105 學年度數學科暑假作業
書名: 溫柔數學史：從古埃及到超級電腦
Math Through the Ages:
A Gentle History for Teachers and Others
( 作者：威廉 · 柏林霍夫（ William
P.Berlinghoff), 佛南度．辜維亞
（ Fernando Q. Gouvêa)
譯者：洪萬生 等 五南出版 )
班級: 111 座號:35 姓名:鄭睿鵬
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科學家幾乎是數學家。
電影「美麗境界」（英語：A Beautiful Mind）中的數學家 約翰 · 納許 潛心 研究博弈論和微分幾何學以致獲得諾貝爾經濟學獎；電影《火星任務》（英語：
The Martian）中的虛構生物學家，藉用16進制編碼與地球NASA通信，是 數學給了他生存機會；艾倫·麥席森·圖靈（Alan Mathison Turing），英國 電 腦科學家，他被視為電腦科學與人工智慧之父，他亦是二戰英雄-破解德國納粹 加密裝置「恩尼格瑪」，是連賈柏斯都想致敬的天才。相隔60年，電影《模仿遊 戲》重啟這段黑歷史，他也當然是數學家。在「溫柔數學史」一書，將不同時空的 科學家齊聚，他們開啟了人類的心智，接力似地一棒接一棒，締造了人類文明 史。
Colby College的威廉·柏林霍夫（William P.Berlinghoff)與佛南度·辜維
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亞（ Fernando Q. Gouvêa)(Fig.1 & Fig.2)兩位 授在著手編纂這本書時，敎 立意於方便中小學（甚至大學） 師能夠垂手採擷有助益 學的歷史素描，但敎 敎 著重在理念、程序、起源之闡釋，連結看似相異的數學定理，卻分享著有一定相 關程度的歷史根源。
此書前半部勾勒各個時空下的簡要輪廓-從數千年前古埃及紙莎草書寫，一個一 個時空的轉場⋯⋯到第九世紀阿拉伯數學家阿爾·花刺子模發揚且流通了源自印 度十進位記數法則，再繼續下去，人類有了賴以發展航海天文的代數與三角，
在十六十七世紀的運動物理學與天文學將數學分析整個往觀察與實驗奮力推進，
於是微積分與應用數學誕生（這也許開始了我們高中生的災難，但卻是人類文 明的福祉，如果沒有應用數學，世界上就沒有像艾菲爾鐡塔那樣美麗的建築。）
當然，若沒有應用數學，也不會有後來對光學、電磁學、潮汐和行星等等的進一 步理解。印證了十六世紀先知伽利略的堅信~「吾人必須藉由數學，才有瞭解這 個世界的機會。」
本書的後半部（篇幅用了六成以上）是二十五篇歷史素描，書寫風格讀來 並不艱澀難懂，由書寫記數、π 、畢氏定理⋯⋯複數、三角⋯⋯到無窮與集合論。
不難理解教授作者期待讀者能感受數學之可親的苦心。每一個素描，看似分散，
卻能自足，且往往有耳熟能響的偉大科學家（費馬、牛頓、高斯⋯⋯等等），讀 來分外親切，再則，由於我愛看電影，印象深刻的主角們堅毅嚴竣的神情每每 浮躍於篇章之上。這二十五篇素描是書之精華所在，懵懵懂懂地讀完，心中的輪 廓卻慢慢清晰，與其說是感動，更精確的說法是，無預期地，對某幾篇的素描 產生好奇與清新之感受⋯可能是因為陌生而興奮，燃起之熱情居然將以往對數 學的刻板印象，與對其之深深畏懼拋卻腦後，也一如敎授作家所殷殷期盼的，
若能沈浸其中，必能碰觸到數學之另一感性風貌。
素描十四：歐幾里得平面幾何。希臘敎師歐幾里(Fig.3)得寫下了「幾何原 本」（Elements)，裡頭包含465個命題，每個命題均是先敍述，之後是相關 圖形，再來是詳細證明。歐幾里得欲將這些空間圖形之間的關係系統化，而這些 幾何成為後來物理領域的理想表徵。除此，這部後世奉為圭臬的鉅著所討論的內 容不只是形與數，更是 人們如何思考！其實，它正是所有領域背後有力的分敎 析邏輯系統，這一方法後來成了建立任何知識體系的典範，在差不多二千年間，
