Tìm điều kiện xác định của các hàm số

Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

7.1. Tìm điều kiện xác định của các hàm số

) 2

2 1 a y x

x

= +

+ ) ₂ ¹

3 4 b y x

x x

= +

+ −

) 3 4 2

c y= x+ − − x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số ²

2 1 y x

x

= +

+ xác định 2 1 0 2 1 ¹

x x x 2

⇔ + ≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ −

b) Hàm số ₂ ¹

3 4 y x

x x

= +

+ − xác định ⇔x²+3x− ≠ ⇔ ≠4 0 x 1 và x≠ −4 c) Hàm số y= x+ −3 4 2− x xác định

3 0 3

3 2

4 2 0 2

x x

x x x

+ ≥ ≥ −

 

⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 7.2. Chứng minh rằng hàm số ¹

2 1 y x

x

= +

− nghịch biến khi ¹ x>2 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y f x

( )

_{2 1}^{x 1}

x

= = +

−

Với mọi x x₁< ₂ và ₁, ₂ ¹

x x >2. Xét hiệu:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

2 1

2 1

2 1

2 1 1 2 1 2

2 1 2 1

1 1

2 1 2 1

1 2 1 1 2 1 3

2 1 2 1 2 1 2 1

x x

f x f x

x x

x x x x x x

x x x x

+ +

− = −

− −

+ − − + − −

= =

− − − −

Do x x₁< ₂ và ₁, ₂ 1

x x > 2 nên ta có x x₁− ₂ <0 và 2x₁− >1 0 và 2x₂− >1 0 .

Từ đó dẫn đến f x

( )

₂ − f x

( )

₁ <0 hay f x

( )

₂ < f x

( )

₁ . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến khi 1 x> 2 7.3. Chứng minh rằng hàm số y=2x³+ −x 1 đồng biến

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y f x=

( )

=²x³+ −x ¹

Với mọi x x₁< ₂. Xét hiệu:

( )

2

( )

1 2

(

2³ 1³

) ⁽

2 1

^{) (}

2 1

⁾

2

(

1² 2² 1 2

)

1 f x − f x = x −x + x x− = x x−  x +x +x x +  =

(

x x x₂− ₁

)

 ₁²+x₂²+

(

x x₁+ ₂

)

²+1

Do x x₁< ₂ nên ta có x x₂− >₁ 0.

Từ đó dẫn đến f x

( )

2 − f x

( )

1 >0 hay f x

( )

2 > f x

( )

1 . Suy ra hàm số đã cho đồng biến.

7.4. Cho hàm số y=2x²−1 . Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không?

( )

) 1;1

a A b B) 0; 1

(

−

)

( )

) 1;3

c C − d D) 2;2

( )

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y f x=

( )

=2x²−1

a) Do 1= f

( )

1 nên suy ra điểm A thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

b) Do − =1 f

( )

0 nên suy ra điểm B thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

c) Do 3 1≠ = f

( )

−1 nên suy ra điểm C không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

d) Do 2 7≠ = f

( )

2 nên suy ra điểm D không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng y ax b= + , trong đó a, b là những hằng số với a≠0 .

Hàm số bậc nhất có tập xác định là _ . 2. Tính chất

Tính đồng biến, nghịch biến:

Với a>0 , hàm số đồng biến trên _ . Với a<0 , hàm số nghịch biến trên _ . Đồ thị

- Đồ thị của hàm số y ax b= +

(

a≠0

)

là một đường thẳng gọi là đường thẳng y ax b= + . Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm:

- Không song song và không trùng với các trục tọa độ;

- Cắt trục hoành tại điểm A a;0 b

− 

 

  và cắt trục tung tại điểm B

( )

0;b . Quan hệ giữa 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng

( )

d y ax b d: = + ;

( )

′ :y a x b= ′ + ′ , ta có:

+

( )

d song song với

( )

d′ ⇔ =a a′ và b b≠ ′; +

( )

d trùng với

( )

d′ ⇔ =a a′ và b b= ′; +

( )

d vuông góc với

( )

d′ ⇔a a. ′= −1;

+

( )

d cắt

( )

d′ ⇔ ≠a a′. B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số y=

(

²m+¹

)

x+⁵ (m là tham số).

a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Giải

a) Hàm số y=

(

2m+1

)

x+5 là hàm số bậc nhất 2 1 0 ¹

m m −2

⇔ + ≠ ⇔ ≠ .

b) Hàm số y=

(

2m+1

)

x+5 là hàm số đồng biến 2 1 0 1

m m −2

⇔ + > ⇔ > . Nhận xét:

Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng y ax b= +

(

a≠0

)

. Chẳng hạn, hàm số y=2 1x+ −x² có hệ số 2 0≠ nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng y ax b= + .

