nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế ab

23 Natural Sciences 2018, Volume 63, Issue 3, pp. 23-33

This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn

NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA HỢP KIM THAY THẾ AB XEN KẼ NGUYÊN TỬ C VỚI CẤU TRÚC LẬP PHƢƠNG TÂM DIỆN

DƢỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP SUẤT

Nguyễn Quang Học và Nguyễn Đức Hiền

Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Tóm tắt. Rút ra biểu thức giải tích của năng lượng tự do, khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử, các môđun đàn hồi như môđun Young E, môđun nén khối K và môđun trượt G, các hằng số đàn hồi C11, C₁₂, C₄₄ đối với hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc lập phương tâm diện dưới tác dụng của áp suất bằng cách áp dụng phương pháp thống kê mômen. Trong các trường hợp giới hạn, ta thu được lí thuyết biến dạng đàn hồi của kim loại chính A, hợp kim thay thế AB và hợp kim xen kẽ AC. Các kết quả lí thuyết được áp dụng để tính số đối với hợp kim AuCuSi. Kết quả tính số đối với hợp kim AuCuSi được so sánh với kết quả tính số đối với kim loại chính Au, hợp kim thay thế AuCu, hợp kim xen kẽ AuSi. Kết quả tính số đói với Au được so sánh với thực nghiệm và các tính toán khác.

Từ khóa: Hợp kim xen kẽ, biến dạng đàn hồi, môđun Young, môđun nén khối và môđun trượt, hằng số đàn hồi, tỉ số Poisson.

1. Mở đầu

Các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các hợp kim xen kẽ (HKXK) thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm [1-6, 9-13] chẳng hạn như lí thuyết hợp kim xen kẽ [2, 3], các tinh toán từ các nguyên lí đầu tiên, thế nhiều hạt và động lực học phân tử đối với các khuyết tật trong kim loại, hợp kim và dung dịch rắn [4-6] và các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các HKXK nhị nguyên và tam nguyên lí tưởng [11-13].

Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng lí thuyết biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc lập phương tâm diện (LPTD) dưới tác dụng của áp suất bằng phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) [7, 8, 11-13].

2. Nội dung nghiên cứu

2.1. Kết quả giải tích

Trong HKXK AC với cấu trúc LPTD, năng lượng liên kết của nguyên tử C nằm ở tâm khối của ô mạng cơ sở lập phương với các nguyên tử A nằm ở các đỉnh và tâm mặt trong phép gần đúng ba quả cầu phối vị với tâm C và các bán kính

r r

₁

,

₁

3, r

₁

5

được xác định bởi [7, 8, 12].

Ngày nhận bài: 24/12/2017. Ngày sửa bài: 15/3/2018. Ngày nhận đăng: 22/3/2018.

Tác giả liên hệ: Nguyễn Quang Học. Địa chỉ e-mail: hocnq@hnue.edu.vn.

24

       

0 1 1 1

1

1 1

6 8 3 24 5

2 2

i

C AC AC AC

n

AC i i

r r r

u  r   









 

 

  

 3

^AC

 

^{r1 4AC}

 

^{r1 3 12AC}

 

^{r1 5 ,} (2.1) trong đó



_AC là thế tương tác giữa nguyên tử A và nguyên tử C,

n

_i là số nguyên tử trên quả cầu phối vị thứ i với bán kính

r i

_i

(  1, 2,3),

r¹r¹_C r⁰¹_Cy⁰_A¹( )T

(2.2) là khoảng cách lân cận gần nhất giữa nguyên tử xen kẽ C và nguyên tử kim loại A tại nhiệt độ T,

r01C là khoảng cách lân cận gần nhất giữa nguyên tử xen kẽ C và nguyên tử kim loại A tại nhiệt độ 0K và được xác định từ điều kiện cực tiểu của năng lượng liên kết u_0C,

0_A1( )

y T là độ dời của nguyên tử A1 (nguyên tử A nằm ở tâm mặt của ô mạng cơ sở lập phương) từ vị trí cân bằng tại nhiệt độ T. Các thông số hợp kim đối với nguyên tử C trong phép gần đúng ba quả cầu phối vị có dạng [7, 8, 12].

