107.12.07 範圍指數班級一年____班姓名座號一 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.12.07 範

圍 指數 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題 10 分) 1.

已知(1

4)

2 5

x2x

0.125﹐求x之範圍為____________﹒

 

  解答   1

  x  32

 

     解析     ∵(1

4)

2 5

x 2x

 1 8  (1

2)^{2 2 5} 1 ³ ( )2

x  x  

1 1

2 2x²  5x  3  2x²  5x  3  0  (x  3)(2x  1)  0  1

 2 x  3﹒

 

2.

已知(2^x  2)(2^x  16)  0﹐求x之範圍為____________﹒

 

  解答  1  x  4

 

     解析     ∵(2^x  2)(2^x  16)  0﹐ 

∴2  2^x  16  2¹  2^x  2⁴  1  x  4﹒

 

3.

解不等式(0.2)^x22x50.008﹐得x之範圍為____________﹒

 

  解答  x  4或x   2

 

     解析     (0.2)^x22x5(0.2)³ 

0.2 1  x²  2x  5  3  x²  2x  8  0  (x  4)(x  2)  0﹐∴x  4或x   2﹒

 

4.

設 1 ^0.4 ( )3

a ﹐

6

1

b 9﹐ ⁵ 1 c 27 ﹐

1

9 4

d  ^ ﹐則a﹐b﹐c﹐d的大小關係為____________﹒

 

  解答  b  a  d  c

 

     解析      1 ^{0.4 0.4}

( ) 3 a 3  ^ ﹐

1 3 6

1 3 b 9  ^ ﹐

3 5 1 5

27 3

c  ^ ﹐

1 1 1

4 2 4 2

9 (3 ) 3 d  ^  ^  ^  



1 2

1 3

3 0.4 5

3 3 3 3

       ﹐∴b  a  d  c﹒

 

5.

已知2^2x  52^x  1  1  0﹐求x之範圍為____________﹒

 

  解答   1  x  1

 

     解析     設t  2^x﹐ 

 t² 5

2t 1  0  2t²  5t  2  0  (t  2)(2t  1)  0 1

2t  2﹐即1

22^x  2   1  x  1﹒

 

6.

解不等式9^x  3^x  12﹐得x之範圍為____________﹒

 

  解答  x  1

 

     解析     設t  3^x﹐ 

原式  t²  t  12  t²  t  12  0  (t  4)(t  3)  0  t  3或t   4﹐ 

即3^x  3或3^x   4（不合）﹐∴x  1﹒

 

7.

解不等式12^x  83^x  4^x  8  0﹐得x之範圍為____________﹒

 

  解答  x 3 2

 

     解析     ∵12^x  83^x  4^x  8  0﹐ 

∴3^x4^x  83^x  4^x  8  0  (3^x  1)(4^x  8)  0﹐ 

∵3^x  1  0﹐∴4^x  8  0  2^2x  2³  2x  3  x 3 2﹒

  8.

設a³5﹐

2

(2 6)7

b ﹐

3

2510

c ﹐則a﹐b﹐c的大小關係為____________﹒

 

  解答  c  a  b

 

     解析     

1 1

35 53 (5 )7 21

a   ﹐

1 1 1

2 7 7 3 21

[(2 6) ] (24) (24 )

b    

∵5⁷  (5²)³5  25³5  24³﹐∴a  b     

3 3

10 5

25 5

c  , 

1 35 53

a   

∵ 3 1

5 3﹐∴c  a     故c  a  b﹒

 

9.

解不等式(2^x  2)(4^x  2)(8^x  2)(16^x  2)  0﹐得x的範圍為____________﹒

 

  解答   1 4 x 1

3或1

2 x  1

 

     解析     原式  (2^x  2)(2^2x  2)(2^3x  2)(2^4x  2)  0﹐ 

其範圍與(x  1)(2x  1)(3x  1)(4x  1)  0之範圍相同﹐得1 4 x 1

3或1

2x  1﹒

 

10.

