Cho tam giác ABC vuông góc tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I. Chứng minh

ABJEBC g g

15.3. Cho tam giác ABC vuông góc tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I. Chứng minh

. .

AD BD BI DC= .

15.4. Cho tam giác ABC, đường phân giác CD. Chứng minh rằng CD² <CACB. .

15.5. Cho tam giác đều ABC. Trên tia BA lấy điểm E (A nằm giữa B và E). Gọi D là điểm đối xứng với E qua đường thẳng BC. Gọi F là giao điểm của đường thẳng CD và AB. Chứng minh rằng

1 1 1

BC BD BF= + .

15.6. Cho hình bình hành ABCD có góc A tù. Từ A, vẽ các đường thẳng vuông góc với BC, CD cắt CD, BC tương ứng tại E và F. Đường thẳng qua A vuông góc với BD, cắt EF tại M. Chứng minh ME MF= . 15.7. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 60^o quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) . ²

4 BD CE= BC

b) DM; EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED;

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

15.8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vuông góc với CM. Nối DM. Gọi HN vuông góc với DH (N thuộc BC).

a) Chứng minh rằng tam giác DHC đồng dạng với tam giác NHB;

b) Chứng minh rằng AM NB NC MB. = .

15.9. Cho tam giác ABC thỏa mãn AB=2.AC và ^A=2.^B. Chứng minh rằng ΔABC là tam giác vuông.

15.10. Cho ΔABC nhọn có AH là đường cao lấy điểm M thuộc đoạn BC, kẻ MK vuông góc với AB và ML vuông góc với AC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt MK, ML tại E và F. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt AH tại I. Chứng minh rằng:

a) ΔAIB∽ΔMCE

b) ^{EM ML}

FM = KM và ^{BM AI} FM = AC; c) AH, BF, CE đồng qui.

15.11. Cho tam giác ABC có các trung tuyến AD, BE thỏa mãn điều kiện CAD CBE = =30°. Chứng minh ABC là tam giác đều.

15.12. Cho ΔABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Một đường thẳng đi qua P vuông góc với CP, cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) ^{AM AP 2}

BN BP

 

=   ;

Trang 14

b) ² 1

. AM BN CP

AC + BC AC BC+ = .

15.13. Cho tam giác ABC vuông tại A

(

AC AB>

)

, đường cao AH

(

H BC∈

)

. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA= . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB= .

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC = AH HC

+ .

15.14. Trong tam giác ABC, các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho:

 AFE BFD= , BDF CDE = , CED AEF = . a) Chứng minh rằng: BDF BAC =

b) Cho AB=5, BC =8, CA=7. Tính độ dài đoạn BD.

15.15. Cho ABCD là hình bình hành. Giả sử MAB MCB = . Chứng minh rằng MBC MDC = .

15.16. Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho  ADB ACB= + °90 và

. .

AC DB AD BC= . Chứng minh ^. 2 .

AB CD

AD BC = .

15.17. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ điểm M thuộc cạnh BC vẽ MB AB⊥ ; MQ AC⊥ ;

(

P AB Q AC∈ ; ∈

)

. Vẽ PE PQ⊥ ; QE PQ E F BC⊥

(

; ∈

)

. Chứng minh rằng: BE CF=

15.18. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BE, CF. Qua A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q.

Chứng minh rằng: PQ vuông góc với trung tuyến AM.

15.19. Cho tam giác BAC cân tại A có góc BAC=20°. Dựng tam giác đều BDC sao cho D, A cùng phía so với BC. Dựng tam giác DEB cân tại D có góc EDB= °80 và C, E khác phía so với DB. Chứng minh tam giác AEC cân tại E.

15.20. Cho tam giác ABC có A=90°. Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng AC sao cho CD =2.AD. Gọi E là điểm thuộc đoạn thẳng BD sao cho CED ABC^{ }= . Gọi F là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng

 2. DEF = ABC.

Trang 15 Hướng dẫn giải

15.1.

a) Xét ΔABE và ΔACF có  AEB AFC= =90°; BAC chung

( )

.g ABE ACF g

⇒Δ ∽Δ

. .

