DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

Câu 21: Tính lim ₃ ¹

3 L n

n

= −

+ .

A. L=1. B. L=0. C. L=3. D. L=2.

Câu 22: ^lim₅ ¹ ₃ n+ bằng

A. 0. B. 1

3. C. +∞. D. 1

5. Câu 23: lim ¹

2n+7 bằng A. ¹

7. B.

+∞

. C. ¹

2. D. 0 .

Câu 24: ^lim_2n¹₊₅ bằng A. ¹

2. B. 0 . C. +∞. D. ¹

5. Câu 25: lim ¹

5n+2 bằng A. ¹

5. B. 0 . C. ¹

2. D. +∞. Câu 26: Tìm lim7 ₃² 2 ₂³ 1.

3 2 1

n n

I n n

− +

= + +

A. 7

3. B. 2

−3. C. 0. D. 1.

Câu 27: lim 2₆ ² 3₅ 5 n

n n

−

+ bằng:

A. 2 . B. 0. C. 3

5

− . D. −3. Câu 28: ^lim2018

n bằng

A. ^−∞. B. 0 . C. 1. D. +∞.

Câu 29: Tính giới hạn lim ^{2 1}₂ 2

L n

n n

= +

+ − ?

A. L= −∞. B. L= −2. C. L=1. D. L=0. Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. ² 2₂

5 3

n n

u n n

= −

+ . B. ² 2 ₂

5 3

n n n

u n n

= −

+ . C. 1 2 ₂

5 3

n

u n

n n

= −

+ . D. 1 2 ²₂

5 3

n n

u n n

= −

+ . Câu 31: Tính lim ₂^{2 3}

2 3 1

I n

n n

= −

+ +

A. I = −∞. B. I =0. C. I= +∞. D. I =1. Câu 32: Tìm limu_n biết ₂1 ₂1 ... ₂1

2 1 3 1 1

un

= + + +n

− − − .

A. 3

4. B. 3

5. C. 2

3 D. 4

3.

Câu 33: Tính giới hạn ^lim 1.2 2.3 3.4^{1 1 1 ...} n n

(

¹ 1

)

 

+ + + +

 + 

 .

A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3

2. Câu 34: Tìm lim ^{1 1} ... ¹

1 1 2 1 2 ...

L n

 

=  + + + + + + + 

A. 5

L= 2. B. L= +∞. C. L=2. D. 3 L=2. Câu 35: Với n là số nguyên dương, đặt

( )

1 1 ... 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1

Sn

n n n n

= + + +

+ + + + + . Khi đó

limS_n bằng A. 1

2 1+ B. 1

2 1− . C. 1. D. 1

2 2+ . Câu 36: Tính giá trị của limcos ₂ sin .

1

n n

n +

+

A. 1. B. 0. C. +∞. D. −∞.

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 37: Tìm lim3 ⁴₂ 2 4

4 2 3

n n

n n

− + + + .

A. −1. B. +∞. C. 0 . D. ³

4. Câu 38: lim ^{2 1}

1

n

n n

→+∞

+

− bằng

A. 1. B. 2. C. −1_{. D.} −2_.

Câu 39: ^{lim2 1}_nⁿ₋⁺₁ bằng

A. 2. B. +∞. C. −∞. D. 1.

Câu 40: lim^{3 5} 2 4

n n

+

− bằng A. ³

2. B. ⁵

−4. C. 3. D. −4_. Câu 41: Tính lim ₃ ¹

3 L n

n

= −

+

A. L=2_{. B.} L=₃. C. L=0. D. L=1. Câu 42: Tính A lim 3 ¹₂

n

 

=  + 

A. A=3. B. A= −∞_{. C.} A= +∞_{. D.} A=₀. Câu 43: Tính giới hạn

( )( )

3

1 2 3

lim 2

n n

J n

+ +

= − ?

A. 3

J = −2_{. B. J =2. C. J =0. D. J = −2.} Câu 44: Giới hạn dãy số bằng:lim2 ²₂ 3 1

2

n n

n n

− + +

A. 3. B. 2. C. 1. D. 3.

−2 Câu 45: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng −1?

A. lim ²⁰²¹ 2022

−

− n

n . B. lim ²⁰²² 2022 1

−

− n

n . C. lim^{2 2022} 2022 1

−

− n

n . D. lim ² 2022₂ 2022

−

− n

n n . Câu 46: Dãy số

( )

u_n nào sau đây có giới hạn bằng ¹

5? A. ^{1 2 2}

5 5

n n

u n

= −

+ . B. ^{1 2} ₂

5 5

n n

u n n

= −

+ . C. ^{2 2}₂ 5 5

n n n

u n n

= −

+ . D. ^{1 2} 5 5

n n

u n

= −

+ . Câu 47: Tìm a để lim ²₂ ^{3 2}

9 5 3 an n

n

− = + .

A. a=4. B. a=6. C. a=8. D. a=9. Câu 48: Tính giới hạn

( )( )

3

1 4 2

lim .

2

n n

I n

+ −

= +

A. I =0. B. I =2. C. I =1. D. I =3. Câu 49: Tính lim ^{1 19}

18 19 n n +

+ .

A. +∞. B. ¹

19. C. ¹

18. D. ¹⁹

18. Câu 50: Biết lim ⁴ 2

4 3 an

n

+ = −

+ tìm

A. 2 1a+ = −7 B. 2 1a+ = −8 C. 2 1a+ = −15 D. 2 1a+ = −17 Câu 51: Kết quả của lim^{2 2020}

3 2021 I n

n

= +

+ . A. ³

I= 2. B. ²

I= 3. C. ²⁰²⁰

I = 2021. D. I=1. Câu 52: Kết quả đúng của lim ² ₄2 1

3 2

n n

n

− + +

+ là:

A. ¹

2. B. ²

−3. C. ³

− 3 . D. ¹

−2. Câu 53: Giá trị của lim2

1

− + n n bằng

A. 1. B. 2 . C. −1. D. 0.

Câu 54: Kết quả của lim 2 3 1

n n

−

+ bằng:

A. 1

3. B. 1

−3. C. −2. D. 1.

Câu 55: Tìm giới hạn lim3 2 3 I n

n

= −

+ .

A. 2

I = −3. B. I =1. C. I =3. D. k∈. Câu 56: Giới hạn lim1 2

3 1 n n

−

+ bằng?

A. ²

3. B. ¹

3. C. 1. D. ²

−3. Câu 57: Tính giới hạn lim2 2017

3 2018 I n

n

= +

+ . A. 2

I =3. B. 3

I =2. C. 2017

I = 2018. D. I =1. Câu 58: ^lim_{18 19}^{1 19+}_n+ⁿ bằng

A. 19

18. B. 1

18. C. +∞. D. 1

19. Câu 59: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A. 1

n. B. 1

n . C. n 1

n

+ . D. sinn n . Câu 60: lim 1 ₂ ²

2 1

n n

−

+ bằng

A. 0. B. ¹

2. C. ¹

3. D. ¹

−2. Câu 61: Tính giới hạn lim4 2018

2 1 n

n +

+ . A. 1

2. B. 4. C. 2. D. 2018.

Câu 62: Tìm lim8 ⁵₅ 2 ³₂ 1

4 2 1

n n

n n

− +

+ + .

