95.06.06 班級範圍3-2 和角公式座號姓名一 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：95.06.06 班級

範

圍 3-2和角公式

座號

姓 名 一、單一選擇題 (每題 10 分)

1、( D ) cos(x+y) cos(x−y)= (A)sin² x−sin² y (B)cos² x−cos² y (C)sin²x−cos² y (D)cos²x−sin² y (E)sin²x+cos² y

解析：cos(x+y) cos(⋅ x−y)=(cos cosx y−sin sin )(cos cosx y x y+sin sin )x y

2 2 2 2 2 2

cos xcos y sin xsin y cos x sin

= − = − y

° =

2、( A ) sin197 sin 347° ° −cos17 sin103° (A) ³

− 2 (B) ¹

−2 (C)0 (D)¹

2 (E) ³ 2 解析：原式

( sin17 )( sin13 ) (cos17 )( cos13 ) [(cos17 )( cos13 ) sin17 sin13 ]

cos 30 3

2

= − ° − ° − ° + °

= − ° + ° − ° °

= − ° = −

3、( D ) cos(θ+ °15 ) cos(θ − ° +75 ) sin(θ + °15 ) sin(θ− ° =75 ) (A)cos(2θ − °60 ) (B)sin(2θ− °60 ) (C)-1 (D)0 (E)1

解析：cos[(θ + ° −15 ) (θ− ° =75 )] cos 90° =0

4、( B ) 設sin123° =a, cos 63° =b，則sin60° = (A)ab− 1−a² 1−b² (B)ab+ 1−a² 1−b² (C)b 1−a² +a 1−b² (D)b 1−a² −a 1−b² (E)a 1−a² +b 1−b²

解析：

1 2

sin123 cos123

1 1

a −a

° = ⇒ ° = − ；

1 2

cos 63 sin 63

1 1

b −b

° = ⇒ ° = sin 60° =sin(123° − ° =63 ) sin123 cos 63° ° −cos123 sin 63° ° =ab− − −( 1 a²)( 1−b²)=ab+ 1−a² 1−b² 二、填充題 (每題 10 分)

5、 設tanα+tanβ =5 , cot cot ⁵ α + β = 2，則

(1)tanα⋅tanβ =______，(2)tan(α β+ )=______。

答案：(1) 2 (2) -5

解析：(1) 5 5 1 1 tan tan cot cot

2 2 tan tan tan tan

β α

α β

α β β α

+ = ⇒ = + = + ，

又tanα+tanβ =5 ，∴tanα⋅tanβ =2

(2)∴ tan tan 5

tan( ) 5

1 tan tan 1 2

β α

α β β α

+ = + = = −

− −

6、 △ABC若sin ³

A=5, cos ⁵

B= −13，則sinC=______, cosC=______。

答案：³³ 65, ⁵⁶

65

解析： cos ⁵

B= −13⇒ 12

sinB=13, sin ³

A= ⇒5 4 cosA=5,

( )

A B C π C π A B

∠ + ∠ + ∠ = ⇒ ∠ = − ∠ + ∠

∵

故sin sin( ( )) sin( ) sin cos cos sin ³³ C= π − A+B = A+B = A B+ A B=65

cos cos( ( )) cos( ) (cos cos sin sin ) ⁵⁶ C = π− A+B = − A+B = − A B− A B = 65 7、如圖AC⊥BC於C, CD=1, BD=3, AC=5, ∠BAD=θ，則tanθ =_____。 答案：¹⁵

29

解析：設∠DAC=α ∴tan ¹

α =5, tan( ) ⁴ BAC 5

∠ =

∴ tan( ) tan 15

tan tan( )

1 tan( ) tan 29

BAC BAC

BAC

θ α α

α

∠ −

= ∠ − = =

− ∠

8、 求 3 tan17 tan 77° ° +tan17° −tan 77° =______。

答案：− 3 解析：∵

tan 77 tan17 3

tan 60 tan(77 17 ) tan 77 tan17 3 3 tan 77 tan17

1 tan 77 tan17 1

° − °

° = ° − ° = = ⇒ ° − ° = + ° °

+ ° °

∴ 3 tan 77 tan17° ° +tan17° −tan 77° = − 3

9、 ²

3

α β+ = π ，若A(sin , cos ), (cos , sinα α B β β)，則AB=______。

答案： ^{6 2} 2

−

解析：AB= (sinα −cos )β ²+(cosα−sin )β ²

2 2 2

sin α 2 sinαcosβ cos β cos α 2 cosαsinβ sin²

= − + + − + β

2 2sin(α β)

= − + 2 2 ( ³) 2 3

= − ⋅ 2 = − 4 2 3

2

= − 3 1 6 2

2 2

− −

= =

10、若tan 2, tan ¹

α = β =3，且α β, 均為銳角，則α β− =______。

答案： 4 π

解析：

2 1

tan tan 3

tan( ) 1

1 tan tan 2

1 3

α β

α β α β

− −

− = = =

+ +

，且α β, 均為銳角，

4 α β− =π

∴

11、△ABC中tanA=2, tanB=3，則cosC=______。

答案： ² 2

解析：∵∠ + ∠ + ∠ = ⇒ ∠ = − ∠ + ∠A B C π C π ( A B)，tan tan( ) ^{tan tan} 1 1 tan tan

