ v 為以 u 及 v 為二邊所作平行四邊形的對角線

而此平行四邊形恰為菱形  θ＝75°

∴ u 與 v 之夾角為150°

∴ u ． v ＝| u | | v | cos 150°＝1×1× － 3

2 ＝ － 3 2

F. 一個房間的地面是由12個正方形所組成，如右圖。

今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷 磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即 或 。 則用6塊瓷磚舖滿房間地面的方法有_________○²⁸○²⁹ 種。

【答 案】11

【概念中心】能利用分類的觀念及加法原理解決排列組合的問題。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】( i ) 若第三排舖 ，則前二排可舖1或3或5個 。 ○1 若舖1個 ，則可分為

其餘位置舖 ，共3種。

○² 若舖3個 ，則可分為

其餘位置舖 ，共4種。

○3 若舖5個 ，則有 共1種。

(ii) 若第三排舖2個 蓋住，則最右邊2×3格可放1個或3個 ，

其餘舖 ，共3種。

由( i )(ii)得共有3＋4＋1＋3＝11(種)。

＜另解＞

設a_n表示2×n格的瓷磚排列情況之方法數，

a1＝1，

a2＝2，

a3＝2＋1＝3＝a2＋a1，

a2種 a1種

a4＝3＋2＝5＝a3＋a2，

^a3種 a2種

a₅＝5＋3＝8，

得遞迴式為





a1＝1，a2＝2

a_n^＋₂＝a _n^＋₁＋a _n，n ，且a n^＋1表最後一個放直，a n表最後一個放 橫的情況。

而最後討論第三排：

( i ) 此區若舖橫瓷磚，則有a5種舖法。

(ii) 此區若舖直瓷磚，則有a₃種舖法。

故可得所求為a₅＋a₃＝8＋3＝11(種)舖法。

G . 已知 



 a b 

c d 是一個轉移矩陣，並且其行列式 ( 值 ) 為 5

8 。則a＋d＝

__________

○³⁰○³¹

○³² 。

( 化成最簡分數 )

【答 案】 13 8

【概念中心】了解轉移矩陣的性質及行列式的基本運算。

【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣

【試題解析】行列式值為



 a b 

c d ＝ad－bc＝ 5 8 ， 又此轉移矩陣c＝1－a，b＝1－d，

代入得ad－( 1－d ) ( 1－a )＝ad－( 1－a－d＋ad )＝( a＋d )－1＝ 5 8

 a＋d＝ 13 8 。

H. 如圖，正三角形ABC的邊長為1，並且∠1＝∠2＝∠3＝15°。

已知sin 15°＝ 6 － 2

4 ，則正三角形DEF的邊長為 ________________

○³³

○³⁴ － ○³⁵

○³⁶ 。( 化為最簡根式 )

【答 案】 6

2 － 2 2

【概念中心】能利用正弦定理求得三角形的邊長。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】∵ ∠3＝15°

∴ ∠BCF＝60°－15°＝45°  ∠BFC＝180°－15°－45°＝120°

在△BCF中，

由正弦定理得 1

sin 120° ＝ CF

────sin 15°＝ BF

────sin 45°

 CF ＝ sin 15°

sin 120° ＝ 6 － 2

4 × 2

3 ＝ 3 2 － 6

6 ，

BF ＝ sin 45°

sin 120° ＝ 2 2 × 2

3 ＝ 6 3 ， 又 CF ＝ BE

∴ EF ＝ BF － BE ＝ 6

3 －( 3 2 － 6

6 )＝ 3 6 －3 2

6 ＝ 6

2 － 2 2 。

一、考題趨勢：

1. 本份試卷比起102年學測而言，更貼近99課綱的精神了 ( 還記得99課綱曾經把95 暫 綱中較難的單元或章節捨棄或另置於高三選修中的這件事嗎？)，103學測難度降低了，

對數學程度不好的同學而言，學習數學的動力與信心應增進了不少，老師也可據此鼓

勵同學們努力研習數學。明年的學測試題雖仍朝「中間偏易」的方向命題，但要比這 份題目簡單我想不容易了。

2. 就這兩年的試題來說，依然建議同學們的基本觀念應多加強 ( 本年度的距離公式、參

數式多麼好用啊！)，數據解讀能力還要再提升 ( 有些同學失業率那題就忙了很久 )，

尤其作圖能力更不可忽視 ( 有些題目畫出圖來答案已呼之欲出了 )。而對於 99課綱新 增的單元，包括條件機率與貝氏定理、獨立事件、數據分析、線性規劃、矩陣等單元，

同們復習時仍須留意。

3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆曾提及，並要同學多加

留心注意，「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，尤其今

年更是大翻修，範例、演練皆留有空格以利於老師上課，並適時比較觀念差異，參酌

同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、更容易進入復習狀況，

本次翻修另新增有試題本以供同學課後練習用。期望各位先進可參考並不吝加以選用、

指教。

二、結語：

對高三同學而言，緊張、準備了大半年，學測已經落幕了！每個人對這份試題的感受

皆不相同，程度好、本想靠數學贏分的同學會有比較大的失落感；從來，天下間沒有一份 試卷可以滿足每個程度同學的需求；所以，今後同學們仍應秉持著再努力、多計算、讓觀 念更清楚的原則學習數學。

還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！

結

論