PDF 數線上的幾何

(1)

哈特利高中數學數線上的幾何

§ 數線上的幾何

主題1：尺規作圖

1.有理數與無理數的作圖：

(1)在數線上標示出有理數的坐標位置：

若m n, 皆為整數，且n0，則在數線上標出代表m

n 對應點的作法如下：

【步驟一】在數線上找到整數m的對應點P。

【步驟二】過原點O﹐作一異於數線的直線L。

【步驟三】利用圓規在L上取n個點﹐A A₁, ₂, , A_n﹐使得 OA₁A A_{1 2}  A A₂ ₃  A A_n_₁ _n ﹒

【步驟四】連接A P_n ，再過A₁，作一直線A Q₁

平行於A P_n 且與數線交於點Q，則點Q即為對應到有理數m

n 的點。

(2)在數線上標示出有 n型的無理數坐標位置：

若n p q其中p q, 皆為正整數，則在數線上標出代表 n對應點的作法如下：

【步驟一】在數線上找到整數p及q的對應點P Q, 。

【步驟二】以PQ為直徑作一半圓﹐如右圖：

【步驟三】過原點O作OAPQ

且交半圓於A點，則OA p q  n

【步驟四】以原點為圓心，OA為半徑畫一弧交數線正向於一點B，則點B即為對應到無理數 n的點。

(2)

重要範例：尺規作圖

1.以線段為單位長（長度為1）﹐試作出長度為 5的線段﹒

解利用直尺及圓規作圖﹒首先作一線段AB6﹐ 以AB為直徑作一半圓﹐在AB上取點D﹐使AD1﹐ 過點D作AB的垂線交半圓於C﹒由於ACB90﹐ 故CD 5﹒

隨堂練習.以線段為單位長（長度為1）﹐試作出長度為 3的線段﹒

解利用直尺及圓規作圖﹐首先作AB4﹐以AB為直徑作一半圓﹐

在AB上取點D﹐使AD1﹐過點D作AB的垂線交半圓於C﹐

由於ACB90﹐故CD 3﹒

2.已知油畫的尺寸號碼與其面積成正比﹐令尺寸為10號的A畫大小為53公分41公分﹐若

B畫為65公分50公分大小﹐則B畫應是幾號？

解設B畫為x號﹐則(53 41) : (65 50) 10 :   x﹐ ^{65 50 10} 15 53 41

x  

 

 （號）﹒

隨堂練習.一張B4的紙對摺後剪開可得兩張B5的紙﹐且B5與B4的紙是相似形﹐求B4紙中矩形的長寬比為？

解設矩形原來的寬為1，長為x（x1），則對摺後的長方形長為1，寬為 2 x，

故 :1 1:

2

x  x，得

2

2 1

x  ，x² 2，x 2。即矩形的長寬比為 2 :1﹒

(3)

3.義大利畫家達文西把一線段分成兩段不相等的線段﹐使得較長的一段與較短的一段之比等於全段與較長一段之比﹐而這種比值稱為黃金比例﹐常用φ表示：，

5 1 2 AP AB BP AP

   ^ ﹐試求BPAB時的值﹒

解 1 1 2

( )

BP AP A

 

   B﹐ ( )¹ ² ( ² )² ( ^{5 1})² ³

2 2

 5 1



 

   



5 ﹒

隨堂練習.某生使用直尺與圓規作圖﹐在線段AB上

(1)作直角△ABC﹐滿足 ¹

BC2AB﹒

(2)以C為圓心﹐BC為半徑畫弧交AC於D﹒

(3)以A為圓心﹐AD為半徑畫弧交AB於P﹒

試問AP k PB 時的k值﹒

解設BC1﹐則AB2﹐AC 5，

又因CD BC 1﹐得AD 5 1 ﹐即AP AD  5 1 ﹐ 而PB AB AP   2 ( 5 1) 3   5﹐

即 ^{5 1} ^{5 1} 3 5 2

k AP BP

 

  

 ﹒

4.下列各無理數中﹐何者可以尺規作圖的方法﹐在數線上標出代表它們的點﹖ (1) 2 2

(2) 2 3 (3)³2 (4)⁴2 3 (5)﹒

解 (I)只要ⁿa（a  0﹐n  2^k﹐k是正整數）皆可以尺規作圖﹐∴(1)(2)(4)可作圖﹒

(II)³2與 不可以尺規作圖是古希臘三大難題之中的二個無解難題﹒

故選(1)(2)(4)﹒

(4)

