97.01. 07 班級範圍3-2 圓與直線 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.01. 07 班級

範

圍 3-2圓與直線

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( B ) 在條件x²+y² ≤1之下，求x+y的最大值M與最小值m，則 (A) (B)

1, 1 M = m= − 2, 2

M = m= − (C)M =1, 0m= (D)M = 2, 0m= (E)M = 3, 0m= 解析：x+y之最大值與最小值發生在x²+y² =1上

∴ cos , sin , cos sin 2(sin( ))

x= θ y= θ x+ =y θ+ θ = θ+π4 ，∴− 2≤ + ≤x y 2 2、( E ) 已知圓C: (x−1)²+(y+3)² =10與直線L x: +ky− =2 0相切，則

(A)−3 (B)−

k = 1

3 (C)0 (D)1

3 (E)3 解析： 2

1 3 2

10 1

k k

− −

+ = ， (k−3)² = ⇒0 k=3

3、( E ) 設直線5x− − =y a 0切圓：3x²+3y²−2x+4y+ =b 0於點A(c,−1)，求a b ？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6

+ + =c

解析：Sol一：

過切點A(c,−1)之切線 1

3 3 2( ) 4( ) 0 (3 1) ( 2) 0

2 2

x c y

xc− y− + + − + = ⇒b c− x− + − − =y b c 此與5x− − =y a 0表同一直線：

3 1 5

3 1 1 2

2

5 1

c b c c

b c a

a

⎧ − =

− = −− = − −− ⇒ ⎨⎩ − − = − ，又5c+ − =1 a 0， 2 11

7 c a b

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ = −

⎩ Sol二：

圓： ^{2 2 2 2} 2 4

3 3 2 4 0

3 3 3

x + y − x+ y b+ = ⇒x +y − x+ y+ =b 0，∴圓心C(1 3, 2

3

− )，

1 2 3 1 3 mAC

c

= − +

−

，又切線斜率=5 1 2

3 5 1

1 c 3

⇒− + × = − ⇒

−

2

c= ，即A(2,−1)，代入

∴10 ,

5x− − =y a 0

1 a 0

+ − = 12 3 4 4+ − − + =b 0⇒a=11, b= −7，∴a+ + = − + =b c 11 7 2 6

4、( D ) 圓心在點(9,7)同時又與圓 相切的兩圓中較小者的半徑是

(A)7

2 2

2 4 1

x +y + x− y= 5

5 (B) 5 (C)5 (D)3 5 (E)2 5

解析：兩圓之連心線長為5 5，又圓x²+y²+2x−4y=15之半徑為2 5 故當兩圓外切時，半徑較小為5 5−2 5=3 5

5、( C ) 設二直線2x− =y 11及y− =x 13的交點為Q，令P表示圓x²+y² =10y上離Q最近的 點，則P的坐標( , )x y = (A)(0,10) (B)(4,9) (C)(3,9) (D)(4,8) (E)(5,5)

解析：二直線2x− =y 11及y− =x 13的交點Q(24,37)，

第 1 頁

第 2 頁

2 = =

圓x²+(y−5)² =5 之圓心為C(0,5)，半徑為5，CQ

K

(24, 32) 8(3, 4)

∴P為

2 2

(3, 4)

(0,5) 5 (3, 9)

3 4

+ × =

+

6、( B ) 與圓x²+y²−8x−4y+16=0關於直線7x+5y=1對稱的圓是

(A) (B) (C)

(D) (E)

2 2

8 4 16

x +y + x+ y+ =0 0

0

1

0 14 6

2 6

2 +y + x+ y+ =

x x²+y²+4x+8y+16=

2 2

4 8 16

x +y − x− y+ = x² +y² −6x−6y+14=0

解析：圓心為(4,2)，半徑為2，對7x+5y= 之對稱圓之圓心為 37 (7,5)

(4, 2) 2 ( 3, 3)

74 74

− × × = − −

∴對稱圓為(x+3)²+(y+3)² =4

7、( C ) 圓O :x²+y² =k將圓C : 0之圓周長平分，則

(A)4 (B)9 (C)16 (D)25 (E)36

2 2

6 2 4

x +y − x− y+ = k=

解析：圓C :x²+y²−6x−2y+ = ⇒4 0 (x−3)²+(y−1)² =( 6)² 圓C之半徑為 6，圓心C(3,1)

∵圓O將圓C之圓周長平分，兩圓相交之公弦必為圓C之直徑，OC 10，

∴圓O之半徑為

= 6 10+ =4，∴k =16

8、( B ) 設圓O:x²+y² =27，以A(3,−4)為中點的弦的方程式為x by+ + =c 0，求 ？ (A)

b= 5

−3 (B) 4

−3 (C) 3

−4 (D)3 4 (E)4

3 解析：Sol一：

令HJJGPQ與圓O交於P(

x1,y₁)及Q(x₂,y₂)

