100.12.08 範圍第7 回三角函數(3) 班級三年班姓名座號一 - 明誠

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：100.12.08 範

圍 第

7

回三角函數(3) 班級 三年 班 姓 座號

名

一、填充題(每題

10

分)

1、 f x ( ) = cos

²

x − 3sin x + 1

，x為實數，試求 f x( )之最大值為________，最小值為________.

答案：4; 2−

解析：

f x ( ) = − (1 sin

²

x ) 3sin − x + 1

[sin² 3sin ( ) ]^{3 2 17}

2 4

x x

= − + + + 3 ² 17

(sin )

2 4

= − x+ +

,

∵

− ≤ 1 sin x ≤ 1 ,

sinx=1, ( )f x = − − + = −1 3 2 2為最小值，

sinx= −1, ( )f x = − + + =1 3 2 4為最大值.

2、

當

4 x 3

π π

− ≤ ≤ 時，試求

f x ( ) = − sec

²

x + 2 tan x + 1

的最大值為________.

答案：1

解析：

f x ( ) = − + (1 tan

²

x ) + 2 tan x + 1

tan2x 2 tanx

= − +

(tan

2

x 2 tan x 1) 1

= − − + +

(tan x 1)

2

1

= − − +

當tan 1, x₌ x₌

π

4

時， f x( )有最大值

1.

3、

f x( )=3cosx−4 sinx+1，且

x

為實數，試求 f x( )之最大值為________，最小值為________.

答案：6; 4−

解析： ( ) 5( cos^{3 4}sin ) 1

5 5

f x = x− x + =5(sin cos

φ

x−cos sin ) 1

φ

x + =5sin(

φ

− +x) 1

,

∵− ≤1 sin(

φ

−x) 1≤

,

∴− ≤5 5sin(

φ

−x)≤5⇒ − ≤4 5sin(

φ

− + ≤x) 1 6

, 最大值 = 6

，最小值= −4

.

4、

( ) 2 sin( ) 2 cos 1 f x ₌ x₋

π

6 ₊ x₋

,

⁵

6 x 6

π π

− ≤ ≤ ，則

(1)當 x = ________時，

f x( )之最大值為________；

(2)當 x = ________時，

f x( )之最小值為________.

答案： ;1; ,⁵ ; 1

3 6 6

π

−

π π

−

解析： ( ) 2 sin( ) 2 cos 1, ⁵

6 6 6

f x ₌ x₋

π

₊ x_{− − ≤ ≤}

π

x

π

2[sin cos cos sin ] 2 cos 1

6 6

x

π

x

π

x

= − + −

3 1

2[sin cos ] 2 cos 1

2 2

x x x

= ⋅ − + −

3 sin x cos x 1

= + −

3 1

2[sin cos ] 1

2 2

x x

= ⋅ + ⋅ − 2[sin cos cos sin ] 1

6 6

x

π

x

π

= + − 2 sin( ) 1

x

π

6

= + −

,

∵ ⁵

6

π

x 6

π

− ≤ ≤ 0

x

π π

6

⇒ ≤ + ≤

,

0 sin( ) 1

x

π

6

⇒ ≤ + ≤ 0 2 sin( ) 2

x

π

6

⇒ ≤ + ≤ 1 2 sin( ) 1 1

x

π

6

⇒ − ≤ + − ≤

,

當x_{+ =}

π π

6 2 _{⇒ =}x

π

3

， f x( )有最大值=1

當 0 x_{+ =}

π

6

或 ,⁵ 6 6 x_{= −}

π π

， f x( )有最小值= −1

. 5、

若

x

為實數，則^{1 sin}

3 cos x

x +

+ 之最大值為________，最小值為________.

答案：³; 0 4

解析：設 ^{1 sin} 1 sin 3 cos

3 cos

y x x y y x

x

= + ⇒ + = +

+

sinx ycosx 3y 1

⇒ − = −

2

2 2

1 (sin 1 cos ) 3 1

1 1

y x x y y

y y

⇒ + ⋅ − ⋅ = −

+ +

1 y2 sin(x ) 3y 1

⇒ + − θ = − ，其中

2 2

cos 1 , sin

1 1

y

y y

θ = θ =

+ +

2

3 1

sin( ) 1 x y

y

⇒ − θ = − +

又 2

3 1

1 sin( ) 1 1 1

1 x y

y

− ≤ − θ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ +

2

3 1

| | 1

1 y

y

⇒ − ≤

+

| 3y 1| 1 y2

⇒ − ≤ +

2 2 2

(3 y 1) 1 y 4 y 3 y 0

⇒ − ≤ + ⇒ − ≤

^{⇒y(4y− ≤3) 0} 0 3

y 4

⇒ ≤ ≤ ， 最大值 ³

=4，最小值

= 0 . 6、

若

θ

在第二象限，試求：

tan θ + cot θ

之最大值為________.