A. 2 . B. 8. C. 1. D. 4 .

Câu 63: Tính lim^{2 1} 1

n n +

+ được kết quả là

A. 2. B. 0 . C. ¹

2. D. 1. Câu 64: lim2 ⁴₄ 2 2

4 2 5

n n

n n

− +

+ + bằng

A. 2

11. B. 1

2. C. ^+∞. D. 0.

Câu 65: Giá trị của lim^{2 2} ₂³ 1 2

n n

−

− bằng

A. −3. B. 2. C. −1. D. 0.

Câu 66: Giá trị lim ²₂

12 1

n n

A n

= +

+ bằng A. 1

12. B. 0. C. 1

6. D. 1

24. Câu 67: Tính lim^{5 3}

2 1 n

n + + .

A. ₁. B. +∞. C. 2 . D. ⁵

2.

Câu 68: lim ³₃ 4₂ 5

3 7

n n

n n + −

+ + bằng

A. 1. B. 1

3. C. 1

4. D. 1

2. Câu 69: Tính giới hạn lim ₃² 3 ³

2 5 2

n n

n n

−

+ − . A. 1

5. B. 0 . C. 3

−2. D. 1

2. Câu 70: Giới hạn của dãy số

( )

u_n với 2 1, ^*

n 3n

u n

n

= − ∈

−  là:

A. −2. B. 2

3. C. 1. D. 1

−3. Câu 71: Tính giới hạn lim10 3

3 15 I n

n

= +

− ta được kết quả:

A. 10

I = − 3 . B. 10

I = 3 . C. 3

I =10. D. 2 I = −5. Câu 72: lim^{2 1}

1 n n

+

+ bằng

A. 1. B. 2 . C. −2. D. ^+∞.

Câu 73: lim3₂² 1 2 n n

+

− bằng:

A. 3. B. 0. C. 1

2. D. 1

2. Câu 74: Tính lim 8 ² 3 1₂

4 5 2

n n

n n + − + + .

A. 2 . B. 1

−2. C. 4 . D. 1

−4. Câu 75: Cho hai dãy số

( )

u_n và

( )

v_n có 1

n 1 u =n

+ ; 3

n 3 v =n

+ . Tính lim ⁿ

n

u v .

A. 0. B. 3. C. 1

3. D. ^+∞.

Câu 76: Giới hạn lim 8₂ ⁵ 2₅ ³ 1

2 4 2019

n n

n n

− +

− + bằng

A. −2. B. 4 . C. +∞. D. 0.

Câu 77: Giá trị của

( )

2 2

4 3 1

lim 3 1

n n

B n

+ +

= − bằng:

A. 4

9. B. 4

3. C. 0. D. 4

Câu 78: Tính lim ^{3 2} 1₃ 2018 3 L n n

n + +

= ⋅

− A. 1

2018. B. −3. C. + ∞. D. 1

−3.

Câu 79: Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn lim 3 2 ² 4 0 2

n a a

n

 + + − =

 + 

  . Tổng các phần tử

của S bằng

A. 4 . B. 3. C. 5. D. 2 .

Câu 80: Cho a∈ sao cho giới hạn

( )

2 2

2 2

lim 1 1

1

an a n a a

n

+ +

= − +

+ .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0< <a 2. B. 0 1 a 2

< < . C. − < <1 a 0. D. 1< <a 3. Câu 81: Dãy số

( )

^u_n ^với

( )( )

( )

2 3

3 1 3

4 5

n

n n

u n

− −

= − có giới hạn bằng phân số tối giản a

b. Tính a b.

A. 192 B. 68 C. 32 D. 128

Câu 82: Biết lim^{2 3} ₃ ^{2 4 1}

2 2

n n an

+ − =

+ với a là tham số. Khi đó a a− ² bằng

A. −12. B. ⁻². C. 0. D. −6.

Câu 83: Biết lim^{8 1} 4 2 n an

+ =

− với a là tham số. Khi đó a a− ² bằng:

A. −4. B. −6. C. 2. D. −2.

Câu 84: Cho dãy số

( )

u_n với 1 2 3 ...₂

n 1 n

u n

+ + + +

= + . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. limu_n =0. B. lim 1

n 2 u = .

C. Dãy số

( )

u_n không có giới hạn khi n→ +∞. D. limu_n =1.

Câu 85: Giới hạn lim1 2 3 4 ...^{2 2} ₃ ^{2 2 2}

2 7

n

n n

+ + + + +

+ + có giá trị bằng?

A. 2

3. B. 1

6. C. 0. D. 1

3. Câu 86: lim1 3 5 ... 2 1₂

3 4

n n

+ + + + +

+ bằng

A. 2

3. B. 0 . C. 1

3. D. ^+∞.

Câu 87: Lim ¹₂ ²₂ 3 ...₂ n₂

n n n n

 + + + + 

 

  bằng

A. 1. B. ⁰. C. 1

3. D. 1

2. Câu 88: Cho dãy số

( )

u_n xác định bởi: u_n ¹₂ ³₂ ^{2 1n}₂

n n n

= + +…+ − với n∈^* Giá trị của limu_n bằng:

A. 0`. B. +∞. C. ^−∞. D. 1

Câu 89: Tìm lim ¹₂ ²₂ ... n₂

n n n

 + + + 

 

 .

A. ^+∞. B. ¹

2. C. ¹

n. D. 0. Câu 90: Tính giới hạn: lim 1 1₂ 1 1₂ ... 1 1₂

2 3 n

 −  −    − 

    

 .

A. 1. B. ¹

2. C. ¹

4. D. ³

2. Câu 91: Cho dãy số

( )

un với

   

1 1 ... 1 .

1.3 3.5 2 1 . 2 1

un

n n

   

  Tính lim .u_n A. 1 .

2 B. 0. C. 1. D. 1 .

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 4 Câu 92: Tính lim( 2− n²⁰¹⁹+3n²⁰¹⁸+4)?

A. −∞_{. B.} +∞. C. −2. D. 2019.

Câu 93: lim 2 3

(

− n

) (

⁴ n+1

)

³ là:

A. ^−∞ B. +∞ C. 81 D. 2

Câu 94: Tính giới hạn lim ₂³ 2

3 2

n n

L n n

= −

+ −

A. L= +∞. B. L=0. C. 1

L=3. D. L= −∞. Câu 95: Tính giới hạn của dãy số 2 3 2 ³

3 2

n n n

u n

− + −

= −

A. 2 3

− . B. −∞. C. 1. D. +∞.

Câu 96: Giới hạn ^{1 5 ... 4}

(

³

)

lim 2 1

n n

+ + + −

− bằng

A. 1. B. +∞. C. ²

2 . D. 0 . Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Câu 97: lim 4 ² 1 2

2 3

n n

n

+ − +

− bằng

A. 3

2. B. 2. C. 1. D. ^+∞.

Câu 98: Cho ²

2

4 5

lim4 1

n n

I n n

= + +

− + . Khi đó giá trị của I là:

A. I =1. B. 5

I =3. C. I = −1. D. 3 I =4. Câu 99: Tìm limu_n biết

( )

2

1 3 5 ... 2 1

2 1

n

n n

u n

+ + + + −

= +

A. 1

2. B. +∞. C. 1. D. −∞.

Câu 100: Tính

( )( )

2 2 3 2

1 2 3 ...

lim 2 7 6 5

n

n n n

+ + + +

+ +

A. 1

6. B. 1

2 6 . C. 1

2. D. ^+∞.

Câu 101:

( ) ( )

( ) ( )

2 3

3 2

2 1 5 3 lim 3 4 1

n n

n n

− +

+ − bằng

A. ²

3. B. ²

9. C. ⁴

3. D. ⁴

9. Câu 102: Tính

( )

( ) ( )

6

4 2

lim 2 1

2 2 1 n

n n

+

+ − .