主題2：分點公式

1.數線上的分點公式：已知數線上相異兩點A a( ), B b( )且AP PB m n:  : ，則：

(1)內分點：P(x)AB，則 mb na

x m n

 



(2)外分點：P(x)AB，則 mb na

x m n

 



(3).中點公式：已知數線上兩點A a( ), B b( )，則AB的中點P坐標為

2 a b

重要範例：分點公式

1.設r﹐sQ且r  s﹐若r  t  s﹐則t值可為下列何者﹖ (1) 7 r s

(2)² ² 7 r s

(3)³ ³ 7 r s (4)⁴ ⁴

7 r s

(5)⁵ ² 7 r s

﹒

解由分點公式知：若r  t  s﹐t為r﹐s的內分點則t ^{nr ms} m n



 ﹐ 故選(5)﹒

隨堂練習.（）設r､s是有理數﹐r  s且m､n是正整數﹐則下列何者恆成立﹖ (1) 3 r r s

 s



(2) ³ ³

4 2 4

r s  r s

 r s s (3) 2 3 3r 2

5 5

r s s

r   s

   (4)r ^{nr ms} s

m n

  

r  ﹒

解  P  B 且

A

: :

AP PBm n﹐A(r)﹐B(s)﹐則 (nr ms) P m n



 ﹐ 選(2)(4)﹒

滿足故

2.數線上有二定點A(3)﹐B(5)﹐又P為數線上另一點﹐ PA PB: 3:2﹐則：

之

( 點P不在之間時﹐P的坐標為____________﹒

(1)設 ﹐則

(1)當點P在A, B 間時﹐P的坐標為____________﹒

2)當 A B,

解 P x( ) 2 ( 3) 3 5 9

3 2 5

x    

 

 ﹒

(2)若P不介於A﹐B之間﹐則P在B右側，5 ^{2 ( 3) 1} 1 2

   x

  ，

15 = 6  x，得x = 21﹒

即

(5)

隨堂練習.數線上兩點A( − 2)，B(13)，已知數線上一點P(x)，且AP：BP3 2：，求x的值。

解若P(x)點在AB上，則 3 13 2 ( 2) 35

3 2 5 7

x     

  。

若P(x)點在AB外，則AB BP： 1 2：， 1 2 ( 2) 1 2 13    x

 ，得x = 43。

故x = 7或43﹒

4.有兩隻螞蟻黑蟻與白蟻，黑蟻在數線上的A(4)處，白蟻在數線上的B( − 6)處，已知每分鐘

黑蟻與白蟻可分別在數線上爬行2單位長及3單位長。今他們同時由所在的位置開始等速爬行，並規定如下：

(I)白蟻一直向右。

(II)若黑蟻一開始向右，就只能一直向右；一開始向左，就只能一直向左。

(III)他們中途不會停止，直到相遇為止。

若他們在數線的C點相遇，則C點坐標為____________。（有二解）

解 (I)設黑蟻一開始向右，且t分鐘後相遇，

6 4

B(白) A(黑) -

⇒ 3t – 2t = 10 ^⇒ t = 10，所以C點坐標為4 + 2 × 10 = 24。

(II)設黑蟻一開始向左，且t分鐘後相遇，

6 4

B(白) A(黑) -

⇒ 3t + 2t = 10 ^⇒ t = 2，所以C點坐標為 − 6 + 3 × 2 = 0。

故C點坐標為0或24﹒

隨堂練習.在坐標平面上﹐正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A(0,1)﹐B(0,0)﹐C(1,0)﹐D(1,1)﹒

設P為正方形ABCD內部的一點﹐若△PDA與△PBC的面積比為1：2﹐且△PAB與△PCD的面

積比為2：3﹐則P點的坐標為____________﹒（化成最簡分數）﹒

解 △PAB：△PCD = 2：3﹐由分點公式知 ² a 5

P(a,b) D(1,1) A(0,1)

C(1,0)

B(0,0) x

 ﹐ y

△PDA：△PBC = 1：2﹐由分點公式知 ²

b3﹐故 ( , )^{2 2} P 5 3 ﹒

(6)

