【試題．答案】
依據大考中心公布內容
出 版∕民國一○九年七月
發行所∕7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號 電 話∕(06)2619621 #312
總召集∕陳彥良 總編輯∕李心筠 主 編∕吳崇欽 責 編∕李遠菡
忠明高中 陳冠州
老師數 學 乙
數 學 乙
忠明高中 / 陳冠州老師
一 回顧與歷屆試題分析
首先我們先回顧一下，102 年指定科目考試是第一次依 99 課綱命題，至 108 年 指考各章命題分數統計如下：
範圍 102 年 103 年 104 年 105 年 106 年 107 年 108 年
數與式 0 8 0 6 0 0 6
多項式函數 6 16 16 14 14 19 8 指數與對數函數 12 6 8 8 14 14 8
排列、組合 8 8 6 8 8 6 16
機 率 0 8 8 6 0 16 16
數據分析 14 6 8 8 8 0 0
直線與圓 20 24 24 12 8 13 19
平面向量 8 8 8 14 8 8 13
矩 陣 8 8 8 6 13 8 6
機率統計 16 0 8 12 19 8 8
極限與函數 8 8 6 6 8 8 0
由以上各章命題分數，分析數點歸納如下：
1 以冊分析，第二、三冊是考最多的。
2 以章分析，以第三冊第二章中的直線考最多，第一冊第二章的多項式函數次之。
3 以數學領域分析，以機率統計四章（排列、組合、機率、數據分析、機率統計）
考最多，每年約考 35 分，這也呼應了大學社會組科系最重視的數學部分。
4 近年試題趨勢，非常注重觀念及圖表解讀，不強調複雜計算，素養題每年都會 考，所以練習看長文題劃重點及注意時事，是學子要加強練習的重點。
5 對於公式定理部分：對數律、直線方程式、線性規劃、期望值是每年必考。此 外，幾乎每年非選擇題第二題都是線性規劃，其難度居中，但計算量頗大，所以 學子務必多做練習，訓練正確數學表示法，以期拿取高分。
109指考 109指考
二 109 指定科目考試數學乙試題分析
大考中心所列指定科目考試測驗六目標：概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力，109 指定科目考試數學乙占 六目標比率依次為 17 ％、14 ％、21 ％、21 ％、20 ％、7 ％，比較重視的是閱讀與 表達的能力、連結能力、論證推理的能力。
109 數學乙試題分配章節表
範圍 類型
數與式 －
多項式函數 多選 4 指數與對數函數 非選一 排列、組合 單選 2 機 率 多選 6 數據分析 單選 3，選填 C 直線與圓 選填 A、D，非選二
平面向量 非選二
矩 陣 單選 1 機率統計 多選 6、選填 B 極限與函數 多選 5 由上表試題分配章節表可知：
1 配題：除了數與式以外，每章節都有考到，各章配分大致差不多；若以數學領域 分析，仍以機率統計四章（排列、組合、機率、數據分析、機率統計）共占 36 分 最多。
2 難易度：中間偏易，與去年比較難度略增，預估各標略降為頂標 82 分、前標 72 分、均標 50 分、後標 29 分、底標 18 分，請同學參考。
3 素養題：今年有四題素養題，如多選 3 探討 IQ 與腦容量的相關性；選填 C 結合 職場薪水；尤其非選一，最不出意外，果然考了傳染病的傳染力問題，跟新冠肺 炎搭上關係，學子只要會指、對數運算就可解題，屬中等難易度；非選二考平面 向量或直線，學子有多種想法可以解出，算不錯的題目。
4 其他特色：此份考卷中文敘述明確，沒有以前模稜兩可的文字敘述，這很值得嘉 許。數學乙共出了 12 題，其中與課本習題有高度相似的有單選 1、2、3，選填 A、B，共計 5 題，因此建議程度中等或較弱學子，要熟練課本習題，不要好高騖 遠狂寫模擬考題，反而會事倍功半。
三 110 指定科目考試數學乙展望
（b：109 年為預估值）
從上圖走勢觀察發現近十年中，除 104 年外，其餘每年的前標都接近 75 分，表 示題目難易度穩定，因此歷屆試題非常有參考價值，學子應該仔細算完每一題，並瞭 解每一個步驟原委，這會有很大的助益。明年雖然是 99 課綱的最後一屆，但預估依