A. 1

16^{. B. 15. C. 8 . D. 16.}

Câu 103: Dãy số

( )

un với ^{1 2 3 ...}₂ 1011 1012

n n

u n

+ + + +

= + . Khi đó lim

(

u_n +1

)

_bằng

A. 2019

2022^{. B. 2023}2022. C. 2022

2023^{. D.} 2022²⁰²¹.

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

DẠNG. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = >a 0 thì lim

(

u v_{n n}

)

= +∞. B. Nếu limu_n = ≠a 0 và limv_n = ±∞ thì lim ⁿ 0

n

u v

 

 =

  . C. Nếu limu_n = >a 0 và limv_n =0 thì lim ⁿ

n

u v

 

 = +∞

  .

D. Nếu limu_n = <a 0 và limv_n =0 và v_n >0 với mọi n thì lim ⁿ

n

u v

 

 = −∞

  . Lời giải

Chọn C

Nếu limu_n = >a 0 và limv_n =0 thì lim ⁿ

n

u v

 

 = +∞

  là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của v_n là dương hay âm.

Câu 2: Cho dãy

( )

u_n có limu_n =3, dãy

( )

v_n có limv_n =5. Khi đó lim

(

u v_{n n}.

)

=?

A. 15. B. 8. C. 5. D. 3.

Lời giải Nếu limu_n =a,limv_n =b thì lim

(

u v_{n n}.

)

=a b.

( )

lim u v_{n n}. =3.5 15= .

Câu 3: Cho limu_n = −3; limv_n =2. Khi đó lim

(

u_n−v_n

)

bằng

A. −5. B. −1_{. C. 5. D.} 1.

Lời giải

( )

lim u_n−v_n =limu_n−limv_n = − − = −3 2 5.

Câu 4: Cho dãy số

( )

u_n thỏa mãn lim

(

u_n+3

)

=0. Giá trị của limu_n bằng

A. 3. B. −3. C. 2. D. 0.

CHƯ Ơ NG

III HÀM SỐ LIÊN TỤC ^{GIỚI HẠN}

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III

Lời giải Ta có lim

(

u_n+3

)

=0 ⇔limu_n= −3.

Câu 5: Cho hai dãy số

( )

u_n và

( )

v_n thoả mãn limu_n=6 và limv_n =2. Giá trị của lim

(

u_n−v_n

)

bằng

A. 12. B. 8. C. −4_{. D.} 4.

Lời giải Ta có lim

(

u_n−v_n

)

=limu_n−limv_n = − =6 2 4.

Câu 6: Cho hai dãy số

( )

u_n ,

( )

v_n thỏa mãn limu_n = −4 và limv_n =3. Giá trị của lim

(

u v_{n n}.

)

bằng

A. 12. B. −12_{. C.} 1. D. 7 .

Lời giải Ta có: lim

(

u v_{n n}.

)

=lim .limu_n v_n = −

( )

4 .3= −12 Câu 7: Cho dãy số

( )

u_n thỏa mãn lim ³.

n 2

u = Giá trị của lim

(

u_n+4

)

bằng A. ¹¹

2 . B. ¹¹

4 . C. ¹³

2 . D. ¹³

4 . Lời giải

( )

^{3 11}

lim 4 4

2 2

un+ = + =

Câu 8: Cho lima_n = −3, limb_n =5. Khi đó lim

(

a b_n− _n

)

bằng

A. −2. B. 8 . C. 2. D. −8.

Lời giải Ta có: lim

(

a b_n− _n

)

=lima_n −limb_n = − − = −

( )

3 5 8. Câu 9: Nếu limu_n = −3; limv_n =1 thì lim

(

u v_n+ _n

)

bằng:

A. −1_{. B.} 1. C. −2_{. D.} −4.

Lời giải Ta có: lim

(

u v_n+ _n

)

=limu_n+limv_n = − + = −3 1 2

Câu 10: Cho dãy số

( )

un thỏa mãn lim

(

u_n −2

)

=0. Giá trị của limu_n bằng

A. 2. B. −2. C. 1. D. 0 .

Lời giải Xét: lim

(

u_n−2

)

= ⇔0 limu_n =2.

Câu 11: Cho hai dãy số

( ) ( )

un , vn thỏa mãn limu_n =2,limv_n = −3. Giá trị của lim

(

u vn n.

)

bằng

A. 6 B. 5 C. −6 D. −1

Lời giải

( ) ( )

lim un nv =2. 3− = −6

Câu 12: Cho dãy số

( )

un thỏa mãn limu_n = −5. Giá trị của lim

(

u_n−2

)

bằng

A. 3 B. −7 C. 10 D. −10

Lời giải Ta có lim

(

un−2

) ( ) ( )

= − +5 − = −2 7

Câu 13: Cho dãy số

( )

un thỏa mãn lim

(

un −3

)

=0. Giá trị của limu_n bằng

A. 4. B. 3. C. −3. D. 0 .

Lời giải

( )

lim u_n −3 = ⇔0 limu_n =3.

Câu 14: Cho dãy số

( )

un ,

( )

vn thỏa mãn limu_n =11, limv_n =4. Giá trị của lim

(

u vn+ n

)

bằng

A. 4. B. 7 . C. 11. D. 15.

Lời giải Ta có lim

(

un+vn

)

=11 4 15+ = .

Câu 15: Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P 2,13131313...,

A. 212

P  99 B. 213

P  100. C. 211

P 100. D. 211 P  99 . Lời giải

Chọn D

Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài Câu 16: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ta nói dãy số

( )

u_n có giới hạn là số a khi n→ +∞, nếu lim

(

_n

)

0

n u a

→+∞ − = .

B. Ta nói dãy số

( )

u_n có giới hạn là 0khi n dần tới vô cực, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. Ta nói dãy số

( )

u_n có giới hạn ^+∞ khi n→ +∞ nếu u_n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

D. Ta nói dãy số

( )

u_n có giới hạn −∞ khi n→ +∞ nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải Chọn A

Câu 17: Cho các dãy số

( ) ( )

u_n , v_n và limu_n =a, limv_n = +∞ thì lim ⁿ

n

u

v bằng

A. 1. B. 0. C. ^−∞. D. +∞.

Lời giải Chọn B

Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số

( ) ( )

u_n , v_n và limu_n =a, limv_n = +∞ trong đó a hữu hạn thì lim ⁿ 0

n

u v = .

Câu 18: Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?

limn^k = +∞ với k nguyên dương.

limqⁿ = +∞ nếu q <1. limqⁿ = +∞ nếu q>1

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2 .

Lời giải Chọn D

limn^k = +∞ với k nguyên dương ⇒

( )

I là khẳng định đúng.

limqⁿ = +∞ nếu q <1⇒

( )

II là khẳng định sai vì limqⁿ =0 nếu q <1. limqⁿ = +∞ nếu q>1⇒

( )

III là khẳng định đúng.

