§3 微分

§3 微 分 一、单变量函数的微分

1. 基本概念

[导数的定义及其几何意义] 设函数 y=f(x)当自变量在点 x有一改变量x时,函数 y 相应

地有一改变量y f(xx) f(x) ,那末当x趋于零时,若比 x y



 的极限存在(一确定的有限 值)，则称这个极限为函数f(x)在点x的导数,记作

x x f x x f x

y x

x y f

y x x 





 



 

 











) ( ) lim (

d lim ) d

( 0 0

这时称函数f(x)在点x是可微分的函数(或称函数f(x)在点x可 微)。

在几何上,函数f(x)的导数 f(x)是函数y=f(x)表示的曲线在点x 的切线的斜率,即

) (x

f =tan

式中α 为曲线在点x的切线与x轴的夹角(图5.1)。

[单边导数]

) (x f_ =

0

lim

x x

x f x x f







 ) ( ) (

及

) (x f_ =

0

lim

x x

x f x x f







 ) ( ) (

分别称为函数f(x)在点x的左导数和右导数。

导数 f(x)存在的充分必要条件是:

) (x

f_ = f_(x)

[无穷导数] 若在某一点x有

0

lim

x x

x f x x f







 ) ( )

( =±∞

则称函数f(x)在点x有无穷导数。这时函数y=f(x)的图形在点x的切线与x轴垂直(当 f(x)=

+∞ 时,函数f(x)的图形在点x的切线正向与y轴方向一致,当 f(x)=－∞ 时,方向相反)。

[函数的可微性与连续性的关系] 如果函数y=f(x)在点x有导数，那末它在点x一定连续。

反之,连续函数不一定有导数,例如

1° 函数 y=|x|在点 x=0 连续,在点 x=0,左导数 f_(0)=－1,右导数 f_(0) =1,而导数 f(0)不

存在(图5.2)。

图5.1

图5.2 图5.3 2° 函数

y=f(x)=









 ) 0 ( 0

) 0 1 (

sin

x x x

x

在点x=0连续,但在点x=0左右导数都不存在(图5.3)。

2. 求导数的基本法则

[四则运算求导公式] 若c为常数,函数u=u(x),(x) 都有导数,则

(c)=0 (cu)=c u

(u)u (u)uu

2













 







u u

u （≠ 0）

[复合函数的导数] 若y=f(u),u=(x)都有导数,则

x y d

d = f^(u)^(x)

[反函数的导数] 如果函数y=f(x)在点 x有不等于零的导数,并且反函数x=f^－1(y)在点 y连

续,那末x_y 存在并且等于 yx

1 ，即

xy= yx

1

[隐函数的导数] 假定函数 F(x,y)连续,并且对于每个自变量都有连续的偏导数,而且

0 ) ,

( 

 x y

F_y ，则由

F(x,y)=0 所决定的函数y=f(x)的导数

y=y_x＝

y x

F F



 

式中F_x＝ x F



 ，F_y＝ y F



 (见本节，四)。

[用参数表示的函数的导数] 设方程组







 ) (

) (

t y

t x



 （α <t<β ）

式中(t)和(t)为可微分的函数,且(t)0,则由隐函数存在定理(本节,四,1)可把 y 确定为 x 的单值连续函数

y=[^1(x)]

而函数的导数可用公式

yx＝

x y x y

t t



 





求得。

[用对数求导数法] 求一函数的导数,有时先取其对数较为便利,然后由这函数的对数求其

导数。

例 求

r q p

c x

b x a y x

) (

) ( ) (





 

的导数。

解 两边各取对数,得

lny=pln(x－a)＋qln(x－b)－rln(x－c)

左边的lny为y的函数,而y又为x的函数,故应用求复合函数的导数的法则得到 y y

y  1  )

(ln 由此得

c x

r b x

q a x y p

y  

 

  1  所以









 

 







 

 x c

r b x

q a x

p c

x

b x a

y x _r

q p

) (

) ( ) ( 3.函数的微分与高阶导数

[函数的微分] 若函数y=f(x)的改变量可表为

y＝A(x)dx+o(dx)

式中dx=Δ x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分,记作

dy=A(x)dx

函数y=f(x)的微分存在的充分必要条件是:函数存在有限的导数y= f(x),这时函数的微分

是

dy= f(x)dx

上式具有一阶微分的不变性,即当自变量 x又是另一自变量t的函数时,上面的公式仍然成 立.