∴

1 2

1 2

2 3 2 4 x x y y

⎧ + =

⎪⎪⎨ +

⎪ = −

⎪⎩

⇒ ^{1 2}

1 2

6 8 x x y y

+ =

⎧⎨ + = −

⎩ ， 又

由

2 2

2 2

2 2

1 1

27 27

x y

x y

⎧ + =

⎨ + =

⎩

""

""

1 2

−2

1 得(x₂−x₁)(x₂+x₁) (+ y₂−y₁)(y₂+y₁)= ⇒0 (x₂−x₁)(x₂+x₁)= −(y₂−y₁)(y₂+y₁)

∴ ^{2 1 2 1}

2 1 2 1

1 3

4

y y x x

m b x x y y

− +

= − = = − =

− + ⇒ 4

b −3

=

Sol二：

0 (1, )

x by+ + = ⇒c

K

n = b

，又OA

K

=(3, 4)− / / 1

3 4

n OA⇒ = b

−

K K

，即 4 b −3

=

9、( B ) 已知點A(−3,4)為圓O : 內一點，則以A為中點之弦方程式為直線L，而L

之斜率 (A)

2 2

41 x +y =

m= 4

3 (B)3

4 (C)0 (D)−3

4 (E) 4

−3 解析：OA

K

= −( 3, 4) ， ， ∴L之斜率

OA

K

⊥L

m= 3 3

4 4

−− =

二、填充題 (每題 10 分)

第 3 頁

0 0

1、 設圓C的方程式為2x²+2y²− −x 3y− =5 ，則過點P(2,1)的切線方程式為______。

答案：7x+ −y 15=

解析：∵P為切點 ∴切線方程式為 2 1

2 2 2 1 ( ) 3( ) 5 0

2 2

x y

x y + +

× ⋅ + × ⋅ − − − = ⇒7x+ −y 15=0

2、 設圓C的方程式為(x−3)²+y² =25，則過點P(−1,3)的切線方程式為_________________。

答案：4x−3y+13=0

解析：∵P為切點 ， ∴切線方程式為( 1 3)(− − x− +3) 3y=25⇒4x−3y+13=0

3、 求過A(−6, 4)且與圓C:x²+y²+2x−6y−15=0相切之切線方程式為___________________。

答案：12x−5y+92=0或x= −6

解析：令切線y− =4 m x( +6)⇒L:mx− +y (6m+4)=0

∴圓C:x²+y² +2x−6y−15=0⇒(x+1)²+(y−3)² =25

∴圓心O(−1, 3)，半徑r =5，∴d(O, L)= ⇒r

2

3 6 4

5 1

m m

m

− − + + + =

∴25m²+10m+1=25(m²+1), ∴ 12

m= 5 ，另一斜率不存在，

∴切線為 12

4= ( 6)

y− 5 x+ 及x= −6，即切線：12x−5y+92=0或x= −6 4、 設直線L : 3

y= 4x+b與圓x²+y²+2x−6y=6相切，則b=______ 或 ______。

答案：35 4 ; 5

4

−

解析：圓(x+1)²+(y−3)² =16之圓心為(−1,3)，半徑為4，切線之斜率為3 4

∴切線公式為 3

3 ( 1)

y− =4 x+ 4 ( )^{3 2} 1

± 4 + ⇒ 3

3 ( 1)

y− =4 x+ ±5

⇒ 3 3

4 4

y= x+ 5

或 3

4 4

y= x−5

， ∴ 35 b= 4 或 5

4

−

5、 設圓C的方程式為 ，已知直線L斜率為2，且與圓C相切則直線L 的方程式為______或______。

2 2

8 2 13

x +y + x− y+ =0

答案：y=2x+ +9 2 5; y=2x+ −9 2 5，L斜率為2，

解析：圓C之圓心為(−4,1)，半徑為2

切線L為y− =1 2(x+ ±4) 2 2²+ ⇒1 L為y=2x+ +9 2 5或y=2x+ −9 2 5

7、 自點A(−3,2)作圓 的二切線分別切圓C於P, Q兩點則

(1)直線PQ的方程式為________________, (2)又四邊形OPAQ的面積為___________。

2 2

: ( 1) 5

C x− +y =

第 4 頁

答案：(1)4x−2y+ =1 0 (2)5 3

解析：(1)切點弦PQ之方程式為(x− − − +1)( 3 1) 2y= ⇒5 4x−2y+ =1 0 (2)OA= 2 5，圓C之半徑 5，A到圓C之切線段長為 15