A B

C A B

A B

= − + = − − =

+

∴ cos ²

4 2

C π C

∠ = ⇒ =

12、求sin 75° =______, cot15° =______。

答案： ^{6 2} 4

+ , 3+2

解析：sin 75° =sin105° =sin(45° + °60 ) =sin 45 cos 60° ° +cos 45 sin 60° °

2 1 2 3

2 2 2 2

= ⋅ + ⋅ 6 2

4

= +

cot15° =cot(45° − °30 ) cot 45 cot 30 1 cot 30 cot 45

° ° +

= ° − °

1 3 1

3 1

⋅ +

= − = 3+2

13、若 ³

4

α β+ = π ，則(1 tan )(1 tan )− α − β =______。

答案：2

解析： tan tan tan( )

1 tan tan

α β

α β α β

+ = +

∵ − ，且 ³

4 α β+ = π tan tan

1 tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1

1 tan tan

α β α β α β α β α β

α β

− = + ⇒ + = − + ⇒ − − =

∴ −

又(1 tan )(1 tan )− α − β = −1 tanα−tanβ+tanαtanβ = + =1 1 2

14、設cos cos ¹²

α+ β = 7 , sin sin ^{4 3}

α + β = 7 ，則cos(α β− )=______。

答案：⁴⁷ 49 解析：

2 2

2 2

(cos cos ) (sin sin ) 2 2(cos cos sin sin ) 2 2 cos( )

12 4 3

( ) ( ) 2 2 cos( )

7 7

192 2 2 cos( ) 49

α β α β

α β α β

α β

α β α β

+ + +

= + −

= + −

⇒ + = + −

⇒ = + −

，

∴cos( ) ⁴⁷ α β− =49

15、設α, β為同一象限角，若cos ¹¹

α =14, sin ^{3 3}

β = ⁻14 ，則sin(α β− )=______ , tan(α β+ )=______。

答案： ^{8 3} 49

− , − 3

解析： α, β同一象限且cosα >0, sinβ < ⇒0 α, β為第四象限角 cos 11

α =14⇒ 5 3

sinα = ⁻14 , , tan ^{5 3} α = − 11 ；

sin 3 3

β = ⁻14 ⇒ 13

cosβ =14 3 3

tanβ = ⁻13 ，

∴sin( ) sin cos cos sin ^{32 3 8 3}

196 49

α β− = α β− α β =⁻ =⁻ ,

tan tan

tan( ) 3

1 tan tan

α β

α β α β

+ = + = −

−

16、設方程式x²−5x− =3 0之二根為tanα , tanβ，試求：

(1)tan(α β+ )=______。(2)sin (² α β+ ) 2 sin(− α β+ ) cos(α β+ ) 3cos (+ ² α β+ )=______。

答案：(1)⁵

4 (2)³³ 41

解析：(1)tanα+tanβ =5, tanα⋅tanβ = −3, tan tan 5 5 tan( )

1 tan tan 1 ( 3) 4

α β

α β α β

+ = + = =

− − −

(2)sin (² α β+ ) 2 sin(− α β+ ) cos(α β+ ) 3cos (+ ² α+β)

2 2

2

2 2 2

sin ( ) 2 sin( ) cos( ) 3cos ( )

cos ( )

cos ( ) cos ( ) cos ( )

α β α β α β α

α β α β α β α β

⎛ + + + ⎞

= + ⎜⎝ + − + + ⎟⎠

β + +

(

^{2 2}

)

2

1 tan ( ) 2 tan ( ) 3

sec ( ) α β α β

= α β + −

+ + +

(

^{2 2}

)

2

1 tan ( ) 2 tan ( ) 3

tan ( ) 1 α β α β

= α β + − + +

+ +

2 2

1 5 5 3

( ) 2( ) 3

5 4 4

1 ( ) 4

⎛ ⎞

= + ⎜⎝ − + ⎟⎠ 3

=41 17、設sin ¹²

α =13，且α為第一象限角；sec ⁵

β = −3，且β為第二象限角，試求tan(α β+ )之 值。

答案：

由圖得知tan ¹²

α = 5 , tan ⁴ β =⁻3 ，故

12 4 16

( )

tan tan 5 3 15 16

tan( )

12 4 63

1 tan tan 1 ( ) 63

5 3 15

α β

α β α β

+ −

+ = − + = − ⋅ − = =

18、設α為第一象限角，β為第二象限角，且cot ⁸

α =15，sin ³

β =5，試求 sin(α β+ ), tan(α β+ ), cos(α−β)之值。

答案：

(1)sin(α β+ )=sinαcosβ+cosαsinβ 15 4 8 3 36 ( )

17 5 17 5 85

− −

= × + × =

(2)

15 3

( )

tan tan 8 4

tan( )

15 3

1 tan tan

1 ( )

8 4

α β

α β α β

+ −

+ = − + = − × −

9 32 36 8 77 77

= × =

(3)cos(α β− )=cosαcosβ+sinαsinβ 8 4 15 3 1 ( )

17 5 17 5 85

= × − + × = 3