[高阶导数] 函数 y=f(x)的高阶导数由下列关系式逐次地定义出来(假设对应的运算都有

意义)：

)

)(

( x

f ⁿ =



^{f (n1)(x)}



^ (n2,3,)

[高阶微分] 函数y=f(x)的高阶微分由下列公式逐次定义：

n y

d =d(d^n1 y) (n2,3,) 式中d¹ ydy  ydx.并且有

n y

d =y⁽ⁿ⁾dxⁿ 及 ^{n n} _n

x y y

d

) d

( 

[莱布尼茨公式] 若函数u=(x)及=(x)有n阶导数(可微分n次),则

) ( ) ( 0 )

)(

( ^{i n i}

n

i i n

n C u

u ^











式中u⁽⁰⁾ u,⁽⁰⁾ ,C_nⁱ为二项式系数。

同样有





  



 ⁿ

i

i i n i n

n u C u

0

d d )

( d

式中 d⁰uu，d⁰ 更一般地有

) ( )

( 2 ) ( 1 0

2 1 )

( 2

1

2 1

!

!

! ) !

(

^m

k k

i m i

i

n i

n

i m

n

m

u u u

i i i u n

u

u 

  





 



式中m，n为正整数。

[复合函数的高阶导数] 若函数y=f(u),u=(x)有l阶导数，则

l

l

k k k

l i i

i

n ki

i i

n

i l

i

n n

l u u

u i i i

f x n

x f 



 



 



 



 



 



 

















 ! ! ! 1! 2! !

))) ! ( ( d (

d ^{(1) (2) ()}

1 1 2

)

( ^{1 2}

1

 

式中

i i i

u f f

d

) d

(  ， ^{k k} _k

x u u

d

) d

( 

[基本函数的导数表]

f(x) f(x) f(x) f(x)

c 0 cscx x x

x

x cot csc sin

cos

2 



xⁿ nx^n－1 arcsin x ₂

1 1

x



x 1

2

1

x arccosx ₂

1 1

x



xn

1

1

 _n x

n arctanx ₂

1 1

x

n x _{n n}

x

n ¹

1

 arccotx ₂

1 1

x



ex e^x arcsecx

1 1

2 

 x x

ax a^xln a arccscx

1 1

2 

 x x

xx ^xx(1lnx) sh x chx

x

ln x

1 ch x shx

a x

log xlna

1 th x x

x

2

2 sech

ch

1 

x

lg e x

x

43431 . 0 1lg

 cth x x

x

2

2 csch

sh 1 

 x

sin cosx sech x sechxthx

x

cos sinx csch x cschxcthx

x

tan x

x

2

2 sec

cos

1  Arshx

) 1

ln(x x² 1 ²

1

x

x

cot x

x

2

2 csc

sin

1 

 Ar sech x 1 ²

1 x

x 



f>0取,f 0取+

x

sec x x

x

x tan sec cos

sin

2  Ar csch x ₂

1 1

x

x 

 ,x>0

Arch x=

) 1

ln(x x² ¹

1

2 

 x

,x>1 f>0取+，f<0取

x sh

ln cth x

Arth x=

x x



 1 ln1 2 1

(｜x｜<1)

1 2

1

x ln ch x th x

Arcthx=

1 ln 1 2 1



 x x

(｜x｜>1) 1

1

2 

 x lnthx 

x xch sin

1 sechxcschx

[简单函数的高阶导数表]

f(x) f⁽ⁿ⁾(x)

xm m(m－1)…(m－n+1)x^mn (当m为整数且n>m时，_f⁽ⁿ⁾_(x)=0)

x ²₂¹

1 1

2

! )!

3 2 ) ( 1

( ^n _n  _n x n

这里(2n+1)!!=(2n+1)(2n－1)531)

ex e^x

emx mⁿe^mx

ax a^x (lna)ⁿ (a>0)

x ln

n n

n x1 )!

1 ( ) 1

( ^1 

a x log

n n

x a

n 1

ln )!