主題3：絕對值

1.絕對值：設aR，|a|表數線上與原點的距離。 a

※絕對值的定義：設a為實數﹐則規定 , 0

| | , 0

a a

a a a

 

   當時

當時

2.設P﹐Q為數線上兩點，其所對應的實數分別為a,b，則P,Q兩點的距離PQ|a b |。 3.絕對值的基本性質：

(1). xa bab xab； xa b xabxab

(2). 2 2

n m n x m

m x

n       ；

2 2

n m n x m

n x m

x       

(3). a b  ab  a b

4.區間：在表示數線上的範圍時，也可以使用小括弧（），中括弧[ ]來表示區間的符號，

現在定義如下：

設 a、b 為實數且 a＜b。我們將數線上的範圍

(1)a x b  記為[a﹐b]（又稱為閉區間，即含兩端點）。 (2)a x b ＜記為[a﹐b）。

(3)a x b＜  記為（a﹐b]。

(4)a x b＜＜記為（a﹐b）（又稱為開區間，即不含兩端點）。 (5)x a 記為[a﹐∞）（其中∞是表示無限大的一個記號）。 (6)x＞a 記為（a﹐∞）。

(7)x a 記為（－∞﹐a]。

(8)x＜a 記為（－∞﹐a）。

(7)

重要範例：絕對值的性質

1.設|a|  |b|﹐a﹐b為實數﹐則下列何者正確﹖ (1)|a|  0 (2)|b|  0 (3)|a|  b  0 (4)|b|  a  0 (5)a(a  b)  0﹒

解 (1)|a|  |b|  0  |a|  0﹒

(2)|b|  0﹒

(3)|a|  b  |a|  |b|  0  |a|  b  0﹒

(4)反例﹕a   3﹐b  2﹒

(5)當a  0時﹐a  |b|   b﹐∴a  b  0﹐∴a(a  b)  0﹒

當a  0﹐由已知0  |b|  0不合﹒

當a  0﹐已知  a  |b|  b﹐∴  a  b  0﹐即a  b  0﹐∴a(a  b)  0﹒

故選(1)(3)(5)﹒

隨堂練習. ( )實數a與b滿足a < b且|a| > |b|，則下列各選項的推論哪些是正確的？

(A)a < 0 (B)b < 0 (C)a + b < 0 (D)ab < 0 (E)|a| > b﹒

解 (A)○：設a ≥ 0 ⇒ 0 ≤ a < b ⇒ |a| < |b|，矛盾，故a < 0

(B)╳：反例：取a = − 2，b = 1滿足題意，此時b = 1 > 0

(C)○：|b| < |a| ⇒ − |a| < b < |a|，

又a < 0 ⇒ − ( − a) < b < − a，即b < − a ⇒ a + b < 0 (D)╳：反例：取a = − 3，b = − 2，此時ab = 6 > 0 (E)○：因為|a| > |b|且|b| ≥ b，所以|a| > |b| ≥ b ⇒ |a| > b

另解：因為a < b且|a| > |b|，即a < b且a至原點的距離大於b至原點的距離，所以數線上的圖形為

a b 0

a b

大小

a b 0 或

或

=0 由圖可知上述選項的真偽﹒

故選(A)(C)(E)﹒

2.設a﹐b﹐c是整數﹐已知|a 2 | 3 |b 5 | 4 |c 1| 2﹐求a﹐b﹐c之值﹒

解因為| a  2 |  0﹐| b  5 |  0﹐|c 1| 0﹐

所以| b  5 | = 0﹐| c  1 | = 0﹐| a  2 | = 2﹐才滿足原方程式﹐

故b = 5﹐c = 1﹐a = 2  2 = 4或a = 2  2 = 0﹐

即a = 4或0﹐b = 5﹐c = 1﹒

(8)

隨堂練習.設x，y，z為整數，2|x + 1| + |y + 2| + 3|z − 3| = 4，則(x,y,z)有____________組。

解 (I)|z − 3| = 1時：2|x + 1| + |y + 2| = 1 |x + 1| = 0，|y + 2| = 1，

此時x = − 1，y有2解，z有2解，共組成4解。

(II)|z − 3| = 0時：2|x + 1| + |y + 2| = 4

|x + 1| = 2，|y + 2| = 0…(i)或|x + 1| = 1，|y + 2| = 2…(ii)或|x + 1| = 0，|y + 2| = 4…