       

2

2

(2) (1) (2) (1)

1 1 1 1

1 1

1 2

2 4 8 3

3 3

3 9

AC

i i eq

C AC AC AC AC

k u

r r r r

r r



 

   

 



 

   

 

 



     

(2) (1)

1 1 1 2

1

8 5 4

4 5 5 , ,

AC r 5 AC r C C C

r   

 

 

 

4 4

(4) (2) (1) (4) (3)

1 1 2 1 3 1 1 1

1 1 1

(2) (1) (4) (3)

1 1 1 1

2 3

1 1 1

1 48

1 1 1 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3)

24 4 4 54 27

2 2 3 17 8 5

( 3) ( 3) ( 5) ( 5)

27 81 150 125

AC

i i eq

C AC AC AC AC AC

AC AC AC AC

u

r r r r r

r r r

r r r r

r r r



 

    

   

  



 

    

 

 

    



(2) (1)

1 1

2 3

1 1

1 5

( 5) ( 5),

25 ^AC r 125 ^AC r

r



r



 

4

2 2

(3)

1 1

(3) (2) (1)

2 1 2 1 3 1

1 1 1

(2) (1) (4) (3)

1 2 1 3 1 1 1

1 1

(4) 1

6 48

2 7 2 5

( 2) 2 2 5 5

8

1 3 3

( ) ( ) ( ) 2

2 4 4

7 4 26

( ) ( ) ( ) ( )

8 16 25 125

1 ( )

4

AC

i i i eq

AC

C AC AC AC

AC C AC C AC AC

u u AC

r

r r r

r r r

r r r r r

r r r

r

 

 



  

   





  

 

 

   

 

 

   

 

(2) (1)

1 1

2 3

1 1

5 5 5

3 3

( ) ( ),

25

^AC

r 125

^AC

r

r  r 

 

(2.3)

trong đó



^{( )}



_ ^{( )}



^{1,2,3,4, } 1^, 1 ^2, 1 ^3,1 ⁵



^,



^,



^{ , , ,}



^



)

( m r r r r r x y z

r

r _m r _i

i i AC m i m

AC và u_i

là độ dời của nguyên tử thứ i theo hướng



.

Năng lượng liên kết của nguyên tử A1 mà nó chứa nguyên tử xen kẽ C trên quả cầu phối vị thứ nhất với các nguyên tử trong mạng tinh thể và các thông số hợp kim tương ứng trong phép gần đúng ba quả cầu phối vị với tâm A1 được xác định bởi [7, 8, 12].

25

 

1 1

0_A 0_{A AC} 1_A ,

u



u 



r

   

1 1 1 1

1 1

1 2

1 2

2

(2) 1

1

2

, 4 ,

A i

AC

A A A A A A

i eq r r

AC A

k k

u k r



    



    

 

               

 

1

1 1

1 4

1 1 4 1

(4) 1

1 48

1 ( ),

24

A i

AC

A A A

i eq r r

AC A

u r



    



    

 

             

 

1 1 1 1

1 1 1

1 1 4

2 2 2 2 2

(3) (2) (1)

1 2 1 3 1

1 1 1

6 48

1 1 1

( ) ( ) ( )

4 2 2

i

A AC

A A A

i i eq

AC A AC A AC A

A A A

r r

u u r r r

r r r

 

  

   



   

 

  

  

  

 

  



^(2.4)

trong đó

1A1 1C

r r là khoảng cách lân cận gần nhất giữa nguyên tử A1 và các nguyên tử trong mạng tinh thể.

Năng lượng liên kết của nguyên tử A2 mà nó chứa nguyên tử xen kẽ C trên quả cầu phối vị thứ nhất với các nguyên tử trong mạng tinh thể và các thông số hợp kim tương ứng trong phép gần đúng ba quả cầu phối vị với tâm A2 được xác định bởi [7, 8, 12].