1 ) (

1

( ¹  

 ^ x

sin

2 ) sin( n

x x

cos )

cos( n2 x mx

sin _n

m )

sin( n2 mx mx

cos )

cos( n2 mx

mⁿ 

shx shx(n为偶数)，chx(n为奇数)

chx chx(n为偶数)，shx(n为奇数)

4.数值导数

当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.

[图解微分法] 适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知 s－t 图,求t图,

a－t图等,其基本步骤如下：

(1) 将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段距离得坐标系Oxy (图5.4).

图5.4

(2) 过曲线y=f(x)上点M₁(x₁,y₁)作切线M₁T₁ .在坐标系Oxy内,过点P(－1,0)作PQ₁平行 于M1T1交y轴于点Q1 ,那末点Q1 (点M₁^)的纵坐标就是导数y₁  f(x₁).以Q1的纵坐标为纵 坐标,x1为横坐标作出点M₁^.

(3) 在曲线y=f(x)上取若干个点M₁,M₂,,M_n,在曲线弯曲程度较大处点取得密些.仿上作

法,在坐标系Oxy内得到相应点M₁^, ₂,

M ,M_n^,顺次连成光滑曲线,即是导函数y f(x)的

图形.

[差商公式] 在实用中常使用下列简单的近似公式

h a a f

f ( )

)

( 

  ,

2

2 ( )

)

( h

a a f

f 

  ,…, _k

k k

h a a f

f ( )

)

)(

( 

 式中

f(a)= f(ah) f(a) （函数f (x)在点a的１阶差分）

) ( ) ( )

2 (

a f h a f a

f   

 （函数f (x)在点a的２阶差分）

………

) ( )

( )

(a ¹f a h ¹f a

f ^{k k}

k     

 （函数f (x)在点a的k阶差分）

在函数的数值表中,如果有误差,则高阶差分的偏差较大,所以用以上公式不宜计算高阶导 数.

[用插值多项式求数值导数] 假定已经求出了函数y=f (x)的插值多项式Pn (x),它可以求导,

则用P_n(x)近似 f(x),由

f(x)=Pn(x)+Rn(x) 略去余项,得

) (x

f ≈ P_n(x) f (x)≈ P_n(x) 等等.它们的余项相应为R_n(x),R_n(x),等等.

应当指出,当插值多项式P_n(x)收敛于f(x)时, P_n(x)不一定收敛于f' (x).另外,当h缩小时,截 断误差减小,但舍入误差却增加,因此,采用缩小步长的方法也不一定能达到提高精度的目的.由 于用插值法求数值微分的不可靠性,在计算时,要特别注意误差分析,或者改用其他方法.

[拉格朗日公式] (由拉格朗日插值公式得来,见第十七章,§2,三) ) ( )

( )

d ( d

0

x R y x L x

x f y

n n

k

k

k  

 







式中





   

  ⁿ

k j

j k j n k

n

k x x x x x

x x L

0( )( ) ( )

) ) (

( 









 ⁿ

k

k

n x x x

1

) ( )

 (

( )

d d )!

1 (

) ) (

)! ( 1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1

( ^    _ 

 



 

 n n

n n

n f

x n

x x n

x f R

 (x) (x₀  x_n)

[马尔科夫公式] (由牛顿插值公式得来,见第十七章,§2,二) d ]

d 6

2 6 3 2

1 [( 2

) 1

( ³ _{0 0}

2 0 2 0

0 C y

y t t

y t y t

th h x

f            _nⁱⁿ

( )

d ) d

( ₁ ¹ ₁ ^{( 1)}

) 1

( ^  _  ^ _ ^ 

 ^{n n} _n^{t n} _n^t f ⁿ

C x h dtC

f d

h (x₀   x_n)

特别,当t = 0时,有



   



















  ^

0 1 0

4 0 3 0 2 0 0

) 1 ( 4

1 3

1 2

1 y

y n y

y y

hf ⁿ

n

² ₀⁽²⁾ ² ₀ ³ ₀  ⁴ ₀  ⁵ ₀  6

5 12

11 y y

y y

f h

³ ₀⁽³⁾ ³ ₀  ⁴ ₀  ⁵ ₀  ⁶ ₀  8

15 4

7 2

3 y y y

y f

h

⁴ ₀⁽⁴⁾ ⁴ ₀  ⁵ ₀  ⁶ ₀  ⁷ ₀  2

7 6

2 y 17 y y

y f

h

⁵ ₀⁽⁵⁾ ⁵ ₀  ⁶ ₀  ⁷ ₀  ⁸ ₀  6

35 6

25 2

5 y y y

y f

h [等距公式]