Vậy số khẳng định đúng là 2 . Câu 19: Cho dãy số

( )

^u_n ^thỏa 2 1₃

un

− < n với mọi n∈*. Khi đó

A. limu_n không tồn tại. B. limu_n =1. C. limu_n =0. D. limu_n =2. Lời giải

Chọn D

Ta có: 2 1₃ un

− <n lim

(

u_n 2

)

lim 1₃ 0

⇒ − = n = ⇒limu_n− =2 0⇒l mi u_n =2. Câu 20: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. limu_n =c (u_n =clà hằng số ). B. limqⁿ =0

(

q >¹

)

. C. lim1 0

n= . D. lim 1_k 0

n =

(

k >1

)

. Lời giải

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì limqⁿ =0

(

q <1

)

. DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Câu 21: Tính lim ₃ ¹

3 L n

n

= −

+ .

A. L=1. B. L=0. C. L=3. D. L=2.

Lời giải Chọn B

Ta có ₃ ^{2 3}

3

1 1

1 0

lim 3 lim 1 3 1 0

n n n

n n

− −

= = =

+ + .

Câu 22: ^lim₅ ¹ ₃ n+ bằng

A. 0. B. 1

3. C. +∞. D. 1

5. Lời giải

Chọn A

Ta có

1 1

lim5 3 lim5 3 0 n n

n

= =

+ + .

Câu 23: lim ¹

2n+7 bằng A. ¹

7. B.

+∞

. C. ¹

2. D. 0 .

Lời giải Chọn D

Ta có: lim ¹ 2n+7

1 lim2 7 0

n n

= =

+ . Câu 24: lim ¹

2n+5 bằng A. ¹

2. B. 0 . C. +∞. D. ¹

5. Lời giải

Chọn B Ta có: lim ¹

2n+5

lim .1 1n 2 5 0 n

= =

+ . Câu 25: lim ¹

5n+2 bằng A. ¹

5. B. 0 . C. ¹

2. D. +∞. Lời giải

Chọn B

1 1 1 1 lim5n 2 limn 5 2 0.5 0

n

 

 

=  = =

+  + 

 

.

Câu 26: Tìm lim7 ₃² 2 ₂³ 1.

3 2 1

n n

I n n

− +

= + +

A. 7

3. B. 2

−3. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ₃² ₂^{3 3}

3

7 2 1

7 2 1 2

lim3 2 1 lim3 2 1 3.

n n n n

I n n

n n

− + − +

= = = −

+ + + +

Câu 27: lim 2₆ ² 3₅ 5 n

n n

−

+ bằng:

A. 2 . B. 0. C. 3

5

− . D. −3. Lời giải

Ta có lim 2₆ ² 3₅ 5 n

n n

− +

4 6

2 3

lim 1 5 n n

n

= −

+ ⁰

= .

Câu 28: ^lim2018_n bằng

A. ^−∞. B. 0 . C. 1. D. +∞.

Lời giải Chọn B

Câu 29: Tính giới hạn lim ^{2 1}₂ 2

L n

n n

= +

+ − ?

A. L= −∞. B. L= −2. C. L=1. D. L=0. Lời giải

Chọn D

Ta có: ₂ ²

2

2 1 2 1

lim2 lim 2 1 1 0

n n n

L n n

n n + +

= = =

+ − + − .

Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. ² 2₂

5 3

n n

u n n

= −

+ . B. ² 2 ₂

5 3

n n n

u n n

= −

+ . C. 1 2 ₂

5 3

n n

u n n

= −

+ . D. 1 2 ²₂

5 3

n n

u n n

= −

+ . Lời giải

Chọn C

 Xét đáp án A. ² ₂ ²

1 2

2 1

lim5 3 lim 5 3 3

n n

n n

n

− −

= =

+ + .

 Xét đáp án B. ² ₂

1 2

2 1

lim5 3 lim 5 3 3

n n n

n n

n

− −

= =

+ +

 Xét đáp án C. ₂ ² 1 2 1 2

lim5 3 lim 5 3 0

n n n

n n

n

− −

= =

+ + .

 Xét đáp án D. lim51 23²₂ lim 51 2² 3 23

n n

n n

n

− −

= = −

+ + .

Câu 31: Tính lim ₂^{2 3}

2 3 1

I n

n n

= −

+ +

A. I = −∞. B. I =0. C. I= +∞. D. I =1. Lời giải

2

2 3 lim2 n3 1

I n n

= −

+ +

2

2

2 2

2 3 lim 2 3 1

n n n

n n n

 − 

 

 

=  + + 

2

2

2 3 lim2 3 1

n n n n

= −

+ + =0. Câu 32: Tìm limu_n biết ₂1 ₂1 ... ₂1

2 1 3 1 1

un

= + + +n

− − − .

A. 3

4. B. 3

5. C. 2

3 D. 4

3. Lời giải

Chọn A Ta có:

( )( )

2 2 2

1 1 ... 1 1 1 1 ... 1

2 1 3 1 1 1.3 2.4 3.5 1 1

un

n n n

= + + + = + + + +

− − − − +

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

2 1 3 2 4 3 5 n 1 n 1

 

=  − + − + − + + − − +  ^{1 1 1}2 1 2 n¹1 ³4 2

(

n¹ 1

)

 

=  + − + = − + . Suy ra: ^limu^{n lim 3}4 2

(

¹ 1

)

³4

n

 

=  − + = .

Câu 33: Tính giới hạn ^lim 1.2 2.3 3.4^{1 1 1 ...} n n

(

¹ 1

)

 

+ + + +

 + 

 .

A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3

2. Lời giải

Ta có:

( )

1 1 1 ... 1

1.2 2.3 3.4+ + + +n n 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 n 1 n n n 1

= − + − + + − + −

− +

 1 1

1

= −n + . Vậy ^lim 1.2 2.3 3.4^{1 1 1 ...} n n

(

¹ 1

)

 

+ + + +

 + 

 

lim 1 1 1

1 n

 

=  − + = .

Câu 34: Tìm lim ^{1 1} ... ¹ 1 1 2 1 2 ...

L n

 

=  + + + + + + + 

A. 5

L= 2. B. L= +∞. C. L=2. D. 3 L=2. Lời giải

Ta có 1 2 3 ...+ + + +k là tổng của cấp số cộng có u₁=1, d =1 nên _{1 2 3 ...}

(

¹

)

2 k +k k + + + + =

( )

1 2

1 2 ... k k k 1

⇒ =

+ + + +

2 2

1

= −k k

+ , ∀ ∈k ^*.

2 2 2 2 2 2 2 2

lim ...

1 2 2 3 3 4 1

L n n

 

=  − + − + − + + − + 

2 2

lim 1 n 1

 

=  − +  =2.

Câu 35: Với n là số nguyên dương, đặt

( )

1 1 ... 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1

Sn

n n n n

= + + +

+ + + + + . Khi đó

limS_n bằng A. 1

2 1+ B. 1

2 1− . C. 1. D. 1

2 2+ . Hướng dẫn giải

Chọn C Ta có

( )

1

1 1

n n+ + n+ n ^{= n n+1}

(

^{1n+ +1 n}

)

^{= nn n+ −1 +1n = 1n − n1+1.}

Suy ra

( )

1 1 ... 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1

Sn

n n n n

= + + +

+ + + + + .

1 1 1 1 .... 1 1 1 1

1 2 2 3 n n 1 n 1

= − + − + − = −

+ + .

Suy ra limS_n =1

Câu 36: Tính giá trị của limcos ₂ sin . 1

n n

n +

+

A. 1. B. 0. C. +∞. D. −∞.

Lời giải

Ta có 0 ^cos ₂ ^{sin cos} ₂ ^sin ₂²

1 1 1

n n

n n

n n n

+ <

≤ +

< +

+ + và lim ₂2 0

1

n =

+ . Suy ra limcos ₂ sin 0.

