95.05.07 班級範圍2-5 正、餘弦定理座號姓名一 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：95.05.07 班級

範

圍 2-5 正、餘弦定理 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( C ) 設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，設△ABC的三個高分 別記為 , , ，則下列選項中的條件，何者恰可決定唯一一個△ABC ？

(A) (B)

ha h_b h_c 1, 2, 2

a b c

h = h = h = h_a =1, h_b =2, h_c=3 (C)h_a =2, h_b =3, h_c =4 (D)h_a =2, 4, 5h_b = h_c = (E)h_a =3, h_b =6, h_c =7

解析：∵h_a:h_b:h_c ^{1 1 1}: : a b c

= (三高比等於三邊長之反比)

∴(A) (兩邊之和等於第三邊)

(B) (兩邊之和小於第三邊)

(C)

(D) (兩邊之和小於第三邊)

(E) (兩邊之和小於第三邊)

: : 2 :1:1 a b c=

: : 6 : 3 : 2 a b c=

: : 6 : 4 : 3 a b c=

: : 10 : 5 : 4 a b c=

: : 14 : 7 : 6 a b c=

2、( D ) 設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，下列各選項中的條件 何者恰可決定唯一一個△ABC？ (A)∠ =A 30 , 75 , 45° ∠ =B ° ∠ =C °

(B)∠ =A 45 , 60 , 75° ∠ =B ° ∠ =C ° (C)∠ =A 30 , 4, 10° a= c= (D)∠ =A 30 , 5, 10° a= c= (E)∠ =A 30 , 6, 10° a= c= 解析：(A)內角和非180 °

(B)AAA條件(不合)

(C) ^{4 1}

sin 30 =sinC

°

0 ∴sin ¹⁰ 1

C= 8 > (不合)

(D) ^{5 1}

sin 30 =sinC

°

0 ∴sinC=1 ∴∠ = °C 90 (唯一)

(E) ^{6 1}

sin 30 =sinC

°

0 ∴sin ¹⁰

C =12，∠C可有二解

3、( B ) 設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，下列各選項中的條件，

何者可使△ABC的解不唯一？ (A)a=2, 3, 4b= c= (B)∠ =B 60 , 9, 10° b= c= (C)∠ =B 60 , 10, 9° a= c= (D)∠ = ° ∠ =A 15 , 45 , B ° a=10

(E)∠ = ° ∠ =A 15 , 45 , B ° c=10

解析：(A)之條件為SSS，(C)之條件為SAS，(D)之條件為AAS，(E)之條件為ASA，此四 者均唯一，但(B) ^{9 1}

sin 60 =sinC

°

0 ∴sin ^{10 3}

C= 18 ∴∠C有兩解

4、( D ) 圓內接四邊形ABCD，AB=3, BC=2, CD=3, ∠ABC=120°，則AD= (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6

解析：

2 2 2

3 2 2 3 2 cos120 19

AC = + − × × × ° = ∴AC = 19

又 (圓內接四邊形對角互補)，

設

60

∠ADC= °

AD=x，AC² =3²+x²− × ⋅ ⋅2 3 x cos 60° =( 19)²

， 0 ∴

2 3 10 0

x − x− = (x−5)(x+2)= x=5或−2，∴AD=5 二、填充題 (每題 10 分)

5、 在圓內接四邊形ABCD中，已知BC=2, 45 , 15∠BAC= ° ∠CAD= °，則BD=______，

又此圓半徑為______。

答案： 6 , 2

解析： 2

sin 45 sin 60

BC BD

= = R

° ° ∴BD= 6 ∴R= 2

6、 △ABC中，BC=3, 5, 7AC= AB= ，則∠ =C ______, sinA=______。

答案：120 , ° ^{3 3} 14 解析：

2 2 2

3 5 7 1

cos , 120

2 3 5 2

C= + − = − ∠ =C °

× × ， ^{3 7}

sinA=sinC ∴sinA= ^{3 3} 14

7、△ABC中，a, b, c分別表∠A, , ∠B ∠C的對邊長，且a= +1 3, b= +1 5, c= −5 5， 則(a+b) cosC+ +(b c) cosA+ +(c a) cosB=______。

