HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III

(1)

HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III

BÀI 3:

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa:

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng

( )

^ ^nếu^dvuông góc với mọi đường thẳng a chứa trong mặt phẳng

( )

^ ^.

Kí hiệu ^d^⊥

( )

^ ^hay

( )

^ ^⊥^d ^.

II. Định lý:

Định lý:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng ấy.

Hệ quả:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.

III. Các tính chất:

1. Tính chất 1: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

2. Tính chất 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

3. Tính chất 3:

Một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song đường thẳng ấy.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

d α a

b

d α a

d α

A

B

α

A M

B

a b

α

β

d α

(2)

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

IV. Phép chiếu vuông góc:

1. Phép chiếu vuông góc:Cho đường thẳng  và mặt phẳng

( )

^ vuông góc với nhau. Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng

( )

^ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

( )

^ ^.

Còn có thể gọi là “Phép chiếu lên mặt phẳng

( )

^ ^”.

2. Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a chứa trong mặt phẳng

( )

^ ^và^b là đường thẳng không chứa trong

( )

^ đồng thời không vuông góc với

( )

^ ^.

Gọi b là hình chiếu của b trên

( )

^ ^{. Khi đó}^a^vuông

góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:Cho đường thẳng d và mặt phẳng

( )

^ ^.

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

( )

^

thì ta nói góc giữa chúng bằng 90.

b) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng

( )

^ thì góc giữa chúng bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của đường thẳngd trên mặt phẳng

( )

^ ^.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng ( )P Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng ( )P .

Cách 2: Chứng minh d song song với a mà a⊥( )P . Cách 3: Chứng minh d ⊥( )Q và ( ) // ( )Q P .

Lời giải

b

a

α

b

α

^A'

a

^B'

B A

φ d'

d

α

^O

A

H

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh bên vuông góc

với đáy. Chứng minh .

Ví dụ 1

(3)

Ta có

BC⊥AB (theo giả thiết tam giác ABC vuông tại B) BC⊥SA (vì ^SA^⊥

(

^ABC

)

⁾

Suy ra BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong

(

^SAB

)

. Từ đó ta suy ra BC⊥(SAB).

Lời giải

Ta có:

• AB⊥SA(vì ^SA^⊥

(

^ABC

)

^,^AB^

(

^ABC

)

⁾

( )

¹

• AB⊥AC(vì ABC vuông tạiA)

( )

²

Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 suy ra}^AB^⊥

(

^SAC

)

Vì M là trung điểm của AC và BD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Suy ra AB // CD, mà ^AB^⊥

(

^SAC

)

^{, do đó}^CD^⊥

(

^SAC

)

(điều phải chứng minh).

Lời giải

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và có . Gọi là điểm đối xứng của qua trung điểm của cạnh Chứng minh rằng .

Ví dụ 2

Cho tứ diện có là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác Chứng minh rằng Ví dụ 3

A

B

C S

(4)

Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB BC CA, , .

Vì ¹ ² 1 2 1 2

( ) ( )

2 // // 1

3 SG SG

G G MN G G ABC

SM = SN =  

Vì ² ³ 2 3 2 3

( ) ( )

2 // // 2

3 SG SG

G G NP G G ABC SN = SP =  

Từ

( ) ( ) (

1 , 2  G G G1 2 3

) (

// ABC

)

Mà SH⊥

(

ABC

)

SH⊥

(

G G G1 2 3

)

(đpcm).

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.

Phương pháp:

Cách 1: Chọn 1 mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng b, sau đó chứng minh a⊥( )P .Từ đó suy ra a⊥b. Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc

Lời giải

Gọi H là trung điểm BC. Vì tam giác ABC cân tại A và tam giác DBC cân tại D nên ta có:

( )

AH BC

ADH BC AD BC

DH BC

⊥ 

 ⊥  ⊥

⊥  .

P

N M

G3

G2

G1

H

C

B A

S

H

D

C B

A

Cho tứ diện có . Chứng minh .

Ví dụ 1

(5)

Lời giải

Vì ^SA^⊥

(

^ABCD

)

^nên^AC là hình chiếu vuông góc của SC trên ^{mp ABCD}

( )

^.

Mặt khác theo giả thiết AC BD⊥ suy ra SC BD⊥ (theo định lý ba đường vuông góc).

Dạng 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Phương pháp:

Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

( )

^ ta thường dùng các cách sau đây:

 Cách 1:

Bước 1. Tìm O= a ( ) .

Bước 2. Lấy Aa và dựng AH ⊥( ) tại H. Khi đó

(

^a^{, ( )}^

)

⁼^{( ,}^{a a}^')⁼ ^AOH^.

Bước 3. Tính số đo của góc AOH

 Chú ý: ⁰⁰ ^

(

^a^{, ( )}^

)

^⁹⁰⁰

 Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn một đường thẳng d// a mà góc giữa d và

( )

^ có thể tính được.

Từ đó ta có:

(

^a^{, ( )}^

) (

⁼ ^d^{, ( )}^

)

Hướng 2: Chọn một mặt phẳng

( ) ( )

^ ^// ^ mà góc giữa a và

( )

^ có thể tính được.