AB AE AE AC AF AB AC AF

⇒ = ⇒ =

b) Từ AE.AC AF.AB AE AF AB AC

= ⇒ = .

Xét ΔAEF và ΔABC có ^{AE AF}

AB = AC; BAC chung

(

. .

)

AEF ABC c g c

⇒Δ ∽Δ

c) Chứng minh tương tự, ta có: ΔAEF∽ΔABC ⇒  AEF ABC=

Chứng minh tương tự, ta được: ⇒ΔCAB∽ΔCDE

( )

^g.g ⇒^{ }ABC CED= Từ đó suy ra ^{ }AEF CED= ⇒ EB là tia phân giác DEF.

Chứng minh tương tự, ta có DA là tia phân giác EDF^. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

15.2.

CBH

Δ và ΔCDKcó:

 

(

^{90 .}

)

^{ }

(

^

)

CHB CKD= = ° HBC KDC= =BCD

Trang 16

( )

. CH CK CBH CDK g g

CB CD

⇒Δ ∽Δ ⇒ =

Mà CD AB= nên ^{CH CK} CB = AB. CHK

Δ và ΔBCA có ^{CH CK} CB = AB

Và  ABC HCK= (cùng bù với BAD) suy ra ΔCHK∽ΔBCA g c

(

^{c. .}

)

. 15.3.

IAB

Δ và ΔDCB có  ABI CBD= ; IAB DCB = (hai góc cùng phụ với ABC) AB BI

IAB DCB

BC BD

⇒Δ ∽Δ ⇒ = .

ABC

Δ có BD là đường phân giác Nên AB AD

BC DC= .

Do đó: BI AD AD BD BI DC. . BD DC= ⇒ = . 15.4.

Ta có CDB A^{ }> (tính chất góc ngoài), do đó trên cạnh BC lấy E sao cho CDE A^{ }= . ACD

Δ và ΔDCE có C^{ }₁ =C₂; ^{ }A CDE=

( )

. AC CD ACD DCE g g

CD CE

⇒Δ ∽Δ ⇒ =

Trang 17

2 . .

CD AC CE AC BC

⇒ = <

15.5.

Ta có  AEC BDC= và DBC EBC = =60° Vì  DBC ACB= =60° nên AC/ / BD.

Suy ra: ^{  }ACF BDC AEC= = ⇒ΔAEC∽ΔACF g g

( )

.

AC AE AB AE AB AE

AF AC AF AB AB AF AB AE

⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ +

AB AE AB 1 AB BF BE BF BE

⇒ = ⇒ = −

1 1 1

AB AB 1

BF BE BF BE AB

⇒ + = ⇒ + =

1 1 1

BD BF BC

⇒ + = . Điều phải chứng minh.

15.6.

Trang 18 Từ giả thiết suy ra C là trực tâm ΔAEF nên AC EF⊥ .

Kết hợp với BD AM⊥ và ED AF⊥

theo tính chất góc có cạnh tương ứng vuông góc ta có: ICD MFA = ; CDI MAF = ICD MFA

⇒Δ ∽Δ IC MF ID MA

⇒ = (1)

Tương tự ICB MEA g g

( )

^{. IC ME}

IB MA

⇒ =

Δ ∽Δ (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với giả thiết IB ID= suy ra ME MF= . 15.7.

a) Trong tam giác BDM ta có ^D₁ =120° =M^₁ Vì M^₂ =60° nên ta có:  

3 120 1

M = ° −M Suy ra D^{ }₁ =M₃ mà  B C= =60° Do đó ΔBMD∽ΔCEM (1) Suy ra ^{BD CM}

BM = CE , từ đó: BD CE BM CM. = .

Trang 19

Vì 2

BM CM= = BC , nên ta có: . ² 4 BD CE = BC

b) Từ (1) suy ra ^{BD MD}

CM = EM mà BM CM= nên ta có: ^{BD MD} BM = EM Do đó ΔBMD∽ΔMED.