(iii)，

由(i)得x有2解，y有1解，z有1解，共組成2解，

由(ii)得x有2解，y有2解，z有1解，共組成4解，

由(iii)得x有1解，y有2解，z有1解，共組成2解，

由(I)(II)知共有4 + (2 + 4 + 2) = 12（解）。 ﹒



3.設a1，試化簡 a²2a 1 a²2a1﹒ 解

∵a1 ∴a 1 0， a²2a 1 a²2a1

2 ( 1 2

a  a

( 1) 2

( 1

 

( 1

 

) ) |

﹒

|a 1| |a 1

    )

a  a

隨堂練習.設0 x 1﹐試化簡 x² ¹₂ 2 x² ¹₂ 2

x x

     解 ∵0 x 1 ∴1

1 x 0

x   

2 2

1 1

2 2

x x

    

2 2

1 1 1

(x ) (x ) |x | |x 1

x x x |

       

x

1 1

(x ) (x ) 2x

x x

     ﹒

4.數線上有點A(0)，B(4)，C(7)，D(9)，若P(x)到A，B的距離和恰等於到C，D的距離和，

即PA PB PC PD   ，則x = ____________。

解

在數線上A，B，C，D的相對位置為： ⁰

A 4 B

7 C

9 D

又PA PB PC PD   ⇒ P點在BC上，即4 ≤ x ≤ 7，

所以PA x 0，PB x 4，PC 7 x，PD 9 x

x + (x − 4) = (7 − x) + (9 − x) 2x − 4 = 16 − 2x x = 5﹒

  

(9)

5.設a與a2為異號的兩實數，且均為方程式x²  x 3k 0的解，則k_______.

解 ∵a與a2為異號 a 0,a 2 0代入方程式得

2 3 0 2 3

a  a k  a  a k0……

2 2

( 2) 2 3 0 ( 2) (

0

2) 3 0

a   a k  a   a k  …… 得

代入　



  6  6

2 2

(a2)   (a 2) a  a 0  a 1

a

1 1 3k  0 k 2

3﹒

重要範例：解絕對值方程式

1.x  R，求使 | x  3 |  | x  8 |  k有解之最小整數k。

解 ∵ | x  3 |  | x  8 |  | 3  x |  | x  8 |  | (3  x)  (x  8) |  11

∴ | x  3 |  | x  8 |  11

∵ k  | x  3 |  | x  8 | 有實數解

∴ k  11，故最小整數k  11﹒

隨堂練習.設x是實數﹐且y = | x  5 |  | x  3 |﹐則y的最小值為____________。

解 x  5時﹐y = x  5  x  3 = 2x  2  8﹒

 3  x < 5時﹐y = 5  x  x  3 = 8﹒

x <  3時﹐y = 5  x  3  x = 2  2x > 8﹒

故y的最小值為8﹒

2.方程式|x + 1| + |2x − 3| = 4的解為____________。

解

當x ≥ 3

2時，原式為(x + 1) + (2x − 3) = 4 x = 2，

當− 1 ≤ x <

 3

2時，原式為(x + 1) + (3 − 2x) = 4 x = 0，

當x < − 1時，原式為( − x − 1) + (3 − 2x) = 4 x =



2

3

（不合），所以x = 0或2﹒

(10)

隨堂練習.數線上有三隻螞蟻，而三隻都沿著數線上移動，在某個時刻三隻螞蟻的位置分別在 A(1)、B(3)、C(x)，且彼此間的距離和為6。

(1).利用絕對值方程式來說明三隻螞蟻彼此間位置，下列何者可表示？（單選題）

(A)|x − 1| + |x + 3| = 6 (B)|x − 1| + |x − 3| = 4 (C)|x + 1| + |x − 3| = 6 (D)|x − 1| + |x − 3| = 6 (E)|x − 1| + |x + 3| = 4