 

2 2

0_A 0_{A AC} 1_A ,

u u 



r

     

2 2 2 2

1 2

2 2

2 2

1 2

2

(2) (1)

1 1

1

1

2

1 23 , 4 ,

6 6

A i

AC

A A A A A A

i eq r r

AC A AC A

A

k k

u k r r



r

     



    

 

               

 



2 2 2

2 1 2

2 2

2 2

4

1 1 4 1

(4) (3)

1 1

1

(2) (1)

1 1

2 3

1 1

1 48

1 2

( ) ( )

54 9

2 2

( ) ( ),

9 9

i

A AC

A A A

i eq

AC A AC A

r r A

AC A AC A

A A

u

r r

r

r r

r r



     

 



  

 

      

  

 



2 2

1 2 4

(4)

2 2 2 2 2 1

6 48

1 ( )

81

i

A AC

A A AC A

i i eq

A r r

u_ u_ r

    



   

 

       

 

2 2 2

2 2 2

2

1 1

(3) (2) (1)

1 1 3 1

1

4 14

27 27

( ) ( ) 14 ( ),

A A

27

AC A AC A AC A

r r r r

A

r

  r 

  

(2.5) trong đó

2 2 2

2 2 2

1_A 01_A 0_C( ), 01_A

r r y T r là khoảng cách lân cận gần nhất giữa nguyên tử A2 và các nguyên tử trong mạng tinh thể tại 0K và được xác định từ điều kiện cực tiểu của năng lượng liên kết u0_A2,y0_C( )T là độ dời của nguyên tử C từ vị trí cân bằng tại nhiệt độ T.

Trong (2.3) và (2.4), u_0A,k_A,

 

_1A, _2A là các đại lượng tương ứng trong kim loại sạch A trong phép gần đúng hai quả cầu phối vị [7, 8, 12].

Phương trình trạng thái của HKXK AC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và áp suất P được viết dưới dạng

26

₁ ⁰

1 1

1 1

6 2 .

u k

Pv r xcthx

r  k r

   

        

(2.6) Ở 0K và áp suất P, phương trình này có dạng

₁ ^{0 0}

1 1

4 .

u k

Pv r

r k r



   

        

(2.7) Nếu biết dạng của thế tương tác



_i0 thì (2.6) cho phép xác định khoảng lân cận

 

1_X , 0

r P



X C A A A, , 1, 2



giữa các hạt trong tinh thể ở áp suất P và nhiệt độ 0K. Sau khi biết

 

1_X , 0 ,

r P có thể xác định các thông số k^X( , 0),P



₁^X( , 0),P



₂^X( , 0),P



^X( , 0)P ở áp suất P và 0K cho từng trường hợp. Độ dời trung bình của nguyên tử

y

_0X

( , ) P T

ở nhiệt độ T và ở áp suất P được xác định bởi [6, 7].

2

0 3

2 ( , 0)

( , ) ( , )

3^X ( , 0) ,

X X

X

y P T P A P T

k P

 



2 1

2

5

2 1

2

2 3 2 3 4

2 3

3 4 5

4

, 1

2

, , , ,

2

13 47 23 1 25 121 50 16 1

3 6 6 2 , 3 6 3 3 2

43 93 169 83 22 1

,

3 2 3 3 4 2

X X

X X

X

X

i

X

X iX X X X

i

X X X X X X X X X

X X X X X

Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

A a a k m x a Y

k

a a

a

   





  

      

 

 

          

     



2 3 4 5 6

5

103 749 363 733 148 53 1

3 6 3 3 3 6 2 ,

X YX YX YX YX YX YX

a         

 

2 3 4 5 6 7

6 561 1489 927 733 145 31 1 ,

65 coth .

