105.10.28 範圍1-4.5 半角.測量班級二年____班姓名 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 範 圍. 1-4.5 半角.測量. 日期：105.10.28. 班級 二年____班 姓 名 座號. 一、填充題(每題 10 分) 1.已知 cos3810'  0.7862﹐cos3820'  0.7844﹐求 cos3816'  ____________﹒ 解答 0.78512 解析 ∵  的值由 0遞增至 45﹐cos  的值是遞減 ∴ 可用內插法來求. . 6 k  10 0.0018.  k   0.00108. ∴ cos3816'  0.7862  0.00108  0.78512﹒ cos. 10'. 6'. 38°10'. 0.7862. 38°16'. cos38°16'. 38°20'. 0.7844. k. 0.0018. 2.已知 cos2430'  0.9100﹐cos2440'  0.9088﹐求 cos20435'之值為____________﹒ 解答  0.9094 解析 cos20435'  cos(180  2435')   cos2435' cos 2430  0.9100 |   | 0.0012  cos 2435  x  cos 2440  0.9088 |. x  0.9100  0.0012 . 5  0.9094 10. ∴ cos20435'  cos2435'   0.9094﹒ 3.已知 sin2020'  0.3475﹐sin2010'  0.3448﹐則 cos(  29015')  ____________﹒ 解答 0.3462 解析 cos(  29015')  cos29015'  cos(270  2015')  sin2015'  0.3448  0.0027 . 5 ≒0.3462﹒ 10. 4.已知 sin4540  0.7153﹐sin4550  0.7173﹐若 180    270且 cos   0.7165﹐求   ________﹒ 解答 22414 解析 sin4540  0.7153 sin45  0.7165 sin4550  0.7173 依比例放大   40 50  40. . 65  53    46 73  53. sin4546  0.7165    270  4546  22414﹒ 5.有一塔高 150 公尺﹐樹 A 在塔之正東﹐樹 B 在塔之東 60南﹐一人從塔頂測得樹 A 基點之俯角為 75﹐樹 B 基點之俯角為 45﹐則兩樹間之距離為____________公尺﹒ 1.

解答. 150 6  3 3. 解析 C. 150 75° A. H 60° 45°. B. △ACH 中﹐ cot 75 . AH 150. . AH  150(2  3). △BCH 中﹐ cot 45 . BH 150. . BH  150. 2. △ABH 中﹐ AB  [150(2  3)]2  1502  2 150(2  3) 150  cos 60  1502 (6  3 3) AB  150 6  3 3 （公尺） ﹒. ∴. 6.在地面上的三點 P﹐Q﹐R﹐測得某山頂的仰角均為 75﹐若∠QPR  30﹐ QR  300 公尺﹐求此山 的高度為______公尺﹒ 解答. 600  300 3. 解析. 設山高 OA  h. ∵. 仰角均為 75  P﹐Q﹐R 共圓﹐且外接圓半徑  (2  3)h. OP  OQ  OR  h cot 75  (2  3)h. ∴. 由正弦定理  h. ∴. 300 2 3. 300  2(2  3) h sin 30. . 300  (2  3)h.  300(2  3)  600  300 3. ∴ 山高  600  300 3 （公尺）﹒ A. h 75°. O. P 30°. Q. 300 R. 7.平面上 A﹐B 兩點﹐A 在山之正東﹐B 在山之東南﹐且 B 在 A 的西 65南 300 公尺處﹐若在 A 測得 山之仰角為 30﹐則山高  ____________﹒（sin70  0.940﹐四捨五入計算到小數點以下第一位） 解答 230.3 2.