Từ đó suy ra: D^{ }₁ =D₂ , do đó DM là tia phân giác của góc BDE.

Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED.

c) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC.

Theo tính chất đường phân giác, ta có: DH DI EI EK= , = ⇒ AH AK= . Từ đó suy ra chu vi tam giác ADE bằng:

2

AD DE EA AD DH EK EA+ + = + + + = AH. Vậy chu vi tam giác ADE không đổi.

15.8.

a)

Xét ΔDHC và ΔNHB có: ^{DHC NHB} ⁼

(

^{=90° −CHN}

)

^{; HCD HBC =}

(

^{=90° −BCH}

)

Suy ra: ΔDHC∽ΔNHB g g

( )

. b)

Xét ΔMBH và ΔBCH có: ^{MHB BHC} ⁼

(

^{= °90 ;}

)

^{MBH HCB =}

(

^{= ° −90 CBH}

)

Suy ra ΔMBH ∽ΔBCH g g

( )

. ^{MB HB} BC HC

⇒ = (1)

Trang 20 Mà ΔDHC∽ΔNHB

( )

g.g NB HB

DC HC

⇒ = (2) và BC CD=

nên từ (1) và (2), suy ra: MB NB= ⇒AM CN= , suy ra AM NB NC MB. = . . 15.9. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AB= .

Từ đó suy ra DC =3.AC và BAC =2BDA nên BDC ABC = .

Từ đó ABC BDC AC BC BC² DC AC.

BC DC

⇒ = ⇒ =

Δ ∽Δ

2 3. 2 2 2 4.AC2

BC AC BC AC

⇒ = ⇒ + =

nên AB² =BC² +AC. Vậy ΔABC là tam giác vuông tại C.

15.10.

a)

Ta có: ^{BIA MCE} ⁼

(

^{=90° −IBH}

)

^(1).

Lại có: IAB BAH + =180 ;° CME EMB + =180°; và

 

(

⁹⁰ 

)

^{ }

BAH EMB= = ° −ABC ⇒IAB CME= (2) Từ (1) và (2) suy ra: ΔIAB∽ΔMCE g g

( )

.

b) ΔMAK và ΔMEA có MKA MAE^{ }=

(

=^{90 ,}°

)

^AME chung

( )

. MA MK ² .

MAK MEA g g MA ME MK

ME MA

⇒Δ ∽Δ ⇒ = ⇒ = (3).

Tương tự: MAL

( )

g g^{. MA ML} MA² MF ML^. MF MA

⇒ = ⇒ =

Δ ∽Δ (4).

Từ (3) và (4) suy ra: ME MK MF ML. . EM ML FM KM

= ⇒ = .

Ta có: .

AMB .

AMC

MB S AB MK MC = S = AC ML

Mặt khác ^{EM ML MK MF}

FM = MK ⇒ ML = ME

Trang 21

Suy ra . .

. .

MB AB MF MB AB MC MC = AC ME ⇒ MF = AC ME (5) Mặt khác ΔAIB∽ΔMCE, suy ra ^{MC AI}

ME = AB (6) Từ (4) và (5) suy ra: ^.

.

MB AB AI AI MF = AC AB AC= c) ΔMBF và ΔAIC có ^{MB MF}

AI = AC

và IAC BMF^{ }= ⇒ΔMBF∽ΔAIC c g c

(

^{. .}

)

⇒^{ }AIC MBF=

mà ^{ }AIC ICB+ =90°

(

AI BC⊥

)

⇒^{ }MBF ICB+ =90° hay BF vuông góc với CI.

Tam giác IBC có IH, BF, CE là đường cao, suy ra điều phải chứng minh.

15.11.

Ta có: ΔADC∽ΔBEC g g

( )

. ,

suy ra ^{2 2}

1 21 2

CA CD CB CB CA CB CA CB CB CE= = CA= CA⇒ = ⇒ = (1)

2.

CA CD

⇒ = . Mặt khác DAC=30° ⇒ =C 60° (2) Từ (1) và (2) suy ra ABC là tam giác đều

15.12.