2 3 ^X 2 ^X 3 2 3 2

X YX Y Y YX YX YX YX YX X X

a         x x

(2.8) Từ đó suy ra khoảng lân cận gần nhấtr1_X



P T,



ứng với từng trường hợp sau

1_C( , ) 1_C( , 0) _A1( , ), 1_A( , ) 1_A( , 0) _A( , ), r P T r P y P T r P T r P y P T

1 2 2

1_A( , ) 1_C( , ), 1_A ( , ) 1_A( , 0) y ( , )._C

r P T r P T r P T r P  P T (2.9) Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử A trong HKXK AC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và ở áp suất P được tính gần đúng bởi

     

1_A , 1_A , 0 , ,

r P T r P y P T

 

1_A

( , 0) 1

_C 1_A

( , 0)

_C1_A

( , 0),

1_A

( , 0) 3

1_C

( , 0), r P   c r P  c r  P r  P  r P



^,

 

^{1 15} C

 

A ^,



C C



^,



⁶ C A₁



^,



⁸ C A₂



^,



^,

y P T   c y P T c y P T  c y P T  c y P T

(2.10) trong đó

r

_1A

( , ) P T

là khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử A trong HKXK AC tại áp suất P và nhiệt độ T,

r

_1A

( , 0) P

là khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa

27 các nguyên tử A trong HKXK AC tại áp suất P và nhiệt độ 0K,

r

_1A

( , 0) P

là khoảng cách lân cận gần nhất giữa các nguyên tử A trong kim loại sạch A tại áp suất P và nhiệt độ 0K,

r

₁



_A

( , 0) P

là khoảng cách lân cận gần nhất giữa các nguyên tử A trong vùng chứa nguyên tử xen kẽ C tại áp suất P và nhiệt độ 0K và

c

_C là nồng độ nguyên tử xen kẽ C.

Trong HKXK ABC với cấu trúc LPTD (hợp kim xen kẽ AC với các nguyên tử A ở các đỉnh và tâm mặt, nguyên tử xen kẽ C ở tâm khối và sau đó nguyên tử B thay thế nguyên tử A ở tâm mặt), khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử ở nhiệt độ T và áp suất P được xác định bởi

1

( , , c , ) , ,

1 1

, ( , ), ,

TAC TB

ABC B C AC AC B B T AC TAC B TB

T T

AC A C AC A TAC TB

TAC TB

B B

a P T c c a c a B c B c B

B B

c c c a r P T B B

 

   

    

3

0

2 2

, ,

( )

2 1

3 , ,

, 0

( )

( ,

, ,

) 2

3 ( )

C TAC

AC AC

AC

AC AC T

C C

C

P N

P T c

P T c

P c

a a

a P T c a

 

 

 

 

  

  

 





 

^{1 2}

1 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1

1 15 6 8 ,

( , )

A A

AC AC A C

C C C C

AC T A T A T C T A T A T

c c c c

a r P T a a a a

 

           

                     

                   

         

1 2 2

2 2

0

2 2 2 , ( , )

1 1 1

3 6 4 2

^{X X}

.

X

X X X X

X T X X X X X

a r P T

u k k

N a a k a k a

  

_

             

         

     

(2.11) Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử trong HKXK ABC với cấu trúc LPTD ở 0K và áp suất P được xác định bởi

0 0

0 0 0

0 0

) .

,

( , ,

^{TAC TB}

ABC B AC AC B B

T T

C

B B

a c a c a

P c c B

T   B

(2.12) Năng lượng tự do của HKXK ABC với cấu trúc LPTD với điều kiện c_C c_B c_A có dạng

 

^{AC ABC,}

ABC AC cB B A TSc TSc















 



^{1 15}



⁶ ₁ ⁸ ₂ ^AC,

AC cC A cC C cC A cC A TSc



 

















2

2 1

0 0 2 2

3 2 1

3 2

X X

X X X X X

X

U N X X

k



                        

   

3

2 2

2 1 1 2

4

2 4

1 2 2 1 1 ,

3 2 2

X X

X X X X X X

X

X X

X X

k

           

                  

2

0_X 3N x_X ln(1 e ^xX) ,X_X x_Xcothx_X.