答案：−2

解析：∵

θ

在第二象限⇒tan

θ

<0, cot

θ

<0 ( tan ) ( cot )

( tan )( cot ) 2

θ θ θ θ

− + −

≥ − −

(算幾不等式)

(tan

θ

cot )

θ

2 1

⇒ − + ≥ ⋅

tan θ cot θ 2

⇒ + ≤ − , ∴最大值為

−2

.

7、 f x ( ) = sin

²

x + 2 sin cos x x + 3cos

²

x

，則 f x( )之最大值為________，最小值為________.

答案：2+ 2; 2− 2

解析： ( ) ^{1 cos 2} sin 2 3 ^{1 cos 2}

2 2

x x

f x = − + x+ ⋅ +

sin 2 x cos 2 x 2

= + + 1 1

2( sin 2 cos 2 ) 2

2 x 2 x

= + +

2(sin 2 cos cos 2 sin ) 2

4 4

x

π

x

π

= + + 2 sin(2 ) 2

x

π

4

= + +

,

∵ 1 sin(2 ) 1 x 4

− ≤ +

π

≤ ⇒

2 2 sin(2 ) 2

x

π

4

− ≤ + ≤

2 2 2 sin(2 ) 2 2 2

x

π

4

⇒ − ≤ + + ≤ +

,

最大值

= + 2 2

，最小值

= − 2 2 .

8、

sin(

θ

+ ° +60 ) 2 sin(

θ

− ° −60 ) 3 cos(120° −

θ

)=

________.

答案：0

解析：∵(

θ

+ ° +60 ) (120° −

θ

)=180 ,°

∴cos(120° −

θ

)=cos[180° −(

θ

+ ° = −60 )] cos(

θ

+ °60 ), 原式=[sin(

θ

+ ° +60 ) 3 cos(

θ

+ ° +60 )] 2 sin(

θ

− °60 )

1 3

2[ sin( 60 ) cos( 60 )] 2 sin( 60 )

2

θ

2

θ θ

= + ° + + ° + − °

2[sin(

θ

60 ) cos 60 cos(

θ

60 ) sin 60 ] 2 sin(

θ

60 )

= + ° ° + + ° ° + − °

2 sin(

θ

60 60 ) 2 sin(60

θ

)

= + ° + ° − ° − 2 sin(

θ

120 ) 2 sin(60

θ

)

= + ° − ° −

2 sin(180 (60

θ

)) 2 sin(60

θ

)

= ° − ° − − ° −

2 sin(60

θ

) 2 sin(60

θ

)

= ° − − ° −

= 0 .

9、

若 f x( )=5 cosx−12 sinx，且當

x = x

₀時， f x( )有最大值

M，則序對 (tan x M

₀

, ) = ________.

答案：( ⁵ ,13)

−12

解析： ( ) 5² 12 (^{2 5} cos ¹²sin )

13 13

f x = + x− x

13(sin cos

φ

x cos sin )

φ

x

= − =13sin(x−

φ

)

,

∵− ≤1 sin(x−

φ

) 1≤

,

∴− ≤13 13sin(x−

φ

) 13,≤

13

M =

⇒sin(x−

φ

)=1

2 , ,

x

φ

n

π π

2 n

⇒ − = + ∈ 2

x

φ

n

π π

2

⇒ = + +

tan tan( 2 )

x

φ

n

π π

2

⇒ = + + = −cot

φ

5 ₀

12 tanx

= − =

,

∴(tanx M₀, )= −( ⁵ ,13)

.

