14 Khoa học & Công nghệ - Số 25/Tháng 3 - 2020

ISSN 2354-0575

Journal of Science and Technology 14 Khoa học & Công nghệ - Số 25/Tháng 3 - 2020

STUDY ON OSCILATION OF HIGH – RISE BUILDINGS SUBJECTED TO COERCIVE FORCES

Nguyen Huu Dinh¹, Le Thi Mai¹, Khong Doan Dien² 1 Vietnam Maritime University 2 Hoa Binh University Received: 10/12/2019

Revised: 10/3/2020

Accepted for publication: 22/3/2020 Abstract:

This paper studies two oscilation moduls. The first problem studies the oscillation of a foundation of a building. The foundation of the building is considered to be a flat block resting on the springs in two vertical and horizontal directions subjected to vertical coercive forces F(t). The second problem investigates the oscillation of a two-story building subjected to the force F(t) acting on the top floor of the building.

Keywords: Oscilation of high – rise buildings.

1. Introdution

Oscilation of high – rise buildings and The effects of oscillation on high-rise buildings are a matter of much research. We know that under the influence of wind force or earthquake. High- rise buildings may fluctuate. The vibrations of a building damage the structure of the building or move objects in the building. The strong vibration of a building can cause it to collapse. Therefore the oscillation of high-rise buildings the author is interested in researching in this paper.

2. Build some oscillating mo dels 2.1. First oscillator model

a. The first problem

Figure 1a

The model is the foundation of the building

that is considered to be flat. It has m weight on the springs. The springs are vertical and horizontal.

It is subjected to vertical F(t) forces (Figure 1a). Establish a small oscillation equation of the foundation around the static equilibrium position.

Assume that the foundations only fluctuate in the drawing plane. Figure 1a the unformed springs.

b. Set up the oscillation equation of the first model

Figure 1b Kinetic energy expression

x y

T 2m J

1

2 1

C

2 2 {2

= _{_}o +o _i+ o

When the building’s foundation hovers in the plane.

The long deformation of the springs is Tl_x1, Tl_x2, ly1

T , Tl_y2 (Figure 1b). Potential energy of the system is

c l c l c l c l

mgy 2 1

x1 2x1 x x y y y y

2 22

1 21

2 22

T T T T

P= + ` + + + j

ISSN 2354-0575

Khoa học & Công nghệ - Số 25/Tháng 3 - 2020 Journal of Science and Technology 15 We denote the displacement components of point

A (from A to A’) are u₁ and v₁, The displacement components of point B (from B to B’) are u₂ and v₂ . According to Figure 1b. we have

;

;

;

cos sin

cos sin

sin cos

sin cos

v v

u x a b

u x a b

y a b

y a b

1 1

1 1

1 1

2 2

1 1

2 2

{ {

{ {

{ {

{ {

= + - +

= - - +

= - + -

= + + -

_ _

_ _ i i

i i

Apply the cosin theorem. we calculate

( /

( /

( /

( /

l l u v l u l

l l u v l v l

l l u v l u l

l l u v l v l

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

x x x x

y y y y

x x x x

y y y y

21 21

12 12

1 1 21 2

21 21

12 12

1 1 21 2

2 2

2 2

2 2

22

2 2 22 2

2 2

2 2

22 22

2 2 22 2

T T T T

= + + + -

= + + - -

= + + - -

= + + + -

8 8 8 8

B B B B

The quantities l_x1, l_x2, l_y1, l_y2 is the length of the spring when the spring has not been deformed.

because we consider the small vibration around the equilibrium position. The following approximations should be used.

; ; ;

lx21 u lx u ly v ly v

12 2 2

22 1 2

12 2 2

22

T . T . T . T .

Due to the small φ angle, we have an approximation sin{.{,cos{.1. I can calculate

;

;

l x b l y a

l x b l y a

x y

x y

1

2 2

1 2

1 2

2

2 2

2 2

2 2

T T

T T

. .

. .

{ {

{ {

+ -

+ +

_ _

_ _

i i

i i

Thus the approximate expression of the potential energy has a form

c x b c x b

c y a c y a mgy

2

1 _{x x}

y y

1

2 2

2

1 1 2

2 2 2

{

{ {

{

P= + + + +

- + + +

_ _ +

_ _

i i

i i

> H

To determine the extrapolation force corresponding to the force F(t).

A F t y F t e d =- _{_ i}d - _{_ i} d{

The extrapolation of forces has no potential energy

; ;

Q^*_x=0 Q^*_y=-F t Q_ i {^*=-F t e_ i

Plug the above expressions in Equation Lagrange II as follows

dtd qT

qT

q Q^*

i i i i

2 2

22 2 - =-2P+ d o n

We get the equation of the foundation oscillation of the form

Mq Cq f tp+ = _{_ i}

With the following components

; ;

M m

m

J q x

y f mg F eF 0

0 0 0

0 0

0

C {

= = =- +

R

T SSSS SSSS

R

T SSSS SSSS

R

T SSSS SSSS V

X WWWW WWWW

V

X WWWW WWWW

V

X WWWW WWWW

C c c

c c b c c

a c a c c c b a c a c c c b a c a c

0 0

x x

x x

y y

y y

x x

y y

x x y y

1 2

1 2

1 2

2 2 1 1

1 2

2 2 1 1

1 2 2

12 1 22

2

= + +

+ - + -

+ + +

_

_ _

i

i i R

T SSSS SSSS

8

V

X WWWW WWWWW B 2.2. Second oscillator model

a. The second problem

A two-story building is considered as a two-weight object m₁ = 2m₂ = 2m. It oscillates horizontally. Stiffness of the wall is c₁ = 2c₂ = 2c.

