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1 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

§3.4 解析函数的高阶导数

一、高阶导数定理

二、柯西不等式

三、刘维尔定理

2 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

一、高阶导数定理

分析

则由柯西积分公式有 ( ) d , ( ).

2 ) 1

( z D

z f

i z π

f C 





_ ^{ }

又 ^{( ) ( ) ,}

d

d _{1 2}

]

[

 z ^   z ^

z  

) 1

) (

( 1 !

d

d

( )

  ^{ }



n n

n

z z n

z 



, ) (

2 )

d (

d _{1 3}

2

2

[

 z ^

]

  z ^

z  

) , (

!

1

  _n

z n

…… 

如果函数 在区域 D 内解析，在 上连 续，

) (z

f D  D  C

3 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

一、高阶导数定理

. ) (

, ) d

(

) ( 2

) !

( ₁

)

( z D

z f i

π z n

f C n

n 





_  ^{  }

定理 如果函数 在区域 D 内解析，在 上连 续，

) (z

f D  D  C

则 的各阶导数均在 D 上解析

，

) (z f

证明 ( 略 )

意义 解析函数的导数仍解析。

应用

推出一些理论结果。

反过来计算积分 ( ).

! d 2

) (

) (

) 0 ( 0 1

z n f

i z π

z z

z

f _n

C n 



 ^

P71 且

定理 3.9

( 进入证明?)

4 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

i i

π cos





0

)99

! ( 99

2

e

 

z

i z

π 解



^|  ^|¹  ³ d

) (

cos

i

z z

i z

z

i

z z

i π

 

 cos

! 2 2

. ) 2 (

e

1

e

 ^



 πi

例 计算 d .

1

|

| 100



z 

e

z

z z

解



| |1

e

100 d

z

z

z z .

! 99 2πi



P73 例 3.12 部分

5 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

) . (

)

( ^{2 2}

e

i z i

z

z



 

2 2 1) ) (

(

e

  z z f

z

(1) 令 解

. ) d

1 (

2

|

| 2 2





e



 z

z

z z 例 计算 I





_ ^ _ ^ _ ^ _



2

1 2 2 2 ( )2

d )

( )

( d )

(

e e

C

z C

z

i z

z i

z i

z z i

z

则 ^{I }



_C1 ^{f (z)dz }



_C2 ^{f (z)dz ( 复合闭路定理 )}

C₂ C₁

C

2

i

_i

如图，作 C₁, C₂ 两个小圆，

记为 I₁  I₂.

6 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

解

. ) d

1 (

2

|

| 2 2





e



 z

z

z z 例 计算 I

C₂

C

2

_i C₁

i

(2) ^{I1 }



_{C1 (z}

^e

_^z_i)^{2 } _(z^d_^z_i)²

i z z

i z i

π









[ e

₂

]

)

! ( 1

( 高阶导数公式 ) 2

. ) 1

2 ( i

e

ⁱ

π 



. )

1

2 (

e

2 π i i

I    ^

同样可求得

(3) I  I₁  I₂

[

^{(1 )}

e

^{(1 )}

e ]

2

i

i i

π  i  _





^).

1 4 sin(

2 π

i

π 



7 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

二、柯西不等式

定理 设函数 在 内解析，且 f (z) |z  z₀ | R | f (z)|  M, 则

! ,

| ) (

| ⁽ⁿ⁾ _{0 n}

R M z n

f  (n  1, 2, ). ( 柯西不等式 )

证明 R₁: 0  R₁  R, 函数 在 上解析，f (z) |z  z₀ | R₁

, ) d

(

) ( 2

) ! (

1 0|

| 1

0 ) 0

( ^



_{  } ^

 z z R n

n z

z z

z f i

π z n

f (n  1, 2, ).



   



 | 0| 1 1

0 ) 0

( d

|

|

| ) (

| 2

| ! ) (

| z z R n

n s

z z

z f π

z n

f ! ,

1n

R M

 n

令 即得R₁  R, ! ,

| ) (

| ⁽ⁿ⁾ _{0 n}

R M z n

f  ^{(n  1, 2,} _^).

P73 定理

3.10

8 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

三、刘维尔定理

定理 设函数 在全平面上解析且有界，则 为一常数

。

) (z

f f (z)

设 为平面上任意一点，

证明 z₀

函数 在 上解析，且f (z) |z  z₀ | R ,

 0

R | f (z)|  M,

根据柯西不等式有 | ( ₀)| , R z M

f  

令 即得R   , ^{f (z}₀^{)  0,}

由 的任意性，知在全平面上有z⁰ f ₍z_{)  0,} 则 为一常数。f (z)

P74 定理 3.11

9 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

证 ( 反证法 )

则函数 在全平面上解析，( ) ) 1

(z  f z



设函数 f (z)  a_nzⁿ  a_n1z^n1  a₁z  a₀, 其中， n 为正整数，

例

,

 0 an

( 代数基本定理 )

证明方程 在全平面上f (z)  0 至少有一个根。

假设 f (z)  0 在全平面上无根，即f (z)  0 (z),

,

 0

0 1 1

1

lim 1 )

(

lim z a z a z_n a z a

n n z n

z   _   

 





  

又

故 在全平面上有界， (z) _{根据刘维尔定理有} C

z) 

 ( _{( 常数 )}

， ¹

)

(z C

f 

 ( 常数 ) ，与题设矛盾。

10 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

证 (1) 任取正数r  2,

则函数 在 内解析，f (z) |z|  r 由高阶导数公式有

( 注意 在 上的性态不知 道 )

