PDF 學測試題關鍵解析

數學考科 學測試題關鍵解析

今 今 今 今

^年是99課綱的第一屆學測，新課綱拿掉以往較難的章節，加入難度較低的單元，

許多人以為試題難度應和前幾年差不多，維持「中間偏易」的原則，但結果卻有點出 乎大家意料之外，基本題不多，跨章節的題目出現的頻率較以往多些，有些題目計算較繁雜，作 圖的重要性比以往多很多，有些多選題更是要觀念非常清楚，甚至要會舉反例才能得分，這份試 題也許會令許多同學感到挫折！

一、各冊配分情形：

冊別 單 元 題型

單選題 多選題 選填題 配分 合計

數與式 A 5

多項式函數 9 B 10

第 一

冊 指數、對數函數 2 8 10

25

數列與級數 12 5

排列、組合 1,5 10

機 率 3 5

第 二 冊

數據分析 4 5

25

三 角 6 G 10

直線與圓 E,F 10

第 三

冊 平面向量 C 5

25

空間向量 0

空間中的平面與直線 D,H 10

矩 陣 7 5

第 四 冊

二次曲線 10,11 10

25

二、試題題型、特色分析：

1. 由統計表可看出，由於有些題目跨章節，因此分配單元時並不是那麼的絕對，但一般而言，

各冊出題比例還算平均，空間向量因屬基本概念，雖然在分配表中為0分，但選填題H其 實用的觀念包括向量內積、外積及直線平行平面的觀念，其與該單元的關係密切。

前

言

2. 99課綱新增的單元出現了五題：

(1) 單選1：睽違9年（92、93學測各考過一題）後，邏輯的題目又回來了，在本份試卷

中，這是一題難得的基本題，仔細讀題了解題意後，得分是意料中的事。

(2) 單選3：本題考的是條件機率，只要會畫樹狀圖來幫助了解題意，本題要得分應屬容

易。

(3) 單選4：本題考迴歸直線斜率與相關係數的關係，即b＝r．

σ

y

σ

x

，對於沒記公式或試卷

後方所附公式看不懂的同學，本題要得分就難多了；除此之外，如何在五組資

料中找出哪一個選項的標準差最小，觀念清楚的同學並不需一一算出，由於

μ_y＝5皆相同，所以只要計算

3 2 1

i i

y

=

∑

最小，即可或由數據的離散程度亦可觀察

得出答案；另外，本題有一個小小的陷阱，由於b相同但為負數，則 r欲最小

( 負得愈多 )，則

σ

y應找最小，我想有些同學一不小心

σ

y可能找最大，那就

失望不已了。

(4) 多選7：矩陣單元考這題就很平易近人了，關於矩陣的自乘，我想只要會乘法的同學，

本題得分應屬意料中的事。

(5) 選填F：本題乍看之下為向量內積的求得，但在計算出答案的過程中，卻需使用線性規

劃來幫忙解題，是一題可豎起大拇指按讚的好題目，坊間參考書或模擬試題應

尚未有此題目，但對同學而言，要得分可就不簡單了。

3. 除以上新增單元的題目之外，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位分享：

(1) 單選5 ：本題為應用重複組合求方程式整數解的問題，近十年的大考題中未曾出現此類

型題目，同學雖不見得會做正奇數、正偶數的假設來列式求解，但其實只要會

分類，逐一求出各項情形的方法數（就是慢慢排）仍是可得分。

(2) 多選9 ：本題為求兩個二次函數圖形疊合後的新圖形的性質，此題若能假設函數，相加

後再求其與x軸的交點，中上程度同學應可得分，另外作圖能力強的同學亦可

藉由作圖而得出答案。

(3) 多選10：能完整解出此題的同學，其二次曲線作圖能力及圖形觀察力必不弱，因其不僅

需作出拋物線、橢圓、雙曲線的圖形，尚需了解到內積為負表示兩向量的夾角

大於90°，而能由圖中找出角度大於90°的點。

(4) 多選11：本題為求正方形的頂點落在橢圓上的情形，一般同學的作法應如筆者所提供的

正解，圖形畫畫看就知哪些選項正確，另筆者提供一個另解，其想法對高中同

學而言較不容易，所以能往這個方向思考的同學，其程度必然不弱。

(5) 多選12：在本份試題中，本題應是最難的一題，就連在歷屆試題中，難度也算高，尤其

某些選項要寫出完整解答，需舉出反例，這對中等程度的同學而言並不容易，

而在現行教材中刪除邏輯的訓練後，高中同學此方面的能力較不易得到加強。

第壹部分：選擇題

（占 60 分）

一、單選題

^{（占 30 分）}

說明︰第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答 案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個 選項者，該題以零分計算。

1. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。

一、國文成績或英文成績70分 ( 含 ) 以上；

二、數學成績及格。

已知小文上學期國文65分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是 正確的？

(1) 小文的英文成績未達70分

(2) 小文的數學成績不及格

(3) 小文的英文成績70分以上但數學成績不及格

(4) 小文的英文成績未達70分且數學成績不及格

(5) 小文的英文成績未達70分或數學成績不及格

【答 案】(5) 【概念中心】邏輯的笛摩根定律

【命題出處】南一版數學第二冊第二章排列、組合

【試題解析】∵ 國文成績已不符合標準

∴ 若他有資格參選模範生，則必須英文達70分且數學及格，亦即小文的英文成

績未達70分或數學成績不及格皆不符合資格參選模範生

故選(5)。

2. 令a＝2.6¹⁰－2.6⁹，b＝2.6¹¹－2.6¹⁰，c＝ 2.6¹¹－2.6⁹

2 。請選出正確的大小關係。

(1) a＞b＞c (2) a＞c＞b (3) b＞a＞c (4) b＞c＞a (5) c＞b＞a

【答 案】(4) 【概念中心】指數式的化簡與比較大小

【命題出處】南一版數學第一冊第三章指數、對數函數

【試題解析】a＝2.6⁹×( 2.6－1 )＝2.6⁹×1.6，

b＝2.6¹⁰×( 2.6－1 )＝2.6¹⁰×1.6＝2.6⁹×4.16，

c＝1

2 ×2.6⁹×( 2.6²－1 )＝2.6⁹×2.88

⇒ b＞c＞a，

故選(4)。

試 題 詳 解 與 分 析

3. 袋子裡有3顆白球，2顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取1顆球，抽取後不放回。若 每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機 率為何？

(1) 1

3 (2) 5

12 (3) 1

2 (4) 3

5 (5) 2

3

【答 案】(3) 【概念中心】條件機率

【命題出處】南一版數學第二冊第三章機率

【試題解析】

甲、乙皆白

甲、乙皆黑

丙白 ⇒ 3 5 ×2

4 ×1 3 ＝ 6

60 丙黑 ⇒ 3

5 ×2 4 ×2

3 ＝12 60 丙白 ⇒ 2

5 ×1 4 ×3

3 ＝ 6 60 丙黑 ⇒ 2

5 ×1

4 ×0＝0 P ( 丙白 | 甲、乙同色 )＝

6 60 ＋ 6

60 6

60 ＋12 60 ＋ 6

60

＝1

2 ，故選(3)。

4. 已知以下各選項資料的迴歸直線 ( 最適合直線 ) 皆相同且皆為負相關，請選出相關係數最 小的選項。

(1) x 2 3 5 y 1 13 1

(2) x 2 3 5 y 3 10 2

(3) x 2 3 5 y 5 7 3 (4) x 2 3 5

y 9 1 5

(5) x 2 3 5 y 7 4 4

【答 案】(5) 【概念中心】標準差大小的計算、相關係數與迴歸直線斜率的關係

【命題出處】南一版數學第二冊第四章數據分析

【試題解析】迴歸線y＝a＋bx，b＝r．

σ

y

σ

x

∵ b相同但為負數，

σ

x相同 ∴ r欲最小 ( 負得愈多 )，則

σ

y應找最小 而μ_y＝5，

(1)中之

σ

y＝ 1

3 ［(－4 )²＋8²＋(－4 )²］ ＝ 32 ，

(2)中之

σ

y＝ 1

3 ［(－2 )²＋5²＋(－3 )²］ ＝ 1

3 ×38 ，

(3)中之

σ

y＝ 1

3 ［0²＋2²＋(－2 )²］ ＝ 1

3 ×8 ，

(4)中之

σ

y＝ 1

3 ［4²＋(－4 )²＋0²］ ＝ 1

3 ×32 ，

(5)中之

σ

y＝ 1

3 ［2²＋(－1 )²＋(－1 )²］ ＝ 1

3 ×6 ＝ 2 ，

得σ_y最小者為 2 ，故選(5)。

5. 將24顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡 都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。