設山高 OH  h ；△AHO 中﹐ OA  3h. 解析. △ABO 中﹐. AB AO ﹐（正弦定理）  sin 45 sin 70. AO  3h . ∴. AB sin 70 300(0.94) ≒ sin 45 (0.707). ∴. h. 300(0.94) (0.707)( 3). ≒ 230.3 ﹒. H. 山 O 45°. 30° A 65° 70°. 300. B. 8.一超高電視天線 AB 架設在樓頂平臺上﹐經颱風吹折（折點為 C﹐如圖）後﹐頂端 A 點觸及平臺 上 D 點﹐今測量天線根部 B 點至 D 點的距離為 a 公尺﹐∠BDC   ﹐求天線 AB 之高為____________ 公尺﹒（以 a﹐ 表示） A. C. B. D. 1  sin  ) cos . 解答. a (sec   tan  ); a (. 解析. △BCD 中﹐ cos   tan  . BC BD. . BD CD. . CD  a . 1 cos . BC  a  tan . AB  AC  BC  CD  BC . a 1  sin   a tan  =a ( ) （公尺） ﹒ cos  cos . A. C B a D. 9.已知 A 商業大樓與 B 立體停車場相距 50 公尺﹐今在商業大樓的樓頂處﹐分別測得停車場頂端和 一樓底的俯角各為 45和 60﹐則此立體停車場的高度是____________公尺﹒ 解答. 50( 3  1) 3.

解析. 設立體停車場高度為 h 公尺 如圖﹐△ABC 中 C 50 45° 50 h. h 60° B 50. A. AC 50  h 3   50 1 AB. tan 60 . ∴. ﹒ h  50( 3  1) （公尺）. 10.在東西向快速道路上﹐由 A﹐B﹐C 三處（B 居中）觀測道路北方某座山﹐測得山頂 D 的仰角依 次為 30﹐45﹐60﹐若 AB  300 公尺﹐ BC  200 公尺﹐則山高為____________公尺﹒ 解答. 100 15. 解析. 設山高 OD  x. . ∴ 由△OAB . 由△OAC . cos A . x 3. 3 x 2  3002  x 2 2  300  3 x. x2 3 cos A  2  500  3 x 3 x 2  5002 . 8x2  5002 2 x  300  3 2  300  3 x 2  500  3 x 2. ∴. OA  3 x ﹐ OB  x ﹐ OC . 2.  8x2  3  5002  10x2  5  30022x2  300000x2  150000 ∴ x  100 15（公尺） ﹒ D x 30°. A. O 45°. 300. 60°. B 200. C. 11.從高 150 公尺的建築物 A 的屋頂測量另一建築物 B 之地基的俯角是 30﹐而其屋頂的仰角是 45﹐ 求建築物 B 的高度為____________公尺﹒ 解答. 150(1  3). 解析. 如圖﹐B 建築物之高度為 150  150 3  150(1  3) （公尺）﹒. 4.

150 3 45°150 3 30° 150. 150. A. B. 12.在懸崖 AB 之頂 A 處﹐測得一船在正西方向 C 處﹐且俯角為 45﹐5 分鐘後再測得船在西 30南 D 處﹐且其俯角為 30﹐已知 AB  200 公尺﹐求船速度為每小時____________公里﹒ 解答 2.4 解析. △ABC 中﹐知 CB  200 △ABD 中﹐知 BD  200 3 2. 設 CD  x ﹐△BCD 中﹐由餘弦定理∴ 3 (200 3) 2  (200) 2  x 2 ﹐∴  2 2(200 3)(200). ∴. 5 分鐘 200 公尺﹐∴ 時速 . 2. 3 BD  BC  CD cos30   2 2 BD  BC. 2. x  200. 60 200   5 1000. 2.4（公里／小時）﹒. A 200 45°. C. 30°. B. x 30° D. 13.有一條東西向的筆直公路﹐某甲由東往西行走﹐在其右側發現兩處突出的建築物 A 與建築物 B﹐ A 在出發點 O 的北 30西﹐B 在點 O 的北 60西﹒當某甲往西走 2 公里到達 P 點後﹐發現 B 在其北 30西﹐A 在其北 15東處﹐試求﹕(1) PA  ____________公里﹒(2) AB  ____________公里﹒ 解答. (1) 6 ;(2) 10  4 3. 解析. (1)△PAO 中﹐∠PAO  180  75  60  45 由正弦定理﹕. AP PO  sin(POA) sin(PAO). . PA . 2  sin 60  6 （公里） ﹒ sin 45. A B. 30°. 15°. P. (2)△PBO 中﹐. 2. 60° 30° O. PB PO  sin(POB) sin(PBO). . 5. PB . 2  sin 30  2 sin 30.

