105.09.23 範圍1-1 數班級一年____班姓名座號一 - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：105.09.23 範

圍 1‐1數班級一年____班姓名

座號

一、填充題(每題10分) 1. 將⁴

7化為小數，小數點後第100位數字為__________

答案： 4

解析： ⁴ 0.571428571428 0.571428

7  

∵100 6 16  4，∴所求4

2. 若a 3 6,b2 2 7 ,c 10 5，則a b c, , 之大小順序為．答案： c a b

解析：

2 2

9 2 54 6 15 2 54 5

8 2 6 7 15 2 56 a

b

    

     ^

2 10 2 50 5 15 2 50

c      

又 50< 54 < 56 故c² a² b²  c ab 3. 試以最簡分數表示1.54 0.83 _________．

答案： ¹⁵⁷ 66

解析： 154 1 17

1.54 99 11

   ，0.83 ^{83 8} ⁷⁵ ⁵

90 90 6

    ，∴所求 ¹⁷ ⁵ ¹⁵⁷ 11 6 66

   4. (1) . 化簡 42 3為．

(2)設 4 12的整數部份為a，小數部份為b，則¹ ¹ ba b 

 ______。

答案： (1) 3 1 , (2)1

解析： (1) 4 12  4 2 3  ( 3 1) ²  3 1 (2) 4 12  4 2 3  3 1 2. ∴a2,b( 3  1) 2 3 1

1 1 1 1

3 1 3 1

ba b 

  

3 1 3 1

2 2 1

 

  

5. 化簡 6 35 為．答案： ¹⁴ ¹⁰

2



解析： 12 2 35 7 5 14 10

6 35

2 2 2

  

   

(2)

6. 設x, y是有理數，且滿足(2 ) (3 ) 3 3 2

xy  x y  ，則x______，y______.

答案： ¹,1 2

解析：

2 0 1

3 1 2

2 1 x y

x x y

y

    

 

 

    

 

7. 小明用鐵絲網要在河岸圍出一塊長方形的花圃，若沿河岸的一邊不圍，若小明要花圃的面積為450平方公尺，則至少要_________公尺的鐵絲網．

答案： 60

解析：如圖，設所圍長方形的長，寬分別為a b, 公尺依題意，ab450

由算幾不等式得 ² 2 2

a b

  ab  a 2b2 900 60 ∴所求最少要60公尺的鐵絲網 8. 化簡下列各式：

(1) 3

27 3 12

  4 _____.(2)( 2 32)( 2 32)_____.(3)(42 3)(42 3)____.

答案： (1) ^{5 3} 2

 (2) 4 3 5 (3)4

解析： (1)原式 3 3 6 3 ³

   2 5 3 2



(2)原式[ 2( 32)][ 2( 32)]  2 ( 32)²   2 (3 4 34) 4 35 (3)原式16 12 4

9. 設a b, 為實數，且(a b 3)²(3a2b4)² 0，則數對( , )a b  ．答案： (2, 5)

解析： 3 0 2

3 2 4 0 5

a b a

a b b

   

 

     

  ^{故數對}^{( , )}^{a b} ^^{(2, 5)}

10. 設x, y是有理數，且x 3 2 2 y 17 12 2  43 30 2 ，則數對( , )x y ______.

答案： (1, 2)

解析： x 3 2 2 y 17 12 2  43 30 2

3 2 2 17 2 72 43 2 450

x y

     

( 2 1) ( 9 8) 25 18

x y

       x 2 x 3y2y 2  5 3 2

( x 3 )y (x 2 ) 2y 5 3 2

       ∴ 3 5 1

2 3 2

x y x

x y y

   

 

     

  故( , )x y (1, 2) 11. (1)化簡：(¹ ⁵)³ (¹ ⁵)³

2 2

   ________.

(2)若 7

7 7

x

 , 1

y 7 1

 ，則x³y³ ________.

答案： (1)4 (2)¹¹ 54

(3)

解析： (1)原式 1 3 5 15 5 5 1 3 5 15 5 5 16 16

8 8 8 4

      

   

(2) 2

7 1 7 1

( 7 ) 7 7 1 6

x   

  ； ^{7 1} ^{7 1}

( 7 1)( 7 1) 6

y   

 

1 ( 7 )2 1 1

3; 36 6

x y xy  

∴ ³ ³ ( )³ 3 ( ) ( )¹ ³ 3 ¹ ( )¹ ¹¹

3 6 3 54

x y  xy  xy xy      12. 設n23ab421為一七位正整數且99n，則a b ______.