   ^   (2.13)

28

trong đó



_AC là năng lượng tự do của HKXK AC, S_c^AC là entrôpi cấu hình của HKXK AC và

ABC

Sc là entrôpi cấu hình của HKXK ABC.

Môđun Young của HKXKABC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và ở áp suất P được xác định bởi

      ,

ABC B B A AC B B A A A B A AC AB A B A AC

E  c E  E  E  c E  c E  c  c E  E  E  c  c E  E

AB A A B B, E c E c E

1 2

2 2

2

2 2 2

2 2

6 8

1 15 ,

A A

C

AC A C C

A

E E c c

 



  





    

 

    

 

  

  

  

 

1 1

1 ,

A

.

A A

E   r A

 

2 2

1 4

2

1 1

1 1 1 , ,

2 2

A A

A A A A A A

A A

A x cthx x cthx x

k k

  



   

        

2 2

2 2

0 2

2 2 2 01

1 1 1

1 3 1

2 4 2 4

X X X X X

X

X X X X X

U k k

r k r k r r

 



     

         

0

01

1 1

1 3 1

2 , , ,

2 2 2 2

X X X X

X X X X X

X X X

U k k

cthx r x

r k r m

  



   

         

(2.14) trong đó



là độ biến dạng tương đối,

E

ABC

 E

ABC

( , c c P T E

B C

, , ),

AB

 E

AB

 c P T

B

, , 

là môđun Young của hợp kim thay thế AB và

E

AC

 E

AC

 c P T

C

, , 

là môđun Young của HKXK AC.

Môđun nén khối của HKXKABC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và ở áp suất P có dạng

   , , , 

, , , .

3(1 2 )

AB B C ABC B C

A

E c c P T K c c P T

 



(2.15) Môđun trượt của HKXKABC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và ở áp suất P có dạng

   

 

, , ,

, , , .

2 1

ABC B C ABC B C

A

E c c P T G c c P T

 



(2.16) Các hằng số đàn hồi của HKXKABC với cấu trúc LPTD ở nhiệt độ T và ở áp suất P có dạng

    

  

11

, , 1

, , , ,

1 1 2

ABC B C A

ABC B C

A A

E c c P T

C c c P T



 

 

 

(2.17)

   

  

12

, , ,

, , , ,

1 1 2

ABC B C A

ABC B C

A A

E c c P T

C c c P T



 

  

(2.18)

   

 

44

, , ,

, , , .

2 1

ABC B C ABC B C

A

E c c P T

C c c P T





 (2.19) Tỉ số Poisson của HKXKABC với cấu trúc LPTD có dạng



_ABC c_A



_Ac_B



_Bc_C



_C c_A



_Ac_B



_B



_AB.

(2.20) trong đó

 

_A, _B và



_C là các tỉ số Poisson của các vật liệu A, B và C và được xác định từ thực nghiệm.

29 Khi nồng độ nguyên tử xen kẽ bằng không, các kết quả thu được đối với HKXK ABC trở thành các kết quả tương ứng đối với hợp kim thay thế AB. Khi nồng độ nguyên tử thay thế bằng không, các kết quả thu được đối với HKXK ABC trở thành các kết quả tương ứng đối với HKXK AC. Khi các nồng độ nguyên tử thay thế và xen kẽ bằng không, các kết quả thu được đối với HKXK ABC trở thành các kết quả tương ứng đối với kim loại chính trong hợp kim.

2.2. Kết quả tính số đối với hợp kim AuCuSi

Đối với HKXK AuCuSi, chúng tôi sử dụng thế cặp n-m

0 0

( ) ,

n m

r r

r D m n

n m r r



  ^ ^{ }    ^{ }   ^ (2.21) trong đó các thông số thế được cho trong Bảng 1 [14].

