107.10.12 範圍多項式四則運算(A) 班級一年 - 明誠

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高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.10.12 範

圍 多項式四則運算(A) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、選擇題(每題5分)

（ ） 1. 已知f (x)=g(x)q(x)+x²－9若f (x)=x³+3x²－9x－27,g(x)=x²－x－6, 則下列選項何者正確？

(A)deg q(x)無法判定 (B)g(x)除f (x)的餘式為x²－9 (C)g(x)除f (x)的商式為x+3 (D)8(x+3)²為f (x)的因式。

解答 D

解析 x³＋3x²－9x－27除以x²－x－6商x + 4餘式x－3 f (x)=g(x)．(x+4)+ x－3, 又f (x)=g(x)q(x)+x²－9 f (x) －(x²－9)=(x²－x－6,x) ( x + 2 ) q(x)= x + 3 (A)deg q(x)=1.

(B)deg (x²－9)=2=deg g(x), 所以x²－9非餘式, 將(x²－9)÷g(x)得餘式為x－3.

(C) f (x)=g(x)．(x+4)+x－3, 商式為x+4.

（ ） 2. 多項式(x⁵－3x⁴＋4x²－5x＋9)(x³－3x²＋4x－5)展開式中，求x⁴的係數為 (A)2 (B)－2 (C)3 (D)－3 (E)1。

解答 B

解析 依乘法分配律展開，合併x⁴項部分15x⁴＋(－12x⁴)＋(－5x⁴)＝－2x⁴

∴x⁴項的係數為－2.

（ ） 3. 已知f (x)=x⁴+ax²－bx－12為g(x)=x²－x－6的倍式,則下列選項何者正確？

(A)a=1 (B)b=8 (C)f (2)=0 (D)f (－3)=0。

解答 B

解析 除法除之得f (x)=g(x)(x²+x+2)=(x－3)(x+2)(x²+x+2),且知a=－5, b=8, 將x=2, －3代入f (x)=(x－3)(x+2)(x²+x+2),

得f (2)=－32；f (－3)=48, .

（ ） 4. 已知n次實係數多項式f (x)=a_nxⁿ a_n1x^n1a_n2x^n2 a₂x² a₁xa₀，則

下列哪些選項是正確的？ (多選)

(A)a_n0 (B)a₀0 (C)若a_na_n1a₁a₀ 0, 則(x－1)為f (x)的因式 (D)若a_n a_n1a_n2 a₂a₁a₀ 0, 則f (－1)=0

(E)偶次項係數和

2 ) 1 ( ) 1 (

6 4 2 0



 







 f f

a a a

a 

解答 A,C,E

解析 (B)條件不足, 無法判定a0與0的大小關係.

(D)f (－1)=a₀ a₁a₂ a₃a₄a₅.

（ ） 5.設f (x)＝ax⁸＋bx²＋3能被( x－1 )²整除, 則

(A) a＝1 (B) a＝－1 (C) b＝4 (D) b＝－4 (E) f (x)除以x＋1的餘式為0.

解答 ADE

解析 設f (x)＝ax⁸＋bx²＋3＝( x－1)²Q(x),

令x＝1：a＋b＋3＝0  b＝－a－3代入上式,

得ax⁸(a3)x² 3(x1)²Q(x) ) ( ) 1 ( ) 1 ( 3 )

(x⁸ x² x² x ²Q x

a     



) ( ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1

( ^{6 2 2}

2 x x x Q x

ax     



) ( ) 1 ( ) 1 ( 3 ] 1 )

[( ^{2 3 3 2 2}

2 x x x Q x

ax     



  2

2 2 4 2 2

(x 1)[ax x( x 1) 3] (x 1) Q x( )

      

消去( x－1 )得(x1)[ax x²( ⁴x²  1) 3] (x1) ( )Q x 再令x＝1：2[ (1 1 1) 3]a    0  a＝1, 故b＝－4.

即f (x)＝x⁸－4x²＋3除以x＋1餘式為f (－1 )＝(－1 )⁸－4(－1 )²＋3＝0.

二、填充題(每題10分)

6. 若多項式x³＋4x²＋5x－3除以f(x)的商為x＋2，餘式為2x－1，求f(x)＝ . 解答 x²＋2x－1 。

解析 x³＋4x²＋5x－3＝f(x)‧(x＋2)＋(2x－1)

x³＋4x²＋3x－2＝f(x)‧(x＋2)用除法f(x)＝x²＋2x－1.