設A³a² ﹐B⁴a³ ﹐C⁵a⁴  

(1)若a  1﹐則A﹐B﹐C三數的大小關係為____________﹒ 

(2)若0 < a < 1﹐則A﹐B﹐C三數的大小關係為____________﹒

 

  解答  (1)A < B < C;(2)A  B  C

 

     解析     

2

3 2 3

A a a ﹐

3 3

4 4

B a a ﹐

4

5 4 5

C a a  

(1)當a  1時 ∵2 3 4 3 4 5﹐∴

2 3 4

3 4 5

a a a ﹐ A < B < C﹒ 

(2)當0 < a < 1時 ∵2 3 4 3 4 5﹐∴

2 3 4

3 4 5

a a a ﹐∴A  B  C﹒

 

11.

設a  (0.125)⁶﹐b  (2 ^ 2)⁵﹐c  (2  2³) ^ 4﹐試比較a﹑b﹑c的大小____________﹒

 

  解答  b  c  a

 

     解析      ⁶ 1 ^{6 3 6 18}

(0.125) ( ) (2 ) 2

a  8  ^  ^ ﹐b  (2 ^ 2)⁵  2 ^ 10﹐c  (2  2³) ^ 4  (2⁴) ^ 4  2 ^ 16 

  10   16   18  b  c  a﹒

 

12.

解方程式2^2x  1  2^3x  52^x  4____________﹒

 

  解答  3

 

  解答   2或  1

 

     解析     3^2x  1  843^x  3  1  0  3^2x3 ^ 1  843^x3 ^ 3  1  0  令t  3^x﹐原式 1 ² 84

3t 27t 1 0

      3t²  28t  9  0   

        (t  9)(3t  1)  0  t  9或 1 t3﹐ 

即3^x  9  3²或 1 ¹

3 3

3

x    ﹐∴x  2或x   1﹒

 

14.

已知2^2x  2^x  1a  3  2a  0有相異兩實根﹐求實數a的範圍為____________﹒

 

  解答  a   3

 

     解析     2^2x  2^x  1a  3  2a  0  2^2x  2^x2a  3  2a  0 

令t  2^x  t²  2at  3  2a  0 

∵原方程式有兩相異實根 

∴新方程式有兩相異正根t₁﹐t₂ 

∴D  0  D  (2a)²  4(3  2a)  0  a   3或a  1 

t₁  t₂  0   2a  0  a  0 

t₁t₂  0  3  2a  0 3

a2  由知 a   3﹒

 

15.

解方程式

1 2 2

4^x  31 2^x  1 0____________﹒

 

  解答     3

 

     解析     原式

1 2 2

4^x 4 31 2^x 2^ 1 0

         t  2^x﹐原式 ² 31

2 1 0

t 4 t

     8t²  31t  4  0  (t  4)(8t  1)  0 

∵t  4  0 ∴8t  1  0﹐故 1

t8﹐即 1 ³

2 2

8

x    ∴x   3﹒

 

16.

解方程式2^4x  1  2^3x  2^2x  2^x  1  0____________﹒

 

  解答   1

 

     解析     令t  2^x﹐則 

原式 2t⁴  t³  t²  t  1  0  (2t  1)(t³  t²  t  1)  0 (2t  1)(t  1)(t²  1)  0 

∵t  1  0且t²  1  0﹐∴ 1 2 1 0

t   t 2   即 1

2 2

x    x   1﹒ 

2  1  1,  1,  1 1 2

 1  1,  1,  1 2 2  2  2,  2, 0

1  1  1,  1  1

 1  0,  1

1  0  1, 0

 

17.

若 4 4 48

2 32

x y

x y

  



  ﹐則(1)x  ____________﹐(2)y  ____________﹒

 

  解答  (1)x  3;(2)y  2

 

     解析     原式

5

4 4 48 (1)

2 2 (2)

x y

x y

  

 

 



  

由(2)x  y  5  y  5  x代入(1)  4^x  4^5  x  48  4^x  4⁵4 ^ x  48 

令t  4^x﹐原式 1

1024 48

t t

      t²  48t  1024  0  (t  64)(t  16)  0 

∵t  16  0﹐∴t  64  0  t  64     即4^x  64  x  3﹐y  2﹒

 

18.