Indicate the force of the wind against the top floor of a building in the form F(t)=F₀sinΩt. Study the law of oscillation of the system.

b. Set up the oscillation equation of the second model

Figure 2

Select the coordinates of the system (x₁, x₂), With x₁ and x₂ the horizontal displacement of the first and second floor. the corresponding mass is m₁ and m₂ compared to the vertical equilibrium position.

Kinetic energy and Potential energy of the system is 2

(x x )

T mx mx

cx c

12 2

1 2

12 2

1

12

22

12

2 1 2

P

= +

= + -

o o

Instead of the Lagrange II equation, we derive the oscillating equation of the system

sin mx cx cx mx cx cx F t

2 ₁ 3 _{1 2} 0

2 1 2 0 X

+ - =

- + =

p

*

p

ISSN 2354-0575

Journal of Science and Technology 16 Khoa học & Công nghệ - Số 25/Tháng 3 - 2020

• Frequency and specific form

Frequency equation

C-~²M =0 c m

c c

c m

3 2

0

2

2

~

~ -

-

-

- =

Put m=~2mc We obtain the equation 2

5 1 0

m2- m+ = The solution of the above equation is

, ; 0 5 2

1 2

m = m = Correspondingly we calculated

, , ;

; mc mc 0 5 2

v [0, 5 1]

v [ 1 1]

T

T 12

1

2 2

2

~

~

= =

= = -

Distinct matrices are V 0 5,

1 1

= -1

= G

• Differential equations in the form of major coordinates

Change x = Vp, We have ,

, , ,

, sin

V MV m CV c

f F t

1 5 0

0 3 0

0 75 0

0 6 1

1

V V

T T

T

0 X

= =

=

= =

=

G G

G

Differential equations in the form of major coordinates

, , . . sin

. . sin

mp c p F t

mp c p F t

1 5 0 75

3 6

1 1 0

2 2 0

X X

+ =

+ =

p

*

p

or

sin sin

mp p Fm t

mp p Fm t

3 2 3

1 12 1

0

2 22

2 0

~

~

X X

+ =

+ =

p p

Z [

\ ]]]]

]]]]]

The solution of the above equation is

(t) c cos sin . sin

(t) c cos sin . sin

p t c t mF t

p t c t Fm t

3

2 1

3 1

1 11 1 12 1 0

12 2

2 21 2 22 2 0

2 2 2

~ ~

~

~ ~

~

X X X X

= + +

= + +

Z [

\ ]]]]]

]]]]]]

Returns to the original coordinates, Oscillation of system is x = v₁p₁ + v₂p₂. We get the following result.

, ( cos sin ) . sin

( cos sin ) . sin

x c t c t Fm t

c t c t Fm t

0 5 3

3

1 11 1 12 1 0

12 2

21 2 22 2 0

22 2

~ ~

~

~ ~

~ X X

X X

= + +

- -

- + -

-

( cos sin ) . sin

( cos sin ) . sin

x c t c t mF t

c t c t Fm t

3 2

3

2 11 1 12 1 0

1

2 2

21 2 22 2 0

2

2 2

~ ~

~

~ ~

~ X X

X X

= + +

- +

+ + +

- 3. Horizontal vibration results of a two-story building

With force has a form F(t)=F₀sinΩt Table 1. Datasheets of the building

m₁ 262,69x10³ kg m₂ 262,69x10³ kg c₁ 2x88,56x10⁶ N/m c₂ 88,56x10⁶ N/m

F₀ 50x10⁶ N

X 100r

Figure 3. Oscillating graph of a two-story building 4. Conclusion

The two oscillating models are. Oscillation of foundation is considered as flat block and Horizontal fluctuations of a two-story building are exerted by the force F(t) acting on the top floor of the building. For two-storey building, the author has found analytic solution. The author then uses Matlab software to simulate the number.

ISSN 2354-0575

Khoa học & Công nghệ - Số 25/Tháng 3 - 2020 Journal of Science and Technology 17 References

[1]. Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu, Vũ Văn Khiêm, Nguyễn Nhật Lệ, Bài tập dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2002.

[2]. Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1998.

[3]. Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2007.

[4]. Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Nhật Lệ, Bài tập cơ học Tập 1 (in lần thứ 16), NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội, 2011.

[5]. Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng, Bài tập cơ học Tập 2 (in lần thứ 13), NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội, 2011.

[6]. Hoàng Mạnh Cường, Nguyễn Hữu Dĩnh, Phạm Thị Thúy, Cơ học lý thuyết, NXB Hàng Hải, Hải Phòng, 2018.

[7]. Nguyễn Hữu Dĩnh, Vũ Xuân Trường, Nghiên cứu ảnh hưởng của gió, động đất tới dao động của tòa nhà cao tầng, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Hưng Yên, Số 23/Tháng 9-2019.

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA TÒA NHÀ CAO TẦNG CHỊU TÁC DỤNG CỦA LỰC CƯỠNG BỨC

Tóm tắt:

Bài báo này nghiên cứu hai mô hình dao động. Bài toán thứ nhất nghiên cứu dao động của một móng nhà được coi là một khối phẳng tựa trên các lò xo theo hai phương thẳng đứng và nằm ngang dưới tác dụng của lực F(t) theo phương thẳng đứng. Bài toán thứ hai nghiên cứu dao động theo phương ngang của tòa nhà hai tầng dưới tác dụng của lực F(t) tác dụng vào tầng trên cùng của tòa nhà.

Từ khóa: Dao động của tòa nhà cao tầng.