7. f (x)÷(2x－1)的餘式為－3, 則 )

2 ( 1 ) (

2x²f x  x 的餘式為 .

解答 2

3

解析 ) 3

2 (1 

f ,

2 ) 3 2 (1 2 ) 1 ( 2 2

1 2  

 x f x f

x .

8. 設多項式f (x)滿足f ( x³ )＋18＝x⁶ f (x)＋3 f ( x² ), 若f (x)的次數為n, f (x)的常數項為k, 則n＋k

＝ . 解答 12

解析 設f (x)＝anxⁿ＋an^－1x^n－1＋…＋a1x＋a0

18 )

( )

( 18 )

( 0

3 1 1

3 1 3

3  a x a  x ^  ax a 

x

f n ⁿ

n

n a_nx³ⁿa_n1x^3n3a₁x³ (a₀ 18),

) (

) ( 3 )

( 1 0

1 1 6

2

6f x f x x a x a x ax a

x n ⁿ

n

n   



  ^ 3(a_nx²ⁿ a_n1x^2n2  a₁x² a₀), 若右式的最高次方為2n, 則3n＝2n  n＝0（不合）,

或者右式的最高次方為n＋6 , 則n＋6＝3n  n＝3,

∴常數項a₀＋18＝3a₀  a₀＝9, 故n＋k＝3＋9＝12.

9. 若3x³－2x²＋ax＋12能被x²－2x＋b整除，求a＋b＝ . 解答 4 。

解析

4 3

0 4 8

4

12 ) 3 ( 4

12 3

6 3

12 2

3 2 1





























b b a

b a b

 3 8

12 4

a b

b

  

 

  1

3 4

a a b

b

 

  

 

10. 設多項式f(x)除以x³－1，得餘式為x²，求f(x)除以x²＋x＋1的餘式為 . 解答 －x－1 。

解析 由除法原理，

f(x)＝(x³－1)‧Q(x)＋x²＝(x－1)(x²＋x＋1)‧Q(x)＋x²

＝(x－1)(x²＋x＋1)‧Q(x)＋(x²＋x＋1)‧1＋(－x－1)

＝(x²＋x＋1)[(x－1)‧Q(x)＋1]＋(－x－1)，

∴餘式為－x－1.

11. f (x)之次數為4, 以( x－1 )³除之餘式為3, 以x－2除之餘式為6, 以x＋2除之餘式為138, 則 f (－1 )＝ .

解答 27

解析 f (x)＝( ax＋b ) ( x－1 )³＋3,

  3

又f ( 2 )＝( 2a＋b )＋3＝6, f (－2 )＝(－2a＋b )(－27 )＋3＝138, 解得a＝2, b＝－1, ∴ f (x)＝( 2x－1) ( x－1 )³＋3, 故f (－1 )＝27.

12.設f(x)＝x³＋ax²＋bx－6有因式x＋1與x－2，求a²＋b²＝ .

解答 29 。

解析 由因式定理可知 7

4 2 2

a b

a b

  

   

  2

5 a b

 

  

  ( 1) 0 (2) 0 f

f

  

  a²＋b²＝29.

13.求以x²＋2x－3除( x³－5x＋2 )³之餘式為 .

解答 248x－256

解析 因x³－5x＋2＝( x－2 ) ( x²＋2x－3 )＋2x－4,

∴( x³－5x＋2 )³＝[ ( x－2 ) ( x²＋2x－3 )＋( 2x－4 ) ]³

＝( x－2 )³ ( x²＋2x－3 )³＋3( x－2 )² ( x²＋2x－3 )²( 2x－4 ) ＋3( x－2) ( x²＋2x－3 ) ( 2x－4 )²＋( 2x－4 )³,

前三項可被x²＋2x－3整除,

又( 2x－4 )³＝8x³－48x²＋96x－64除以x²＋2x－3,得商為8x－64, 餘式為248x－256.

14.設f(x)＝3x²－5x＋1，g(x)＝－x²－2x＋3，求2f(x)＋3g(x)＝ . 解答 3x²－16x＋11 。

解析 2f(x)＋3g(x)＝2(3x²－5x＋1)＋3(－x²－2x＋3) ＝(6x²－10x＋2)＋(－3x²－6x＋9) ＝3x²－16x＋11.