答案： 6

解析： 99 9 11

∴ 9 9 2 3 4 2 1 9 12

11 11 (2 4 1) (3 2) 11 2 6

n a b a b

n a b a b a b

          

     

  

       

  

  

13. a b, 均為正數，若ab20，且aa₀時，5a3b有最小值m，則數對(a m₀, )_________．

答案： (2 3, 20 3)

解析：由算幾不等式得⁵ ³ 15 10 3 5 3 20 3 2

a b

ab a b

      ∴5a3b的最小值為20 3

當等號成立時，5a3b10 3 a 2 3 故數對( , )a m₀ (2 3, 20 3) 14. 循環小數0.0645化為最簡分數為．

答案： ⁷¹ 1100

解析：設x0.0645,100x6.45,10000x645.45 639 71 9900 645 6 639

9900 1100

x x

       

15. 阿丹某次從阿里山山頂開車到山下的平均速率為每小時40公里，按原路從山下返回山頂的平均速率為每小時60公里，請問他走這一趟路的來回平均速率為每小時公里．

答案： 48

解析：假設阿里山山頂到山下的路程長度為x公里，則往返共走了2x公里

總共花費的時間為

40 60

x  x 小時所以平均速率為 2 2

4

40 60 12

2) 8 0 (3

x x

x  x  x  



16. 是非題：對的在題號前打「」，錯的在題號前打「」．(每小題2分) _______(1)若a b, 皆為整數，且ab，則a b 1．

_______(2)若ab b, c c, a皆為有理數，則a b c, , 皆為有理數．

_______(3)若 , ,a

a b b皆為無理數，則a b 或ab必為無理數．

_______(4)若a b a, , b ab, 皆為無理數且b0，則^a

b可能為有理數．

(4)

_______(5)設a b c d, , , 皆為實數，若a b 2  c d 2，則ac b, d． _______(6)設a b, 皆為實數，則

2 a b

  ab．

_______(7)若a0,b0，則 a b 2 ab  a b．

_______(8)設x y, 皆為實數，若  1 x 3, 2 y 4，則x²y²的最小值為4．

答案： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)

解析： (1)

(2)：∵ab b, c c, a皆為有理數

∴(a    b) (b c) (c a)為有理數    2 (a b c)為有理數   a b c為有理數

∴a(a   b c) (b c)

( ) ( )

b a   b c c a

( ) ( )

c a  b c ab 皆為有理數 (3)：a 2 3,b 2 3

2 3 2

(2 3) 7 4 3

2 3

a b

     



∴ , ,a

a b b皆為無理數

但a b (2 3)(2 3)4

ab(2 3)(2 3)1均為有理數

(4)：a ³2,b 2 2³

3 3 3

2 ( 2 2 ) 2 a b    

3 3 3

2 ( 2 2 ) 2 4

ab    

∴a b a, , b ab, 皆為無理數 , 但

3 3

2 1

2 2 2 a

b   

 為有理數 (5)：a1,b 2,c3,d0

2 1 2 3

a b   

2 3 0 3

c d   

∴a b 2  c d 2，但ac且bd

(6)：a 1,b 1 又a b 1, 1 a b

ab ab

 

    

(5)

(7)：若ab，則 a b 2 ab  b a (8)：    1 x 3 0 x² 9

2   y 4 4 y2 16

∴4x²y² 25 x²y²的最小值為4 17. 試求下列各值：

(1)(2 3)²⁰⁰⁹(2 3)²⁰¹⁰ ________.

(2)99² 100¹

3 3________.

(3)22.5² 22.5 5 2.5² ________.

答案： (1) 2 3 (2)⁸⁹⁹⁹⁹

9 (3)400

解析： (1)原式(2 3)[(2 3)(2 3)]²⁰⁰⁹ (2 3)(4 3) ²⁰⁰⁹  2 3 (2)原式 (100 ¹)(100 ¹)

3 3

   1

10000

 9 89999

 9

(3)原式22.5² 2 22.5 2.5 2.5²(22.5 2.5) ² 20² 400

19. 有一最簡正分數，其分子與分母之和為80，將其化為小數並用四捨五入法計算後得0.7，則此最簡分數為___________.

答案： ³³ 47

解析：設分子a分母b即所求分數a

b   a b 80，且分子a分母b互質 0.65 a 0.75 0.75 0.65

b a b

 b   

1.75 80

1.75 1.65 1.75 80 1.65

80 1.65

b a b b b b b

b

 

         

45.7 b 48.4 b 46( ), 47, 48( )

 …  …  不合不合

(b46,a34;b48,a32 不互質) 47, 33,

b a

∴ 分數為³³ 47

20. 設p(a²22a121)(a²2a137)，其中a為正整數，若p為質數，則p______。

答案： 257

解析： a²2a137(a1)²136 1 且p為質數

∴a² 22a121 1  a 10或12

(1)當a10則p217 7 31不為質數 (2)當a12則p257

∴p257

21. 設a 7 47，則a在哪兩個連續整數之間？答：．答案： 3 a 4

解析： a 7 47  76. ~  13. ~ 4，且a 7 47  7 6 3 故3 a 4

22. 設數線上三點A( 3), (5), (0) B O ，以AB為直徑做一半圓，過原點O作數線的垂線交半圓於C，

(6)

再以O為圓心，OC為半徑畫弧，交數線右側一點P，則點P的坐標為__________．

答案： 15

解析：如圖，OA3,OB5,OC AB

∴OPOC 3 5  15 故點P的坐標為 15

23. 若  2 a 3, 1 b 4，則(1)ab的範圍_________________.(2) ^a

b的範圍為___________.

答案： (1) 8 ab12; (2) 2 a 3

  b

解析： (1)  2 a 3, 1  b 4 Min( 2, 8, 3,12)  abMax( 2, 8, 3,12) 

(2) 2 3, 1 4 1 ¹ ¹ ( 2, ¹, 3, )³ ( 2, ¹, 3, )³ 2 3

4 2 4 2 4

a a

a b Min Max

b b b

                  