Từ đó ta có:

( ) (

^a^{, ( )}^ ⁼ ^a^{, ( )}^

)

Lời giải

C A

D

B S

Cho hình chóp có đáy là hình vuông và có . Chứng minh rằng .

Ví dụ 2

Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trung điểm của cạnh . Biết tam giác là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa và .

Ví dụ 1



a

a' O H

A



(6)

Gọi H là trung điểm của BC suy ra ^SH^⊥

(

^ABC

)

^{, khi đó}^AH là hình chiếu vuông góc của SA lên

(

^ABC

)

. Suy ra

(

^{SA ABC}^,

( ) )

⁼^SAH . Mặt khác ³; ³ 45

2 2

a a

AH = SH = SAH = . Vậy

( )

(

^{SA ABC}^,

)

⁼⁴⁵⁰^.

Lời giải

a ) Tính góc giữa SC và

(

^ABCD

)

^.

Ta có:^SA^⊥

(

^ABCD

)

nên hình chiếu của SC lên

(

^ABCD

)

^là^AC^.

( )

(

^SC^; ^ABCD

) (

^{SC AC}^;

)

^SCA ^

 = = = .

ABCD là hình vuông cạnh aAC=a 2, SA=a 6

tan 6 3 60

2 SA a AC a

 

 = = =  = .

b ) Tính tan của góc giữa SC và

(

^SAB

)

^.

Ta có:BC⊥AB ( vì ABCD là hình vuông )

( )

^{1 .}

SA⊥BC( vì^SA^⊥

(

^ABCD

)

⁾

( )

^{2 .}

Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 suy ra}^BC^⊥

(

^SAB

)

suy ra hình chiếu của SC lên

(

^SAB

)

^là^SB^.

( )

(

^SC^; ^SAB

) (

^{SC SB}^;

)

^{C B}^S

 = = .

A D

B C

S

F

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng có vuông góc với mặt

phẳng và .

a ) Tính góc giữa và . b) Tính tan của góc giữa và . c) Tính sin của góc giữa và .

Ví dụ 2

(7)

Ta có AB=a ,SA=a 6 ^^SB⁼

( )

â ⁶ ²⁺â² ⁼â ⁷^.

Ta có ^BC^⊥

(

^SAB

)

^nên^BC^⊥^SB^{suy ra}^tan ¹

7 7

BC a

CSB= SB =a = .

Suy ra 1

tanCSB= 7.

c ) Tính sin của góc giữa AC và

(

^SBC

)

^.

Kẻ AF⊥SB

( )

^{1 .}

Ta có ^BC^⊥

(

^SAB

)

^mà^AF^

(

^SAB

)

^{suy ra}^BC^⊥ ^AF

( )

^{2 .}

Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 suy ra}^AF^⊥

(

^SBC

)

suy ra hình chiếu của AC lên

(

^SBC

)

^là^FC^.

( )

(

^AC^; ^SBC

) (

^{AC FC}^;

)

^{A F}^C

 = = .

Ta có AB=a , . 6 42

7 7 SA AB a a

AF = SB = = .

Ta có ^AF^⊥

(

^SBC

)

^nên^AF^⊥^FC^{suy ra}

42 7 21

sin 2 7

a ACF AF

AC a

= = = .

Suy ra sin ²¹

ACF = 7 .

Lời giải

Ta có hình chiếu vuông góc của A C lên

(

^ABCD

)

^{là đường}^AC. Nên góc giữa A C và

(

^ABCD

)

là góc giữa A C và AClà góc ACA =.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

2 2 2 2 2 2

4 5 5.

AC =AB +BC =a + a = a  AC=a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA C vuông tại A ta có:

1 0

tan 24 5 .

5 5

AA a AC a

= ^= =   

Dạng 4. Tìm thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt phẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước .

Cho hình hộp chữ nhật có . Tính góc giữa đường

chéo và mặt phẳng đáy . Ví dụ 3

(8)

Lời giải

Qua điểm A, ta kẻ đường thẳng vuông góc với SB, cắt SB tại H. Ta có

( )

, AD AB AD SA

AD SAB AB SA A

AB SA SAB

⊥ 

⊥   ⊥

 = 

 

.

( )

AD SAB

AD SB SB SAB

⊥  ⊥

  .

Do đó,

( ) (

^ ^ ^ADH

)

^.

Do ^AD^

( )

^ ^và^{AD BC} ^^BC

( )

^ ^Nên

( ) (

^ ^ ^SBC

)

⁼^Hx^,^với^{Hx BC}^.

Gọi I là giao điểm của Hx và BC. Khi đó

( ) (

^ ^ ^SBC

)

⁼^HI^.

Suy ra

( ) (

^ ^ ^SAB

)

⁼ ^AH^,

( ) (

^ ^ ^SAD

)

⁼ ^AD^,

( ) (

^ ^ ^SCD

)

⁼^ID^và

( ) (

^ ^ ^SBC

)

⁼^HI^.

