高中數學教學媒體製作應用與函數圖形繪製
建國中學黃世穎老師 2010.05.26
壹、GeoGebra入門
一、軟體簡介
GeoGebra = Geometry + Algebra是一套免費和多平台的動態數學教育軟體，它是 由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授 Markus Hohenwarter 所設計的，操作方式和 GSP有點類似，是Freeware可自行於網站下載安裝，安裝時要先安裝 JAVA ，然後再安裝 GeoGebra(Geogebra的官方網頁 )(GeoGebra 網路版 )或者直接在網頁上操作。
The Geometer's Sketchpad(簡稱GSP 動態幾何畫板)和GeoGebra 這兩套軟體學習 容易、操作簡單、功能強大，很適合作為平面幾何學習與教學的工具軟體平台，也可以應用 於代數、立體幾何、解析幾何等方面的教學與學習。
利用數學軟體來製作出適合教師在第一現場的教學媒體，不但更貼近教師自己想要表達 的教學內容，亦可以親自製作出精緻的講義、考題中的幾何圖形，亦可發佈於網站上供各界 流覽，讓學生利用數學軟體親自操作、觀察、探索，不但可以提升學習數學的興趣，更可以 加強研究數學的能力。
二、使用前的準備：
1. 確認 Java 環境
要執行GeoGebra程式或觀看GeoGebra檔案前，請先確定你的電腦中已經安裝
Java執行環境，否則將無法執行或觀看。
請至Java官方網站下載安裝http://www.java.com/zh_TW/
2. 軟體的取得與安裝：
首先使用瀏覽器進入官方網站 http://www.geogebra.org/
點選 Download
點選 Offline Installers 選擇 Windows版本
即可下載至個人電腦上，檔名為：GeoGebra-Windows-Installer-3-2-41-0.exe (約 4.45Mb)
下載完畢後即可直接從個人電腦中執行安裝
3. 進入GeoGebra 後，可以看到以下的畫面：
畫面的最上方是功能表選單，接著是工具列，以及三種不同視區：繪圖區、代數區、試算 表區，將數學物件以不同形式的表徵呈現，底部有指令列，可輸入代數指令。
4. 一般須知：
在滑鼠右鍵功能表中，你可隱藏顯示坐標軸、格線，放大或縮小繪圖區，改變坐標軸比例，
幾何物件可被顯示或隱藏，重新命名、重新定義或刪除，可以設定讓幾何物件在移動時留下 痕跡，按滑鼠右鍵並選擇屬性，改變名稱、顏色、樣式、裝飾、代數、進階。
功能表 工具列
代
數區 幾何繪圖區
指令列
提示區
指令列表
三、工具列簡介
圖示 名稱 使用方法
移動
1. 移動物件：以滑鼠拖曳就可以移動「自變物件」。
2. 選取物件：用滑鼠左鍵按一下，就可以選取單一物件。
3. 刪除物件：選取物件後，按Del 刪除。
轉動 首先選取選轉的中心點，然後可以以此點為中心，用滑鼠拖曳自 變物件來轉動它。
紀錄到試算表 此工具能夠在物件移動的同時，並將該物件的變化數值紀錄在試 算表區中，此工具僅能使用在數值、點、向量。
新點 在繪圖區按下滑鼠左鍵以新增點。
交點 1. 點選兩物件 (盡可能)產生兩物件的所有交點。
2. 點選兩物件的交點 只產生此一交點。
中心點
1. 選兩點 找出其中點；
2. 選一線段 找出其中點；
3. 選一圓錐曲線 找出其中心。
直線 選兩點A和B作直線，此線的方向向量即為（B－A）
線段(過兩點) 選兩點A和B，並調整線段長度，即可在代數區中顯示線段長 度。
線段(指 定起點 與長
度) 點選線段的起點A，並在出現的視窗中指定想要的長度。