Bảng 1. Các thông số thế m n D r, , , ₀ của các vật liệu

Vật liệu m n

D   10

^16

erg   r

⁰

  10

^10

m  

Au 5,5 10,5 6462,54 2,8751

Cu 5,5 11 4693,518 2,5487

Si 6 12 45128,24 2,2950

Khi xét tương tác giữa các nguyên tử Au và Cu, Au và Si trong HKXK AuCuSi, chúng tôi bỏ qua tương tác giữa các nguyên tử Cu và Si và sử dụng gần đúng

Au Cu



Au Au Cu Cu



Au Si



Au Au Si Si



2 , 1

2 1













        



(2.22)

Theo kết quả tính số của chúng tôi, đối với hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế, khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng khi nồng độ nguyên tử xen kẽ tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 70 GPa và cCu = 10%, r1 tăng từ 2,6359

o

A

đến 2,7086

o

A

khi cSităng từ 0 đến 5%). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng nồng độ nguyên tử thay thế, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ, khoảng lân cận gần nhất trung bình giảm khi áp suất tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, cCu = 10%, cSi = 5%, r1 giảm từ 2,8740

o

A

xuống 2,7086

o

A

khi P tăng từ 0 đến 70 GPa).

Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ, khoảng lân cận gần nhất trung bình giảm khi nồng độ nguyên tử thay thế tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 30 GPa, cSi = 5%, r1 giảm từ 2,8630

o

A

xuống 2,1550

o

A

khi cCu tăng từ 0 đến 15%). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng áp suất, nồng độ nguyên tử xen kẽ và nồng độ nguyên tử thay thế, khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng khi nhiệt độ tăng (chẳng hạn ở P = 0, cCu = 10% và cSi = 3%. r1 từ 2,8447

o

A

lên 3,2793

o

A

khi T tăng từ 50 K đến 1000 K) đặc biệt là nhiệt độ càng cao thì sự tăng càng mạnh. Khi cả nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ đều bằng không thì khoảng lân cận gần nhất trung bình của hợp kim AuCuSi trở thành khoảng lân cận gần nhất của kim loại Cu. Qui luật biến đổi khoảng lân cận gần nhất trung bình theo áp suất và nồng độ nguyên tử xen kẽ của AuCuSi giống như HKXK AuSi. Qui luật biến đổi khoảng lân cận gần nhất trung bình theo áp suất và nồng độ nguyên tử thay thế của AuCuSi giống như HKTT AuCu.

Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế, các môđun đàn hồi E, G, K đều giảm khi nồng độ nguyên tử xen kẽ tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 70GPa và cCu = 10%, E giảm từ 3,5604.10¹¹ Pa xuống 1,2905.10¹¹ Pa khi cSi tăng từ 0 đến 5%).

30

Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng nhiệt độ, nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ, các môđun đàn hồi E, G, K đều tăng khi áp suất tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, cCu = 10%, cSi = 5%, E tăng từ 0,6966.10¹¹ Pa lên 1,2950.10¹¹ Pa khi P tăng từ 0 đến 70 GPa). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ, các môđun đàn hồi E, G, K đều tăng khi nồng độ nguyên tử thay thế tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 30 GPa, cSi = 5%, E tăng từ 0,9558.10¹¹ Pa lên 0,9697.10¹¹ Pa khi cCu tăng từ 0 đến 15%). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nồng độ nguyên tử xen kẽ và nồng độ nguyên tử thay thế, các môđun đàn hồi E, G, K đều giảm khi nhiệt độ tăng (chẳng hạn ở P = 0 và cCu = 10%, cSi = 3%, E giảm từ 0,9991.10¹¹ Pa xuống 0,7959.10¹¹ Pa khi T tăng từ 50 K đến 1000 K) đặc biệt là nhiệt độ càng cao thì sự giảm càng mạnh. Khi cả nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ đều bằng không thì các môđun đàn hồi E, G, K của hợp kim AuCuSi trở thành các môđun đàn hồi E, G, K của kim loại Au. Qui luật biến đổi của các môđun đàn hồi E, G, K theo áp suất và nồng độ nguyên tử xen kẽ của hợp kim AuCuSi giống như HKXK AuSi. Qui luật biến đổi của các môđun đàn hồi E, G, K theo áp suất và nồng độ nguyên tử thay thế của hợp kim AuCuSi giống như HKTT AuCu.

Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng nhiệt độ, áp suất và nồng độ nguyên tử thay thế, các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂, C44 giảm khi nồng độ nguyên tử xen kẽ tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 10 GPa và cCu = 10%, C₁₁ giảm từ 4,4653.10¹¹ Pa xuống 2,2478.10¹¹ Pa khi cSi tăng từ 0 đến 5%). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng nồng độ nguyên tử thay thế, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ, các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂,C44 tăng khi áp suất tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, cCu = 10%, cSi = 1%, C11 tăng từ 3,0798.10¹¹ Pa lên 8,8446.10¹¹ Pa khi P tăng từ 0 đến 70 GPa). Đốivới hợp kim AuCuSi ở cùng một áp suất, nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ, các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂, C44 giảm khi nồng độ nguyên tử thay thế tăng (chẳng hạn ở T = 300 K, P = 30 GPa, cSi = 5%, C₁₁ giảm từ 3,0977.10¹¹ Pa xuống 2,6097.10¹¹ Pa khi cCu tăng từ 0 đến 15%). Đối với hợp kim AuCuSi ở cùng áp suất, nồng độ nguyên tử xen kẽ và nồng độ nguyên tử thay thế, các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂, C44 giảm khi nhiệt độ tăng (chẳng hạn ở P = 70 GPa và cCu = 10% , cSi = 5%, C₁₁ giảm từ 4,1345.10¹¹ Pa xuống 3,6188.10¹¹ Pa khi T tăng từ 50 K đến 1000 K) đặc biệt là nhiệt độ càng cao thì sự giảm càng mạnh. Khi cả nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ đều bằng không thì các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂,C44 của hợp kim AuCuSi trở thành các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂,C44 của kim loại Au. Qui luật biến đổi của các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂,C44 theo áp suất và nồng độ nguyên tử xen kẽ của hợp kim AuCuSi giống như HKXK AuSi. Qui luật biến đổi của các hằng số đàn hồi C₁₁,C₁₂,C44 theo áp suất và nồng độ nguyên tử thay thế của hợp kim AuCuSi giống như HKTT AuCu.

Bảng 2 đưa ra các kết quả tính toán theo PPTKMM và số liệu thực nghiệm về khoảng lân cận gần nhất và các môđun đàn hồi E, K, G của Au theo PPTKMM và số liệu thực nghiệm [3, 9].

Bảng 2. Khoảng lân cận gần nhất và các môđun đàn hồi E, K, G của Au ở P = 0, T = 300 K tính theo PPTKMM và TN [3, 9]

Phƣơng pháp 



 



 ^o A

a ^E



^{10 Pa10}



^K



^{10 Pa10}



^G



^{10 Pa10}



PPTKMM 2,8454 8,96 14,94 3,2

TN 2,8838 [9] 8,91 [9] 16,7 [3] 3,1 [3]

31

0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5

E, G, K( 1011Pa)

P (GPa)

E G K

0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5

C11, C12, C44( 1011Pa)

P (GPa)

C11 C12 C44

Hình 1. Sự phụ thuộc áp suất của các mô đun đàn hồi E, G, K (10¹⁰ Pa) của hợp kim

Au-10%Cu-5%Si ở T = 300 K

Hình 2. Sự phụ thuộc áp suất của các hằng số đàn hồi C11, C₁₂, C₄₄(10¹⁰ Pa) của hợp kim

Au-10%Cu-5%Si ở T = 300 K

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

E, G, K( 1011Pa)

C_Si(%)

E G K

Hình 3. Sự phụ thuộc nồng độ Si cùa các mô đun đàn hồi E, G, K (10¹⁰ Pa) của hợp kim Au-10%Cu-xSi ở P = 30GPa và T = 300 K

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7

C11, C12, C44 (1011Pa)

CSi(%)

C11 C12 C44

Hình 4. Sự phụ thuộc nồng độ Si cùa các hằng số đàn hồi C11, C₁₂, C₄₄ (10¹⁰ Pa) của hợp kim Au-10%Cu-xSi ở P = 30GPa và T = 300 K