Vậy thiết diện cần tìm là hình thangAHID

Lời giải I

C

A D

B

S

H

a

a a

a

P S

Q R

N M

A

C

D

C'

A' D'

B' B

Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Khi đó, mặt phẳng cắt hình chóp

theo thiết diện là hình gì?

Ví dụ 1

Cho hình lập phương có cạnh bằng . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . Khi đó, thiết diện là hình gì? Diện tích thiết diện bằng bao nhiêu?

Ví dụ 2

(9)

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

2

2 2 2 5

2 2

a a

MA= MB +BA MA=     +a MA= .

2

2 2 2 5

2 2

a a

MC= MC +CC MC=     +a MC= .

Nên ⁵

2

MA=MC= a . Suy ra điểm M thuộc mặt phẳng trung trực

( )

^ ^{của cạnh}^AC^.

Tương tự, ta gọi N, P, Q R, và S lần lượt là trung điểm của CD, DD, A D , A B  và BB. Khi đó, thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực

( )

^ là lục giác MNPQRS.

Ta có ¹ ²

2 2

MN = BDMN = a và tương tự, sẽ có ²

2 NP=PQ=QR=RS =SM = a .

Suy ra, MNPQRS là lục giác đều cạnh bằng ² 2 a .

Vậy diện tích lục giác đều MNPQRS là

2 2

2 3 3 3

6 .

2 4 4

MNPQRS MNPQRS

a a

S S

  

 

=    =

.

( Chú thích: Công thức tính nhanh diện tích lục giác đều: ^{3 3} ²

S = 2 a với a là cạnh của lục giác đều) .

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng ( )P

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh mặt phẳng

(

^MCD

)

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 2. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên SD,SB.

a) Chứng minh ^AK^⊥

(

^SCD

)

^.

b) Chứng minh ^AH^⊥

(

^SCB

)

^.

c) Chứng minh^SC^⊥

(

^AHK

)

^.

Bài 3. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông tâm O. Biết SA vuông góc

(

^ABCD

)

^và^SA⁼^AB^{. Gọi}^H^và

Mlần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh rằng ^OM ^⊥

(

^ADH

)

^.

Bài 4. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi, có SA vuông góc

(

^ABCD

)

^{. Gọi}^H^và^K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD. Chứng minh rằng ^HK ^⊥

(

^SAC

)

^.

Bài 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . a) Chứng minh ^AC^^⊥

(

^{A BD}^

)

^.

b) Chứng minh ^AC^^⊥

(

^{CB D}^{ }

)

^.

Bài 6. (ĐH 2007 – B) Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu của đỉnh S trùng với tâm của đáy. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M N I, , lần lượt là trung điểm của AE BC, và

.

AB Chứng minh rằng ^BD^⊥

(

^MNI

)

^.

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.

Bài 1. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SC SD, . Chứng minh HK ⊥SC .

Bài 2. Cho hình chóp S ABCD. đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA⊥(ABCD), 2 ,

AD= a AB=BC=a . Chứng minh rằng tam giác SCD vuông.

Bài 3. Trong mp P( ), cho tam giác đều BCD. Gọi M là trung điểm củaCD, G là một điểm thuộc đoạn thẳng BM. Lấy điểm A nằm ngoài mp P( )sao cho G là hình chiếu vuông góc của A trên mp P( ). Chứng minh rằng AB CD⊥ .

(10)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có ^SA^⊥

(

^ABCD

)

. Chứng minh rằng AC SB⊥ .

Dạng 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD. Tính côsin góc giữa AB và mp

(

^BCD

)

^.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với

(

^ABC

)

^{lấy điểm}^S

sao cho ⁶

2

SA=a . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và

(

^ABC

)

^.

Bài 3. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi , O là giao điểm của BD và AC. Biết ^SO^⊥

(

^ABCD

)

^và

4

BD= a, AC=2a, an ³

t SBO= 2 . Tính số đo của góc giữa SC và

(

^ABCD

)

^.

Bài 4. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật. M là trung điểm CD. Biết SA=SC=SB=SD=a 2 , đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi  là góc giữa SM và mặt đáy. Tính tan .

Bài 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Điểm M thuộc tia DD thỏa mãn DM =a 6. Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

(

^ABCD

)

^.

Bài 6. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng a. Tính tan góc giữa đường chéo AC và mặt phẳng

(

^{A BCD}^ ^

)

^.

Dạng 4. Tìm thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi một mặt phẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước .

Bài 1. Cho hình chóp S ABC. , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

Gọi

( )

^ là mặt phẳng đi qua điểm B và vuông góc với cạnh SC. Tìm thiết diện của tứ diện bị cắt bởi

( )

^ và tính diện tích thiết diện đó.

Bài 2. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(

^ABCD

)

^{. Dựng}

thiết diện với hình chóp S ABCD. khi cắt bởi mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.

Bài 3. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi H là trung điểm BC, O là trung điểm của AH và G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết SO vuông góc mặt phẳng

(

^ABC

)

^và^SO⁼²^a. Tính diện tích thiết diện với hình chóp S ABC. khi cắt bởi mặt phẳng

( )

^P ^{đi qua}^G và vuông góc với AH.

(11)