設x﹐y為實數﹐已知x  y  3﹐3^x  3^y  k﹐3^x  3^y  6﹐求序組(x,y,k)  ____________﹒

 

  解答  (2,1,12)

 

     解析     設 3 3 (1)

3 3 6 (2)

x y

x y

  k



 





  

∵x  y  3  y  3  x代入(2) 3^x  3^3  x  6  3^x  3³3 ^ x  6  令t  3^x﹐則t²  6t  27  0  (t  9)(t  3)  0 

∵t  3  0﹐∴t  9﹐即3^x  9  x  2  y  1 

將x  2﹐y  1代入(1)得k  3²  3¹  12

   

∴(x,y,k)  (2,1,12)﹒

 

19.

解不等式 1 ^{2 3}

( ) 0.0625 4

x x  為____________﹒

 

  解答   3 17 2

  x 3 17 2



 

     解析     原式(2 )^{2 x23x} 2^4 

∵2  1   ∴ 2x²  6x   4  x²  3x  2  0 3 17 3 17

2 x 2

 

   ﹒

 

3^x  t 

∴1 ² 28 ² 1

1 0 3 28 9 0 (3 1)( 9) 0 9

3t  9 t   t  t   t t    3 t  

∴3 ^ 1  3^x  3²   故  1  x  2﹒

 

21.

若



﹐



 為3^2x 3^x23 30的二根﹐求



  



  ____________﹒

 

  解答   3 2 

 

     解析     t  3^x﹐則原式  t² 9t 3 30 

3

1 2

1 2 2

3 3 3 3 3 3 3

3

t t t

t



   



  

       

 



   

∴ 3

 

 2﹒

 

22.

設m為實數﹐若3^2x  2(m  1)3^x  (m  1)  0有兩個相異的實根﹐求m的範圍為____________﹒

 

  解答  0 < m < 1

 

     解析     令t  3^x  0 

則t²  2(m  1)t  (m  1)  0﹐有二相異正根t₁﹐t₂ 

D  0  4(m  1)²  4(m  1)  0  (m  1)²  (m  1)  0 

        m²  3m  0  m(m  3)  0  m  0或m <  3 

t₁  t₂  0  2(m  1)  0  m   1 

t₁t₂  0   (m  1)  0  m < 1   由 知0 < m < 1﹒

 

23.

方程式3(9^x  9 ^ x)  10(3^x  3 ^ x)  14  0 

(1)令t  3^x  3 ^ x﹐則原方程式表成t的方程式為____________﹒(2)x的解為____________﹒

 

  解答  (1)3t²  10t  8  0;(2)0

 

     解析     (1)令t  3^x  3 ^ x（t  2）﹐則9^x  9 ^ x  t²  2 

 原式 3(t²  2)  10t  14  0  3t²  10t  8  0﹒ 

(2)由(1)(3t  4)(t  2)  0  t  2或 4

t3（不合）﹐即3^x  3 ^ x  2  x  0﹒

 

24.

已知x為實數﹐若x^{x x} (x x)^x且x  0﹐求x  ____________﹒

 

  解答  1﹐9 4

 

     解析     

3 2

3 2x

xx x

  

x  1﹐左  1﹐右  1﹐成立﹒ 

x   1﹐不合﹒ 

x  1﹐ ³² 3

x 2x   ¹² 3 9

2 4

x   x ﹒故x  1或 9

4

x ﹒

 

25.

解不等式 1 ² 5 1

( ) 2 0

2 4 4

x   x  ____________﹒

 

  解答  2  x  0

 

     解析     原式 1 ² 5 1 1

( ) ( ) 0

2 4 2 4

x  x   

令 1 ( )2

t x﹐原式 4t²  5t  1 < 0  (4t  1)(t  1) < 0 

1

4 t 1﹐即1 1 ( ) 1

4 2

 x   1 ² 1 1 ⁰ ( ) ( ) ( )

2 2 2

 x  ﹐∴2  x  0﹒

 

26.

已知x  0﹐解不等式x^x24(x^x)³﹐得x的範圍為____________﹒

 

  解答  0 < x  1或x  4

 

     解析     x  1時﹐1  1成立 

0 < x < 1時 x²  4  3x  x²  3x  4  0  (x  4)(x  1)  0   1  x  4﹒0 < x < 1 

x  1時 x²  4  3x  x²  3x  4  0  (x  4)(x  1)  0  x  4或x   1  x  4  由知 0 < x  1或x  4﹒