舊維持近年的難易度。 F
數 學 乙
忠明高中 / 陳冠州老師
第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）
一、單選題（占 18 分）
說明：第1題至第3題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，
請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、
未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1 矩陣 －1 0 1 －1
5
與下列哪一個矩陣相等？
1 －1 0
－5 －1 2 1 0
－5 1 3 －1 5
0 －1 4 1 0
5 1 5 －1 0
5 －1
答 案 5
命題出處 第四冊第三章 矩陣
測驗目標 矩陣的乘法
難 易 度 易
詳 解 －1 0 1 －1
2
＝ －1 0 1 －1
－1 0
1 －1 ＝ 1 0
－2 1
－1 0 1 －1
5
＝ －1 0 1 －1
2 －1 0
1 －1
2 －1 0
1 －1
＝ 1 0
－2 1 1 0
－2 1
－1 0 1 －1
＝ 1 0
－4 1
－1 0
1 －1 ＝ －1 0 5 －1 故選5
b： －1 0 1 －1
n
＝（－1）n 1 0
－n 1
2 某畢業班由 8 位同學負責畢旅規劃，分成 A、B、C 三組，且三組分別由 3 人、
3 人、2 人組成。8 位同學每人都會被分配到其中一組，且甲、乙兩位同學一定 要在同一組。這 8 位同學總共有幾種分組方式？
1 140 種 2 150 種 3 160 種
4 170 種 5 180 種
答 案 1
命題出處 第二冊第二章 排列、組合
測驗目標 分組問題
難 易 度 中偏易
詳 解 1（A﹐B﹐C）＝（甲乙＋1﹐3﹐2）! C16×C35×C22＝60（種）
2（A﹐B﹐C）＝（3﹐甲乙＋1﹐2）!同1，有 60 種 3（A﹐B﹐C）＝（3﹐3﹐甲乙）! C36×C33＝20（種）
合計 60＋60＋20＝140（種）
故選1
3 為了瞭解 IQ 和腦容量是否有關，一項小型研究利用核磁共振測量了 5 個人的 腦容量（以 10,000 像素為單位），連同他們的 IQ 列表如下：
腦容量（X） 90 95 91 88 106
IQ（Y） 90 100 112 80 103
已知上表中的 X 之平均值為mX＝94，Y 之平均值為mY＝97，腦容量（X）與 IQ（Y）的相關係數為 rX﹐Y。根據上述表格，試判斷 rX﹐Y的值最可能是下列哪 一個選項？
1 rX﹐YN－1 2－1＜rX﹐Y＜－0.5 3 rX﹐Y＝0 4 0＜rX﹐Y＜0.5 5 rX﹐YM1
答 案 4
命題出處 第二冊第四章 數據分析
測驗目標 相關係數
難 易 度 易
詳 解 X 88 90 91 95 106
Y 80 90 112 100 103
當 X 愈大時，Y 大部分隨之愈大
∴為正相關，但非完全正相關 所以 0＜rX﹐Y＜1，合適選項為4 b：此題，rX﹐Y＝ 20
f1957 ~0.45
二、多選題（占 24 分）
說明：第4題至第6題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，
得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
4 設 f（x）為二次實係數多項式函數且 f（x）＝0 沒有實根。試選出正確的選項。
1 f（0）＞0 2 f（1）（f 2）＞0
3若 f（x）－1＝0 有實根，則 f（x）－2＝0 有實根 4若 f（x）－1＝0 有重根，則 f（x）－1
2＝0 沒有實根 5若 f（x）－1＝0 有兩相異實根，則 f（x）－1
2＝0 有實根
答 案 234
命題出處 第一冊第二章 多項式函數
測驗目標 二次函數的圖形
難 易 度 中
詳 解 1 ×：y＝（f x）之圖形有下列兩種可能：
圖! 圖@