2. 2. 2. △APB 中﹐ AB  PA  PB  2 PA  PB  cos(BPA)  ( 6) 2  22  2  6  2 . 2  10  4 3 2. AB  10  4 3 （公里） ﹒. ∴. 14.某人想要測量一座山的高度 PQ ﹐於是先在 A 處測得山頂 P 點的仰角為 22﹐然後繼續往山的方 向﹐前進 200 公尺到達 B 點﹐並測得該處對 P 點的仰角為 31﹐則可計算出山的高度約為_________ 公尺（取整數）﹒（sin22  0.37﹐tan22  0.41﹐sin31  0.52﹐tan31  0.61） P. A. 22 B. 31 Q. 解答. 250. 解析. PQ PQ 200 tan 31  tan 22 200  0.61  0.41   200  PQ    250 ﹒ tan 22 tan 31 tan 31  tan 22 0.61  0.41. 15.一直線上有 A﹐B﹐C 三點﹐測得某山頂之仰角分別為 30﹐45﹐60﹐已知 AB  BC  30 公尺﹐ 則山高為__________公尺﹒ 解答. 15 6. 解析. 設山高 DE  h 則 AE  3h ﹐ BE  h ﹐ CE . h 3. △ACE 中﹐利用中線定理﹕ ( 3h) 2  (. ∴. h 3. ) 2  2( h 2  30 2 ). h  30 . 3 2. . 5 2 h  h 2  302 3. . h 2  30 2 . 3 2.  15 6 （公尺） ﹒. D h A. 30° 30. E B. 45° 30. 60° C. 16.根據氣象報告﹐在鵝鑾鼻東南方 400 公里的海面上有一個颱風﹐暴風半徑 250 公里﹐正以每小 時 50 公里的速率朝「西 15北」的方向前進﹐若風速﹑風向及暴風半徑都不改變﹐則鵝鑾鼻在_______ 小時後開始進入暴風圈﹒ 解答. 4 3 3. 解析. 設颱風中心在 P 點時﹐O 點開始進入暴風圈 由圖 . AB  200 3 ﹐ OB  200 ﹐ BP  2502  200 2  150 6.

AP  200 3  150. ∴. ∴ 所求 . 200 3  150 ﹒  4 3  3 （小時） 50. O 45° 200. 250 400 30° 45° P A 15°. B. 17.設有一湖﹐欲測湖岸兩點 C 與 D 的距離﹐但湖岸築有鐵絲網不能靠近﹐在鐵絲網外地面上取兩 點 A﹑B﹐測得 AB  60 公尺﹐∠CAB  120°﹐∠CBA  30°﹐∠DAB  45°﹐∠DBA  75°﹐試求 CD  _______ 公尺﹒ 解答 解析. 20 15. 由∠ACB  30 . 60 BC   BC  60 3 ﹐ sin 30 sin120. 由∠ADB  60 . 60 BD   BD  20 6 ﹐ sin 60 sin 45 2. 由∠DBC  45  CD  (60 3)2  (20 6)2  2  60 3  20 6 cos45  6000 ﹐ ∴ CD  20 15 公尺﹒ C. D. 120° 75° 45° 30° B A 60. 18.有一艘郵輪往正東方向航行﹐在北 15東發現燈塔 A﹐在北 60東發現燈塔 B﹒郵輪繼續航行 30 公里後﹐再測得燈塔 A 在北 45西﹐燈塔 B 在正北方﹒求燈塔 A 與 B 的距離為____________公尺﹒ 解答. 10 6. 解析. ∵OAO  60  OBO. ∴A﹑O﹑O﹑B 共圓. △OAO外接圓半徑  △OAB 外接圓半徑 ∴. 30 AB   AB  10 6 ﹒ sin 60 sin 45. A B 15° O. 60°. 45° 30. O' 7.