答案：7+ 3

解析：原式=( cosb C+ccos )B +( cosa C+ccos )A +( cosb A+acos )B a b c

= + + = +(1 3)+ +(1 5)+ −(5 5)= +7 3

8、 在△ABC中，a, b, c分別表∠A, , ∠B ∠C的對邊長，若(b+c) (: c+a) (: a+b)=4 : 5 : 6， 則sinA: sinB: sinC=______。

答案：7 : 5 : 3 解析：

令

7 4 2

5 15 5

6 2

3 2 a k b c k

c a k a b c k b k

a b k

c k

⎧ =⎪

⎧ + = ⎪

⎪ + = ⇒ + + = ⇒⎪ =

⎨ ⎨

⎪ + = ⎪

⎩ ⎪ =⎪⎩

，∴sinA: sinB: sinC=a b c: : =7 : 5 : 3

9、如圖所示△ABC 中，D 為邊BC上一點， 且AB=AC=5,AD=4,BD=2, DC=a，則a=________。

答案：⁹ 2

解析：由餘弦定律：

2 2 2 2 2 2

2 5 4 5 (2 ) 5

cos 2 2 5 2 5 (2 )

B a

a

+ − + + −

= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒13 ² 4 4

2 2

a a

a + +

= + ， ⁹

a= 2 10、△ABC中，已知∠ =A 45 , 75° ∠ =B °，又BC=2則AB=______, AC=______。

答案： 6 , 3 1+

解析：∠ = °C 60 ∴ 2 sin 60 sin 75 sin 45

AB = AC =

° ° °，AB= 6, AC= 3 1+

11、△ABC中，∠ =A 120 , 3, 2° AB= AC= ，若∠A之內角平分線交BC於D，則AD=______。 答案：⁶

5

解析：令AD=x

ABD + ACD

∴△ 面積 △ 面積 =△ABC面積

1 3 1 3 1 3

2 2

3 2 3

2⋅ ⋅ ⋅x 2 + ⋅ ⋅ ⋅2 x 2 = ⋅ ⋅ ⋅2

∴ 6

5 6, x x 5

⇒ = ∴ =

12、△ABC滿足sinA=2sinBcosC，則△ABC為______三角形。

答案：等腰 解析：

2 2 2

2 (

2 2 2

a b a b c

R R ab

+ −

= ⋅ ) ∴b² =c² 故為等腰三角形

13、△ABC中，M為BC之中點，且BC=6, 3, 5AC = AB= ，則AM =______，

cos(∠AMB)=______。

答案：2 2 , ²

− 3

解析：∵AM 為中線，設AM =x，(2 )x ²+6² =2(3²+5 )² ，x= ±2 2 (負不合)，AM =2 2

2 2 2

3 (2 2) 5 =

cos( )

