試證：1000個數1011,1021,1031,,1010001中至少有99%的數不是質數。
【詳解】設自然數 n2m，則
n
有奇因數s1，令nst，可得1 ) 10 ( 1
10n t s
(10 ) (10 ) (10 ) 1
) 1 10
( 1 2
t t s t s t
又110t 110n1，故此情況下10n1不是質數。
在 1,2,…,1000中只有10個是2的整數次方(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512)，
故1011,1021,1031,,1010001中至少有100010990個數不是質數。
即至少有 99% 1000
990 的數不是質數。
【評析】1.本題屬於中等難易度之數論題，同學只要有論述到：在n 有奇因數的情況下 1
10n 不為質數。基本上就可得到主要分數。但要注意的是：就算n 沒有奇 因數，即n2m ，也不代表 10n1就是質數。
譬如 。許多同學輕易地宣稱 是質數，
是會導致扣分的。
2.本題共13人參與徵答，平均得分6.38分。徵答同學成績及名單如下：
全部答對獲得滿分7分者有8人：
台中市明道國中方宣詠、台中市東山國中凃皓雲、
台北市弘道國中劉仟璽、台北市敦化國中葉峻豪、
台北市敦化國中鄧宇恆、台北市興雅國中蔡欣妤、
桃園縣文昌國中蔡子暘、新北市江翠國中李可非。
獲得6分有3人：
新北市江翠國中高瑋伯、新北市江翠國中蕭明、
新竹市光華國中張原嘉。
獲得5分有1人：
新北市江翠國中葉少鵬。
獲得4分有1人：
台北市麗山國中江子新。
11501
試求出 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 2013
的值。（用最簡分數表示）
【簡答】2015 6039
【詳解】
1 2
1 1 2
1 1 1
1 2 3 1 1 1
2
n n
n n n n n n n
，
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 2013
1 4 2 5 3 6 4 7 2012 2015
2 3 3 4 4 5 5 6 2013 2014
= 2015 2015
3 20136039
。
【評析】1.本題徵答人數共29人，平均得分6.97分。
由各位同學寄來的答題狀況可知此題為簡易的試題，幾乎全部滿分。
全部答對獲得滿分7分者有28人：
台中市明道國中809班方宣詠、台中市東山國中816班凃皓雲、
台北市弘道國中913班劉仟璽、
台北市師大附中國中部7年233班洪藝榛、
台北市師大附中國中部7年232班許致嘉、
台北市師大附中國中部7年233班陳星丞、
台北市師大附中國中部7年233班蔡宗霖、
台北市敦化國中916班葉峻豪、台北市敦化國中921班鄧宇恆、
台北市興雅國中902班蔡欣妤、台北市靜心國中9年信班馮佑瑋、
台北市薇閣中學9年義班林彥熹、台北市麗山國中701班江子新、
台北市蘭雅國中911班施瑋庭、桃園市復旦國中8年343班傅彥綱、
桃園縣新興國際中小國中部901班盧韋成、
新北市文山國中904班陳睿奕、新北市江翠國中821班李可非、
新北市江翠國中820班高瑋伯、新北市江翠國中820班許庭瑜、
新北市江翠國中823班黃彥揚、新北市江翠國中822班葉少鵬、
新北市江翠國中827班劉建亨、新北市南山國中8年197班李國豪、
新竹市光華國中824班李至傑、新竹市光華國中820班張原嘉、
新竹市實驗國中902班陳璿筑、新竹市實驗國中902班曾元。
獲得6分者有1人：
桃園縣文昌國中904班蔡子暘。
2.解題過程中，若能將一般項
1 2
1 1 2
1 1 1
1 2 3 1 1 1
2
n n
n n n n n n n
導出來會使得說明比較完整。
3.台北市薇閣中學林彥熹同學與台北市靜心國中馮佑瑋同學的解題過程非常 完整，其中林同學用數學歸納法，而馮同學用數列的觀點，分別證明出一 般項的公式，非常難得。
11502
11503
A F
C E
D
B b
c
d