19.如圖﹐A﹐B 兩點在河的同側﹐A﹐C 兩點在河的異側﹐已知∠CAB  45﹐∠CBA  60﹐ AB  80 公 尺﹐求 AC 之長為____________公尺﹒ C. A. 45° 60° B 80 公尺. 解答. 120 2  40 6. 解析. ∠ACB  180  45  60  75 由正弦定理﹕. 20. 若 tan. . AC AB AC    sin 60 sin 75 3 2.  2 ，則 tan(  45)  __________,. 解答. 2 1 7  , 7 6. 解析. t a n . 80 6 2 4. 故 AC  120 2  40 6 （公尺）﹒. 6sin   cos   __________. 3sin   2 cos .  22 4 t a n ( 2  )   2 1 4 3. 1 4  1  ( ) tan 45  tan  3  3 1 tan(  45)   7 7 1  tan 45  tan  1  1  (  4 ) 3 3 4 6( )  1 6sin   cos  6 tan   1 24  3 21 7 3      3sin   2 cos  3 tan   2 3( 4 )  2 12  6 18 6 3. 21. 若 tan   解答 解析. 1  tan  ，則 tan 2  __________. 1  tan . 1 t a n  t a2 n   1 t a nt a n2   2 ta n  1 02 t a n  1 2 tan    1  tan 2  1 1  tan 2 . t2  an. 22. (1  tan 21)(1  tan 22)(1  tan 23)(1  tan 24)  ________. 解答 4 解析. ∵ 21  24  45  tan(21  24)  tan 45 .  tan 21  tan 24  1  tan 21 tan 24. tan 21  tan 24 1 1  tan 21  tan 24. (1  tan 21)(1  tan 24)  1  (tan 21  tan 24)  tan 21 tan 24  1  (1  tan 21 tan 24)  tan 21 tan 24  2 同理 22  23  45 ∴ (1  tan 22)(1  tan 23)  2 故所求  2  2  4 8.

23. 若 180    270 ，且 sin  . ∵ 180    270 ，且 sin  . 又 90 .  2. .  135 ，∴ sin. 2. 24. 若 360    540 ，且 sin   解答. .. 16 17. 解答 解析. 8  ，則 sin  17 2. . . 15 8  cos   17 17. 15 ) 17  16 2 17. 1  (. 1   ，則 sin  cos  __________. 7 2 2. 2 14 7 s i n . 解析. 1 7.      1 8  cos ) 2  sin 2  2sin cos  cos 2  1  sin   1   2 2 2 2 2 2 7 7   8 2 14     sin  cos    (因為 360    540  180   270  sin  cos  0 ) 2 2 7 7 2 2 2  (sin. . 25. sin 2 22.5  sin 2 67.5  ____________. 解答 1. 解析. 1  cos 45 1  cos135   2 2 或 sin 2 22.5  sin 2 67.5  sin 2 22.5  cos2 22.5  1 sin 2 22.5  sin 2 67.5 . 26. 若     (1) sin 解答 解析. . 8 3 ，且 sin    ，則 2 17.  ________, (2) cos. .  ________,(3) tan. 2 2 4 17 17 ,  , 4 17 17 8 3 15 ，且 sin     cos       2 17 17. 9.  2. 1. 2 2 1 2  2 1 2 2.  ________..

3     2 2 2 15 1  ( )  17  sin   2 2. 又   . cos. tan.  2.  2. . . 3 4 32 17  16  4 17 2 17 17. . 15 2 ) 17   17   17 2 2 17. 1  (. sin cos.  2  4. . 2. 27. 設 x 2  px  q  0 之兩根為 sin  , cos  ，則 2sin 2 解答 解析.  2. (cos. . .  sin ) 2  ________. 2 2. 1 p  q. ∵ sin   cos    p ； sin  cos   q    2 sin 2 (cos  sin ) 2 2 2 2 1  cos       2  (cos 2  2sin cos  sin 2 ) 2 2 2 2 2  (1  cos  )(1  sin  )  1  (sin   cos  )  sin  cos   1  ( p)  q  1  p  q. 10.