10、設 270 ° < < A 360 °

且

3 sin A + cos A = 2 sin 2012 °

，若

A = ° m

，則

m = __________。

答案：

298°

解析：

3 sin A + cos A = 2 sin 2012 °

3 1

2( sin cos ) 2 sin 2012

2 A 2 A

⇒ ⋅ + ⋅ = °

2(cos 30 sinA sin 30 cos )A 2 sin 2012

⇒ °⋅ + °⋅ = °

2 sin(A 30 ) 2 sin 2012

⇒ + ° = °

sin(A 30 ) sin 2012 sin(360 5 212 ) sin 212 sin 32

⇒ + ° = ° = °× + ° = ° = − °

sin(A 30 ) sin 32

⇒ + ° = − °

,

∵

270 ° < < A 360 ° ,

∴sin(A+ ° = −30 ) sin 32° =sin(360° − ° =32 ) sin 328° ⇒ A+ ° =30 328° ⇒ A=298°

. 11、

試將下列極坐標化為直角坐標：

(1)

A(3, )

π

⇒

________； (2)

(4,² )

B 3

π

_⇒

________；

(3)

(4, ⁷ )

C 6

π

− ⇒

________； (4)

D(3, 2)⇒

________.

答案：(1)( 3, 0)−

(2)

( 2, 2 3)−

(3)

( 2 3, 2)−

(4)

(3cos 2, 3sin 2) 解析：(1)A(3cos , 3sin )

π π

= −( 3, 0)

.

(2)

(4 cos² , 4 sin ² ) ( 2, 2 3)

3 3

B

π π

_{= −}

. (3)

(4 cos( ⁷ ), 4 sin( ⁷ )) ( 2 3, 2)

6 6

C ₋

π

₋

π

_{= −}

. (4)

D(3cos 2, 3sin 2)

.

12、

試將下列直角坐標化為極坐標：(取r>0, 0≤ <

θ

2

π )

(1)

A( 2, 0)− ⇒

________； (2)

B(− 3, 3)− ⇒

________；

(3)

C( 2,− 6)⇒

________； (4)

D( 3, 3)⇒

________；

(5)

(4 cos , 4 sin )

5 5

E

π π

_⇒

________；(6)

F(1− 3,1+ 3)⇒

________.

答案：(1)(2, )

π (2)

(2 3,⁴ ) 3

π (3)

(2 2,⁵ ) 3

π (4)

( 6, ) 4

π (5)

(4, ) 5

π (6)

(2 2,⁷ ) 12

π

解析：

(1)

.

(2)

.

2 2

( 2)− +0 =2, A(2, )

π

2 2 4

( 3) ( 3) 2 3, (2 3, )

B 3

π

− + − =

(3)

.

(4)

.

2 2 5

( 2) ( 6) 2 2, (2 2, )

C 3

π

+ − =

2 2

( 3) ( 3) 2 3, ( 6, ) D

π

4

+ =

(5)

(4, ) E

π

5

.

(6)

2 2

(1 + 3) + − (1 3)

=2 2, 7 (2 2, )

F 12

π

. 13、 z = 2 z + 1 ,

Arg( ¹)

3 z

z

π

+ = ，則

z = ________;

Arg( )z =

________.

答案：^{2 3 7};

3 6

π

解析：∵

z = 2 z + 1

^{1 1 1} 2

z z

z z

+ +

⇒ = =

1 1 1 1 3

(cos sin ) ( )

2 3 3 2 2 2

z i i

z

π π

⇒ + = + = +

1 1 3

1 4 4 i

⇒ + = +z

1 3 3 3 3

4 4 4

i i z

⇒ = − + = − +

2

4( 3 3 ) 4( 3 3 ) 4( 3 3 )

9 3 9 3

( 3 3 )( 3 3 )

i i i

z i i i

− − − − − −

⇒ = = =

− +

− + − −

3 3 3 2 3 7 7

1 (cos sin )

3 3 3 6 6

i i

π

i

π

= − − = − − = +

,

∴ ^{2 3}

z = 3

,

Arg( ) ⁷ z ₌ 6

π

. 14、 (cos137 sin 763 )(cos 317 sin 223 )

sin124 cos( 56 )

i i

i

° + ° ° + ° =

° + − ° ________.