a ac
d c
a 2 、 a b d 2bd 為三邊長的三角形，並求此三角形之面積？
【簡答】面積=
2
1 (ab + bc + cd)
【詳解】如圖，以a + c、b + d為邊長作一矩形ABCD，
分別在AB、AD上取點E、F，
使AE=b、AF =c，則CEF即為所求
∴面積=(a + c)(b + d)
( ) ( )
2
1 bca bd d ac
= 2
1 (ab + bc + cd)。
【解題重點】將題目所給的三邊長 b2c2 、 a2c2d22ac 、 a2b2d22bd 利用畢 氏定理構造出一個圖形，只要能構造出圖形，解出正確答案就容易多了。 大多數同學都是構造出一個可用的圖形，只有少數同學用海龍公式硬解，
過程複雜容易算錯。
【評析】本次共有23人作答。所有同學中全部答對獲得滿分7分者有20人，得6分者有 1人，得4分者有1人，得0分者有1人。得7分者名單如下：
台中市明道國中809班方宣詠、台中市東山國中816班凃皓雲 台北市私立復興中學國中部8年仁班林睿庠、
台北市金華國中918班羅佳音、
台北市復興實中高中部10年望班黃家冠、
台北市敦化國中916班葉峻豪、台北市敦化國中921班鄧宇恆、
台北市興雅國中902班蔡欣妤、台北市靜心國中9年信班馮佑瑋、
台北市薇閣中學9年義班林彥熹、桃園市復旦國中8年343班傅彥綱、
桃園縣文昌國中904班蔡子暘、
桃園縣新興國際中小國中部901班盧韋成、
新北市江翠國中821班李可非、新北市江翠國中823班黃彥揚、
新北市江翠國中822班葉少鵬、新竹市光華國中824班李至傑、
新竹市光華國中820班張原嘉、新竹市實驗國中902班陳璿筑、
新竹市實驗國中902班曾元。
(1)把四邊形ABCD的四個邊及兩條對角線都塗上顏色，若任兩條有公共頂點(ABCD 的其中一個)的兩線段須塗不同色，則最少要幾色？
(2)把五邊形ABCDE的五個邊及五條對角線都塗上顏色，若任兩條有公共頂點
(ABCDE的其中一個)的兩線段須塗不同色，則最少要幾色？
【簡答】(1)最少3個顏色 (2)最少5個顏色
【詳解】(1)由AB, AC, AD可知至少3個顏色，設三個顏色為1, 2, 3，
AB=CD=1，AC=BD=2，AD=BC=3，此為一組使用三個顏色可行的例子，
故最少3個顏色。
(2) [方法1]
由AB, AC, AD, AE可知至少4個顏色，假設只用四個顏色1, 2, 3, 4即可讓 AB=1, AC=2, AD=3, AE=4，則BE=2或3，
不失一般性設BE=2。DE不能與AE, AD, BE同，則DE=1，接下來依序
CE=3, BC=4, 則BD沒有可用的顏色，所以四個顏色不可行。而五個邊及五
條對角線共有五組平行線，若把平行線塗上同一顏色，可滿足條件，共用 5個顏色，所以最少5個顏色。
[方法2]
共有10條線段要塗色，若只用4個顏色，則必有顏色至少使用在3個線段 上，但這些線段上的頂點都不可以重複，所以至少有六個頂點，但五邊形 只有五個頂點，所以不可能只用4個顏色，故至少5個顏色，例子如[方法 1]。
[方法3]
共有五個頂點，所以同一個顏色至多只能用在四個頂點上，共有十個線段 要塗色，共會有20個頂點數(塗一個線段，有2個頂點對應)，所以至少
4 5
20 個顏色，例子如[方法1]。
【評析】1.本題徵答者有27人，平均得分5.48分。徵答同學成績及名單如下：
作答完整獲得滿分7分的同學有12人，特別值得嘉許，分別是：
台北市敦化國中916班葉峻豪、台北市敦化國中921班鄧宇恆、
台北市薇閣中學9年義班林彥熹、台北市蘭雅國中911班施瑋庭、
桃園市復旦國中8年343班傅彥綱、桃園縣文昌國中904班蔡子暘、
新北市文山國中808班陳泓恩、新北市江翠國中821班李可非、
新北市江翠國中820班高瑋伯、新北市江翠國中822班蔡旻諺、
新竹市光華國中820班張原嘉、新竹市實驗國中902班曾元。
獲得6分同學有3人：
11504
新北市江翠國中827班劉建亨。
獲得5分同學有2人：
台中市明道國中809班方宣詠、新竹市實驗國中902班陳璿筑。
