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v₁ v₂

V

V=v

₁

+v

₂

v₁

v₂

V

₁₂

=v

₁

-v

₂

v₁

v₂

V₁₂

合运动是同一物体在同一时间内同时完成 几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意 义．

当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效 为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则 称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程 叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．　

构成一个合运动的几个分运动是彼此 独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行

，不会因有其它分运动的存在而发生改变．

描述运动状态的位移、速度、加速度 等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平 行四边形定则作上述物理量的运算．

独立性原理

♠ 运动的合成与分解遵循如下原理：

等时性原理

♠

矢量性原理

♠

* 引入中介参照系．

根据实际效果分解运动 .

*

若设质点 A 对静止参考系 C 的速度（绝对速度）为 v_AC ， 动参考系 B 对 C 的速度（牵连速度）为 v_BC ，而 A 对动参考系 B 的速度（相对速度）为 v_AB ，则有

v

_AC

 v

_AB

 v

_BC

同样地，位移的合成与分解为

v

_AB

 v

_AC

 v

_BC

注意矢量运算式中下标的规律性 ! S

_AC

 S

_AB

 S

_BC

S

_AB

 S

_AC

 S

_BC

加速度的合成与分解为

a

_AC

 a

_AB

 a

_BC

a

_AB

 a

_AC

 a

_BC

1 2

v  v  v

^{雨滴在空中以 4 m/s} 速度竖直下落，人打着伞以 3 m/s 的速 度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应 指向什么方向？

本例求雨相对人 ( 伞 ) 的速度，引入

中介参照系 - 人

雨对地的速度（绝对速度） v _雨 =4 m/s 竖直向下

v

_雨

人对地的速度（牵连速度） v _人 =3 m/s 向东 雨对人的速度（相对速度） V _雨对人

v

_人

?

v   v   v 

雨人 对 雨人

三速度矢量关系为 O

V

_雨对人



伞柄方向与竖直成

1 1

3

tan tan

4 v

 

^

v

^人



^

雨

37





1 2

v  AB  v   v 

由“两质点相遇”知

A 处质点 相对于 B 处质点的速度 v

AB

方向沿 AB 连线

C A

B

v₁

v₂ v θ₁

v_2m

1 AB 2

v   v   v 

v_AB d

l

θ θ

由几何三角形与矢量三 角形关系得 :

2 _m 1 sin

v  v 

2 2 1

= d

d  l v ^{方向与 BC 成}

^{sin-1 2 2 1}

d v

d  l

^{一质点从 A 点出发沿 AC 方向以 v}1 速度匀速运动，与此同时，另一质点 以 v₂ 速度从 B 点出发做匀速运动，如图所示，已知 A 、 C 相距 l ， B 、 C 相距 d ，且 BC⊥AC ，若要两质点相遇， v₂ 的最小速率为多少？其方向如何？

v₂

船对岸的速度（绝对速度） v 水对岸的速度（牵连速度） v _水

船对水的速度（相对速度） v _舟

⑴ 关于航行时间

t s

 v

^舟

舟

渡河时间取决于船对水的速度 v _舟 :

当 v _舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移 S _舟 =d 最 小，故可使渡河时间最短 :

min

t d

 v

舟 S

v _水

v _舟 v

河岸 d

河岸

v _水 v _舟 v

S _水

S _舟

水速大小不影响渡河时间

!

⑵ 关于实际航程

v _水

v _舟 v

河岸

d

河岸

θ v _水

v _舟 v

河岸

d

河岸

θ

sin 1 v

  ^ v^水

舟

为使航程最小，应使 v _舟与 v _水的合速度 v 与河岸的垂线间的夹 角 θ 尽量地小！

若 v 舟＜ v 水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 若 v _舟＞ v _水，船的实际位移为河宽 d 航程即最短，故 v _舟的 方向与船的航线成 船头指向上游

θ

v v 舟 水

v

cos 1 v

  ^ v^舟

水

这时船的实际航程为

d v

 v

^水

舟

船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成

当船的航程最短时，航行时间不是最短．

假定某日刮正北风，风速为 u ，，一运动 员在风中跑步，他对地面的速度大小是 v ，试问他向什么方向跑 的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么 条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感 到风与他跑的方向所成夹角最大？