故 f（0）不一定大於 0
2 ○：承1，不論圖1或圖2，（f 1），（f 2）均同號! f（1）（f 2）＞0 3 ○：1 f（x）－1＝0 v f（x）＝1 v y＝（f x）
y＝1 2 f（x）－1＝0 有實根 v y＝（f x）
y＝1 有交點
圖# 圖$
由圖3及圖4可知： y＝（f x）
y＝2 有 2 個交點
! f（x）－2＝0 有兩個實根
4 ○：由下圖可知：
y＝（f x） y＝1
2
無交點! f（x）－1
2＝0 沒有實根
5 ×：反例：在下圖中，（f x）－1
2＝0 無實根
b：（f x）－1
2＝0 之實根個數有可能 0，1，2 個 故選234
5 數列 a1，a2，……中，其奇數項是一個公比為 1
3 的等比數列，而偶數項是一個 公比為 1
2 的等比數列，且 a1＝3，a2＝2。試選出正確的選項。
1 a4＞a5＞a6＞a7 2 a10
a11
＞10 3n lim→∞ an＝0
4n → ∞lim an＋1 an
＝0 5
∑
100 n＝1an＞9
答 案 23
命題出處 選修數學乙（下）第一章 極限與函數
測驗目標 無窮等比數列的極限
難 易 度 難
詳 解 1 ×：a1＝3，a3＝3×1
3＝1，a5＝1×1 3＝1
3 a2＝2，a4＝2×1
2＝1，a6＝1×1 2＝1
2 但 a5﹨＞a6
2 ○：a10＝2×
（
12）
4＝18，a11＝3×（
13）
5＝811∴ a10
a11
＝ 1 8 1 81
＝81 8 ＞10
3 ○：1 當 n 為奇數時：
an＝3×
（
13）
n－21＝33－n2 ，當 n →∞時，an→ 02 當 n 為偶數時：
an＝2×
（
12）
n2－1＝24－2n，當 n →∞時，an→ 0∴由1、2可知，n lim→∞ an＝0 4 ×：當 n 為奇數時：
an＋1
an
＝24－（n2＋1）
33－2n ＝ 23－2n
33－2n ＝
（
23）
3－2n＝（
32）
n－23當 n →∞時， an＋1
an
發散，所以n lim→∞ an＋1 an
_0 b：當 n 為偶數時，
an＋1
an
＝33－（n＋2 1）
24－n2 ＝ 32－2n 2
（
1＋2－2n）
＝32－2n 2×22－2n
＝1
2×
（
32）
2－n2 ＝12×（
23）
n－22當 n →∞時， an＋1
an
→ 0
∵n 分別為奇數和偶數時，an＋1
an
趨近之值不同
∴n → ∞lim an＋1 an
不存在
5 ×：
∑
100 n＝1an ＜∑
∞ n＝1an＝（a1＋a3＋a5＋……）＋（a2＋a4＋a6＋……）
＝ 3 1－1
3
＋ 2 1－1
2
＝8.5＜9
6 有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子 來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為 1 點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為 3 或 5 點時，棋子向左（負向）移動「該點數減 1」單 位。
（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位 置為該次的起點。例如，投擲骰子兩次，第一、二次分別擲出點數為 5 點、2 點時，該棋子先向左移動 4 單位至坐標－4，再向右移動 1 單位至坐標－3。試 選出正確的選項。
1投擲骰子一次，棋子與原點距離為 2 的機率為 1 2 2投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為 0
3投擲骰子兩次，棋子的坐標有可能為－5
4投擲骰子兩次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機 率為 4
9
5投擲骰子三次，棋子在原點的機率為
（
16）
3答 案 24
命題出處 第二冊第三章 機率、選修數學乙（上）第一章 機率統計
測驗目標 機率的加法原理與乘法原理、期望值