射線(過兩點) 點選兩點A和B，作出起點從A到B的射線，在代數區中即可看
到相關直線的方程式。
向量(過兩點) 選取向量的起點和終點。
向量(指定起點、向量) 選點A及一向量v以建立點B=A+v，可以做出從A到B的向量。
垂直線 點選出一直線g和一點A，產生一直線通過A 且垂直於g，此線 的方向向量即等於g 之法向量。
平行線 點選出一直線g和一點A，可畫出一直線通過A 且平行於g，此 線的方向向量即為直線g 的方向向量。
中垂線 通過一線段s或兩點A和B的中點並垂直於此線段的直線，此線 的方向即等於線段s或AB的法向量。
角平分線 1. 選出三點A,B,C，便作出以ABC(B為頂點)的角平分線。
2. 選出兩條線，便作出所夾兩角的平分線。
切線
1. 選一點A及一圓錐曲線c，便作出通過A且切於c的所有切線
2. 選一線g及一圓錐曲線c，便作出平行於g且切於c的所有切線。
3. 選一點 A 及一函數 f ，便作出 f 在 x＝x(A) 的切線。
極線或徑線 1. 點選一點及一圓錐曲線以作出極線。
2. 點選直線或一向量及一圓錐曲線以作出徑線。
迴歸線 1. 建立選取方塊使其包含點集裡頭的所有點。
2. 選取點的串列建立相對應於的最適直線。
軌跡 點選一個會隨著點A而變的點B，然後點選A，便畫出B的軌 跡。
多邊形 標出至少三個點當做多邊形的頂點，然後再按下第一個點以圍成 一多邊形，在代數區中可看見多邊形的面積。
正多邊形 點選兩點A和B，並在出現的對話方塊中輸入一整數n，即得到
一個有n個頂點的正多邊形（包括點A和B）
圓(指定圓心與一點) 點選出一點M和一點P，可畫出一圓心為M且通過點P的圓，此
圓的半徑即為MP的距離。
圓(指 定圓 心與半 徑數
值) 點選圓心後，在出現的視窗中輸入半徑。
圓(指 定圓 心，半 徑
長) 選取一線段或兩點作為半徑，然後點擊一點作為新圓的圓心。
圓(過三點) 點選出三點A,B,C，可畫出通過此三點的圓。若這三點在一直線 上，此圓即退化為直線。
半圓 點選兩點A 和B，在線段AB 上作出一個半圓。
圓弧(指定圓心與兩點) 點選三點M, A和B，作出圓心為M，起點為A終點為B的圓弧。
圓弧(過三點) 點選三點作出通過此三點的圓弧。
扇形(指定圓心與兩點) 點選三點M, A和B，作出圓心為M，起點為A終點為B的扇形。
扇形(過三點) 點選三點作出通過此三點的扇形。
橢圓 選取兩點作為橢圓的焦點，然後選定第三點在此橢圓上。
雙曲線 選取兩點作為雙曲線的焦點，然後選定第三點在此雙曲線上。
拋物線 選定一點和拋物線的準線。
圓錐曲線(過五點) 點選五個點，作出通過此五點的圓錐曲線。
測量角度 可測量出：1. 三點間的角度。2. 兩線段間的角度。3. 兩直限線間的 角度。4. 兩向量間的角度。5. 多邊形的所有內角。
畫指定角 點選兩點A,B，並於對話方塊中輸入角度的大小，此工具作出點
C及角度α，其中α為角ABC。
測量距離 此工具可測量出兩點、兩直線、或一點與一直線的距離，亦可求出 線段的長度及圓周。
測量面積 測量出多邊形、圓、或橢圓的面積。
計算斜率 測量出直線的斜率
線對稱 先選取進行線對稱的物件，然後點擊直線指定為對稱線。
點對稱 先選取進行點對稱的物件，然後點擊點指定為對稱點。
反演 此工具的功能可以讓一個點對一個圓進行反演。先選取進行反演 的點，然後點擊圓指定為反演圓。
旋轉 先選取進行旋轉的物件，然後點擊點指定為旋轉中心，在出現的 對話視窗的文字方塊輸入旋轉角度。
平移 先選取進行平移的物件，然後點擊平移的向量。
伸縮 先選取進行伸縮的物件，再點擊伸縮中心，然後在出現的對話視 窗的文字方塊輸入指定伸縮倍率。
數值滑桿 在繪圖區的任意位置按下滑鼠，可建立數值或角度的滑桿。可設 定其最大值、最小值。