被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。《幾何原本》是古希臘數學發展的頂峰。歐幾 里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果，整理在嚴密的邏輯系 統運算之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。數學家貝爾（E.T. Bell)曾 說：「歐幾里得 會了我，沒有假設，就沒有證明，因此，在所有爭論中，要先敎 檢查假設。」歐幾里得名言：「幾何無王者之道。」（學習無坦途之意），彷彿隔 著時空的薄紗，看見了另一位貌似「美麗境界」主角約翰·納許沈浸在無聲的宇宙 裡，在黑板上寫出一行又一行的數學式⋯自古，只有堅持才能成就不凡！
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素描十九：非歐幾何。自歐幾里得往後二千多年，因為歐幾里得第五設準
（被稱為「平行公設」，大致涵義是在平面上過線外一點恰可作一條平行線）作 為基本假設十分突兀，所以歷史上許多學者都想「證明」它，但是並沒有成功 。 19世紀初，高斯等人以「第五設準的否定」作為假設，建構出自我相容的非歐 幾何世界，從而間接說明當年歐幾里德將第五設準作為基本假設的正當性。從非 歐幾何建構出來的一些美麗新世界，有很多歐氏幾何難以想像的性質，譬如其 中一位先知黎曼觀察到所謂「繼續延長」並非保證「長度無限」！（我們在圓上延 伸弧，並無終點，但是長度有限。）他在1854年發表了他的新幾何系統，這系 統十分有趣，可以將「球面」想像成「平面」，當然，這樣的幾何中是沒有平行線 的。往後到十九世紀中葉，羅巴秋夫斯基也發表他的幾何系統。這些幾何系統都 自成相容的系統，但是因為對「平行」的不同假設而導出截然不同的性質(見 Fig.4)。這個素描對我而言是非常陌生而新奇的，就像書中質疑「歐幾里得在證 明前28個命題完全不使用第五設準，他倒底是想找方法証明這設準？抑或是 只單純為了編排合理性？」我的偏見以為也許歐幾里得的嚴謹程度遠遠超出常人 想像。非歐幾何就好像藉由哈哈鏡看事物，也許，不是球面，也不是凹面，每個 系統都能找尋自己假設的相容性合理，抑或許，世上並没有「絕對」對的幾何，
真存在有外星高智慧生物的話，也許對地球自豪的文明嗤之以鼻呢。但是，人類 智慧發展了這些幾何，確實成為幫助我們處理真實世界問題的工具，營造業、測 量、木匠適用歐式幾何，研究星系的天文學偏好黎曼幾何，理論物理學家可能更 愛羅巴秋夫斯基幾何，不是制式的偏廢哪一方，而是讓使用者去選擇適用工具 達成目的。
「論及邏輯，大多用於論證已知，而無從探究未知；論到古之幾何分析，獨 限於圖形，使吾在想像疲乏後方得理解；論今之代㪙，則受限公式規則，最終 歸於困惑、晦暗與窘困於計算技術，而非適合陶冶心靈的科學。」這一番話道盡 了先知笛卡兒在當時極欲整合三者的野心，也的確生動地勾勒了數學家的感性 唯美的性格。在本書正文、延伸閱讀以及一四一條參考文獻所提及的作者，皆可 以譜成一部部氣勢磅礴的數學史詩，從古埃及到現今電腦，在作者巧思安排的 數學史萬花筒裡，二十五個刻度的素描，能循歷史步屨一窺脈絡統合，在素描 的末章，我看見了令人動容-高斯嚴肅的一段言語：「我尤其反對將一無限量視 為一完備量（complete)，因為它不被數學所容許，無限-只不過是一種說 法！」
數學史發展到近代電腦結束了嗎？答案是明確的「否」！
電影「模仿遊戲」中的圖靈機 (Turing machine) 是人類史上第一臺可以儲 存程式的電腦，嚴格上來 它只能 是能夠成功做冗長運算的「計算機」，後世説 説 發展出了「智能」與「思考」的人工智慧（就算圖靈本人「穿越」至現世，看見了機
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器人寫新聞、做家事、照顧嬰兒、當起服務生⋯也會大感震驚吧！），但是卻也 因此衍生了非常多需要思考的問題（諸如失業、道德、情感與心靈哲學等等），
未來科學的發展有沒有可能朝著「反人工智慧」？來平衡自然與科技，兼顧人類 原始的心靈基本需求。抑或是，人工智慧無限強大，地球甚至整個宇宙充滿了複 製人與機器人世代？「完全的人類」反而瀕臨絕種？我不知道，只是⋯感覺不寒 而慄。
數學，敎導人類要勇敢假設，同時，也敎導人類必須懂得謙卑，我如是感 受。
Fig.1 Fig2
Fig3 Fig4
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