Ví dụ 2: Cho hai hàm số y=

(

3m−1

)

x+2và y=

(

m+1

)

x−7 (với m là tham số).

Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Giải Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:

( )

( )

3 1 0 1

1 0 31

m m

m m

− ≠ 

 ≠

 ⇔

 

 + ≠ 

  ≠ −

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

(

3m− ≠1

) (

m+ ⇔1

)

2m≠ ⇔ ≠2 m 1

Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện 1 ; 1

m≠ 3 m≠ − và m≠1 là giá trị cần tìm.

Nhận xét : + Với ¹

m=3, hai hàm số đã cho trở thành y=2 và ⁴ 7

y= 3x− . Khi đó y=2 không phải là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường thẳng và nó song song với trục hoành, còn hàm số bậc nhất ⁴ 7

y= 3x− có đồ thị là đường thẳng cắt trục hoành. Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số y=2 và ⁴ 7

y=3x− cắt nhau.

+ Tương tự với m= −1, hai hàm số đã cho trở thành :y= −4x 2+ và y= −7. Lập luận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau.

+ Các đường thẳng y=2 và y= −7 học ở chương III.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng y= −

(

1 3m x

)

+4

( )

d và y=

(

n−3

)

x n+

( )

d′ . a) Tìm m và n để

( )

d trùng

( )

d′ .

b) Tìm m và n để

( )

d song song

( )

d′ .

Giải a)

( )

d trùng

( )

d′ khi và chỉ khi 1 3 3 0

4 4

m n m

n n

− = − =

 

 = ⇔ =

 

b)

( )

d song song

( )

d′ khi và chỉ khi 1 3 3 4 3

4 4

m n n m

n n

− = − = −

 

 ≠ ⇔ ≠

 

Nhận xét :

Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện 1 3− m≠0 hoặc n− ≠3 0 thì lời giải sẽ không đúng.

Ví dụ 4. Cho ba hàm số : y x= +2 có đồ thị là d₁ y= − −x 2 có đồ thị là d₂ y= − +2x 2 có đồ thị là d₃

a) Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Cho biết d₁ cắt d₂ tại A, d₁cắt d₃ tại B, d₂ cắt d₃ tại C. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải a) Xem hình 1.

b) Từ câu a, ta có: A

(

−2;0 ,B 0;2 ,C 4; 6

) ( ) (

−

)

. d2 có phương trình y= − −x 2.

Cho x=0 thì y= −2 do đó d₂ cắt Oy tại M

(

0; 2−

)

.

Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì H

(

0; 6−

)

. Ta có : 1 . 1 . 14.2 1.4.4 12

2 2 2 2

ABC ABM MBC

S =S +S = BM OA+ BM CH = + = . Nhận xét :

Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác. Chẳng hạn:

Cách 2: Ta kiểm tra thấy d₁ ⊥d ₂⇒AB AC⊥ . Lại có:

2 2 2 2; 2 2 6 2

AB= AO +BO = AC= AK +KC = .

(K là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành). Khi đó ¹ .AC 12

ABC 2

S = AB = . Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hoành. Tìm được E

( )

1;0 . Khi đó:

E 1 . E 1 . E=12

2 2

ABC ABE A C

S =S +S = BO A + CK A . Ví dụ 5.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 4;1

(

−

)

và song song với đường thẳng 2 5

y= − +x .

b) Xác định hàm số y ax b= + biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm B

(

− −1; 2

)

và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng −3.

Giải

a) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y= − +2x 5 có dạng : 2

y= − +x b

(

b≠⁵

) ( )

d .