1

n n

n

+ =

+

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 37: Tìm lim^{3 4}₂ ^{2 4}

4 2 3

n n

n n

− + + + .

A. −1. B. +∞. C. 0 . D. ³

4. Lời giải

Ta có: ⁴₂ ^{3 4}

2 3 4

2 4

3 2 4 3

lim4 2 3 lim 4 2 3

n n n n

n n

n n n

− +

− +

= = +∞

+ + + + .

Câu 38: ^{lim 2 1}₁

n

n n

→+∞

+

− bằng

A. 1. B. 2. C. −1_{. D.} −2.

Lời giải

1 1

2 2

lim 2 11 lim 1 1 lim 1 1 2

n n n

n n n n

n n n n

→+∞ →+∞ →+∞

 +  +

 

+ =  = =

−  −  −

.

Câu 39: lim^{2 1} 1 n n

+

− bằng

A. 2. B. +∞. C. −∞. D. 1.

Lời giải 2 1

lim2 11 lim1 1 2.

n n

n n

+ +

= =

− −

Câu 40: ^lim3₂ⁿ_n⁺₋⁵₄ bằng A. ³

2. B. ⁵

−4. C. 3. D. −4. Lời giải

Ta có

3 5

3 5

lim2 4 lim2 4

n n

n n

+ = +

− −

3

= 2.

Câu 41: Tính lim ₃ ¹ 3 L n

n

= −

+

A. L=2_{. B.} L=₃. C. L=0. D. L=1. Lời giải

Ta có:

3

2 3 2 3

3 3

3 3

1 1 1 1

1 0

lim 3 lim 1 3 lim 1 3 1 0

n n n n n n

L n n n n

 −  −

 

−  

= = = = =

+  +  +

Câu 42: Tính A lim 3 ¹₂ n

 

=  + 

A. A=3. B. A= −∞_{. C.} A= +∞_{. D.} A=₀. Lời giải

Ta có: A lim 3 ¹₂ 3 0 3 n

 

=  + = + = .

Câu 43: Tính giới hạn

( )( )

3

1 2 3

lim 2

n n

J n

+ +

= − ?

A. 3

J = −2_{. B. J} =₂. C. J =0. D. J = −2. Lời giải

Ta có:

( )( )

^{2 2 3}

3 3

3

2 5 3

1 2 3 2 5 3

lim 2 lim 2 lim 1 2 0

n n n n n n n

J n n

n + +

+ + + +

= = = =

− − − .

Câu 44: Giới hạn dãy số bằng:lim2 ²₂ 3 1 2

n n

n n

− + +

A. 3. B. 2. C. 1. D. 3.

−2 Lời giải

Ta có ²₂ ²

2 3 1

2 3 1

lim 2 lim 1 2 2.

n n n n

n n

n

− + = − + =

+ +

Câu 45: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng −1? A. lim ²⁰²¹

2022

−

− n

n . B. lim ²⁰²² 2022 1

−

− n

n . C. lim^{2 2022} 2022 1

−

− n

n . D. lim ² 2022₂ 2022

−

− n

n n . Lời giải

Ta có: ² ₂ ²

1 2022

2022 1

lim2022 lim2022 1 1 1

− = − = = −

− − −

n n

n n n

.

Câu 46: Dãy số

( )

u_n nào sau đây có giới hạn bằng ¹ 5?

A. ^{1 2 2} 5 5

n n

u n

= −

+ . B. ^{1 2} ₂

5 5

n n

u n n

= −

+ . C. ^{2 2}₂ 5 5

n n n

u n n

= −

+ . D. ^{1 2} 5 5

n n

u n

= −

+ . Lời giải

Ta có: lim ^{2 2}₂ 5 5

n n

n n

− +

2

2

1 2 lim 1

5 5 5

n n

n n

 − 

 

 

= =

 + 

 

 

.

Câu 47: Tìm a để lim ²₂ ^{3 2} 9 5 3 an n

n

− =

+ .

A. a=4. B. a=6. C. a=8. D. a=9.

Lời giải Ta có: lim ²₂ ^{3 2}

9 5 3 an n

n

− =

+ 2

3 2 lim9 5 3

a n

n

⇔ − =

+

2 9 3

⇔ =a ⇔ =a 6.

Vậy a=6.

Câu 48: Tính giới hạn

( )( )

3

1 4 2

lim .

2

n n

I n

+ −

= +

A. I =0. B. I =2. C. I =1. D. I =3. Lời giải

( )( )

²

3 3

3 3

1 2 1 2

1 4 1 4

1 4 2 1

lim 2 lim 1 2 lim . 1 2 0.

n n n n n n n

I n n n

n n

 +  −   +  − 

     

+ −      

= = = =

+  +  +

Vậy I =0.

Câu 49: Tính lim ^{1 19} 18 19

n n +

+ .

A. +∞. B. ¹

19. C. ¹

18. D. ¹⁹

18. Lời giải

Ta có lim18 191 19 lim181 1919 1918

n n

n n

+ = + =

+ + .

Câu 50: Biết lim 4 2 4 3 an

n

+ = −

+ ^tìm

A. 2 1a+ = −7 B. 2 1a+ = −8 C. 2 1a+ = −15 D. 2 1a+ = −17 Lời giải

4 4

lim4 3 2 lim4 3 2 4 2 8 2 1 15

an a n a a a

n n

+ = − ⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = − ⇒ + = −

+ + .

Câu 51: Kết quả của lim^{2 2020} 3 2021 I n

n

= +

+ . A. ³

I= 2. B. ²

I= 3. C. ²⁰²⁰

I = 2021. D. I=1. Lời giải

Ta có lim^{2 2020} 3 2021 I n

n

= +

+

2 2020 2 lim3 2021 3

n n

= + =

+ .

Câu 52: Kết quả đúng của lim ² ₄2 1

3 2

n n

n

− + + + là:

A. ¹

2. B. ²

−3. C. ³

− 3 . D. ¹

−2. Lời giải

Ta có: ^{2 2}

4

4

1 2 1

2 1 1 0 0 3

lim lim

2 3 0 3

3 2 3

n n n n

n n

− + + 

 

− + + =  =− + + = −

+ + +

.

Câu 53: Giá trị của lim2 1

− + n n bằng

A. 1. B. 2 . C. −1. D. 0.

Lời giải Ta có: lim2

1

− + n n

lim12 11

= − + n

n

0 1 1 0

= −

+ = −1.

Câu 54: Kết quả của lim 2 3 1

n n

−

+ bằng:

A. 1

3. B. 1

−3. C. −2. D. 1.

Lời giải Ta có

2 2

1 1

2 1

lim3 1 lim 3 1 lim3 1 3

n n n n

n n n n

 −  −

 

− =   = =

+  +  +

 

.

Câu 55: Tìm giới hạn lim3 2 3 I n

n

= −

+ .

A. 2

I = −3. B. I =1. C. I =3. D. k∈. Lời giải

Ta có

3 2

3 2

lim 3 lim1 3 3

n n

I n

n

− −

= = =

+ + .

Câu 56: Giới hạn lim1 2 3 1

n n

−

+ bằng?

A. ²

3. B. ¹

3. C. 1. D. ²

−3. Lời giải

Ta có_lim^{1 2} _lim^{1 2 2}

3 1 3 1 3

n n

n n

− = − = −

+ + .