(2).若在C點的螞蟻不在原點上，則x = ？（非選擇題）

解 (1) 三隻螞蟻彼此間的距離可表示為|x − 1|，|x − 3|，|3 − 1|

|x − 1| + |x − 3| + |3 − 1| = 6即|x − 1| + |x − 3| = 4。



(2)分段討論：

(I)若x ≥ 3，x − 1 + x − 3 = 4 2x = 8，所以x = 4。

(II)若1 ≤ x < 3，x − 1 − x + 3 = 4（不合）。 (III)若x < 1， − x + 1 − x + 3 = 4 x = 0，

又在C點的螞蟻不在原點上，故x ≠ 0，因此x = 4﹒



3.方程式|x + 2| − |2x − 3| = x – 5的解為____________。

解 (I) 3

x2時 (x + 2) – (2x − 3) = x − 5 x = 5（合）。 (II)

 

2 3 x 2

   時 (x + 2) + (2x − 3) = x − 5 x = − 2（合）。

(III)x < − 2時 − (x + 2) + (2x − 3) = x – 5 x − 5 = x − 5恆成立，

所以x < − 2（合）。

故由(I)，(II)，(III)知x ≤ − 2或x = 5﹒



隨堂練習.設x為實數，且2|x + 1| + |x − 2| − x = 8，則x的解為____________。

解 x + 1 | = 0及| x − 2 | = 0的解x = − 1和x = 2分段討論如下：

(I)x < − 1時，2( − x − 1) + (2 − x) − x = 8，得x = − 2，

(II) − 1 ≤ x < 2時，2(x + 1) + (2 − x) − x = 8，得4 = 8（不合）， (III)x ≥ 2時，2(x + 1) + (x − 2) − x = 8，得x = 4，

故x = − 2或4﹒

(11)

重要範例：解絕對值不等式 1.解下列絕對值不等式：

(1) x 3 (2) x 3 (3) 2x 1 5 (4) x 2 3 (5) 2  x 4 5。解 (1) x     3 3 x 3

以區間表示其解為[ 3 ,3]

(2) x   3 x 3或

以區間表示其解為( , 3 x 

 3) (3, )

(3) 2x 1 5

以區間表示其解為[ 3

5 2x 1 5

    

2 x 3

   

 ,3]

(4) x 2 3 2 3或

  x x  2 3

 1



或

以區間表示其解為( , 5

 x x

1] [5,

  )

(5) 2  x 4 5

5或 2

或  以區間表示其解為

2 x 4

   

6 x 9

  

5 x 4

     1 x2

( 1, 2) (6,9) 

﹒

(12)

隨堂練習.不等式4 < |2 − 3x| ≤ 16的解為____________。

解 (I)|2 − 3x| ≤ 16  − 16 ≤ 3x − 2 ≤ 16  14 3 x 6

   ， (II)4 < |2 − 3x|  2 − 3x > 4或2 − 3x < − 4  x < 2

3或x > 2，

所以 14 2

3 x 3

    或2 < x ≤ 6 以區間表示其解為[ ⁴, 2) (2, 6

3  ]

2

﹒

2.解不等式 ^| ^{3 | 5} 。

| 1|

x x

  

   



解 |x − 3| < 5  − 5 < x − 3 < 5  − 2 < x < 8，

| − x + 1| ≥ 2  |x − 1| ≥ 2  x − 1 ≥ 2或x − 1 ≤ − 2  x ≥ 3或x ≤ − 1。

聯立不等式的解為x的共同範圍，故3 ≤ x < 8或 − 2 < x ≤ − 1﹒

隨堂練習.設a，b為實數，若不等式 ^|1

|1

2 | 3

| 2 x x

 

  

 和

1

|ax − 9| < b的解相同，則a – b的值為何？ (A)

− 3 (B)− 5 (C) − 7 (D) − 9 (E) − 11

解 (I)(i)|1 + 2x| < 3  − 3 < 1 + 2x < 3  − 2 < x < 1，

(ii)|1 − x| > 2  x − 1 > 2或x − 1 < − 2  x > 3或x < − 1，

所以^   − 2 < x < − 1。

(II) − 2 < x < − 1 

|1 2 | 3

|1 | 2 x x

 

   2 1

3 x

x x

  

  

 或

3 3 3

2 ( ) ( ) 1 ( 2)

2 x 2

        



1 3

2 x 2

 1

    2

⇒

3 1

| |

2 2

x 



1 1

| ( 6 9) |

6 x 2

   

⇒

1 1

| 6 9 | 6  x  2

 | − 6x − 9| < 3，

所以a = − 6，b = 3，故a − b = − 6 − 3 = − 9﹒

3.若不等式|3x − p| < 4的解集合中的整數僅有1，2，3三數，則p值的範圍為？

解 |3x − p| < 4  − 4 < 3x − p < 4  4 4

3 3

p p

   x  ，又不等式的整數解為1，2，3

所以

3 4 4

3

0 4 1

3 p

p

   