難 易 度 中
詳 解 由規則知：
點數 1 2 3 4 5 6 移動 0 ＋1 －2 ＋2 －4 ＋3 1 ×：p＝2
6＝1 3 2 ○：期望值為
0×1
6＋1×1
6＋（－2）×1
6＋2×1
6＋（－4）×1
6＋3×1 6＝0 3 ×：不可能為－5
4 ○：1 點數和為奇數v點數一奇一偶
∴情況有（3×3）×2＝18 種
2 點數為一奇一偶且坐標為正的情況：
奇 1 3 5
偶 2﹐4﹐6 6 ×
∴共有 4×2＝8 種 故所求條件機率為 8
18＝4 9
5 ×：投擲骰子三次，棋子在原點之情況：
1 1，1，1；2 1，3，4；3 2，2，3； 4 4，4，5；5 2，5，6
故所求為
p＝
（
16）
3＋（
16）
3×3!＋（
16）
3×32!!＋（
16）
3×32!!＋（
16）
3×3!_（
16）
3故選24
三、選填題（占 32 分）
說明：1第 A. 至 D. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（7～16）。
2每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 坐標平面上有一個多邊形區域 G（含邊界），如右圖所示。
若 k＞0，直線 7x＋2y＝k 與兩坐標軸圍成一個三角形區 域，使得多邊形區域 G 落在此三角形區域（含邊界）內，
則最小正實數 k＝ 78 。
答 案 46
命題出處 第三冊第二章 直線與圓
測驗目標 二元一次不等式
難 易 度 易
詳 解 將（6﹐2）代入 7x＋2y＝k，得 k＝46
B. 若隨機變數 X 的可能值為 1、2、3、4，其出現的機率 P（X＝k）與 1
k 成正比，
則機率 P（X＝3）為
5 9
0q 。（化為最簡分數）
答 案 4 25
命題出處 選修數學乙（上）第一章 機率統計
測驗目標 隨機的意義
難 易 度 易
詳 解 P（X＝1）：P（X＝2）：P（X＝3）：P（X＝4）＝1 1：1
2： 1 3 ：1
4
＝12：6：4：3 又 P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝1
∴P（X＝3）＝ 4
12＋6＋4＋3×1＝ 4 25
C. 一家公司僅有經理、秘書、業務三位成員，若只有秘書加薪 10 ％，則全公司薪 資總支出增加 3 ％；若只有業務加薪 20 ％，則全公司薪資總支出增加 4 ％。如 果只有經理減薪 15 ％，那麼全公司薪資總支出將減少 w.e ％。
答 案 7.5 ％
命題出處 第二冊第四章 數據分析
測驗目標 測驗閱讀與表達能力
難 易 度 易
詳 解 設經理、秘書、業務的薪資各為 a、b、c，則全公司薪資 T＝a＋b＋c
∵b×10 ％＝T×3 ％ ∴b＝ 3 10 T
∵c×20 ％＝T×4 ％ ∴c＝1 5 T a＝T－ 3
10 T－1
5 T＝1 2 T
如果只有經理減薪 15 ％，則全公司薪資總支出減少 1
2 T×15 ％
T ＝7.5 ％
D. 坐標平面上有一梯形，四個頂點分別為 A（0﹐0）， B（1﹐0），P，Q，其中過 P，Q 兩點的直線方程式為 y＝2x＋4，右圖為示意圖。若 Q 點的坐標為
（a﹐2a＋4），其中實數 aM0，則梯形 ABPQ 的面 積為7 r
t a＋y 。（化為最簡分數）
答 案 5 2 a＋5
命題出處 第三冊第二章 直線與圓
測驗目標 直線方程式
難 易 度 中偏易
詳 解 由相似三角形性質知
△CAQ 面積：△CBP 面積
＝CA 2：CB 2＝22：32＝4：9
∴△CAQ 面積：梯形 ABPQ 面積＝4：5 又△CAQ 的面積為 1
2×2×（2a＋4）＝2a＋4
∴梯形 ABPQ 的面積為 5
4（2a＋4）＝5 2 a＋5 第貳部分：非選擇題（占 26 分）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號
（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚 辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。