Câu 57: Tính giới hạn lim2 2017 3 2018 I n

n

= +

+ . A. 2

I =3. B. 3

I =2. C. 2017

I = 2018. D. I =1. Lời giải

Ta có lim2 2017 3 2018 I n

n

= +

+

2 2017 lim3 2018

n n

= +

+ 2

= 3.

Câu 58: ^lim_{18 19}^{1 19+}_n+ⁿ bằng A. 19

18. B. 1

18. C. +∞. D. 1

19. Lời giải

Chọn A

Ta có lim18 191 19 lim181 1919 1918

n n

n n

+ = + =

+ + .

Câu 59: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? A. 1

n. B. 1

n . C. n 1

n

+ . D. sinn n . Lời giải

Chọn C

Có limn 1 lim1 lim1 1

n n

+ = + = .

Câu 60: lim 1 ₂ ²

2 1

n n

−

+ bằng

A. 0. B. ¹

2. C. ¹

3. D. ¹

−2. Lời giải

Ta có lim 1 ₂ ²

2 1

n n

− +

2

2

lim21 11 n

n

= −

+

1

= −2.

Câu 61: Tính giới hạn lim4 2018 2 1 n

n +

+ . A. 1

2. B. 4. C. 2. D. 2018.

Lời giải Ta có

4 2018 4 2018

lim 2 1 lim 2 1 2

n n

n n

+ = + =

+ + .

Câu 62: Tìm lim8 ⁵₅ 2 ³₂ 1

4 2 1

n n

n n

− +

+ + .

A. 2 . B. 8. C. 1. D. 4 .

Lời giải Chọn A

Ta có lim8 ⁵₅ 2 ³₂ 1

4 2 1

n n

n n

− +

+ +

5

2 5

5

3 5

2 1

8

lim 4 2 1

n n n

n n n

 − + 

 

 

=  + + 

= ^{2 5}

3 5

2 1

8 8

lim4 2 1 4 2

n n n n

− +

= =

+ + .

Câu 63: Tính lim^{2 1} 1n

n +

+ được kết quả là

A. 2. B. 0 . C. ¹

2. D. 1. Lời giải

Ta có

1 1

2 2

2 1 2 0

lim 1 lim 1 1 lim 1 1 0 1 2

n n n n

n n n n

 +  +

 

+ =  = = + =

+  +  + +

.

Câu 64: lim2 ⁴₄ 2 2

4 2 5

n n

n n

− +

+ + bằng A. 2

11. B. 1

2. C. ^+∞. D. 0.

Lời giải

Ta có ⁴₄ ^{3 4}

3 4

2 2

2 2 2 2 1

lim4 2 5 lim4 2 5 2

n n n n

n n

n n

− +

− +

= =

+ + + + .

Câu 65: Giá trị của lim^{2 2} ₂³ 1 2

n n

−

− bằng

A. −3. B. 2. C. −1. D. 0.

Lời giải Chọn C

2 2

2

2

2 3

2 3

lim1 2 lim 1 2 1

n n

n n

− = − = −

− − .

Câu 66: Giá trị lim ²₂

12 1

n n

A n

= +

+ bằng A. 1

12. B. 0. C. 1

6. D. 1

24. Lời giải

Chọn A

2 2

2

1 1 1

lim12 1 lim12 1 12

n n n

A n

n + +

= = =

+ + .

Vậy 1

A=12. Câu 67: Tính lim^{5 3}

2 1 n

n + + .

A. ₁. B. +∞. C. 2 . D. ⁵

2. Lời giải

Chọn D

Ta có

5 3

5 3 5

lim2 1 lim2 1 2

n n

n n

+ +

= =

+ + .

Câu 68: lim ³₃ 4₂ 5

3 7

n n

n n + −

+ + bằng

A. 1. B. 1

3. C. 1

4. D. 1

2. Lời giải

Chọn B

Ta có: lim ³₃ 4₂ 5

3 7

n n

n n + −

+ +

2 3

3

4 5

1 1

lim 3 1 7 3

n n n n + −

= =

+ + .

Câu 69: Tính giới hạn lim ₃² 3 ³

2 5 2

n n

n n

−

+ − . A. 1

5. B. 0 . C. 3

−2. D. 1 2. Lời giải

Chọn C

Ta có: lim ₃² 3 ³

2 5 2

n n

n n

− + −

3

3

2 3

1 3

lim 2 5 2

n n

n n n

 − 

 

 

=  + −  ^{2 3}

1 3 3

lim2 5 2 2

n n n

= − = −

+ − .

Câu 70: Giới hạn của dãy số

( )

u_n với 2 1, ^*

n 3n

u n

n

= − ∈

−  là:

A. −2. B. 2

3. C. 1. D. 1

−3. Lời giải

Chọn D Ta có

2 1

2 1 1

lim ⁿ lim 3 lim 3 1 3

n n

u n

n

− −

= = = −

− − .

Câu 71: Tính giới hạn lim10 3 3 15 I n

n

= +

− ta được kết quả:

A. 10

I = − 3 . B. 10

I = 3 . C. 3

I =10. D. 2 I = −5. Lời giải

Chọn B

Ta có

10 3

10 3 10

lim3 15 lim3 15 3

n n

I n

n + +

= = =

− − .

Câu 72: lim^{2 1} 1 n n

+

+ bằng

A. 1. B. 2 . C. −2. D. ^+∞.

Lời giải Chọn B

Ta có lim2 1 1 + = + n n

2 1

lim1 1 2 + = +

n n

.

Câu 73: lim3₂² 1 2 n n

+

− bằng:

A. 3. B. 0. C. 1

2. D. 1

2. Lời giải

Chọn A

2 2

2

2

3 1

3 1

lim 2 lim1 2 3

n n

n n

+ = + =

− −

Câu 74: Tính lim 8 ² 3 1₂

4 5 2

n n

n n + − + + .

A. 2 . B. 1

−2. C. 4 . D. 1

−4. Lời giải

Chọn C

Ta có ² ₂ ²

2

8 3 1

8 3 1

lim4 5 2 lim 4 5 2 4

n n n n

n n

n n

+ − = + − =

+ + + + .

Câu 75: Cho hai dãy số

( )

^u_n ^và

( )

^v_n ^có un ¹₁

=n

+ ; 3

n 3 v =n

+ . Tính lim ⁿ

n

u v .

A. 0. B. 3. C. 1

3. D. ^+∞.

Lời giải Chọn C

Ta có lim ⁿ

n

I u

= v

1 lim 31

3 n n

= +

+ ^lim3

(

³1

)

n n

= +

+

1 3 lim3 1 1

n n

= +

 + 

 

 

1

=3.

Câu 76: Giới hạn lim ⁸₂ ^{5 2}₅ ^{3 1} 2 4 2019

n n

n n

− +

− + bằng

A. −2. B. 4 . C. +∞. D. 0.

Lời giải Chọn A

Ta có: lim 8₂ ⁵ 2₅ ³ 1

2 4 2019

n n

n n

− +

− +

2 5

3 5

2 1

lim 28 4 2019 n n

n n

 − + 

 

=  

 − + 

 

2

= − .