15.試求通過三點A(－1, 8), B(1, －2), C(3, 4)的最低次多項式函數為 . 解答 2x²－5x + 1 。

解析 令f (x) = a(x + 1)(x－1) + b(x－1) + c, 因為f (－1) = 8, f (1) =－2, f (3) = 4,

則c =－2, －2b + c = 8b =－5, 8a + 2b + c =4a =2, 故f (x) = 2(x + 1)(x－1)－5(x－1)－2 = 2x²－5x + 1.

16.設f (x)為一多項式, 若( x－2 ) f (x)除以x²＋x＋3的餘式為2x－13, 求f (x)除以x²＋x＋3的餘式 為 .

解答 x＋5

解析 設f (x)＝( x²＋x＋3 )Q(x)＋ax＋b,

同乘x－2得( x－2 ) f (x)＝( x－2 ) ( x²＋x＋3 )Q(x)＋( x－2 ) ( ax＋b) ,

因( x－2 ) ( ax＋b )＝ax²－2ax＋bx－2b＝a( x²＋x＋3 )＋(－3a＋b ) x＋(－3a－2b ) , 即( x－2 ) f (x)除以x²＋x＋3之餘式為(－3a＋b )x＋(－3a－2b ) ,

故 



 



















5 1 13

2 3

2 3

b a b

a b

a , ∴餘式為x＋5.

17.設兩多項式f (x), g (x)其次數均大於2, 已知f (x)與g (x)除以x²－x－1之餘式分別為2x＋6與 x－1, 則

(1) f (x)＋g (x)除以x²－x－1之餘式為 . (2) 2f (x)－3g (x)除以x²－x－1之餘式為 . (3) f (x)g (x)除以x²－x－1之餘式為 . 解答 (1) 3x＋5. (2) x＋15. (3) 6x－4.

解析 令f (x)＝( x²－x－1 ) q1(x)＋2x＋6, g (x)＝( x²－x－1 ) q2(x)＋x－1.

(1) f (x)＋g (x)＝( x²－x－1 )[ q₁(x)＋q₂(x)]＋3x＋5, ∴餘式為3x＋5.

(2) 2f (x)－3g (x)＝[ 2( x²－x－1 ) q₁(x)＋4x＋12]－[ 3( x²－x－1 ) q₂(x)＋3x－3]

＝(x²－x－1) [ 2q1(x)－3q2(x) ]＋x＋15, ∴餘式為x＋15.

(3) f (x) g (x)

＝[ ( x²－x－1 ) q1(x)＋2x＋6 ] [ ( x²－x－1 ) q2(x)＋x－1 ] ＝( x²－x－1 )² q₁(x) q₂(x)＋( x²－x－1 )( x－1 ) q₁(x)

  4

＋( x²－x－1 )( 2x＋6 ) q₂(x)＋( 2x＋6 )( x－1 ) ＝( x²－x－1 ) Q(x)＋( 2x＋6 )( x－1 )

＝( x²－x－1 ) Q(x)＋2( x²－x－1 )＋6x－4

＝( x²－x－1 ) [ Q(x)＋2 ]＋6x－4, ∴餘式為6x－4.

18. 1.設f (x)＝( 2x³＋3x²－x－1 )⁴＝a₁₂ x¹²＋a₁₁ x¹¹＋a₁₀ x¹⁰＋…＋a₁ x＋a₀, 試求：

(1)a0－a2＋a4－a6＋a8－a10＋a12=__________. (2)a1－a3＋a5－a7＋a9－a11=__________. 解答 (1)－527. (2) 336.

解析 f ( i )＝( 2i³＋3i²－i－1 )⁴

＝( a0－a2＋a4－a6＋a8－a10＋a12 )＋i ( a1－a3＋a5－a7＋a9－a11 ), 又( 2i³＋3i²－i－1 )⁴＝(－2i－3－i－1 )⁴＝(－4－3i )⁴

＝[ (－4－3i )² ]²＝( 7＋24i )²＝－527＋336i, (1) a₀－a₂＋a₄－a₆＋a₈－a₁₀＋a₁₂＝－527.

(2) a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝336.