答案：^{1 3} 2+ 2 i

解析：

cos137 ° + i sin 763 ° = − cos 43 ° + i sin 43 ° = cos137 ° + i sin137 ° ,

cos 317° +isin 223°

= cos 43 ° − i sin 43 °

=cos( 43 )− ° +isin( 43 )− °

,

sin124° +icos( 56 )− °

= cos 34 ° + i sin 34 ° ,

∴所求 ^(cos137 sin137 )[cos( 43 ) sin( 43 )]

cos 34 sin 34

i i

i

° + ° − ° + − °

= ° + °

cos[137 ( 43 ) 34 ] isin[137 ( 43 ) 34 ]

= ° + − ° − ° + ° + − ° − °

= cos 60 ° + i sin 60 °

^{1 3} 2 2 i

= +

.

15、 3

²⁰

( )

2

+ i = ________.

答案：

− 512 512 3i −

解析：

20 20

20

20 10

20 20

[2(cos sin )] 2 [cos sin ]

3 6 6 6 6

( )

2 2 2

i i

i

π

₊

π π

₊

π

+ = =

10 10 10

2 [cos sin ]

3

π

i 3

π

= + 4 4

1024(cos sin ) 3

π

i 3

π

= +

1 3

1024( )

2 2 i

= − −

= − 512 512 3i − .

16、設

^{1 3}

2

x= + i，則1+ +x x²+ +… x¹³ =

________.

答案：^{3 3} 2+ 2 i 解析： ^{1 3}

2 2

x= + i cos sin ³ 1

3 i 3 x

=

π

+

π

⇒ =

,

∴

14

2 13

1( 1)

1 1

x x x x

x + + + + = −

… −

又x¹⁴=(x^{3 4}) ⋅x² =x²

, 所求

2 1 3 3

1 1 2 2

x x i

x

= − = + = +

−

.

17、 (sin15 ° + i cos15 ) ° =

¹⁰

________.

答案： ^{3 1} 2 +2i

解析：原式

= (cos 75 ° + i sin 75 ) °

¹⁰

= cos 750 ° + i sin 750 ° = cos 30 ° + i sin 30 °

^{3 1} 2 2i

= +

.

18、 cos( 26 ) sin 334

(cos137 sin 763 )(cos 369 sin171 ) i

i i

− ° − °

° + ° ° + ° = ________.

答案： ^{1 3} 2 2 i

− −

解析：原式

cos 26 sin 26

(cos137 sin137 )(cos 9 sin 9 ) i

i i

° + °

= ° + ° ° + °

cos(26 137 9 ) isin(26 137 9 )

= ° − ° − ° + ° − ° − ° =cos( 120 )− ° +isin( 120 )− ° 1 3 2 2 i

= − −

.

19、

(1 cos sin )⁶

3 i 3

π π

+ + =

________.

答案：

− 27

解析：原式 (1 ^{1 3} )⁶ 2 2 i

= + + 3 3 ⁶

( )

2 2 i

= + 3 1 ⁶

[ 3( )]

2 2i

= + 3 (cos³ sin )⁶

6 i 6

π π

= +

27(cos

π

isin )

π

= +

= − 27 .

20、 f x ( ) = x

¹²⁰

+ x

⁶⁰

+ x

⁶

,

( ^{6 2 6 2} )

4 4

f − + + i =

________.

答案：i

解析： ^{6 2 6 2} cos⁵ sin⁵

4 4 i 12

π

i 12

π

− + + = +

,

6 2 6 2

( )

4 4

f − + + i 5 5 ¹²⁰ 5 5 ⁶⁰ 5 5 ⁶

(cos sin ) (cos sin ) (cos sin )

12

π

i 12

π

12

π

i 12

π

12

π

i 12

π

= + + + + +

5 5

cos 50 sin 50 cos 25 sin 25 cos sin

2 2

i i

π

i

π

π π π π

= + + + + + = + − +1 ( 1) i =i

. 21、

cos² sin²

5 5

z

π

i

π

= +

, z

⁶⁵

+ z

⁶⁶

+ z

⁶⁷

+ + … z

³⁶⁵

= ________.

答案：1

解析：∵ cos² sin^{2 5} 1

5 5

z₌

π

₊i

π

_⇒z ₌

.

所求

= ( z

^{5 13}

) + ( z

^{5 13}

) ⋅ + + z … ( z

^{5 73}

)

2 3 4 2 3 4

(1 z z z z ) (1 z z z z ) 1

= + + + + + + + + … + + + = + + + 0 … 0 1

=1

.