(1) 55 (2) 66 (3) 132 (4) 198 (5) 253

【答 案】(2) 【概念中心】方程式的整數解與不完全相異物的直線排列

【命題出處】南一版數學第二冊第二章排列、組合

【試題解析】設紅、黃、綠三個籃子分別裝x，y，z個，

x＝2x′＋2，y＝2y′＋1，z＝2z′＋1，x′，y′，z′ 為非負整數

⇒ ( 2x′＋2 )＋( 2y′＋1 )＋( 2z′＋1 )＝24 ⇒ x′＋y′＋z′＝10

∴ ( x′ , y′ , z′ ) 有H ³10＝C^3＋10－110 ＝C¹²10＝C¹²2＝66 ( 組 )

∴ ( x , y , z ) 亦有66組解 故選(2)。

6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午10：00熱氣球的仰角為30°，到上午

10：10仰角變成34°。請利用下表判斷到上午10：30時，熱氣球的仰角最接近下列哪一

個度數？

θ 30° 34° 39° 40° 41° 42° 43°

sinθ 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682

cosθ 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731

tanθ 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933

(1) 39° (2) 40° (3) 41° (4) 42° (5) 43°

【答 案】(3) 【概念中心】三角測量的作圖與計算

【命題出處】南一版數學第三冊第一章三角

【試題解析】設 AB ＝x，則 BC

x ＝tan 30° ⇒ BC ＝0.577x，

且 BD

x ＝tan 34° ⇒ BD ＝0.675x

∴ CD ＝0.675x－0.577x＝0.098x

⇒ BE ＝ BC ＋3 CD ＝0.577x＋0.294x＝0.871x

∴ tanθ＝ BE

x ＝0.871較接近0.869

∴θ較接近41°

故選(3)。

二、多選題

（占 30 分）

說明︰第7題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5 分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選 項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設n為正整數，符號 

 1 1  0 2

n

代表矩陣 

 1 1 

0 2 自乘n次。令 

 1 1  0 2

n

＝

 an bn  cn dn ，請 選出正確的選項。

(1) a2＝1 (2) a1 , a2 , a3為等比數列 (3) d1 , d2 , d3為等比數列 (4) b1 , b2 , b3為等差數列 (5) c1 , c2 , c3為等差數列

【答 案】(1)(2)(3)(5) 【概念中心】矩陣的自乘與數列性質的判斷

【命題出處】南一版數學第四冊第三章矩陣、第二冊第一章數列與級數

【試題解析】



 1 1 0 2

2

＝



 1 1 0 2 



 1 1 0 2 ＝



 1 3

0 4 ，





 1 1  0 2

3

＝

 1 1  0 2 

 1 3  0 4 ＝

 1 7 

0 8 ，

得 a1 , a2 , a3分別為1，1，1； b1 , b2 , b3分別為1，3，7；

c₁ , c₂ , c₃分別為 0，0，0； d₁ , d₂ , d₃分別為2，4，8。

(1) ○：a₂＝1； (2) ○：公比r＝1；(3) ○：公比r＝2；

(4) ×：非等差數列；(5) ○：公差為0。

故選(1)(2)(3)(5)。

8. 設a＞1＞b＞0，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) (－a )⁷＞(－a )⁹ (2) b^－9＞b^－7 (3) log 10