专题 专题 4- 4- 例 例 1 1

人对地的速度（牵连速度） 风对地的速度（绝对速度） uv 风对人的速度（相对速度） V

本例求相对速度，引入

中介参照系 - 人

由题给条件，速度关系为

u V v     

_且

V   v 

北 θ V u v

当运动员朝南偏西 ^{  cos1} _u^v 感到风从正右侧吹来 当 v ＞ u 时，无此情况

！

sin sin

v u

 ^  由



  90

^

当时



1

max

sin u

 

^

v

当运动员朝南偏西^{cos1 u}_v 奔跑时感到风与他跑的方 向所成夹角最大！

m

一只木筏离开河岸，初速度为 v₀ ，方向 垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间 T ，木筏划到路线 上 A 处，河水速度恒定为 u ，且木筏在水中划行方向不变．用作 图法找到 2T 、 3T…… 时刻此木筏在航线上的确切位置．

专题 专题 4- 4- 例 例 2 2

明确速度关系

木筏对岸的速度 v 木筏对水的速度 V

，

方向不变

水对岸的速度 u ，

大小方向不变

三速度矢量关系为

v V u     

A y

x( 河岸 ) u

v₀

O

V

u v₀

v

S _筏对水 S _筏

V₀

S _{水 T}B S _{水 T}B ^{S 水 T}B

A A

某一恒力作用在以恒定速度 v 运动的物体 上，经过时间 t ，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又 减少一半，试求经过了 3t 时间后，物体的速度 v_3t 之大小．

专题 专题 4- 4- 例 例 3 3

明确矢量关系 !

2 1 3 2

t t t t t

v v v v v v v

             

B

D

v

v_t

v_2t v_3t

△v A O

△v

△v α

C 在矢量三角形中运用

余弦定理 :

2

2 2

2 cos

2

v v v v v 

       

   

 

2 2

2

2

2 2 cos

4

v v v v v 

        

   

 

²

2 2

3_t

3 2 3 cos

v  v   v  v    v 

3

7

t

4

v  v

^{从 h} 高处斜向上抛出一初速度大小为 v₀ 的 物体，讨论抛出角

专题 专题 4- 4- 例 例 4 4

θ 为多大时物体落地的水平位移最大．

物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下 h 高度的 时间 t 内，速度增量△ v 恒为竖直向下 , 大小为 gt;

落地时速度 v 的大小为

v

_t

 v

₀²

 2 gh

矢量关系 :    v v 

_t

 v 

₀

h

v₀

v_t

△v θ

v₀

矢量△“面积” θ

0

1 cos

S

_

 2 gt v  

x

1

2 gx

 ¹

₀

^sin  

2 v v

^t

 

   

 

2 2

0 0

t

sin v v v

x  g ^    

 ^{  }  ^{ 90 即}

当

^{ 2 2}

max

0 0 t

v v v

x g 



1 0

2 2

0

tan

t

v v v

 

^

 时

O x y

^{网球以速度 v}0 落到一重球拍上后弹性地射 回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速 度 v_P 运动？如果速度 v₀ 和球拍面的法线的夹角是 α ，速度 v_P 和此 法线的夹角 φ 是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．

专题 专题 4- 4- 例 例 5 5

关于矢量间关系的隐含条件：

1. 重球拍的“重”－可以认为拍的速度 v_p 在碰球前后保持不变；

2. 网球弹性地射回－在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等

、方向相反；

3. 球和拍都是做平动－球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切 向速度分量．

v_p



C

 

v_{0 球对拍} v_{t 球对拍}

v_t B

2 , cos

AB OA

OC AB

  

在矢量三角形中 :

0 p

2cos

v v

  故

2 2

  ^   ^

球拍速度与球拍法线方向夹角

 2 

 



v₀ Ａ

如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别 为 v _甲和 v _乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最 短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰 好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比 t _甲∶ t _乙 = ．

起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示 :

V _水 V _甲 V _甲合

V _乙 V _乙合

sin

2

/ sin sin

t v v

t v v

 

   

甲乙合水

乙甲合水 2

sin

2

v

 _{ } ^  v ^  

 

乙 甲

而

v

2

t

t v

 

 

 

 



^乙

甲 甲

乙

故

: v v_乙甲^{2 2}

两船航程相同，时间应与合

速度成反比，由图 ^α

α

骑自行车的人以 20 km ／ h 的速率向 东行驶，感到风从正北方吹来，以 40 km ／ h 的速率向东 行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．