Vì

( )

d đi qua điểm ^{A 4;1}

(

⁻

)

^nên − − + = ⇔ = −^{2. 4}

( )

b ¹ b ⁷ (thoã mãn điều kiện b≠5).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y= − −2x 7.

b) Vì đồ thị của hàm số y ax b= + luôn đi qua điểm B

(

− −1; 2

)

nên ta có : − + = −a b 2 (1).

Vì đồ thị của hàm số y ax b= + cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng −3 nên ta có : b= −3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra : a= −1;b= − ⇒ = − −3 y x 3. Nhận xét :

Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm M x y

(

₀; ₀

)

thuộc đường thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng là: y k x x=

(

− 0

)

+y0.

Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm C

(

−4;1

)

và song song với đường thẳng 2 5

y= − +x nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc k = −2 đồng thời đi qua C

(

−4;1

)

. Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: y= −2

(

x+ + ⇔ = − −4 1

)

y 2x 7.

Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng. Sau đó làm tương tự phần a.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng

( )

d y: =

(

k−1

)

x n k+

(

≠1

)

và hai điểm A

( )

0;2 và

(

1;0

)

B − (với k,n là các tham số).

1. Tìm các giá trị của k và n để :

a) Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆:y x= + −2 k

2. Cho n=2. Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.

Giải 1.

a) Đường thẳng

( )

d đi qua điểm A

( )

0;2 ⇔ =n 2. Đường thẳng

( )

d đi qua điểm B

(

−^1;0

)

.

0 k 1 2 k 3

⇔ = − + + ⇔ =

Vậy với k=3;n=2 thì

( )

d đi qua hai điểm A và B.

b) Đường thẳng

( )

d song song với đường thẳng

( )

∆ :y x= + −2 k.

1 1 2

2 0

k k

k n n

− = =

 

 − ≠ ⇔ ≠

 

Vậy với k =2 và n≠0 thì đường thẳng

( )

d song song với đường thẳng

( )

^{∆ .}

2. Với n=2, đường thẳng

( )

d y: =

(

k−1

)

x+2 cắt Ox⇔k-1 0≠ ⇔ ≠k 1 (thỏa mãn).

Giao điểm của

( )

d với Ox là 2 ;0 C 1

k

 

 − 

  ,

Các ∆OAB và ∆OAC vuông tại O nên ¹ . ; ¹ .

2 2

OAC OAB

S = OAOC S = OAOB. Ta có S_OAC =2S_OAB ⇔OC =2OB

2 2 0

2 1

2. 2. 1

2 2

1 2

1

C B

k k

x x

k k

k

 =

 −  =

⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ =

 −



(thoả mãn).

Vậy với k =0 hoặc k=2 thì S_OAC =2S_OAB. Nhận xét :

Với phần 1b, chúng ta thường hay bỏ qua bước kiểm tra hằng số tự do của hai đường thẳng khác nhau. Nhắc lại, hai đường thẳng y ax b= + và y a x b= ′ + ′ song song với nhau khi và chỉ khi a a= ′ và b b= ′.

Với phần 2, nếu quá lệ thuộc vào hình vẽ học sinh có thể thiếu mất một trường hợp.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: y mx m= − +1 (m là tham số) a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d bằng 2. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn nhất.

Giải

a) Đường thẳng d luôn đi qua điểm M x y

(

0; 0

)

cố định khi và chỉ khi y₀ =mx m₀− +1 với mọi m

(

0 1

) (

1 0

)

0

m x y

⇔ − + − = đúng với mọi m

0 0

0 0

1 0 1

1 0 1

x x

y y

− = =

 

⇔ − = ⇔ =

Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố định M

( )

1;1 . b) Điều kiện để y mx m= − +1 là hàm số bậc nhất là m≠0. Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:

Với x= ⇒ = − + ⇒0 y m 1 A

(

0;− + ⇒m 1

)

OA= − + =m 1 m−1 Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:

Với y 0 x m 1 B m 1;0 OB m 1

m m m

−  −  −

= ⇒ = ⇒  ⇒ =

  .

Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng 2 nên đường thẳng d không đi qua O 0 m 1

⇔ ≠ − + hay m≠1.