物件群組 在幾何繪圖區點擊滑鼠，便產生一個顯示或隱藏物件的核選方 塊。
插入文字 產生靜態文字、動態文字、或LaTeX數學式。
插入圖片 插入圖片
判斷物件關係 點選兩物件以得知其關係。
移動繪圖區 以滑鼠拖曳繪圖區來移動坐標系統的原點。
放大 在繪圖區中任意處按下滑鼠以拉近視窗。
縮小 在繪圖區中任意處按下滑鼠以拉遠視窗。
顯示或隱藏物件 在啟動此工具後選取欲顯示或隱藏的物件。在切換到其他工具之
顯示或隱藏名稱 按下物件以顯示或隱藏其名稱。
複製格式 選取想複製其樣式的物件，然後再點選其它物件。可將一物件的 樣式(顏色、大小、線的樣式)複製到數個其他的物件。
刪除物件 按下欲刪除的物件。
範例1 (1) 作ABC
(2) 作ABC三邊中垂線 (3) 作ABC的外心與外接圓
(4) 測量A、計算AB的長度、計算圓面積 (5) 調整繪圖區屬性、物件屬性
(1) 1. 利用 於幾何繪圖區中作出三個點A B C, , 。
(代數區：產生三個點坐標)
2. 利用 將三點兩兩連接，作出三邊。
(代數區：產生三邊長度)
3. 利用 移動三頂點，並觀察ABC的變化。
(代數區：頂點坐標、長度跟著改變)
(2) 1. 利用 畫出三邊的中垂線。
2. 利用 移動三頂點，並觀察三中垂線的關係。
(3) 1. 使用 交點工具，並依序選取其中兩條中垂線，作外心。
2. 利用 依序選取外心與A點，作出外接圓。
(4) 1. 使用 工具，並依序點選A的兩邊，測量出角度。
2. 使用 工具，選取AB(或依序選A,B兩點)，測量出距離。
3. 使用 工具，選取圓，測量出面積。
(5) 1. 於幾何繪圖區的空白處，點擊滑鼠右鍵，調整屬性。
2. 任選一物件，點擊滑鼠右鍵，調整各種屬性。
練習1 作ABC的內切圓、內心，並調整物件屬性。
提示：可以利用的繪圖工具 角平分線
四、代數輸入
可在GeoGebra中，使用視窗底部的「指令列」來直接輸入代數式，輸入完畢後記得按下Enter 鍵執行代數式。下表為常用的代
數式輸入方法：
主題 動作、數學式 指令列語法(輸入完畢後按Enter執行)
點坐標 A(1, 2) A=(1,2)
點坐標必須是大寫字母開頭
極坐標 P[2,30 ] P=(2;30°)
點坐標必須是大寫字母開頭
複數坐標 B(2 3 ) i B=2+3i
點坐標必須是大寫字母開頭 向量(點坐標表示) v(1,3) v=(1,3)
向量必須是小寫字母開頭 向量(極坐標表示) p[1;180 ] p=(1;180°)
向量必須是小寫字母開頭
向量(複數坐標表示) q 1 2i q=-1+2i
向量必須是小寫字母開頭
範例2 利用指令，在坐標平面上作出P1(1, 2), ( 1, 2), (3, 4)P2 P3 以及QAB(2,0)四個點。
於指令列輸入：P_1=(1,2) 按下ENTER鍵 代數區同時產生P1 (1, 2) 於指令列輸入：P_2=(-1,2) 按下ENTER鍵 代數區同時產生P2 ( 1, 2) 於指令列輸入：P_3=(3,4) 按下ENTER鍵 代數區同時產生P3 (3, 4) 於指令列輸入：Q_{AB}=(2,0) 按下ENTER鍵 代數區同時產生QAB (2,0)
貳、高中數學常使用的代數指令
主題 動作、數學式 指令列語法(輸入完畢後按Enter執行)
乘法 數字(式子)乘法、向量內積 * 或 空白鍵
乘法(數字) a 2 3 2010 a = 2*3+2010
乘法(內積) (2,3) ( 3, 2) (2,3)*(-3,2)
乘法(複數) (2 3 ) (4 6 ) i i (2+3i)*(4-6i)
階乘 10! 10!
取出點的x坐標 取出點P的x坐標 x(P)
取出點的y坐標 取出點P的y坐標 y(P)
商數 實數a除以整數b的商數 Div[a,b]
餘數(模數) 整數a除以整數b的餘數 Mod[a,b]
最大公因數 整數a與整數b的最大公因數 GCD[a,b]
最小公倍數 整數a與整數b的最小公倍數 LCM[a,b]
絕對值 | 23 | abs(-23)
正負號(性質符號) sgn()
根號 sqrt( )
三次根號 cbrt( )
0 到1 的隨機數 random( )
指數函數 4x 4^x
指數函數 ex exp(x)
對數(以e為底) ln( ) 或 log( )
對數(以2為底) ld( )
對數(以10為底) lg( )
正弦函數 sin( )
餘弦函數 cos( )
正切函數 tan( )
反正弦函數 asin( )
反餘弦函數 acos( )
反正切函數 atan( )
上高斯函數 ceil( )
下高斯函數
x floor(x)多項式 y2x23x1 y=2x^2+3x+1
一次函數 f x( ) 2x 1 f(x)=-2 x+1
二次函數 f x( ) 2 x23x1 f(x)=2 x^2+3 x+1
三次函數 f x( ) x3 x 3 f(x)=-x^3+x-3
最高公因式 求兩多項式 f x( )與g x( )的最高公因式 HCF[f(x),g(x)]
最低公倍式 求兩多項式 f x( )與g x( )的最低公倍式 LCM[f(x),g(x)]
f(x)的一階導函數 f x'( ) Derivative[f]
'( )
f x Derivative[f(x)]
'( )
f x f'(x)
f(x)的二階導函數 f x''( ) Derivative[f(x),2]
f''(x)
f(x)的三階導函數 f '''( )x Derivative[f(x),3]
f'''(x)
f(x)的n階導函數 f( )n ( )x Derivative[f,n]
將 f x( )展開 將 f x( )的括號乘開 Expand[f(x)]
展開(x2)(x1)(x3) Expand[(x+2)(x-1)(x+3)]
將多項式 f x( )展開 Polynomial[f(x)]
將 f x( )因式分解 將多項式 f x( )因式分解 Factor[f(x)]
因式分解x2 x 6 Factor[x^2+x-6]
差值多項式 過(1,2),(3,4)(4,-1)三點的二次多項式 Polynomial[(1,2),(3,4)(4,-1)]
化簡 f x( ) 將 f x( )化簡 Simplify[f(x)]
化簡x2x3x Simplify[x+2x+3x]
化簡sin cos x x
Simplify[sin(x) / cos(x)]
化簡2sin cosx x Simplify[-2 sin(x) cos(x)]
泰勒展開式 f x( )對x a 的n 次泰勒展開式 TaylorPolynomial[f(x), a, n]
分段函數
2
sin 3
( ) 3
f x x x
x x
f(x) = If[x < 3, sin(x), x^2]
限制函數的定義域 f x( )x2 x 1, 2 x 3 f(x) = Function[x^2+x+1,- 2,3]
上和 f x( )在[-2,3]分割成10等份的上和 UpperSum[f(x),-2,3,10]
下和 f x( )在[-2,3]分割成10等份的下和 LowerSum[f(x),-2,3,10]
f(x)的反導函數
常數為0
f x dx( ) Integral[f(x)]f(x)的定積分 3
2 f x dx( )
Integral[f(x),-2,3]3 3
2x dx
Integral[x^3,-2,3]( )
f x 與g x( )在區間[ , ]a b 的面積 Integral[f(x),g(x), a,b]
多項式 f x( )的反 曲點
找出x4x2 x 1的反曲點 InflectionPoint[x^4-x^2+x+1]
多項式 f x( )的所 有根
找出x4x2 x 1的所有根 Root[x^4-x^2+x+1]
牛頓法找函數 ( ) 0
f x 的一根
以牛頓法找出函數 f x( )以x a 為起 始值的一根
Root[f(x),a]
多項式 f x( )的極值 找出多項式 f x( )的所有極值發生的點 Extremum[f(x)]
數列 列出 1
2n
的前十項 Sequence[(n,(1/2)^n),n,1,10]
參、高中數學教學上的應用實例
一、多項式
範例3 描點畫出一次函數 f x( ) 3 x4的圖形 1. 於指令列輸入：f(x)=3x+4
2. 將函數 f x( )物件隱藏
3. 使用 在x軸上產生一點A
4. 於指令列輸入：t=x(A) 5. 於指令列輸入：P=(t,f(t))
6. 於點P按下滑鼠右鍵，選擇【顯示移動軌跡】
7. 移動A點，並觀察P點所形成的軌跡。
練習3 描點畫出二次函數g x( )x2的圖形
範例4 觀察直線y mx b 的圖形(其中m b, 均為變動實數)
1. 點選 數值橫桿，輸入名稱m，最小-10，最大10，增量0.1，套用。
2. 點選 數值橫桿，輸入名稱b，最小-10，最大10，增量0.1，套用。
3. 於指令列輸入：y=m x+b (注意m與x之間必須空一格)
4. 分別拉動橫桿m與橫桿b，並觀察直線的變化。
練習4.1 觀察直線y m x x ( 0)的圖形
練習4.2 觀察二次函數的圖形：y a x b x c ( )( )、y ax 2bx c 、y a x h ( )2k
練習4.3 觀察單項函數： f x( )cxn，n1, 2,3, 4。繪圖、奇偶性、單調性，圖形的平移。
練習4.4 觀察 f x( )x22x3與y k 的交點數。
【限制條件、插入文字、將圖片貼至word使用】
範例5 繪製 f x( )x22x 3, 2 x 2的圖形 1. 於指令列輸入：g(x)=x^2+2x+3
2. 將 g(x) 圖形的屬性樣式設定為虛線
3. 於指令列輸入：f(x)=Function[g(x),-2,2]
4. 將 f(x) 的屬性設定為紅色
5. Ctrl+滑鼠左鍵移動幾何繪圖區至適當位置
(如右圖所示)
6. 點選工具 插入文字：f(x)=x²+2x+3, -2≤x≤2 勾選LaTeX數學式，並按下確定按鈕(如下圖所示)
7. 滑鼠移向文字並按下右鍵，屬性\文字 調整字型為Serif、斜體
按下確定鍵、關閉鍵。(如下圖所示)
8. 檔案\輸出\複製到剪貼簿
此時便可將複製好的圖片貼至word上 亦可將圖片貼至網頁上
二、指數函數與對數函數
範例6 繪製y2x、ylog2x、y x 等圖形。
1. 於指令列輸入：y=2^x 2. 於指令列輸入：y=lg(x)/lg(2) (亦可輸入y=ld(x))
3. 於指令列輸入：y=x 4. 調整物件屬性
練習6 繪製y a x、yloga x、y x ，並觀察a0時的圖形變化。
三、三角函數
範例7 繪製ysinx的圖形。
1. 於指令列輸入：y=sin(x)
2. 按滑鼠右鍵調整繪圖區屬性\x軸\單位
3. 按滑鼠右鍵調整繪圖區屬性\y軸\最大1、最小-1
練習7.1 繪製ycosx、ytanx的圖形。
練習7.2 繪製y a sinx b cosx的圖形
四、絕對值函數
範例8 繪製y |x 1| |x 1| |x2 |的圖形。
1. 於指令列輸入：y=abs(x-2)+abs(x+1)+abs(x+3) 2. 更改物件樣式。(如右圖所示)
練習8 繪製y|x24 | 2 x的圖形。
五、高斯函數
範例9 繪製y[ ]x 的圖形。
1. 於指令列輸入：y=floor(x)
2. 更改物件樣式。(結果如左下圖所示)
3. 選擇 ，並將滑鼠移向高斯函數的端點附近，並按下滑鼠左鍵，即可產生實心點。
4. 調整物件屬性，將右端點顏色改為【白色】(如右上圖所示)
六、多項式的微分
範例10 繪製 1, 2
( ) 2 3, 2
x x
f x x x
的圖形。
1. 於指令列輸入：f(x) = If[x<2,2x+3,x+1]
2. 調整物件屬性
練習10 繪製 4, 1
( ) 2 3, 1
x x
f x x x
的圖形
範例11 繪製拋物線y x 22x4在點P(2, 4)的切線。
1. 於指令列輸入：c:y=x^2-2x+4 2. 於指令列輸入：P=(2,4)
3. 下列各方式均可產生切線
(1) 於指令列輸入：Tangent[P,c]
(2)選擇 後，點選P點與拋物線
(如右圖所示)
其他方法
1. 於指令列輸入：f(x)=x^2-2x+4 2. 於指令列輸入：P=(2,4)
3. 下列各方式均可產生切線
(1) 於指令列輸入：Tangent[P,f]
(2) 選擇 後，點選P點與拋物線
(3) 於指令列輸入：y=f'(x(P))(x-x(P))+y(P)
練習11 繪製點P(2,0)對拋物線y x 2x所做的切線。
提示：使用 交點工具，以產生切點 (結果如右圖所示)
範例12 在曲線 f x( ) ( x2)(x1) (x x1)(x2)上任取一點P，並作其切線。
移動P點，並觀察在P點時的切線斜率變化、凹口上下的變化。
1. 於指令列輸入：f(x)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) 2. 於指令列輸入：extremum[f]
3. 於指令列輸入：inflectionPoint[f]
4. 使用 ，並於曲線上按下滑鼠左鍵，產生新點，並命名為P
5. 使用 ，點選P點與曲線，產生切線
6. 調整各物件屬性的顏色、粗細 結果如左下圖所示。
7. 移動P點，並觀察在P點時的切線斜率變化、凹口上下的變化。
8. 使用 ，點選切線。
9. 選擇 ，並再次移動P點，觀察切線與凹口上下之間的關係。
練習12.1在曲線 f x( ) ( x2)(x1)(x1)(x2)上任取一點P，並作其切線。
移動P點，觀察切線與凹口上下之間的關係。
練習12.2若k為實數， f x( )x33x29x k ，試求滿足下列各條件之k值：
(1) f x( ) 0 有三相異實根 (2) f x( ) 0 有一實根與兩虛根 (3) f x( ) 0 有二正根一負根
範例13 繪製 f x( )x44x32x2 12x1在[ 2, 4] 的遞增遞減狀況、極值發生的點、反曲點。
1. 於指令列輸入：f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x+1 2. 調整屬性，將f(x)的圖形隱藏起來
3. 於指令列輸入：Extremum[f]
此時將產生y f x( )極值發生的所有點A,B,C 4. 於指令列輸入：InflectionPoint[f]
此時將產生y f x( )的反曲點
以下步驟將分別產生四段不同的曲線
5. 於指令列輸入：Function[f,-2,x(A)]
6. 於指令列輸入：Function[f,x(A),x(B)]
7. 於指令列輸入：Function[f,x(B),x(C)]
8. 於指令列輸入：Function[f,x(C),4]
9. 使用 產生曲線的兩端點
10. 調整屬性(顏色、粗細、隱藏多餘的標籤)結果如右上圖所示
若要讓圖形較為漂亮，可以繼續進行以下調整繪圖區屬性的步驟：
11. 於繪圖區空白處按下滑鼠右鍵\繪圖區(調繪圖區屬性，如下圖所示)
完成後可得到下圖
七、多項式的積分 黎曼和與面積
範例14 繪製 f x( )x2在[0,1]間，分割成n等份的矩形面積上和、下和、曲線下的面積。
1. 於指令列輸入：f(x)=x^2
2. 於指令列輸入：integral[f(x),0,1] (如下圖中所示)
3. 隱藏曲線下面積
4. 點選 數值橫桿，輸入名稱n，最小1，最大100，增量1，套用。
5. 於指令列輸入：UpperSum[f(x),0,1,n] (如下圖左所示)
6. 移動數值橫桿，觀察上和的變化。
7. 隱藏上和。
8. 於指令列輸入：LowerSum[f(x),0,1,n] (如下圖右所示)
9. 移動數值橫桿，觀察上和的變化。
10. 顯示上和。(此時上和與下和同時出現)
11. 移動數值橫桿，觀察上和與下和的變化，並觀察與曲線下面積之間的關係。
練習 繪製 f x( )x3在[0,1]間，分割成n等份的矩形面積上和、下和、曲線下的面積。
範例15 求y x 2與y x 2所圍成的區域面積。
1. 於指令列輸入：f(x)=x^2 2. 於指令列輸入：g(x)=x+2
3. 使用 ，並點選兩曲線，此時將產生A、B兩點 4. 於指令列輸入：integral[g(x),f(x),x(A),x(B)]
注意：因為y g x ( )的圖形在y f x( )的上方，所以g(x)要寫在f(x)的前面 5. 此時產生了兩曲線間所圍成的區域面積為4.5
注意：若輸入integral[f(x),g(x),x(A),x(B)]，則面積將變成4.5
練習15.1求 f x( ) 2 x x 2的圖形與x軸所圍成的區域面積。
練習15.2求 f x( ) x3 2x25x6的圖形與x軸所圍成的區域面積。
練習15.3求y x2 2x4與y x 33x2 3x10所圍成的區域面積。
範例16 若x0，求x為何值時，函數 2
( ) 0x( 3 2)
F x
t t dt會有極大值與極小值？1. 於指令列輸入：f(x)=x^2-3x+2 2. 使用 ，在x軸上產生點A
3. 於指令列輸入：Integral[f,0,x(A)]
4. 移動A點坐標，觀察曲線與x軸間的區域面積與F x( )之間的關係
(如下圖所示)
練習16 設四次多項式 f x( )x(1x)(1x2)，選取積分區間a x b ，使得定積分 b ( )
a f x dx
達到最大值，並求此最大值。(98數甲)
附錄一：調整漂亮的文字屬性
為了讓圖形搭配漂亮的數學式子與文字，通常都是在word上進行排版，同時搭配方程 式編輯器即可。但是GeoGebra不支援方程式編輯器，所以必須仰賴LaTeX的文字排版語法 來搭配使用，才能有較漂亮的數學式子與效果。
一、在幾何繪圖區內插入文字
1. 使用 插入文字，並在幾何繪圖區的適當位置按下滑鼠左鍵，便可產生文字輸入視窗。
2. 開始輸入想要的靜態文字、動態文字、或LaTeX 數學式。
3. 勾選「LaTeX數學式」(如下圖所示) 4. 完成後按下確定。
Q：如何讓數學式子更美麗？
A：於幾何繪圖區中的文字物件，按下滑鼠右鍵：
調整屬性\文字 字型：Serif 字體大小：18 斜體 (目前尚未支援一般的中文字型)
搭配常用的下拉式選單：
常用符號、函數 調整字體、大小、粗斜
記得要打勾 小、粗斜
編輯文字、LaTeX數學式
常用數學符號與 LaTeX 語法對照表
常用數學符號 LaTeX語法 輸出(文字顯示)
分數 \frac{a}{b} a
b
根號 \sqrt{x} x
n次根號 \sqrt[n]{x} n x
線段 \overline{AB} AB
次方 x^2 x2
次方 x^{a+b} xa b
底標 a_1 a1
底標 a_{n+1} an1
向量 \vec{v} v
內積符號 a \cdot b a b
三角函數 \sin\alpha +
\cos\beta
sin cos
級數和 \
sum_{i=1}^{n}
i^2
2 1 n
i
i
積分 \int_{a}^{b} x
dx
b
a
xdx極限 \
lim_{n\to\infty}a
^n
lim n
n a
常用快捷鍵對照表
快捷鍵 對應功能
滑鼠滾輪 繪圖區的放大/縮小
<Ctrl> + 繪圖區空白處按下滑鼠左鍵不放 + 任意移動滑鼠 調整繪圖區域位置
<Ctrl> + x軸按下滑鼠左鍵不放 + 左右移動滑鼠 調整x軸的比例縮放
<Ctrl> + y軸按下滑鼠左鍵不放 + 左右移動滑鼠 調整y軸的比例縮放
任意狀態按下 <Enter> 在「幾何繪圖區」與「指令列」間切換 選取物件 + <F3> 取得物件的定義
選取物件 + <F4> 取得物件的內容(數值) 選取物件 + <F5> 取得物件的名稱(代號)
參考資料：
1. GeoGebra 官方網站 http://www.geogebra.org/
2. GeoGebea工作坊(左台益 教授 & 研究團隊，台師大數學系) http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/workshop.htm
3. 台灣師範大學數學系陳創義教授 http://140.122.140.4/~cyc/_private/geogebra/
4. 阿壽工坊(羅東高中官長壽老師) http://140.111.115.8/longlife
5. JAVA官方下載網頁http://www.java.com/zh_TW/
6. GeoGebra 線上中文操作手冊 http://www.geogebra.org/help/docuzh_TW/
7. GeoGebra 中文操作手冊 http://www.geogebra.org/help/docuzh_TW.pdf