1

a ＞log ₁₀ 1 b (4) log a 1＞log _b 1 (5) log a b ≥ log b a

【答 案】(1)(2) 【概念中心】指數與對數的比較大小

【命題出處】南一版數學第一冊第三章指數、對數函數

【試題解析】(1) ○：∵ a＞1 ∴ a⁷＜a⁹⇒ －a⁷＞－a⁹⇒ (－a )⁷＞(－a )⁹ (2) ○：∵ 0＜b＜1 ∴ 1

b ＞1 ⇒ ( 1

b )⁹＞( 1

b )⁷⇒ b^－9＞b^－7 (3) ×：∵ a＞b＞0 ∴ 1

a ＜ 1

b ⇒ log ₁₀ 1

a ＜log ₁₀ 1 b (4) ×：log a 1＝0，log b 1＝0 ⇒ log a 1＝log b 1。

(5) ×：反例：令a＝2，b＝1 4 ， 則log _a b＝log ₂ 1

4 ＝－2，而log _b a＝log ¹

4 2＝ 1

－2 ⇒ log _a b＜log _b a

∴ log _a b不一定大於或等於log _b a 故選(1)(2)。

9. 設a＜b＜c。已知實係數多項式函數y＝f (x) 的圖形為一開口向上的拋物線，且與x軸交

於 ( a , 0 )、( b , 0 ) 兩點；實係數多項式函數y＝g (x) 的圖形亦為一開口向上的拋物線，

且跟x軸相交於 ( b , 0 )、( c , 0 ) 兩點。請選出y＝f (x)＋g (x) 的圖形可能的選項。

(1) 水平直線 (2) 和x軸僅交於一點的直線

(3) 和x軸無交點的拋物線 (4) 和x軸僅交於一點的拋物線

(5) 和x軸交於兩點的拋物線

【答 案】(4)(5) 【概念中心】函數相加所得的新函數圖形與x軸相交情形的判別

【命題出處】南一版數學第一冊第二章多項式函數

【試題解析】設f (x)＝α( x－a ) ( x－b )，α＞0；g (x)＝β( x－b ) ( x－c )，β＞0，

則f (x)＋g (x)＝( x－b )［α( x－a )＋β( x－c )］

＝( x－b )［(α＋β) x－(αa＋βc )］

＝(α＋β) ( x－b ) ( x－ αa＋βc α＋β )，

∵ α＋β＞0 ∴ f (x)＋g (x)為二次多項式函數

○¹ 若^α_α＋β^a＋βc＝b，則f (x)＋g (x) 與x軸相切於一點 ( b , 0 )。

○² 若^α_α＋β^a＋βc≠b，則f (x)＋g (x) 與x軸交於相異兩點 ( b , 0 ) 與( ^α_α＋β^a＋βc , 0 )。 故選(4)(5)。

10. 坐標平面上考慮兩點Q1 ( 1 , 0 ) , Q2 (－1 , 0 )。在下列各方程式的圖形中，請選出其上至 少有一點P滿足內積 PQ1 ． PQ2 ＜0的選項。

(1) y＝1

2 (2) y＝x²＋1 (3) －x²＋2y²＝1 (4) 4x²＋y²＝1 (5) x² 2 － y²

2 ＝1

【答 案】(1)(3)(4) 【概念中心】平面向量內積的意義及二次曲線圖形的作圖

【命題出處】南一版數學第三冊第三章平面向量、第四冊第四章二次曲線

【試題解析】 PQ1 ． PQ2 ＜0表示∠Q₁ PQ2＞90°

(1) ○：取P ( 0 , 1 2 )，

則 PQ₁ ． PQ₂ ＝( 1 , －1

2 )．(－1 , －1

2 )＝ －3

4 ＜0。

(2) ×：取P ( 0 , 1 )，則 PQ₁ ． PQ₂ ＝( 1 ,－1 )．(－1 ,－1 )＝0 ∴ ∠Q₁ PQ2＝90°

又拋物線上點以P ( 0 , 1 ) 與Q₁，Q₂夾角為最大，

即不存在 PQ1 ． PQ2 ＜0之點P。

(3) ○：－x²＋2y²＝1 ⇒ y²

1 2

－ x²

1 ＝1為a＝ 1

2 ，b＝1之雙曲線。

取P ( 0 , 2 2 )，

則 PQ₁ ． PQ₂ ＝( 1 , － 2

2 )．(－1 , － 2

2 )＝－1＋ 1

2 ＝ －1

2 ＜0。

(4) ○：取P ( 0 , 1 ) 或 ( 0 ,－1 )，

則∠Q2 PQ1＝90°，此時 PQ1 ． PQ2 ＝0，

除此之外，橢圓上其他點皆使得 PQ1 ． PQ2 ＜0。

(5) ×：如右圖所示，

任何一P點均使得∠Q₁ PQ₂＜90°，

即 PQ1 ． PQ2 ＞0。

故選(1)(3)(4)。

11. 設F₁ , F₂為橢圓Γ的兩個焦點。S為以F₁為中心的正方形 ( S的各邊可不與Γ的對稱軸平 行 )。試問S可能有幾個頂點落在Γ上？

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 0

【答 案】(1)(2)(5) 【概念中心】正方形頂點落在橢圓上的情形

【命題出處】南一版數學第四冊第四章二次曲線

【試題解析】(1)(2)(5) ○：分別有0 , 1 , 2個頂點在橢圓上。

(3) ×：∵ 若有3個頂點落在Γ上 則 BF ＝a－c＝ FC ＝1

2 正焦弦長 ⇒ a－c＝1

2 × 2b²

a ⇒ b²＝a ( a－c )……○¹ 又a²＝b²＋c² ………○² ○¹ 代入○² 得a²＝a ( a－c )＋c²⇒ c²－ac＝0 ⇒ c ( a－c )＝0 ⇒ c＝0 ( 不合 ) 或a＝c ( 不合 ) ∴ 不可能有3個頂點落在Γ上

(4) ×：明顯地，不可能有4個頂點落在Γ上。

故選(1)(2)(5)。

〈另解〉

已知正方形頂點會共圓，如圖，以其中一焦點為圓心

做圓，則圓只可能與橢圓交於0點、1點或2點，也 就是說我們只可能找到0，1或2個頂點落在橢圓Γ上。

12. 設實數組成的數列〈a_n〉是公比為－0.8的等比數列，實數組成的數列〈b_n〉是首項為10的 等差數列。已知a9＞b₉且a10＞b₁₀。請選出正確的選項。

(1) a₉×a₁₀＜0 (2) b₁₀＞0 (3) b₉＞b₁₀ (4) a₉＞a₁₀ (5) a₈＞b₈

【答 案】(1)(3) 【概念中心】等差、等比數列性質的判斷與反例的找尋

【命題出處】南一版數學第二冊第一章數列與級數

【試題解析】(1) ○：∵ 公比為－0.8

∴ a₉×a₁₀＝a₉×［a₉×(－0.8 )］＝( a₉ )²×(－0.8 )＜0 (2) ×：反例：

取an＝ 1

(－0.8 )⁹×(－0.8 )^n－1，則a9＝ 1

－0.8 ＝－1.25，a₁₀＝1。

另取bn＝10＋( －3

2 ) ( n－1 )，

則b₉＝10＋( －3

2 )×8＝－2，b₁₀＝10＋( －3

2 )×9＝－3.5。

滿足a9＞b9且a10＞b10，但此時b10＜0。

(3) ○：∵〈a_n〉為公比r＜0之等比數列 ∴ 數列〈a_n〉正負相間出現

又a9＞b9，a10＞b10 ∴ 數列〈bn〉在b9，b10時至少有一負數 而〈b_n〉首項為10 ∴ 公差必是負數 ∴ b9＞b₁₀成立

(4) ×：同(2)之理由可得a9＞a₁₀不一定成立。

(5) ×：反例：

取an＝ 1

(－0.8 )¹⁰×(－0.8 )^n－1， 則a₈＝ 1

(－0.8 )³＝ 1

－0.512 ＝－1.953125，a₉＝ 1

(－0.8 )²＝1.5625，

a10＝ 1

(－0.8 )¹＝－1.25，

另取同(2)之b8＝－0.5，b₉＝－2，b₁₀＝－3.5，

滿足a₉＞b₉，a₁₀＞b₁₀，但a₈＜b₈。 故選(1)(3)。

第貳部分：選填題

^{（占 40 分）}

說明︰1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號 ( 13－35 )。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設k為一整數。已知 k