Kẻ OH d⊥ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1

2 1 1

1 1

m m OH m m

OH OA OB m m m m m

+ − +

= + = + = ⇔ =

− + +

− −

Mà theo giả thiết có OH = 2.

2 2

2

2 1 2 2 1 0 1

1

m m m m m

m

− +

⇔ = ⇔ + + = ⇔ = −

+ (thoả mãn).

c) Vì OH OM≤ (OM không đổi do O và M cố định).

Dấu " "= xảy ra khi M ≡ ⇔ ⊥H d OM .

Gọi y ax b= + là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0=b và 1= +a b.

Từ đó ta có a=1;b=0. Như vậy ta được y x= là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc k₁=1.

Mà d y mx m= − +1 nên hệ số góc của đường thẳng d là k₂ =m.

Do d vuông góc với OM suy ra k k_{1 2}. = − ⇔1 1.m= − ⇔ = −1 m 1 (thoả mãn).

Nhận xét :

Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:

Bài toán: Tìm điểm cố định của đường thẳng có phương trình: y ax b= + (trong đó a,b là các biểu thức phụ thuộc vào tham số m).

Cách giải:

Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là M x y

(

0; 0

)

⇔ y0 =ax b0+ (1) đúng với mọi m.

Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:

. 0

P m Q+ = đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).

Bước 3: Sử dụng tính chất:

Phương trình ẩn m là: P m Q. + =0 đúng với mọi m 0 0 P Q

 =

⇔  = Từ đó tìm được

( )

x y; là toạ độ của điểm cố định.

Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể như sau:

(

²

) (

²

) ( )

²

2 2

2

2 2 2 2

2 1 2 1 1

2 1 2 2 1 2 2

1 1 1 1

m m m m

m m m m

OH m m m m

+ − + + +

− + + +

= = = − = − ≤

+ + + + với mọi m.

Đẳng thức xảy ra khi m+1 hay m= −1

Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số y=3x+m(1) . Cho điểm A có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị của hàm số (1). Xác định m để điểm A nằm trong góc vuông thứ IV.

Giải

Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số (1) và có hoành độ bằng 1 nên với

( )

1 3 1; 3

x= ⇒ = + ⇒y m A m+ .

Điểm A nằm trong góc vuông thứ IV của hệ trục toạ độ Oxy

1 0 1 0

3 0 3 m 3

m m

> >

 

⇔ + < ⇔ < − ⇔ < −

Vậy m< −3 thoã mãn yêu cầu của đề bài.

Nhận xét:

Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành 4 phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV.

• Điểm A x y

( )

; nằm trong góc phần tư thứ I khi và chỉ khi 0 0 x y

 >

 >



• Điểm A x y

( )

; nằm trong góc phần tư thứ II khi và chỉ khi 0 0 x y

 <

 >



• Điểm A x y

( )

^; nằm trong góc phần tư thứ III khi và chỉ khi 0 0 x y

 <

 <



• Điểm A x y

( )

^; nằm trong góc phần tư thứ IV khi và chỉ khi 0 0 x y

 >

 <

 Ví dụ 9. Cho hàm số ^y=

(

^3m2+1

)

^{x m+ 2−4}

Chứng minh khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

Giải Gọi điểm M (x;y) là một điểm của đồ thị, khi đó:

M cố định khi và chỉ khi ^y=

(

^3m2+1

)

^{x m+ 2−4} đúng với mọi m

(

3 1x

)

m² x y 4 0

⇔ + + − − = đúng với mọi m

3 1 0 13

4 0 13

3 x x

x y y

 = − + = 

 

⇔ − − = ⇔ = −



Vậy ^{1 13};

3 3

M− −  là điểm cố định cần tìm.

Nhân xét:

Cách giải trên dựa vào tính chất:

Phương trình ax bx c²+ + =0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a=b=c=0.

Ví dụ 10. Cho ba điểm A

( ) (

0;2 ,B − −3; 1 , 2;4

) ( )

C . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình của d có dạng là y ax b= + (1).

Do toạ độ của A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ: 2 1

1 3a 2

b a

b b

= =

 

− = − + ⇔ =

 

: y 2

d x

⇒ = + .

Lại có:ĐiểmC

( )

2;4 thoả mãn phương trìnhd: y= + ⇒ ∈x 2 C d.Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng.