高雄市明誠中學高三(上)平時測驗日期

高雄市明誠中學 高三(上)平時測驗 日期：93.11.04 班級 普三 班

範 圍

數學Book2

Chap2 座號

姓 名 一、選擇題(每題10分)

1、( C ) 求sin11 tan 79 sec 79° ° °之值為 (A)1 (B) (C) cot (D) (E)

°

tan11° 11° sin 11°² cos 11°² 解

解析析：：cos79 tan 79 sec 79° ° ° =tan 79° =cot11 2、( C ) sin 240 cot 210

tan 315 cos120

° ° =

° + ° (A)−3 (B)−¹ (C)1 (D)2 (E)3 解

解析析：：

3 3

2 1

1 ( 1) 2

− ×

=

− + −

3、( D ) 下列選項何者正確？ (A) (B) (C)

(D) (E) si

sin 32° >cos 32° sin 32° >tan 32° tan 32° >1 sec 32° >tan 32° n 32° >cot 32°

解

解析析：：sin32° <cos 32 , sin 32° ° <tan 32° < <1 sec 32°

4、( A ) 設∠A為銳角，(2 secA−3)(7 secA−4)=0，則secA= (A)³

2 (B)⁴

7 (C)^{3 4}

2或7 (D)^{3 4}

2且7 (E)無解 解

解析析：∵：∵secA ≥1 ∴∴sec ³ A=2

5、( B ) 設0° < < °，且α 90 cosα=k，則下列何者正確？ (A)sin ¹ α = k (B)

1 2

tan k

α = k⁻ (C)cotα = k²−1 (D)secα = 1−k² (E)

csc 2

1 k

k α =

− 解析解析：∴：∴

1 2

tan k

α = k⁻

6、( D ) 某君在一廣場上從某一點出發，先往東北方前進50公尺後轉往正西方向行進，一

段時間後測得原出發點在他的南偏東60 方向；則此時他距原出發點大約 (A)35公尺 (B)43公尺 (C)50公尺 (D)71公尺 (E)87公尺

D

解析解析：如：如下下圖圖

50 2 25 2

BD=AC= × 2 = OB=2BD= ×2 25 2=50 2≒≒7711

7、( B ) △ABC中， 90 , ⁴

C AC 3

∠ = ° = BC，則下列何者最接近1？

(A)sin A (B)cos A (C)tan A (D)cot A (E)sec A 解析解析：：sin ³, cos ⁴, tan

5 5

A= A= A= 3 4

, cot , sec

4 A 3 A 45

= =

8、( D ) 設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，下列各選項中的條件 何者恰可決定唯一一個△ABC？ (A)∠ =A 30 , 75 , 45° ∠ =B ° ∠ =C °

(B)∠ =A 45 , 60 , 75° ∠ =B ° ∠ =C ° (C)∠ =A 30 , 4, 10° a= c= (D)∠ =A 30 , 5, 10° a= c= (E)∠ =A 30 , 6, 10° a= c=

解

解析析：(：(AA))內內角角和和非非180° (B(B))AAAAAA條條件件((不不合合)) (

(CC)) ^{4 1} sin 30 =sinC

°

0 ∴∴sin ¹⁰ 1

C= 8 > (不(不合合)) (

(DD)) ^{5 1} sin 30 =sinC

°

0 ∴∴sinC=1 ∴∴∠ = °C 90 ((唯唯一一)) (E(E)) ^{6 1}

sin 30 =sinC

°

0 ∴∴sin ¹⁰

C =12，，∠C可有可有二二解解

9、( C ) 化簡 ₂¹ ₂¹

4 sin θ +2⁺csc θ +2 = (A)0 (B)¹

4 (C)¹

2 (D)1 (E)2 解析解析：：

2

2 2

1 2sin

4sin 2 2 4sin 2

θ θ + ⁺ + θ ⁼

1 二. 填充題 (每題 10 分)

1、在圓內接四邊形ABCD中，AB=AD=2, 60 , 105∠ =C ° ∠ =D °，則BD=______, AC=______。

答案答案：：2 3, , 6+ 2 解

解析析：：BD² =2²+2²− × × ×2 2 2 cos120° =12 ∴∴BD= 2 3 sin105 sin120

AC BD

°= ° ∴∴AC= 6+ 2

2、設P( 4, 3)− 為直角坐標系上一點，O為原點，OP與 軸正向夾角為x θ，求 4 tan 5 cos

3cot 1

θ θ

θ

+ =

+ ______。

答案答案：：⁷ 3

解析解析：：OP= ( 4)− ²+3² =5 ∴∴ 3 4

tan , cot , cos

4 3

y x x

x y r

4 5

− −

= = = = = =

θ − θ θ

3 4

4 ( ) 5 ( )

4 tan 5cos 4 5 7

3cot 1 3 ( 4) 1 3

3

× + × −

+ = − =

+ × − +

θ θ

θ

3、△ABC中，BC=3, 5, 7AC= AB= ，則∠ =C ______, sinA=______。

答案答案：120： °, , ^{3 3} 14

解 解析析：：

2 2 2

3 5 7 1

cos , 120

2 3 5 2

C= + − = − ∠ =C °

× × ，， ^{3 7}

sinA=sinC ∴∴sinA= ^{3 3} 14 4、設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，在△ABC中，若

，則

(1) _____________，(2)

2a−6b+3c=0, 6a−3b c− =0

sinA: sinB: sinC= cosA: cosB: cosC=_______________。

答

答案案：：3 :4 : 6 129 :116 : ( 66)−

解析解析：：⎨2 6 3 ∴∴a b c ，∴，∴s

6 3 0

a b c a b c

− + =

⎧ 0

− − =

⎩ : : =3 : 4 : 6 inA: sinB: sinC= 3 : 4 : 6

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 6 3 3 6 4 3 4 6

cos : cos : cos : : 129 :116 : ( 66)

2 4 6 2 3 6 2 3 4

A B C= + − + − + − =

× × × × × × −

5、已知(sin , tan )θ θ 在第二象限，則θ在第______象限，又(cos tan , csc sec )θ θ θ θ 在第______

象限。

答案答案：三：三,, 二二

解析解析：∴：∴θ在第在第三三象象限限 ∴∴cos tanθ θ <0, csc secθ θ >0 ∴在∴在第第二二象象限限 6、 如圖三角形ABC，∠ = °C 90 ，M為BC之中點，設θ= ∠BAC，已知

sin 4

θ = 5，則tan(∠BAM)=______。 答案答案：： ⁶

17 解

解析析： ：

∵∵sin ⁴ ∴∴

θ = 5 AB BC AC: : =5 : 4 :3

∵M∵M為為BC中點中點 ∴∴AC CM: =3: 2 延

延長長AM ，過，過BB作作BD⊥AM 於於DD ，，∴∴

3 2

13

BM BD DM

= =

設設AC=3 , 2x CM = x，， 6 4 2 , ,

13 13

x x

BM = x BD= DM =

∴∴

6 13 6

tan( )

4 17

13 13

x

BAM x

x

∠ = =

+

7、已知時鐘走1時25分，則分針的旋轉角度為______。

答

答案案：：510°

解析解析：：1^{25 17}, 360¹⁷ 510 60=12 12× ° = °

8、已知tan 211 30° ′=0.6128, cot121 40° ′= −0.6168，又tanθ = −0.6160，且270° < <θ 360°， 則θ =______。又cot( 958 25 )− ° ′ =______。

答

答案案：：328°22′, , −0.6148

解析解析：：tan 31 30° ′=0.6128, tan 31 40° ′=0.6168, tanα =0.6160

∴∴ 31 30 ³² 10

α = ° ′+40× ′ ∴∴α = °31 38^′ 又

又tanθ = −0.6160 ∴∴θ =328 22° ^′，，cot( 958 25 )− ° ′ = −tan 31 35° ′= −0.6148

9、如圖∠CAO=60 , 15 , ° ∠BAO= ° AB=100, 120∠ABC= °，則BC=____________，又 OC=_______________。

答

答案案：：100( 3 1)+ , , 75( 6+ 2)

解析解析：∵：∵∠CAO=60 , 15° ∠BAO= ° ∴∴∠CAB= °45 又又∠ABC =120 , 100° AB= ∴∴ 100 sin 45 sin15

BC =

° °

∴∴BC =100( 3 1)+ , , ^{100 sin120} 50(3 2 6) sin15

AC = × °=

° +

∴

∴OC= AC⋅sin 60° =75( 6+ 2)

10、當45° < < °θ 90 時， (tanθ +cot )θ ²− =4 ______。 答案答案：：tanθ−cotθ

解

解析析：： (tanθ +cot )θ ²− =4 (tanθ−cot )θ ² = tanθ −cotθ

∵∵45° < < °θ 90 ∴∴tanθ>cotθ ⇒ tanθ−cotθ =tanθ−cotθ

11、△ABC中，M為BC之中點，且BC=6, 3, 5AC = AB= ，則AM =______，

cos(∠AMB)=______。

答案答案：：2 2, , ²

− 3

解析解析：∵：∵AM 為中為中線線，，設設AM =x

∴

∴(2x)²+6² =2(3²+5 )² ∴∴x= ±2 2 ((負負不不合合)) ∴∴AM =2 2

2 2 2

3 (2 2) 5 =

cos( )

2 3 2 2

AMB + −

∠ =

× ×

2

− 3

12、如圖△ACD，B為CD上一點，且∠CAB= °45 , ∠BAD= °30 , AB=6, 4 2

AC= ，則△ABC的面積=_________，AD=_____________。

答案答案：1：122,, ^{24(2 3 1)} 11

+

解

解析析：△：△AABBCC的的面面積積 ¹ 4 2 6 ² 12

2 2

= × × × =

設設AD=x ∴∴¹ 4 2 6 ^{2 1} 6 ^{1 1} 4 2 ( ^{6 2}) 2⋅ ⋅ ⋅ 2 + ⋅2 x⋅ = ⋅2 2 ⋅ ⋅x +4

∴∴ ^{24(2 3 1)} x 11 +

=

13、如圖欲測量山高h，先自山腳外一點A，測出山的仰角為30 ，向

山走30公尺後到達D，再測出其仰角為 °，則山的高度為______

公尺。

° 45

答案答案：：15( 3 1)+

解析解析：設：設山山高高為為hh公尺公尺 ∴∴CD=h AC, 3= h ∴∴30= 3h h− ∴∴h=15( 3 1)+

14、如圖∠ =C 90 , ° ED⊥AB於D，若BC=2, 13AB= ，則tanA=______，若AD=2， 則DE=______。

答 答案案：：²

3, , ⁴ 3

解析解析：：tan ² 3 A BC

= AC = ∴∴ 2 ^{2 4} 3 3 DE= × = 15、求下列各式之值：

(1) ______。

(2) ______。

tan120° −cot 210° +sec 300° =

sin 330° −cos 315° −tan 240 sec150°⋅ ° = 答案答案：(：(11)) 2 2− 3 (2(2))^{3 2}

2− 2

解析解析：(：(11))− 3−( 3)+ = −2 2 2 3 (2(2)) 1 2 2 3 3( )

2 2 3 2 2

− − − − = − 2

16、若^{1 sin} 7 4 3 1 sin

A A

+ = +

− ，則sinA=______ , tanA+secA=______。 答案答案：： ³, 3 2

2 +

解析解析：： (1 sin ) (1 sin ) (7 4 3) 1 (1 sin ) (1 sin ) (7 4 3) 1

A A

A A

+ + − = + +

+ − − + −

由 得

6 4 3 3

sin 8 4 3 2

tan 3, sec 2

tan sec 3 2

A

A A

A A

= + =

+

= =

+ = +

故

17、計算下面各小題之值

(1) _______。

(2)

sin 30° +cot 60° +sec 30° −csc 45° −tan 60° = sin 30 sin 45

cos 30 cos 45

° + ° =

° + ° _______。

答案答案：(：(11))¹ 2

2− (2(2)) 3− 2+ 6−2 解析解析：(：(11))1 1 2 1

2 3

2+ 3+ 3− − = −2 2 (2(2))

1 2

2 2 3 2 6

3 2

2 2

+

= − + −2 +

18、在△ABC中，若∠ =A 15 , 45° ∠ =B °，則AB BC CA: : =_______________________。

答案答案：：2 3: ( 6− 2) : 2 2 解析解析：： 120 ,

sin120 sin 45 sin15

AB AC BC

∠ =C ° = = ，∴，∴

° ° ° AB BC CA: : =(2 3) : ( 6− 2) : 2 2 19、設0° < ∠ < °A 18 , sinA=cos 5A，則∠ =A ______，又sec 4A=______。

答案答案：15： °, , 22

解析解析：：sinA=cos 5A=sin(90° −5 )A ∴∴∠ = °A 15 , sec 60° =2

20、已知tan ⁵

θ =12，並且θ為第三象限角，則cscθ =______，又

2 2 2

sin θ+tan θ+cos θ =______。

答

答案案：： ¹³

− 5 , , ¹⁶⁹ 144 解析解析：：csc ¹³,

θ = − 5 ^{2 2 2 2 2} 13 ² 169

sin cos tan 1 tan sec ( )

12 144

θ + θ + θ = + θ = θ = − =

21、屋頂上豎立一旗桿。今在地面上一點A處，測得旗桿頂之仰角為30 ，向屋子走近2

公尺到達B點後，測得旗桿頂之仰角為60 ，屋頂之仰角為 ，試求旗桿之長______。

°

° 45°

答

答案案：： 3 1− 公公尺尺 解

解析析： ：

設旗設旗桿桿長長hh公尺公尺，，屋屋子子高高kk公尺公尺

∴

∴OC =BO=k ∴∴DC= 3k− =k h

3( 3 )k = +2 k ∴∴k =1 ∴∴h= 3 1− 公尺公尺

22、設∠A為銳角，若二次方程式sinAx²−2 cosAx+ =3 0有等根，則sinA=______。 答案答案：： ^{3 13}

2

− +

解析解析：有：有等等根根 ∴∴cos² A−3sinA=0 ∴∴sin² A+3sinA− =1 0 3 13

sin ( )

A − ±2

= 負不合 ∴∴sin ^{3 13}

A − +2

=

23、化成角度為θ的三角函數：

(1)cos(270° +θ)=______。 (2)cot(900° −θ)=______。 (3)sin(θ −450 )° =______。 (4)tan(3600° −θ)=______。 答案答案：(：(11)) sinθ ((22)) cot− θ (3(3)) cos− θ ((44)) tan− θ

24、某人在一塔之正西A點，測得塔之仰角為45 ，在A點之西南方B點，測得塔之仰角

為 ，若

° 30° AB長10公尺，則塔高______公尺。

答

答案案：：^{5 2 5 10} 2 +

解析解析： ：

設塔設塔高高hh ∴∴AO=h OB, 3 , 135 , = h ∠OAB= ° AB=10

∴

∴( 3 )h ² =h²+10²− × × ×2 h 10 cos135°

2 5 2 50 0

h − h− = ∴∴ ^{5 2 5 10}

h= ±2 (負(負不不合合))，，∴∴ 5 2 5 10

h= +2

25、如圖△ABC中，AD為BC邊的高，tan ³, sin ³

2 5

B= C= ，又 24

BC = ，則(1)AD=______。 (2)AB=______。

答

答案案：(：(11))1122 (2(2))44 13 解

解析析：設：設AD=x，，又又tan ³

B=2 ∴∴ ² , sin ³

3 5

BD= x C= ∴∴ ⁴ CD=3x

∴∴^{2 4} 24

3x+3x= ∴∴x=12, , 12 ¹³ 4 13 AB= × 3 =