Câu 77: Giá trị của

( )

2 2

4 3 1

lim 3 1

n n

B n

+ +

= − bằng:

A. 4

9. B. 4

3. C. 0. D. 4

Lời giải Chọn A

Ta có:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 1 3 1

4 4

4 3 1 4 0 0 4

lim lim lim

3 1 3 1 3 1 3 0 9

n n n n n n n

B n n

n n

 + +   + + 

   

+ +     + +

= = = = =

−  −   −  −

Câu 78: Tính lim ^{3 2} 1₃ 2018 3 L n n

n + +

= ⋅

− A. 1

2018. B. −3. C. + ∞. D. 1

−3. Lời giải

3 2 3

3

3

1 1 1

1 1

lim2018 3 lim 2018 3 3

n n n n

L n

n + + + +

= = = − ⋅

− −

Câu 79: Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn lim 3 2 ² 4 0 2

n a a

n

 + + − =

 + 

  . Tổng các phần tử

của S bằng

A. 4 . B. 3. C. 5. D. 2 .

Lời giải Chọn A

Ta có: lim 3 2 ² 4 2

n a a

n

 + + − 

 + 

 

(

^{2 4 3}

)

^{2 2 2 8}

lim 2

a a n a a

n

 − + + + − 

 

=  + 

2 2

2

2 2 8

4 3

lim 1 2 4 3

a a

a a

n a a

n

 − + + + − 

 

=  = − +

 + 

 

 

.

Theo giả thiết:lim 3 2 ² 4 0 ² 4 3 0 3 1

2

n a a a a a a

n

 + + − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ =

 + 

  .

Vậy S=

{ }

1;3 ⇒ + =1 3 4.

Câu 80: Cho a∈ sao cho giới hạn

( )

2 2

2 2

lim 1 1

1

an a n a a

n

+ +

= − +

+ .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0< <a 2. B. 0 1 a 2

< < . C. − < <1 a 0. D. 1< <a 3. Lời giải

Chọn A Ta có

( )

2

2 2 2 2 2

2 2

2

1 1 1

lim 1 lim 2 1 lim 1 2 1

a a

an a n an a n n n a

n n

n n n

+ +

+ + = + + = =

+ +

+ + + .

2 1

a − + =a a ⇒a²−2a+ =1 0⇒ =a 1. Câu 81: Dãy số

( )

u_n với

( )( )

( )

2 3

3 1 3

4 5

n

n n

u n

− −

= − có giới hạn bằng phân số tối giản a

b. Tính a b.

A. 192 B. 68 C. 32 D. 128

Lời giải Chọn A

Ta có:

( )( )

( )

2 2

3 3

3 1 3 1

3 1 3 3

lim lim

4 5 4 5 64

n n n n a

n b

n

 −  − 

  

− − =    = =

−  − 

 

. Do đó: a b. =192

Câu 82: Biết lim^{2 3} ₃ ^{2 4 1}

2 2

n n an

+ − =

+ với a là tham số. Khi đó a a− ² bằng

A. −12. B. ⁻². C. 0. D. −6.

Lời giải Chọn A

Ta có

3 2 3 3

3 3

3

1 4

2 4 2 2 1

lim 2 lim 2 2

n n n n n

an n a a

n

 + − 

 

+ − =   = =

+  + 

.

Suy ra a=4. Khi đó a a− ² = −4 4² = −12. Câu 83: Biết lim^{8 1} 4

2 n an

+ =

− với a là tham số. Khi đó a a− ² bằng:

A. −4. B. −6. C. 2. D. −2.

Lời giải

1 1

8 8

8 1 8

lim 2 lim 2 lim 2 4 2

n n n n a

an n a n a n a

 +  +

 

+ =   = = = ⇒ =

−  −  − Khi đó a a− ² = −2 2 ²= −2

Câu 84: Cho dãy số

( )

u_n với 1 2 3 ...₂

n 1 n

u n

+ + + +

= + . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. limu_n =0. B. lim 1

n 2 u = .

C. Dãy số

( )

u_n không có giới hạn khi n→ +∞. D. limu_n =1.

Lời giải Ta có: lim lim1 2 3 ...₂

n 1 n

u n

+ + + +

= +

( )

(

^{2 1}

)

lim2 1

n n n

= +

+ 1

=2. Câu 85: Giới hạn lim1 2 3 4 ...^{2 2} ₃ ^{2 2 2}

2 7

n

n n

+ + + + +

+ + có giá trị bằng?

A. 2

3. B. 1

6. C. 0. D. 1

3. Lời giải

Ta có kết quả quen thuộc 1 2 3 ...²+ ²+ + +² n²

(

1 2 1

)( )

6 n n+ n+

= .

Do đó lim1 2 3 4 ...^{2 2} ₃ ^{2 2 2}

2 7

n

n n

+ + + + +

+ +

( )( )

(

^{31 2 1}

)

lim 6 2 7

n n n

n n

+ +

= + +

2 3

1 1

1 2

1.2 1

lim6 1 2 7 6 3

n n

n n

 +  + 

  

  

= = =

 + + 

 

 

.

Câu 86: lim1 3 5 ... 2 1₂

3 4

n n

+ + + + +

+ bằng

A. 2

3. B. 0 . C. 1

3. D. ^+∞.

Lời giải Ta có 1 3 5 ... 2 1

( ) (

^{1 2 1}

)(

¹

) ( )

1 ²

2

n n

n + + + n

+ + + + + = = + .

( ) ( )

^{2 2}

2 2

2

1 2 1

1 3 5 ... 2 1 1 1

lim 3 4 lim3 4 lim 3 4 3

n n n n

n n

n + + + + + + + +

= = =

+ + + .

Câu 87: Lim ¹₂ ²₂ 3 ...₂ n₂

n n n n

 + + + + 

 

  bằng

A. 1. B. ⁰. C. 1

3. D. 1

2. Lời giải

2 2 2 2 2 2

1 2 3 ... 1 2 3 ... ( 1) 1 1 1

2 2 2 2

n n n n

Lim lim lim lim

n n n n n n n

+ + + + +

 + + + + =  =  =  + =

       

       

Câu 88: Cho dãy số

( )

u_n xác định bởi: u_n ¹₂ ³₂ ^{2 1n}₂

n n n

= + +…+ − với n∈^* Giá trị của limu_n bằng:

A. 0`. B. +∞. C. ^−∞. D. 1

Lời giải

Ta có

( )

₂

( )

²

2 2 2 2 2

1 3 ... 2 1

1 3 2 1

1 3 ... 2 1n n ... n n n 1

n n n n n

+ + + −

+ + + − = → + + + − = = =

Suy ra limu_n =1.

Câu 89: Tìm lim ¹₂ ²₂ ... n₂

n n n

 + + + 

 

 .

A. ^+∞. B. ¹

2. C. ¹

n. D. 0. Lời giải

2 2 2

1 2

lim ... n

n n n

 + + + 

 

  ²

1 2 ...

lim n

n + + +

 

=  

 

( )

2

1 1

1 1

lim lim

2 2 2

n n n

n

 + 

 

+

 

=  =  =

   

 

.

Câu 90: Tính giới hạn: lim 1 1₂ 1 1₂ ... 1 1₂

2 3 n

 −  −    − 

    

 .

A. 1. B. ¹

2. C. ¹

4. D. ³

2. Lời giải

Xét dãy số

( )

u_n , với 1 1₂ 1 1₂ ... 1 1₂

2 3

un

n

    

= −  −   − 

    , n≥2,n∈. Ta có:

2 2

1 3 2 1 1 2 4 2.2 u = − = = + ;

3 2 2

1 1 3 8 4 3 1

1 . 1 .

2 3 4 9 6 2.3

u = −    − = = = +

    ;

4 2 2 2

1 1 1 3 8 15 5 4 1

1 . 1 1 . .

2 3 4 4 9 16 8 2.4

u = −    −  − = = = +

    



1

n n2

u n

= + .