) (z

f |z|  2

, ) d

( 2

) 1 0

( 



| |  2

 z r z

z z f i

f π

, ) d

( 2

| 1 ) 0 (

|



| |  2



 

 

r

z z

z

z z z

f i

f π

,

| d

|

|

|

| )

(

| 2

| 1 ) 0 (

|



| |  2



 

 

r

z s

z

z z

z f f π

11 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

证 d ,

|

|

|

|

| )

(

| 2

| 1 ) 0 (

|



| |  2



 

 z r s

z

z z

z f f π

(1)

(2) 由 ,

| 2

|

| 1 )

(

| f z z z

 

 有





  



 

 z r z r s

z s π

z π z

f | | 2 | | d

|

| 1 2

d 1

| 2

|

|

|

1 2

| 1 ) 0 (

|

, 2 2

d 1 )

|

| 2 (

|

|

1 2

1

|

| 2 πr

r s π

z

π ^{z r} z  







 

, 1 ) 2

2 ( 2

| 1 ) 0 (

| ₂  

 

  πr

r r

f π

12 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

证

(2)

,

| d

|

|

|

| )

(

| 2

| 1 ) 0 (

|



| |  2



 

 z r s

z

z z

z f f π

(1)

1 ) 2

2 ( 2

| 1 ) 0 (

| ₂  

 

 πr

r r

f π 1,

) 2

(

1 

 

r r

(3) 令 得r  1 | f (0)|  2.

13 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

证 (1) 由于 在 内解析，根据高阶导数定理可得f (z) |z|  2 在 内， 也解析；|z|  2 f (z)

(2) 由 可得| f (z) 2|  |z| 在 内，

，

2

|

|z  f (z)  0 )

( ) (

z f

z z f 



 在 内解析；|z|  2

14 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

(3) 根据柯西积分公式有 证

(4) 由| f (z)  2| |z ,|  | f (0)  2|  0,  f (0)  2;





 

1

|

|

d )

( ) (

1

( )

z z

z z

f z z f

i

π

( )

₀

) (

) ( 2 1



 





z z

f z z f

i i π π

) ; 0 (

) 0 ( 2

f f 



即得 d (0).

) (

) ( 1

1

|

|

( )

f

z z z

f z z f

i

π ^z   



 

15 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

休息一下 ……

16 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

附： 高阶导数定理的证明

. ) (

, ) d

(

) ( 2

) !

( _{1 0}

0 ) 0

( z z D

z z

z f i

π z n

f C n

n 





 ^

定理 如果函数 在区域 D 内解析，在 上连 续，

) (z f

则 的各阶导数均在 D 上解析，且

C D

D   )

(z f

证明 由函数 在 上连续，有f (z) D  D  C 在 上有界，即

| ) (

| f z D  D  C | f (z)|  M.

设边界 C 的长度为 L 。

(1) 先证 的情形，即证 d . )

(

) ( 2

) 1

( ₂

0

0 ^



_

 C z

z z

z f i

z π 1 f

 n

17 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

附： 高阶导数定理的证明

证明 (1) 先证 的情形，即证 d . )

(

) ( 2

) 1

( ₂

0

0 ^



_

 C z

z z

z f i

z π 1 f

 n

根据柯西积分公式有 ( ) d ,

2 ) 1

(

0

0 ^ _πi



_{C z}^f_^z_z ^z

z f

z

z f z

z f z

f







 



 ( ₀ ) ( ₀)



_{  } ^ _

 

C z

z z z

z z z

z f i

π 1 1 d

) 2 (

1

( )

0 0

, ) d

( ) (

) ( 2

1

0



_ 0 _{  }

 



C z

z z z z

z

z f i

π z

f

18 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

附： 高阶导数定理的证明

证明 (1) 先证 的情形，即证 d . )

(

) ( 2

) 1

( ₂

0

0 ^



_

 C z

z z

z f i

z π 1 f

 n

, ) d

( ) (

) ( 2

1

0



_ 0 _{  }

 



C z

z z z z

z

z f i

π z

f



_

 



C z

z z

z f i

π z

f d

) (

) ( 2

1

0 2



_{   }

 

C z

z z z z

z

z f i

π

z d

) (

) (

) (

2 _{0 0} ²

记为 I.

下面需要证明：当 时，z  0 I  0.

19 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

附： 高阶导数定理的证明

证明 (1) 先证 的情形，即证 d . )

(

) ( 2

) 1

( ₂

0

0 ^



_

 C z

z z

z f i

z π 1 f

 n



_{   }

 

C z

z z z z

z

z f i

π

I z d .

) (

) (

) (

2 _{0 0} ²

d D

C z₀

如图，设 d 为 z₀ 到 C 的最短距离

，

2 ,

| Δ

|

|

|

| Δ

| _{0 0} d

z z

z z

z

z      

取 适当小，使其满足Δz ,

| 2 Δ

| d

z  则

L d M

d π

I z   

 2 1₂

2

|

| |

即得 |  0, (z  0), ,

|

|z  z₀  d 即

20 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.4 解析函数的高阶导数

由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，

附： 高阶导数定理的证明

证明 (2) 对于 的情形n  2

因此将 作为新的函数，用同样的方法求极限：f (z) Δ ,

) ( )

Δ

lim ( ^{0 0}

0

Δ z

z f z

z f

z

 

 



. ) d

(

) ( 2

! ) 2

( ₃

0

0 ^



_

 C z

z z

z f i

z π 即可得 f

(3) 依此类推，则可以证明

. ) (

, ) d

(

) ( 2

) !

( _{1 0}

0 ) 0

( z z D

z z

z f i

π z n

f C n

n 





 ^

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