22、若

z ¹ 3

+ =z ，則z^{12 1}₁₂

+z =

________.

答案：2

解析：

z

²

− 3 z + = 1 0

^{3 3 4 3 1}

2 2 2

z ± − i

⇒ = = ±

,

(1)

^{3 1}

2 2

z= + i cos sin

6 i 6

π π

= +

,

∴z^{12 1}₁₂ z¹² z ¹² z

+ = + − (cos sin )¹² (cos sin ) ¹²

6 i 6 6 i 6

π π π π

−

= + + +

cos 2

π

isin 2

π

cos( 2 )

π

isin( 2 )

π

= + + − + −

= + + + 1 0 1 0

=2

.

(2)

^{3 1}

2 2

z= − i cos( ) sin( )

6 i 6

π π

= − + −

,

12 12 12

12

z 1 z z

z

+ = + − [cos( ) sin( )]¹² [cos( ) sin( )]¹²

6 i 6 6 i 6

π π π π

₋

= − + − + − + −

cos( 2 )

π

isin( 2 ) cos 2

π π

isin 2

π

= − + − + + = +1 1=2

.

∴z^{12 1}₁₂ 2 + z =

.

23、若

4 8

(1 2 ) (1 ) ( 3 )

i i

z i

− +

= + ，則

z = ________.

答案：72 解析：

4 8

4 8

|1 2 | |1 | 3 2

| 3 | 2

i i

z

i

− + ⋅

= =

+

9 16 2

= ⋅

= 72 .

24、設 z

₁

= − + 2 i , z

₂

= − 3 i , Arg( ) z

₁

= θ

₁

, Arg( ) z

₂

= θ

₂

, 0 < θ θ

₁

,

₂

< 2 π

，則

(1) cos( θ θ

₁

+

₂

) = ________；(2) θ θ

₁

+

₂

= ________.

答案：(1) ²

− 2

(2)

³ 4

π

解析：

1

cos 2

5

θ = − ,

₁

1 sin

5

θ = ,

₂

3

cos

10

θ = ,

₂

1

sin

10 θ = − ,

(1) cos( θ θ

₁

+

₂

) = cos θ

₁

cos θ

₂

− sin θ

₁

sin θ

₂

2 3 1 1

5 10 5 10

= − + 6 1

5 2 5 2

= − + 1 2

2 2

= − = − .

(2) sin( θ θ

₁

+

₂

) = sin θ

₁

cos θ

₂

+ sin θ

₂

cos θ

₁

1 3 1 2

5 10 10 5

− −

= ⋅ + ⋅ 3 2

5 2 5 2

= + 1

= 2

²

= 2

,

∵

sin( θ θ

₁

+

₂

) > 0 , cos( θ θ

₁

+

₂

) < 0 , ∴

_{1 2} ³ 4

θ θ

+ =

π .

25、以

x⁸+x⁴+ =1 0之各根為頂點之正多邊形面積為________.

答案：

3 1 +

解析：∵x⁸+x⁴+ =1 0

⇒ ( x

⁴

− 1)( x

⁸

+ x

⁴

+ = 1) 0

⇒x¹²− =1 0

12 1

⇒x =

= cos 0 + i sin 0

=cos(2k

π

)+isin(2k

π

),k∈

1

[cos(2 ) sin(2 )] ,

12

0,1, 2, ,11

x

k

k π i k π k

⇒ = + = 

2 2

cos sin ,

12 12

k k

π

i

π

= +

又x≠ ± ±1, i,

∴ cos sin , 1, 2, 4, 5, 7,8,10,11,

6 6

k

k k

x ₌

π

₊i

π

k₌

面積 4 (¹ 1 1 sin 60 ) 4 (¹ 1 1 sin 30 )

2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= 3 1 + .

26、設複數 z = − 1 i

；若1+ +z z² ++z⁹ = +a bi

,

其中a b, 為實數，則

a = ， b =

答案：

32

；−1

解析：

10 10 2 5 5

2 9

1 (1 ) 1 (1 ) 1 [(1 ) ] 1 [ 2 ]

1 1 1 (1 )

z i i i

z z z

z i i i

⋅ − − − − − − −

+ + + + = = = =

− − −



1 { 32 } i

5

1 32 i 32 i

i i

− − +

= = = −

∴

a = 32

，

b = − 1