∴四邊形OPAQ的面積為2ΔAPC= 1

2 ( 15 5) 5 3

× ×2 × =

8、 求圓C:x²+y²−6x−8y=0上之點到直線L:4x+3y+36=0之最短距離為______。

答案：7

解析：圓C:x²+y² −6x−8y=0⇒(x−3)²+(y−4)² =25，圓心C(3, 4)，半徑r=5 d(C, L) 12 12 36

16 9

= + +

+ =12，∴最短距離=d O L( , )− =r 12 5− =7

9、 設圓C之圓心在x+ =y 3上，且圓C切2x+ + =y 5 0於(−2,−1)，則圓C之圓心為______，又 半徑為______。

答案：(2,1); 2 5

解析：過(−2,−1)與2x+ + =y 5 0垂直之直線為x−2y=0， 3

2 0

x y x y

⎧ + =

⎨ − =

⎩ ，∴圓心為(2,1)，半徑為

2 2

| 2 2 1 5 | 2 5

2 1

× + + = +

10、有一圓C: 4x²+4y²−4x+4y+ =1 0及圓C外一點P(1,1)，則點P到圓C之切線段長為______。 答案：3

2

解析： ^{2 2 2 2} 1

: 4 4 4 4 1 0 0

C x + y − x+ y+ = ⇒x +y − + + =x y 4 切線段長 (1)² (1)² (1) (1) ^{1 9}

4 4

+ − + + = = 3 2

11、設圓C x: ²+(y+2)² =9，若點P(2,2)為圓外一點，點Q(0,−4)為圓內一點且直線PQ交圓C 於A, B兩點則(1)PA PB× ______, (2)QA QB× =______。

答案：(1)11 (2)5

解析：(1)∵P為圓外一點 ∴PA PB× =P到此圓之切線段長的平方=2²+ +(2 2)²− =9 11 (2)∵Q為圓內一點 ∴QA QB× = =|QC²−r²| | 0= ²+ − +( 4 2)²− =9| 5

12、與直線2x− − =y 3 0相切而圓心為(−1,0)的圓方程式為______。

答案：(x+1)²+y² =5

解析：圓之半徑為(−1,0)到直線2x− − =y 3 0之距離

2 2

| 2 0 5 | 5 2 ( 1)

− − −

+ − = ，∴圓方程式(x+1)²+y² =5

13、設A(−4, 4)，圓C:x²+y²−6x−6y− =7 0若通過A點對圓C作二切線得切點為P, Q，則

(1)AP=_________。 (2)△APQ之外接圓方程式為__________________。

答案：(1) 5 (2) x² +y² + −x 7y=0 解析：(1)AP= 16 16 24 24 7+ + − − =5

(2)△APQ之外接圓即以OA為直徑之圓，∴圓心O(3, 3)

∴(x−3)(x+ +4) (y−3)(y− = ⇒4) 0 圓為x² +y² + −x 7y=0

14、對任意實數k，圓x²+y²+kx+ky− −13 5k=0恆通過兩定點，則此二定點坐標為________和

___________；又對不同的k值，所產生之圓的圓心軌跡方程式為_____________。

答案：(2,3); (3,2); x− =y 0

解析：圓系：(x²+y²−13)+k x( + − =y 5) 0

2 2

13 0 5 0 x y

x y

⎧ + − =

⎨ + − =

⎩ ⇒( , )x y =(2, 3)或(3,2) 為二定點

因為圓心至兩點(2,3); (3,2)等距，故其圓心軌跡方程式為(2,3)與(3,2)之中垂線，即

⇒

0 x− =y 15、直線x+2y=0截圓(x−3)²+(y−1)² =16於兩點A, B，則線段AB之中點坐標為______。

答案：(2,−1)

解析：(3,1)對直線x+2y=0之投影點為 5 (1, 2)

(3,1) (2, 1)

5 5

− × = −

16、坐標平面上，圓C:x²+y²+4x+2y−20=0，圓外一點P(2,−6)，過P對圓C做切線，切點 為A, B，則過P, A, B三點的圓方程式為________。

答案： x²+y²+7y+ =2 0

解析：圓C:x²+y² +4x+2y−20= ⇒0 (x+2)²+(y+1)² =25 ∴圓心為C( 2− −, 1)，半徑為5 過P, A, B三點的圓即以P(2, 6)，C− ( 2− −, 1)為直徑的圓，