一、傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以 指數形式成長。在「初始感染人數為 P0，且每位已感染者平均一天會傳染給 r 位未感染者」的前提下，n 天後感染到此疾病的總人數 Pn可以表示為
Pn＝P0（1＋r）n，其中 P0M1 且 r＞0。 試回答下列問題：
1 已知 A＝ log P5－log P2
3 ，B＝ log P8－log P6
2 ，試說明 A＝B。（4 分）
2 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔 16 天總感染人數會增加為 10 倍，試求 P20
P17
×P8
P6
× P5
P2
的值。（5 分）
3 承2，試求 log P20－log P17
3 的值。（4 分）
答 案 1略；2 s10 ；3 1 16
命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數
測驗目標 對數律
難 易 度 中
詳 解 1 ∵Pn＝P0（1＋r）n ∴log Pn＝log P0＋n log（1＋r） A ＝ log P5－log P2
3
＝（log P0＋5 log（1＋r））－（log P0＋2 log（1＋r））
3 ＝log（1＋r）
B ＝ log P8－log P6
2
＝（log P0＋8 log（1＋r））－（log P0＋6 log（1＋r））
2 ＝log（1＋r）
故 A＝B
b：實際上，log Pm－log Pn
m－n ＝log（1＋r）
2 1 ∵每隔 16 天增加為 10 倍 ∴（1＋r）16＝10……（＊）
2 所求為 ﹨P0（1＋r）20
﹨P0（1＋r）17 × ﹨P0（1＋r）8
﹨P0（1＋r）6 × ﹨P0（1＋r）5
﹨P0（1＋r）2
＝（1＋r）8＝〔（1＋r）16〕
1 2（＊）
＝ 1012＝s10 3 將（＊）兩邊同取 log
! 16 log（1＋r）＝1
! log（1＋r）＝ 1 16
∴log P20－log P17
3 ＝log（1＋r）＝ 1 16
二、在坐標平面上，兩平行直線 L1，L2的斜率都是 2 且距離為 5，又點 A（2﹐－1） 是 L1在第四象限的一點，點 B 是 L2在第二象限的一點且 AB＝5。已知直線 L3
的斜率為 3，通過點 A 且交 L2於點 C，試回答下列問題：
1 試求直線 AB 的斜率。（2 分）
2 試求向量zAB。（4 分）
3 試求內積zAB．zAC 的值。（3 分）
4 試求向量zAC。（4 分）
答 案 1－1
2；2（－2a5 ﹐a5 ）；3 25；4（5a5 ﹐15a5 ）
命題出處 第三冊第二章 直線與圓、第三冊第三章 平面向量
測驗目標 直線假設法、內積
難 易 度 中偏難
詳 解 1 ∵d（L1﹐L2）＝5 且 AB＝5
∴AB 同時與 L1，L2垂直 又 m1＝2 ∴mAB＝－1
2 2 ∵mAB＝－1
2 ∴zAB7（－2﹐1） 又|zAB|＝5 且|（－2﹐1）|＝a5
∴zAB＝ 5
a5（－2﹐1）＝（－2a5﹐a5 ） 3 zAB．zAC
＝（zAC 在zAB 的投影量|zAB|）×|zAB|
＝5×5＝25
4 ∵m3＝3 ∴zAC7（1﹐3） 設zAC＝（t﹐3t）
代入zAB．zAC＝25
!（－2a5﹐a5 ）．（t﹐3t）＝25
!－2a5 t＋3a5 t＝25
! t＝5a5
代回zAC＝（5a5﹐15a5 ）
〈另解〉
4 點 B 坐標為（2﹐－1）＋（－2a5﹐a5 ）＝（2－2a5﹐－1＋a5 ） L2：y－（－1＋a5 ）＝2（x－（2－2a5 ））! 2x－y＝5－5a5 L3：y＋1＝3（x－2）! 3x－y＝7
將 L2，L3聯立，得交點 C（x﹐y）＝（2＋5a5﹐15a5 －1） 故zAC＝（5a5﹐15a5 ）
3 zAB．zAC＝（－2a5﹐a5 ）．（5a5﹐15a5 ）＝－50＋75＝25 F