三点公式

) (x₀ th f

y_t    ≈







 

 



 



 

  _{1 0 1}

2 2 1

2 1

1 t y ty t y

h 四点公式

) (x₀ th f

y_t    ≈ _



 



 ²   _1 ²   ₀ ²   ₁ ² ₂ 6

1 3 2

2 2 3 2

1 4 3 6

2 6 3

1 t y

t y y t

t y t

t t h 五点公式

) (x₀ th f

y_t    ≈ _



       



 1

2 3

2 2

3

6 4 8 3 4 12

1 3

2

1 t t t y

t y t t h

_



 



 





 

 ³ ₀ ^{3 2} ₁ ^{3 2} ₂

12 1 3

2 6

4 8 3 4 2

5

2 t t t y

t y t y t

t t

[用三次样条函数求数值导数] 这个方法能避免用插值法求数值导数的不可靠性.因为对

于样条函数(曲线 y=f(x)的三次样条函数 S(x)的作法见第十七章,§2,四),当被插值函数 f(x)有四 阶连续导数,且 hi=xi+1－xi→0 时,只要 S(x)收敛于 f(x),则导数S(x)一定收敛于 f(x),且 S(x)－

f(x)=O(H⁴)，S(x)－ f(x)＝O(H³),S(x) f (x)O(H²),其中 H 是 h_i的最大值,因此,可直接 通过三次样条函数

i i

i i

i

y x h x

x h x

x S x

f 



 



   



 _{2 1} ² 2₃( _1 )³ )

3 ( ) ( ) (

1 3 3

2

2 2 ( )

) 3 (

 



 



   

 _{i i}

i i i

y x h x

x h x

i i

i i

i

i x x m

x h h x

h 



 



   

 _{2 1} ² 1₃ ( _1 )³ )

1 (

1 3 3

2

2 1 ( )

) 1 (

 



 



   

 _{i i}

i i i

i x x m

x h h x

h 求数值导数得

) ( )

(x S x

f   =

i i

i i i

y x x x h x

h 



 



1 ( _  ) ( _  ) 6

1 2 2 1

1 2

2 1( )

) 6 (

 



 



   

 _{i i}

i i i

y x h x x h x

i i

i i i

m x x x

h x

h 



 



   

 1 3( _ ) 2( _ )

1 2

1

1

)2

3( ) ( 1 2

 



 



   

 _{i i}

i i i

m x h x x h x

f (x)S(x)

i i

i i

y x h x

h 



 



  2( _  ) 6 1

2 1

i i

i i i i i i

m x h x

y h x h x

h 



 



  

 



 



  

 _ 3( _ )

2 1 )

2( 6 1

1 2 1

) 1

3( 2 1

 



 



  

 _{i i}

i i

m x h x h

式中 h_i  x_i1 x_i,y_i  f(x_i),m_i S(x_i) (i=0,1,2,,n)。

若仅求样点x_i上的导数,则

f(x_i)m_i ) (x_i

f  ≈ S(x_i)= 6₂ 6_{2 1} 4 2 ₁



  



 _i

i i i i i i i

h m h m

h y h y

) ( _1

 x_i

f ≈ S(x_i1)= ⁶₂  ⁶_{2 1}  ²  ⁴ _i1

i i i i i i i

h m h m

h y h y

二、多变量函数的微分

[偏导数及其几何意义] 设二元函数

u=f(x,y)

当变量x有一个改变量Δ x而变量y保持不变时,得到一个改变量 Δ u=f(x+Δ x,y)－f(x,y)

如果当Δ x→0时,极限

0

lim

x x

u



 =

0

lim

x x

y x f y x x f







 , ) ( , ) (

存在,那末这个极限称为函数 u=f(x,y)关于变量 x 的偏导数,记作 x u



 或 x

y x f



 ( , ),也记作 f_x(x,y) 或 f_x(x,y),即

x u



 = x

y x f



 ( , )

= f_x(x,y)= f_x(x,y)= lim0



x x

u



 = lim0



x x

y x f y x x f







 , ) ( , ) (

类似地,可以定义二元函数u=f(x,y)关于变量y的偏导数为

y u



 = y

y x f



 ( , )

= f_y(x,y)= f_y(x,y)= lim0



y y

u



 = lim0



y y

y x f y y x f







 ) ( , )

, (

偏导数可以按照单变量函数的微分法则求出,只须对所论变量求导数,其余变量都看作常 数.