  

  



 9 4 12 3

  p



0 4 p

    



5 p 8

4 p 7

  

  

  5 < p < 7﹒

(13)

隨堂練習.滿足不等式 ^{| 2} ^{5 | 8}的整數x有____________個。

| 1| 3 x x

  

  



解 (I)|2x − 5| ≤ 8  − 8 ≤ 2x − 5 ≤ 8  − 3 ≤ 2x ≤ 13  3 1

2 x 23

   。 (II)|x − 1| ≥ 3  x − 1 ≥ 3或x − 1 ≤ − 3  x ≥ 4或x ≤ − 2。

所以由(I)，(II)知 13

4 x 2 ，故整數x = 4，5，6共3個。

4.設a，b，xR，若 | ax  1 |  b之解為  2  x  5，求a，b之值。

解 | ax  1 |  b   2  x  5

  2  2 3 x 

2 3 5 

2 3

  2 7 x 

2 3

2 7

 | x  2 3 | 

2 7

 |  3

2 | | x  2 3 | 

3

2．

2

7  | 

3

2x  1 |  3 7

∴ a   3 2，b 

3 7﹒

隨堂練習.設a﹐b皆為實數﹐若|ax  2|  b的解為x  5或x   3﹐則a  b  ____________﹒

解 x  5或x   3  x  1  4或x  1   4

 |x  1|  4  |  2x  2|  8﹐

∴a   2﹐b  8﹐a  b  6﹒

5.有兩家無線電計程車行﹐甲家是車資一律8折收費﹐乙家是超過100元的車資7折計費﹐

即滿100元時﹐收費為1000.7 |x100 |﹒若兩家的收費相同時﹐原始的車資為多少元？

解設原始的車資為x元，依題意：0.8x100 0.7 | x100 |，得x300（元）﹒

(14)

隨堂練習.如圖所示﹐數線上有A﹐B﹐C﹐

D﹐E﹐F六個公車站牌；已知其中有一路段標線為紅色警示﹐此紅色路段在B站4 公里的範圍內﹐且在E站2.4公里的範圍內﹐試問此路段在哪兩公車站牌之間？其長度最長又是多少公里？

解 C﹐D之間﹐0.4公里﹒設紅色警示路段的左端點為a﹐右端點為b﹐

則| a 1.5|  4，| b 1.5|  4﹐

且| a 4.5|  2.4，| b 4.5|  2.4﹒

由此可解得2.1  a  2.5且2.1  b  2.5﹒

由a < b可知﹐紅色警示的最大範圍a  x  b為a = 2.1﹐b = 2.5；

即紅色警示路段在公車站牌C﹐D之間﹐其長度最長是0.4公里﹒

6.在一筆直公路上有A﹐B兩村分別位於此公路的8公里與13公里處﹐有一路段標示紅色警

戒﹐此紅色警戒路段在距離A村4公里的範圍內﹐且在距離B村3.2公里的範圍內﹐則﹕(1) 此紅色警戒路段標示在此公路的幾公里處﹖ (2)此紅色警戒路段共長多少公里﹖

解設在公路的x公里處為紅色警戒路段

(1) ﹒

(2)∴12  9.8  2.2（公里）﹒

| 8 | 4 4 12

9.8 12

| 13 | 3.2 9.8 16.2

x x

x x x

   

 

  

     

  

隨堂練習.郊區一筆直的路段設有水廠A與電廠B各一座﹐其坐標

如圖所示A(  2)﹐B(4)﹐為了回饋沿路居民﹐水電的基本費計算方式

為﹕「住戶到電廠距離的2倍加上該住戶到水廠的距離和為該用戶的水電基本費﹒」試求該路段基本費不超過21元的區域範圍﹒

（今設路段住戶P坐標x﹐即求x範圍）

解依題意可設|x  2|  2|x  4|  21﹐

x  4﹕x  2  2x  8  21  4  x  9﹒

  2  x  4﹕x  2  2x  8  21   2  x  4﹒

x   2﹕ x  2  2x  8  21   5  x   2﹒

故 5  x  9﹒