2 3 2 2

AMB + −

∠ =

× ×

2

− 3

14、在圓內接四邊形ABCD中，AB=AD=2, 60 , 105∠ =C ° ∠ =D °，則BD=______, AC=______。

答案：2 3 , 6+ 2

sin105 sin120 AC = BD

° ° ∴AC= 6+ 2

15、△ABC中，BC= 6, 3AC= + 3, 45∠ =C °，則AB=______, ∠ =A ______。

答案：2 3 , 30°

解析：c² =( 6)²+ +(3 3)²− ×2 6 (3× + 3) cos 45°，∴c=2 3= AB

6 2 3

sinA=sin 45

° ∴sin ¹

A= 2 ∴∠ = °A 30 或150°(不合)，∴∠ = °A 30

16、△ABC中，若log (₃ a b c+ + +) log (₃ b c a+ − ) 1 log= + ₃b+log₃c，則∠A=______。

答案：60 °

解析：log (₃ a b c b c a+ + )( + − )=log 3₃ × ×b c，∴(b c+ )²−a² =3bc，∴b²+c²−a² =bc

2 2 2

cos 1 60

2 2

b c a

A A

bc

= + − = ⇒ ∠

∴ = °

17、 中，若 ，則

(1)三角形面積 ______；(2)外接圓半徑

△ABC a=5,b=6,c=7

= =______；(3)內切圓半徑=______。

答案：(1) 6 6；(2)^{35 6}

24 ；(3)^{2 6} 3 解析：(1) 9

2 a b c S + +

= = ，△ABC= s s a s b s c( − )( − )( − ) = 9 4 3 2⋅ ⋅ ⋅ =6 6

(2)外接圓半徑為R，

4 abc

= R

△ ，△ 6 6 ^{5 6 7}

4R

= = ⋅ ⋅ ， 35 35 6 4 6 24

R= =

∴

(3)內切圓半徑為r，△=rs，△=6 6= ⋅r 9， ^{2 6} r= 3

∴

18、設a, b, c分別表示△ABC中，∠A, ∠B, ∠C之對邊邊長，在△ABC中，若

，則 ______，

2a−6b+3c=0, 6a−3b c− =0

sinA: sinB: sinC= cosA: cosB: cosC=______。

答案：3 :4 : 6，129:116 : ( 66)−

解析： 2 6 3 ∴ ，s

6 3 0

a b c a b c

− + =

⎧⎨ − − =

⎩

0 a b c: : =3 : 4 : 6 inA: sinB: sinC= 3 : 4 : 6 設a=3 ,k b=4 ,k c=6k

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos : cos : cos

(4 ) (6 ) (3 ) (3 ) (6 ) (4 ) (3 ) (4 ) (6 )

: : 129 :116 : ( 66)

2 4 6 2 3 6 2 3 4

A B C

k k k k k k k k k

k k k k k k

+ − + − + −

= =

× × × × × × −

19、△ABC中，BC=a CA, , =b AB=c，滿足acosA b− cosB c+ cosC=0，則△ABC為何 種三角形？

答案：

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

2 2 2

b c a a c b a b c

a b c

bc ac ab

+ − + − + −

− + =0

∴a⁴−2a c^{2 2}+c⁴−b⁴ =0 ∴(a²− +c² b²)(a²− −c² b²)=0

2

2

∴c² =a²+b²或a² =b²+c ∴△ABC為直角三角形 20、若一三角形的三邊之長為x² +3x+3, 2x+3, x +2x

3 3, 2 3, 2

x x b x c x x

= + + = + = + a, , b c>0

，試求此三角形的最大角的度量。

答案：設a ^{2 2} 。由 ，必有x>0

由a b− = x²+ >x 0知a>b，a c− = + >x 3 0知 ，故a為最大邊，∠A為最大角 由

a>c

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

= + −

2 2 2 2 2

2

(2 3) ( 2 ) ( 3 3)

2(2 3)( 2 )

x x x x x

x x x

+ + + − + +

+ +

= (2 3)( ₂² 2 ) 1

2(2 3)( 2 ) 2

x x x

x x x

− + +

= = −

+ + ，∠A=120°。 21、△ABC外接圓半徑為2，且p p pAB BC CA: : =3 : 4 : 5，則△ABC面積是多少？

答案：

p p p: : 3 : 4 : 5 AB BC CA=

∵

p 3 , 4 , 5p p AB= k BC= k CA=

∴ k，3k+4k+5k=360 , 30° k= ° p 90 , 120 , 150p p

AB= ° BC= ° CA= °

∴

ABC = ABO+ BCO+ ACO

∴△ 面積 △ △ △

1 1 3 1 1

2 2 1 2 2 ( ) 2 2 2

2 2 2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = +3 3