3 ＜ 31 ＜ k＋1

3 ，則k＝__________○¹³○¹⁴ 。

【答 案】16 【概念中心】根式的近似值

【命題出處】南一版數學第一冊第一章數與式

【試題解析】∵ k＜3 31 且k＋1＞3 31 ∴ k＜3 31 ＜k＋1 平方得k²＜279＜( k＋1 )²，

又16²＝256，17²＝289 ⇒ 16²＜279＜17²，故k＝16。

B. 設a , b為實數且 ( a＋bi ) ( 2＋6i )＝－80，其中i ²＝－1。則 ( a , b )＝

( _________○¹⁵○¹⁶ , _________○¹⁷○¹⁸ )。

【答 案】(－4 , 12 ) 【概念中心】複數的乘法與複數的相等性質

【命題出處】南一版數學第一冊第二章多項式函數

【試題解析】∵ ( a＋bi ) ( 2＋6i )＝－80 ⇒ ( 2a－6b )＋( 6a＋2b ) i＝－80

∴ 

2a－6b＝－80……○¹

6a＋2b＝0 ………○² ，由○¹ ＋○² ×3得20a＝－80 ⇒ a＝－4代入○²

得b＝12，故數對 ( a , b )＝(－4 , 12 )。

C. 坐標平面中A ( a , 3 ) , B ( 16 , b ) , C ( 19 , 12 ) 三點共線。已知C不在A , B之間，且 AC ： BC ＝3：1，則a＋b＝_________○¹⁹○²⁰ 。

【答 案】19 【概念中心】三點共線與向量的係數積（或分點公式）

【命題出處】南一版數學第三冊第三章平面向量

【試題解析】∵ AC ： BC ＝3：1

∴ AC ＞ BC ，作圖如右

得 AC ＝3 BC ⇒ ( 19－a , 9 )＝3 ( 3 , 12－b )

⇒

19－a＝9

36－3b＝9⇒ a＝10，b＝9 ∴ a＋b＝10＋9＝19

D. 阿德賣100公斤的香蕉，第一天每公斤賣40元；沒賣完的部份，第二天降價為每公斤36 元；第三天再降為每公斤32元，到第三天全部賣完，三天所得共為3720元。假設阿德在 第三天所賣香蕉的公斤數為t，可算得第二天賣出香蕉的公斤數為at＋b，其中a＝

________○21○22 ，b＝________○23○24 。

【答 案】a＝－2，b＝70 【概念中心】未知數的假設與方程式的列式

【命題出處】南一版數學第四冊第二章空間中的平面與直線

【試題解析】設第二天賣出x公斤，則第一天賣出 (100－t－x )公斤，

則40 ( 100－t－x )＋36x＋32t＝3720

⇒ 4000－40t－40x＋36x＋32t＝3720 ⇒ 4x＋8t＝280 ⇒ x＝－2t＋70

∴ a＝－2，b＝70

E. 坐標平面上，一圓與直線x－y＝1以及直線x－y＝5所截的弦長皆為14。則此圓的面積為 ________○²⁵○²⁶ π。

【答 案】51 【概念中心】兩平行線間的距離公式

【命題出處】南一版數學第三冊第二章直線與圓

【試題解析】∵ L1：x－y＝1與L2：x－y＝5為平行線且截圓之弦長皆14

∴ L1與L2在圓心Q的二側且與圓心Q之距離相等，

作圖如右

∵ d ( L1 , L2 )＝ | 5－1 |

2 ＝2 2 ∴ d ( Q , L2 )＝ 2

⇒ r＝ ( 2 )²＋7² ＝ 51 ，故面積為πr²＝51π。

F. 令 A ， B 為坐標平面上兩向量。已知 A 的長度為1， B 的長度為2且 A 與 B 之間 的夾角為60°。令 u ＝ A ＋ B ， v ＝x A ＋y B ，其中x，y為實數且符合6 ≤ x＋y ≤ 8以 及－2 ≤ x－y ≤ 0，則內積 u ． v 的最大值為_________○²⁷○²⁸ 。

【答 案】31 【概念中心】向量內積的計算及應用線性規劃求最大值

【命題出處】南一版數學第三冊第二章直線與圓、第三章平面向量

【試題解析】∵ | A |＝1，| B |＝2 ∴ A ． B ＝1×2×cos 60°＝1

⇒ u ． v ＝( A ＋ B )．( x A ＋y B )

＝x | A |²＋( x＋y ) A ． B ＋y | B |² ＝x＋( x＋y )＋4y＝2x＋5y，

又6 ≤ x＋y ≤ 8，－2 ≤ x－y ≤ 0，作圖如右，

( x , y ) ( 4 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 4 ) ( 3 , 3 )