人对地的速度 v _{人 1}=20 km/h ,v _{人 2}=40 km/h, 方向正东 风对地的速度 v _风？

风对人的速度 v _{风对人 1} 方向正南， v _{风对人 2} 方向西南

v _风 v _{风对人 1} v _{风对人 2}

v _{人 1} v _{人 2}

速度矢量 v

_风

= v

_风对人

+ v

_人

的关系如图

由图中几何关系易得

2

v

_风

 v

_人1

28km/h 风向西北



从离地面同一高度 h 、相距 l 的两处同时各抛出一个石 块，一个以速度 v₁ 竖直上抛，另一个石块以速度 v₂ 向第一个石块原来位置水平 抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．

一个石块对地的速度为 v₁+v_y 另一个石块对地的速度为 v₂+v_y

两者相对速度为

 

21 2 y 1 y 2 1

v   v   v   v   v   v   v 

v₁

v₂ v₂₁ l

x₂₁ 以石块 1 为参考系，石块 2 的位移方

向

与 v

₂₁

相同 :

以石块 1 为参考系，两石块初始距离

为 l:

最小 距离d





sin d   l 

由图

21¹ 12 ¹ 22

sin v v

v v v

  

而  ₁

2 2

1 2

l v

d v

 v



这个最短距离适用于

另一石块落地之前

^{即 l cosv21} ^v₁^2lv2hg2v₂²



v₀ D v

A

B

如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船 离岸的距离为 D ，船速为 v₀ ，一艘速率为 v （ v ＜ v₀ ）的海上警卫 小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船 驶过海岸线的某特定点 A 之前出发，这点在港口后面的 处

．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住 这条船？

2 2

v0 v v D

 

⑴ 艇拦截到船即相遇 , 有

艇相 对于船的速度 V 方向沿 AB

两者相对速度为

连线 V   v 

₀

 v 

2 2 

1 0

cot v v

  ^ v^ B

v₀ v



v 、 V 夹角不会超过 90 °!

V

由速度矢量三角形得

则 _{S cot} ^{v02 v2} _D

S

D  v^

   

⑵ 上述

是最迟出发的

^临界情况

此时! _{S D csc} ^v0 _D

 v

   

 _相

2 2

V  v

0

 v

0

2 2

0

csc v D

v v t D

V v





  

截住船的位置在 A 前方

02

2 2

0

Dv v v v

A

一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为 β

1 ＝ 30° ，另一次安装成倾斜角度为 β₂ ＝ 15° ，问汽车两次速度之比 v₁∶v₂ 为多少 时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面 是竖直下落的）

本题题眼

: 各速度的矢量关系

冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”

第一次

v 

对车

 v   v 

1 雹 雹

15^

v₁ v _雹

v _雹离车

v ^雹近车

30^ 30^

30^ 30^

第二次

v 

对车

 v   v 

2 雹 雹

v₂ v _雹^{v 雹}

近车

v _雹离车

15^

15^

60^

由两矢量图

1

cot 30

v  v

_雹



^

2

cot 60

v  v

_雹



^

则 1

2

3 1 v

v 

人具有与木马站立点相同的线速度 ωr

敞开的旋转木马离转动轴距离为 r ，以角速度 ω 转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度 v₀ 竖直下落．试问人 应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？

本题求雨相对人 ( 伞 ) 的速度方向，引入

中介参照系 - 人

雨对地的速度（绝对速度） v₀ 竖直向下

v

₀

人对地的速度（牵连速度） v _人 =ωr 水平 雨对人的速度（相对速度） V _雨对人

v

_人

 ?

 

v _雨人 对  v ₀   r

三速度关系为 O

V

_雨对人

伞柄方向与竖直成



tan

1

r



_

 v



0

如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾 拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度 v₁ ＝ 50 km ／ h 和 v₂ ＝ 70 km ／ h 行驶，行驶方向如图所示．求风速 ?