偏导数的几何意义如下:

二元函数u=f(x,y)表示一曲面,通过曲面上一点M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,与曲面

有一条交线, x u



 就是这条曲线在该点的切线与 x 轴正向夹角的正切,即 x u



 =tan.同样,有

y u



 =tan (图5.5).

图5.5

偏导数的定义不难推广到多变量函数u=f(x₁,x₂,…,xn)的情形.

[偏微分] 多变量函数u=f(x1,x2,…,xn)对其中一个变量(例如x1 )的偏微分为

1 1

d

d 1 x

x u u

x 

 

也可记作 _x f d 1 .

[可微函数与全微分] 若函数u=f(x,y)的全改变量可写为

) , ( ) ,

(x x y y f x y

f

u   

 =AxBy+^O()

式中A,B与Δ x,Δ y无关,  (x)² (y)² ,则称函数u=f(x,y)在点(x,y)可微分(或可微),这时函

数u=f(x,y)的偏导数 x u



 , y u



 一定存在,而且

x u



 =A, y u



 =B 改变量Δ u的线性主部

y B x

A   = x u



 d +x y u



 dy

称为函数u=f(x,y)的全微分,记作

du= x u



 d +x y u



 dy (1) 函数在一点可微的充分条件:如果在点(x,y)函数 u=f(x,y)的偏导数

y u x u







 , 存在而且连续,那 末函数在该点是可微的.

公式(1)具有一阶微分的不变性,即当自变量x,y又是另外两个自变量t,s的函数时,上面的公 式仍然成立.

上述结果不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,…,xn)的情形.

注意,在一个已知点,偏导数的存在一般说来还不能确定微分的存在.

[复合函数的微分法与全导数]

1° 设u=f(x,y),x=(t,s),y= (t,s),则 t u



 = x u



 t x



 + y u



 t y





s u



 = x u



 s x



 + y u



 s y





2° 设u=f(x₁,x₂,…,x_n),而x₁,x₂,…,x_n又都是t₁,t₂,…,t_m的函数,则

1 1

2 2 1 1 1

1 t

x x

u t

x x

u t x x

u t

u _n

n 





 

 





 







 



 

2 2

2 2 2 1 1

2 t

x x

u t

x x

u t x x

u t

u _n

n 





 

 





 







 



 

………

m n n m

m

m t

x x

u t

x x

u t

x x

u t

u







 

 





 







 



 ² 

2 1 1

3° 设u=f(x,y,z),而y=(x,t),z= (x,t),则 x

u



 = f_x(x,(x,t),(x,t)) f_y(x,(x,t),(x,t))_x(x,t) )

, ( )) , ( ), , ( ,

(x x t x t x t

f_x   _x



t u



 = f_y(x,(x,t),(x,t))_t(x,t) f_z(x,(x,t),(x,t))_t(x,t)

4° 设u=f(x1,x2,…,xn), x1= x1(t), x2= x2(t),,x_n  x_n(t) ,则函数u=f(x1,x2,,x_n)的全导数为 t

x x

u t

x x

u t x x

u t

u n

n d

d d

d d

d d

d ₂

2 1

1 

 

 

 



  

[齐次函数与欧拉公式] 如果函数f(x,y,z)恒等地满足下列关系式

f(tx,ty,tz)=t f(x,y,z) ^k

则称f(x,y,z)是一个k次的齐次函数.对于这种函数,只要它可微,就有

z kf z f y y f x

x f 



 



 



 (欧拉公式)

注意,齐次函数的次数k可以是任意实数,例如,函数

y y x

x

x^ siny  ^ cos

就是自变量x及y的π 次齐次函数.

[隐函数的微分法] 设F(x1,x2,…,xn,u)=0,则

u F x F x u

u

x













 

 ₁

1

1

u F x

F x u

u

x













 

 ₂

2

2

………

u F x

F x u

u _n

x n

n













 





 



 



 0

u F

(参考本节,四).