獲得4分同學有6人：
台中市東山國中816班凃皓雲、台北市弘道國中913班劉仟璽、
台北市師大附中國中部7年233班洪藝榛、
台北市師大附中國中部8年223班陳明萱、
台北市師大附中國中部8年223班鄭昱亭、
新北市文山國中905班楊品淵。
獲得3分同學有4人：
台北市天母國中919班楊皓、台北市興雅國中902班蔡欣妤、
台北市麗山國中701班江子新、新北市土城國中814班陳昱睿。
2.這樣的題目主要的重點有兩個。第一個重點是找到最小值，但最小值必須是 被證明的，可以透過討論的方式，也可以透過鴿籠原理的方式，不過討論 的方式並不適合對任意多邊形的推廣；另一個重點是舉出一個可以滿足最 小值的例子，這一題大部分的同學都有抓到重點，可是有一些人只有例子 沒有證明為什麼是最小值，而有些人只證明了最小值，但沒有例子去支持 最小值，這樣的作答都不算是完整的。另外，希望各位同學可以再從自己的 作法出發，再給自己一些挑戰，若n邊形的話，最小值會是什麼？
一圓形競技場共有38個入口，等距設置，依序編號為A1, A2 , A3 ,…, A38 。這38個入口 其中的11個入口僅供參賽者使用。試證明在(A1, A2 , A3 ,…, A7)，(A2, A3 , A4 ,…, A8)，
…，(A38, A1 , A2 ,…, A6)，這38組的組合中至少有一組合包含3個(含)以上供參賽者使用 的入口。
【詳解】設參賽者入口為1，一般入口為0，
設ai為(Ai,Ai+1, Ai+2,…, Ai+6) 這一組合所有數值的總和，i＝1, 2, 3, …,38
38
1
i ai ＝77 (因為每個入口都算了7次)
【方法一 反證法】
若這38組的組合中沒有一組合包含3個(含)以上供參賽者使用的入口，
則a i2，所有i＝1, 2, 3, …,38 因此
38
1
i ai 76，矛盾。
故這38組的組合中至少有一組合包含3個(含)以上供參賽者使用的入口。
11505
【方法二鴿籠原理】
因為773821，所以由鴿籠原理，這38組的組合中至少有一組合包含2
＋1＝3個以上供參賽者使用的入口。因此得證。
【評析】1.先說明此題所應用的數學原理與解題想法：
這38組的組合中，供參賽者使用的每個入口都算了7次，因此共算了77次。
【方法一 反證法】
先設結論不成立，即這38組的組合中沒有一組合包含3個(含)以上供參賽 者使用的入口，但是3827677，因而得到矛盾。
【方法二 鴿籠原理】
利用鴿籠原理(pigeonhole's principle)，又叫作Dirichlet抽屜原理。
鴿籠原理(pigeonhole's principle)：
若有n個籠子和n+1隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，那麼至少有一 個籠子有至少2隻鴿子。
另一種為：
若有n個籠子和kn+1隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，那麼至少有一 個籠子有至少k+1隻鴿子。
此題772381，由鴿籠原理得證。
2.有一些作答同學，列舉一些這38組的組合中至少有一組合包含3個(含)以
上供參賽者使用的入口的情況，這樣的作答方式，並未將所有情況均考慮 到，因此酌予扣分。
3.本題參與徵答有22人，平均得分6.23分。徵答同學成績及名單如下：
獲得滿分7分者，15人：
臺北市敦化國中鄧宇恆、臺北市敦化國中葉峻豪、
臺北市蘭雅國中施瑋庭、臺北市麗山國中江子新、
臺北市興雅國中蔡欣妤、臺北市薇閣中學林彥熹、
新北市南山國中李國豪、新北市江翠國中許庭瑜、
新北市江翠國中葉少鵬、桃園縣文昌國中蔡子暘、
桃園市復旦國中傅彥綱、桃園縣新興國際中小國中部盧韋成、
新竹市實驗國中曾 元、臺中市東山國中凃皓雲、
新北市江翠國中高瑋伯。
獲得5分者，4人：
臺北市弘道國中劉仟璽、新竹市光華國中張原嘉、
新北市江翠國中李可非、臺中市明道國中方宣詠。
獲得4分者，3人：
臺北市天母國中楊 皓、新北市江翠國中劉建亨、
新竹市實驗國中陳璿筑。