直徑式 (x−2)(x+ +2) (y+6)(y+ =1) 0 ⇒x²+y²+7y+ =2 0

17、過點(2,−5)的直線L交圓C :(x−1)²+(y−2)² =10於P, Q兩點且PQ=2 5，則直線L之斜率 為______或______。

答案：−2; 11 2

解析：設直線PQ為y+ =5 m x( − ⇒2) mx− −y (2m+ =5) 0,

2

2 2 5

1

m m

m

− − −

+ = 5

∴2m²−7m−22=0, (m+2)(2m−11)=0， ∴m= −2或11 2

18、設圓心在x−2y+ =3 0上且與兩坐標軸相切之圓方程式為______________________。

1 9

答案：(x+1)²+(y−1)² = 或(x−3)²+(y−3)² =

解析：設圓心O(2t−3, t)，與兩坐標軸相切⇒ 2t−3 = t ⇒2t− = ±3 t，

∴ 或1，故圓心(−1, 1)或(3, 3)

∴圓： 或

3 t=

2 2

(x+1) +(y−1) =1 (x−3)²+(y−3)² =9

第 5 頁

第 6 頁

0

0 0

19、設圓 : 與圓 : 相交於A, B兩點，則

(1)直線AB的方程式為______,

(2)圓 通過A, B兩點且通過點D(3,0)則圓 之方程式為______。

C1 x²+y² =1 C₂ x² +y²+2x+4y+ =1

C3 C₃

答案：(1)x+2y+ =1 (2)x²+y²−2x−4y− =3

解析：(1)直線AB的方程式為(x²+y²+2x+4y+1)− (x²+y²− = ⇒ +1) 0 x 2y+ =1 0 (2)設通過A, B兩點之圓C₃為(x² +y²− +1) k x( +2y+ =1) 0

此圓通過點D(3,0)代入上式，∴ 1

k= − ⇒2 圓C₃之方程式為x²+y²−2x−4y− =3 0

20、二圓C , 則

(1)二圓之外公切線段長為何？

(2)二圓之二條外公切線的交點為何？

(3)二圓之二條外公切線方程式為何？

(4)二條外公切線之交角為

1

2 2

:x +y +2x=0 C₂: (x+3)²+(y+4)² =9

θ，則sinθ =？ 答案：(1)4 (2)(0, 2) (3) 3

4 2

y= x+ 與x=0 (4)4 5

解析：(1)圓C₁圓心(−1,0)，半徑r₁=1，圓C₂:圓心(−3,4)，半徑r₂ =3，又連心線長2 5 外公切線段長為 C C_{1 2}²−(r₂−r₁)² = 20 2− ² =4

(2)二條外公切線的交點為 3 ( 1) ( 1) ( 3) 3 0 ( 1) ( 4)

( ,

3 1 3 1

× − + − × − × + − × −

− − )=(0, 2)

(3)設外公切線方程式為 0

∴

2 ( 0) 2

y− =m x− ⇒mx− + =y

2

2 1

1 m m

− + =

+ ，4m= ⇒3 3

m=4，另一斜率不存在

∴二條外公切線為 3 4 2

y= x+ 與x=0

(4)二外公切線之交角為θ ，∴ 2 1

sin2 2 5 5

θ _{= =}

, 2

cos2 5 θ ₌

∴ 1 2 4

2 sin cos 2

5 5 5

= = × × =

θ θ θ

4 sin

21、設C : , :

(1)求C 與C 的內公切線段長。

(2)求兩個內公切線的交點。

(3)求內公切線的方程式。

1

2 2

1

x +y = C₂ (x−1)²+(y−3)² =

1 2

答案：(1) 1 (2) (1

3, 1) (3) y=1或 3 1

( )

4 3

y= − x− +1 解析：(1)O O_{1 2} = (1 0)− ²+ −(3 0)² = 10

內公切線長AB =O C₁ = O O_{1 2}²−O C₂ ² = 10 (1 2)− + ² =1 (2)如圖：O P₁ :O P₂ =O A₁ :O B₂ =1：2

∴ 2 ₁ 1 ₂ 2 1 1 (0, 0) (1, 3) ( ,1)

3 3 3 3 3

OP

K K K

= OO+ OO = + =

，∴P(1 3, 1)

(3)設內公切線為L: 1

( ) 1+ ⇒

y=m x−3 1

3 1 0 mx− −y m+ =

∵d(O₁, L)= ⇒1

2 2

1 1

3 1

( 1) m m

− +

+ − = ⇒ 1 ²

1 1

3m− = m +

⇒ 1 ² 2 ²

1 1

9m −3m+ =m + ⇒ 8 ² 2

9m +3m=0，∴m=0或 3

−4

∴內公切線為y=1或 3 1

( )

4 3

y= − x− +1

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