[高阶偏导数与混合偏导数] 函数 u=f(x₁,x₂,…,xn)的二阶偏导数为 ₂

1 2

x u



 , ₂

2 2

x u



 ,…, ₂

2

xn

u



 和

2 1

2

x x

u





 ,

3 1

2

x x

u





 ,

3 2

2

x x

u





 ,…,后 者 称 为 混 合 偏 导 数 .三 阶 偏 导 数 为 ₃

1 3

x u



 , ₃

2 3

x u



 ,…,

3 3

xn

u



 , ₂

2 1

3

x x

u





 ,

3 2 1

3

x x x

u







 ,…。类似地可定义更高阶的偏导数.

关于函数乘积的混合偏导数有下面公式:设u,都是x1,x2,…,xn的函数,则

 



 





 



 



 ^{   }















ⁿ _n ⁿ _n

h h h n

n

k n k

k k

j n j

j j

n h

i k

j n n

n i

n i

i i

x u x

x x

k k j j

i u i

x

x    











1 1

1 1

1 1

1

1 1 1 1

1

1 ! ! ! !

! ) !

(

注意,混合偏导数一般与求导的次序有关,但是,如果两个同阶的偏导数,只是求导的次序不 同,那末只要这两个偏导数都连续,它们就一定彼此相等.例如,如果在某一点(x,y)函数 f_xy与 f_yx

都连续,那末一定有

fxy(x,y)= f_yx(x,y)

[高阶全微分] 二元函数u=f(x,y)的二阶全微分为

d²u=d(du)= ₂ ²

2 2

2 2 2

d d

d 2

d y

y y u y x x x u

x u









 





或简记作

d²u= u

y y x x

2

d

d 



 







 





式中偏导数符号

x

 ,

y

 经平方后出现 ²₂

x

 , xy



²

, ₂

2

y

 ,它们再作用到函数u=f(x,y)上,以下类同.

二元函数u=f(x,y)的n阶全微分为

dⁿu= u y y x x

n



 







 



 d d

多变量函数u=f(x1,x2,…,xm)的n阶全微分为

dⁿu= u

x x x y

x x

n

m

m 

 







 

 

 



 d d

d

2 2 1

1 

[偏导数的差分形式]

(表中h为x轴方向步长,l为y轴方向步长) 图 示 差 分 公 式

x u





) 2 (

1

0 , 1 0 , 1 0

, 0

 

 

 u u

h x u

) 4 (

1

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0

, 0







  



 

 u u u u

h x u

y u





) 2 (

1

1 , 0 1 , 0 0

, 0

 

 

 u u

l y u

) 4 (

1

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0

, 0







  



 

 u u u u

l y u

2 2

x u





) 2

1 (

0 , 1 0 , 0 0 , 2 1 2

0 , 0 2

 



 

 u u u

h x u

) 16

30 16

12 ( 1

0 , 2 0 , 1 0

, 0 0

, 1 0 , 2 2 2

0 , 0 2



 









 

 u u u u u

h x

u

图 示

0 , 0 0 , 1 1 , 1 1 , 0 1 , 2 1 2

0 , 0 2

2 2

3 (

1 u u u u u

h x

u     







) 2 _{0, 1 1, 1}

1 , 1 0 ,

1    

   

u u u u

差 分 公 式

2 2

y u





) 2

1 (

1 , 0 0 , 0 1 , 2 0 2

0 , 0 2

 



 

 u u u

l y u

) 16

30 16

12 ( 1

2 , 0 1 , 0 0

, 0 1

, 0 2

, 2 0 2

0 , 0 2



 









 

 u u u u u

l y

u

0 , 0 1 , 0 1 , 1 0 , 1 1 , 2 1 2

0 , 0 2

2 2

3 (

1 u u u u u

l y

u     







) 2 _{1,0 1, 1}

1 , 1 1 ,

0       

u u u u

y x

u





²

) 4 (

1

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0

, 0 2







  



 



 u u u u

hl y

x u

1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 , 1 0

, 0 2

2 ( 1



  





 



 u u u u

hl y

x u

) 2 _0,0  _1,1 _1,1

 u u u

) 2

2 ( 1

1 , 1 1 , 1 0 , 0 1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 , 1 0

, 0 2







     



 



 u u u u u u u

hl y x

u