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định ¹, 2

n n2

u n

n

= + ∀ ≥

Khi đó lim 1 1₂ 1 1₂ ... 1 1₂ lim 1 1

2 3 2 2

n

n n

 −  −    − = + =

    

  .

Câu 91: Cho dãy số

( )

un với

   

1 1 ... 1 .

1.3 3.5 2 1 . 2 1

un

n n

   

  Tính lim .u_n A. 1 .

2 B. 0. C. 1. D. 1 .

Lời giải 4 Ta có :

   

1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 3.5 2 1 . 2 1 2 1 3 3 5 2 1 2 1

un

n n n n

 

                 1 1 1

2 1 2 1 2 1

n

n n

 

      Suy ra : lim lim ¹.

2 1 2

n

u n

= n =

+

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Câu 92: Tính lim( 2− n²⁰¹⁹+3n²⁰¹⁸+4)?

A. −∞_{. B.} +∞. C. −2. D. 2019.

Lời giải:

Ta có lim 2

(

n²⁰¹⁹ 3n²⁰¹⁸ 4 lim

)

n²⁰¹⁹. 2 3 20194 n n

  

− + + =  − + + = −∞. Câu 93: lim 2 3

(

− n

) (

⁴ n+1

)

³ là:

A. ^−∞ B. +∞ C. 81 D. 2

Lời giải

( ) (

⁴

)

^{3 7 2 4 1 3}

lim 2 3n n 1 lim n 3 1

n n

     

− + =   −    +   Ta có limn⁷ = +∞

4

( )

4 4

lim 2 3 3 3

n

 −  = − =

 

 

1 3

lim 1 1

n

 +  =

 

 

( ) (

⁴

)

³

lim 2 3n n 1

⇒ − + = +∞

Câu 94: Tính giới hạn lim ₂³ 2

3 2

n n

L n n

= −

+ −

A. L= +∞. B. L=0. C. 1

L=3. D. L= −∞. Lời giải

Ta có: ₂^{3 2}

2 3

1 2

lim3 2 2 lim 3 1 2 .

n n n

L n n

n n n

− −

= = = +∞

+ − + −

Câu 95: Tính giới hạn của dãy số 2 3 2 ³

3 2

n n n

u n

− + −

= −

A. 2 3

− . B. −∞. C. 1. D. +∞.

Lời giải

3 2 2 2

2 3 2

lim 3 2 lim 3 2

n n

n n n

n n

− + −

− + − = = −∞

− − do lim 2 n 2n² lim n² 2 1 2₃

n n n

−  

 + − = − + −  = −∞

    

    

và lim 3 2 3 0 n

 − = >

 

  .

Câu 96: Giới hạn ^{1 5 ... 4}

(

³

)

lim 2 1

n n

+ + + −

− bằng

A. 1. B. +∞. C. ²

2 . D. 0 . Lời giải

Ta có: 1 5 ... 4

(

3

)

lim 2 1

n n

+ + + −

−

1.1 4 lim 1 4

2 1

n

n

−

= −

− ^lim 3 2 1

(

^{4 1}

)

n

n

= − = +∞

− .

Dạng 1.3 Phân thức chứa căn Câu 97: lim 4 ² 1 2

2 3

n n

n

+ − +

− bằng

A. 3

2. B. 2. C. 1. D. ^+∞.

Lời giải Ta có: lim ^{4 2 1 2}

2 3

n n

n

+ − +

−

2 2

1 1 2

lim 4 2 3

n n n

n

+ − +

=

−

2 0 2

= − =1.

Câu 98: Cho ²

2

4 5

lim4 1

n n

I n n

= + +

− + . Khi đó giá trị của I là:

A. I =1. B. 5

I =3. C. I = −1. D. 3 I =4. Lời giải

Ta có ²

2

4 5

lim 4 1

n n

I n n

= + +

− +

2

2

4 5 1

lim4 1 1 n

n + +

=

− +

1

=

Câu 99: Tìm limu_n biết

( )

2

1 3 5 ... 2 1

2 1

n

n n

u n

+ + + + −

= +

A. 1

2. B. +∞. C. 1. D. −∞.

Lời giải

( )

^{2 2}

2 2 2

2

1 3 5 ... 2 1 1 1

lim ⁿ lim 2 1 lim2 1 lim2 1 lim2 1 2.

n n n n n

u n n n

n + + + + −

= = = = =

+ + + +

Câu 100: Tính

( )( )

2 2 3 2

1 2 3 ...

lim 2 7 6 5

n

n n n

+ + + +

+ +

A. 1

6. B. 1

2 6 . C. 1

2. D. ^+∞.

Lời giải Ta có: _{2 2 2 2}

(

1 2 1

)( )

1 2 3 ...

6

n n n

n + +

+ + + + = .

Khi đó:

( )( ) ( )( )

( )( )

2 2 3 2 1 2 1

1 2 3 ...

lim lim

2 7 6 5 12 7 6 5

n n n

n

n n n n n n

+ +

+ + + + =

+ + + +

1 1

1 2

lim 12 1 7 6 5

n n

n n

 +  + 

  

  

=  +  + 

  

1=6.

Câu 101:

( ) ( )

( ) ( )

2 3

3 2

2 1 5 3 lim 3 4 1

n n

n n

− +

+ − bằng

A. ²

3. B. ²

9. C. ⁴

3. D. ⁴

9. Lời giải

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2 3

3 2

2 1 5 3 lim 3 4 1

n n

n n

− +

+ − =

( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 3

3 2

3 2

2 1 . 5 3 lim 3 4 . 1

n n

n n

n n

n n

− +

+ − =

2 3

3 2

1 5

2 . 3

lim 3 4 . 1 1

n n

n n

 

 −  +

   

   

 +   − 

   

   

=^{2 .3 42}₃ 3 =9.

Vậy

( ) ( )

( ) ( )

2 3

3 2

2 1 5 3 4

lim 3 4 1 9

n n

n n

− +

+ − = .

Câu 102: Tính

( )

( ) ( )

6

4 2

lim 2 1

2 2 1 n

n n

+

+ − .

A. 1

16^{. B. 15. C. 8 . D. 16.}

Lời giải

Ta có

( )

( ) ( )

6 6

6 6

4

4 2 4 2 4 2

6

1 1

2 2

lim 2 1 lim lim 2 16

2 1 2 1

2 2 1 1 2 1 2

n n n n

n n n

n n n n

 +   + 

   

+ =   =   = =

+ −  +     −   +     − 

.

Câu 103: Dãy số

( )

u_n với ^{1 2 3 ...}₂ 1011 1012

n n

u n

+ + + +

= + . Khi đó lim

(

u_n +1

)

_bằng

A. 2019

2022^{. B. 2023}2022. C. 2022

2023^{. D.} 2022²⁰²¹. Lời giải

Ta có 1 2 3 ...

(

1

)

2 n n n+ + + + + =

Nên ^{1 2 3 ...}₂ 1011 1012

n n

u n

+ + + +

= +

( )

2

2 2

1

1011 2 1012 2022 2024

n n n n

n n

+

= = +

+ +

Do đó 1 2023 ² ₂ 2024

2022 2024

n

u n n

n + = + +

+

Suy ra lim

(

u_n+1

)

_lim^{2023 2} ₂ ²⁰²⁴

2022 2024

n n n

= + +

+

2

2

1 2024

2023 2023

lim 2022 2024 2022

n n

n

= + + =

+ .

Page 1 BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