观察照片，将两车之距离 AB 按 5 7∶ 比 例分成左、右两部分，分点 C 为两车相遇 处，汽雾交点为 O ， CO 即为相遇时两车 喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点 C 到照片上位置历时

C

O v₁

v₂

1 2

t AB

v v

 

风速为 ^{V CO}  ^v

₁

^v

₂



 AB 

在照片上量出 AB 与 CO 长度 , 代入上式

得

V  35km/h

A B

敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转 动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径 r _末为初半径 r _初的 3 倍．

绕带的时间为 t₁ ．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的 薄磁带，问需要多少时间？

设磁带总长 l,

绕厚磁带时 ,

^由题意

d

…

r_初 r_末

 ⁹

^{2 2}



ld   r

_初初

 r

绕薄磁带时 ,



^{2 2}



2

l d   R  r

_初

R  5 r

_初

1

2 r 2

t d





^初

 

由 ^{得 t 2 }  ^{5 1 }  ^{t 1}

带卷面积

绕一层时间 绕多少层  

2

5 1 2

/ 2 t r

d





 

^初



带卷面积

在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷 的半径经过时间 t₁ ＝ 20min 减小一半．问此后半径又减小一半需要 多少时间 t₂ ？

与上题不同的是，放音时

磁带是匀速率地通过的 !

走带速度

/ 2 r



^{2 2}



1

4r r

t dv

 



2 1

4 5min

t  t 

2 2

2

1 r 4 r

t dv

 ^   ^ 

 

 通过的带长

带卷半径减半历时

d

r

快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以 认为是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度 v₀ ＝ 2.5 km /h 沿与湖岸成 α ＝ 15° 角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿 湖岸以速度 v₁ ＝ 4 km/h 行走或在水中以速度 v₂ ＝ 2 km/h 游去，此 人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？

15°

v₀(x+y)

v₁x

v₂y

设人以 v₁ 速度运动时间 x ，以 v₂ 速度运动时间 y ，则有 人赶上艇，

两者位移矢量构成

闭合三角形

^{，位移的矢量关系}

 

0 2

v x   y  v x v y 

₁

 

   

^{2y 2  4x 2  }_^2.5



^{x y}



^_^{2 2 4}

 

^{x }_^2.5



^{x y}



^_^cos15

即

整理得 ^{9y2  }_^{50 20}



^{6 2}



^_ ^{xy }_^{89 20}



^{6  2}



^_ ^{x2  0}

此式有解，即人能赶上以 2.5 km/h 飘行的快艇 !

推至一般

 

²

 

50 20 6 2 4 9 89 20 6 2 0

   

            >



v



^{3 1}



^{v2 2}



^{6 2}



^{v 16 0}

      

v

2 2 km/h

v  ^{人总能赶上快艇 !}

如图所示， 在仰角 的雪坡上举行跳台滑 雪比赛．运动员从坡上方 A 点开始下滑，到起跳点 O 时借助设备和 技巧，保持在该点的速率而以与水平成 θ 角的方向起跳，最后落在 坡上Ｂ点，坡上 OB 两点距离 L 为此项运动的记录．已知 A 点高于 O 点 h ＝ 50 m ，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米

，此时起跳角为多大？

6

  

A

O

B θ

α h

在 O 点起跳速度 v 的大小为

v

₀

 2 gh  10 10 m/s

物体做抛体运动时，只受重力 作用．在发生 L 位移的时间 t 内，速 度增量△ v 恒为竖直向下 , 大小为 gt;

矢量关系 :    v v 

_B

 v 

₀

v_B

△v θ

v₀



矢量△“面积”

0

1 cos

S

_

^ 2 gt v ^ 

 

0

1 sin 90

2 v v

^B

 

   

^



0

2 0

cos cos

2 sin

B

v t L

v v gL

 





 

其中 1

2 gL cos 

 

2

0 0

3 cos

2

v v gL

L  g ^    

 ^{  }  ^{ 0 即}

当    时 L

_max

 200 m

 

2

0 0

1 cos

2 v v gL  

    

此时由

^{sin v}

⁰

^{  sin 90}  ^v

^B

^{ }  ^{  30}

^

  ¹

3 cos

20 100 L

L     



O N 墙

一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与 船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于 岸，小球速度的大小为 v₁ ，方向与墙的法线成 60° 角，小球自墙反 弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的 速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的．

设船速为 v₀

因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与的反射速度

大 小相等

^，速度

方向 “沿着入射角与反射角”

v₀

60^

v_{1 球对墙} C v_{2 球对墙}

v₂ B v₁

Ａ

由图知只要 v

₀

沿墙的 法线方向分量

1 ON

2

v v



_

_