2x＋5y 28 31 24 21

故內積 u ． v 的最大值為31。

G. 設銳角三角形ABC的外接圓半徑為8。已知外接圓圓心到 AB 的距離為2，而到 BC 的距 離為7，則 AC ＝_______________○²⁹ ○³⁰○³¹ 。( 化成最簡根式 )

【答 案】4 15 【概念中心】和角公式的計算及應用正弦定理求邊長

【命題出處】南一版數學第三冊第一章三角

【試題解析】設∠OBC＝α，∠OBA＝β⇒∠CBA＝α＋β，

且sinα＝7

8 ，cosα＝ 15

8 ，sinβ＝1

4 ，cosβ＝ 15

4 ，

則sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝7

8 × 15

4 ＋ 15

8 ×1

4 ＝ 8 15

32 ＝ 15

4 ，

由正弦定理得 AC ＝2R．sin∠CBA＝2×8× 15

4 ＝4 15 。

H. 如右圖，在坐標空間中，A , B , C , D , E , F , G , H為

正立方體的八個頂點，已知其中四個點的坐標A ( 0 , 0 , 0 )、

B ( 6 , 0 , 0 )、D ( 0 , 6 , 0 ) 及E ( 0 , 0 , 6 )，P在線段 CG 上 且 CP： PG＝1：5，R在線段 EH 上且 ER ： RH ＝1：1，

Q在線段 AD 上。若空間中通過P，Q，R這三點的平面，

與直線AG不相交，則Q點的y坐標為

___________

○³²○³³

○34○35 。

( 化成最簡分數 )

【答 案】 15

11 【概念中心】直線平行平面的觀念、外積向量及內積的計算

【命題出處】南一版數學第四冊第二章空間中的平面與直線

【試題解析】P ( 6 , 6 , 1 )，R ( 0 , 3 , 6 )，G ( 6 , 6 , 6 ) ⇒AG ＝( 6 , 6 , 6 )。

設Q ( 0 , k , 0 )，

則 PQ ＝(－6 , k－6 ,－1 )， PR ＝(－6 ,－3 , 5 )

⇒ PQ × PR ＝(







 k－6 －1

－3 5 ,









－1 －6

5 －6 ,









－6 k－6

－6 －3 ) ＝( 5k－33 , 36 , 6k－18 )，

即平面PQR的法向量 n ＝( 5k－33 , 36 , 6k－18 )

∵ 直線AG與平面PQR不相交

∴ n ⊥ AG ⇒ n ． AG ＝0 ⇒ ( 5k－33 , 36 , 6k－18 )．( 6 , 6 , 6 )＝0

⇒ ( 5k－33 )＋36＋( 6k－18 )＝0 ⇒ 11k＝15 ⇒ k＝ 15

11 ，即Q之y坐標為 15 11 。

一、考題趨勢：

(1) 本份試卷與大家對99課綱的期待有些許的落差，難度似乎是增加了些，對數學程度

不好的同學打擊尤大。往後學測試題是否仍朝「中間偏易」的方向命題，或是因甄選

名額的增加而與指考漸漸趨於難度一致，則有待時間考驗；不過，從本試卷中的大部

分的題目可看出出題教授的用心，此為值得喝采的地方，其中更有許多眼睛為之一亮

的好題目。建議今後同學們仍應朝向基本觀念多加強、讀題能力再提升、計算要更精

確的目標邁進，尤其作圖能力更不可忽視。

(2) 99課綱新增的單元，包括條件機率與貝氏定理、獨立事件、數據分析、線性規劃、

矩陣等單元，未來仍是命題焦點，尤其指考甲中喜愛的轉移矩陣、指考乙中常考的線

性規劃，都是同學們復習時應多留意的地方。

(3) 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型」復習講義中皆曾提及，並要同學多加

留心注意，「智慧型復習講義」一書每年皆大改版以更符合現今的考題趨勢，題目的

選擇對高三同學而言容易進入狀況，老師用來上課得心應手，期望各位先進可參考並 不吝加以選用、指教。

二、結語：

對高三同學而言，緊張、期待了一整年，看到這份試卷可能會有些許的詫異，但程度

好的同學會有很大的成就感；我想，天下間本就沒有一份試卷可以滿足每個程度同學的需 求，此份試卷告訴同學們，多努力、多算、觀念要更清楚，這是學習數學應有的方式。

還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！

結

論