0 5 10 15

0 1 2 3 4

E, G, K(1011Pa)

C_Cu(%)

E G K

0 5 10 15

0 1 2 3 4

C11, C12, C44 (1011Pa)

C_Cu(%)

C11 C12 C44

Hình 5. Sự phụ thuộc nồng độ Cu cùa các mô đun đàn hồi E, G, K (10¹⁰ Pa) của hợp kim Au-xCu-5%Si ở P = 30 GPa và T = 300 K

Hình 6. Sự phụ thuộc nồng độ Cu cùa các hằng số đàn hồi C11, C₁₂, C₄₄(10¹⁰ Pa) của hợp kim Au-xCu-5%Si ở P = 30 GPa và T = 300 K

32

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0

1 2 3 4

E, G, K (1011Pa)

T( K)

E G K

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0

1 2 3 4 5

C11, C12, C44 (1011Pa)

T(K)

C11 C12 C44

Hình 7. Sự phụ thuộc nhiệt độ cùa các mô đun đàn hồi E, G, K (10¹¹ Pa) của hợp kim

Au-15%Cu-5%Si ở P = 70 GPa

Hình 8. Sự phụ thuộc nhiệt độ cùa các hằng số đàn hồi C11, C₁₂, C₄₄(10¹¹ Pa) của hợp kim

Au-15%Cu-5%Si ở P = 70 GPa

Bảng 3 đưa ra các kết quả tính toán của PPTKMM, các phương pháp tính toán khác và số liệu thực nghiệm về các hằng số đàn hồi của Au. Nhiều kết quả tính toán từ PPTKMM phù hợp khá tốt với thực nghiệm [3]và tốt hơn các phương pháp tính toán khác [15-23].

Bảng 3. Các hằng số đàn hồi

C C

₁₁

,

₁₂

, C

₄₄của Au ở P = 0, T = 300 K tính theo PPTKMM, các phương pháp tính toán khác và TN [3]

Hằng số

đàn hồi PP

TKMM TN Các phƣơng pháp tính toán khác

[15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]



^{10 Pa1011}



C

1,92 1,92 1,92 1,83 1,79 2,09 1,36 1,50 1,97 1,84 2,00



^{10 Pa1012}



C

1,28 1,65 1,66 1,54 1,47 1,75 0,91 1,29 1,84 1,54 1,73



^{10 Pa1044}



C

0,32 0,42 0,39 0,45 0,42 0,31 0,49 0,70 0,52 0,43 0,33

3. Kết luận

Bằng PPTKMM, chúng tôi rút ra biểu thức giải tích của năng lượng tự do, khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử, các môđun đàn hồi và các hằng số đàn hồi đối với hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD phụ thuộc vào nhiệt độ, áp suất, nồng độ nguyên tử thay thế và nồng độ nguyên tử xen kẽ. Các kết quả tính số đôi với HKXK AuCuSi thu được bằng PPTKMM phù hợp qui luật với kết quả tính số đối với hợp kim thay thế AuCu, HKXK AuSi và kim loại chính Au thu được trước đây bằng PPTKMM. Nhiều kết quả tính toán đối với Au từ PPTKMM phù hợp khá tốt với thực nghiệm và tốt hơn các phương pháp tính toán khác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

K. E. Mironov, 1967. Interstitial alloy. Plenum Press, New York.

[2]

A. Smirnov, 1979. Theory of Interstitial Alloys. Nauka, Moscow (in Russian).

33

[3]

L.V.Tikhonov, G.I.Kononenko, 1986. Mechanical properties of metals and alloys. Kiev (in

Russian).

[4]

P.A.Korzhavyi. I.A.Abrikosov, B.Johansson, A. V. Ruban, H.L.Skriver, 1999. Phys. Rev. B59, 11693.

[5]

T.T.Lau, C.J.Först, X.Lin, J.G.Gale, S.Yip, K.J.Van Vliet, 2007. Phys. Rev. Lett 98, 215501.

[6]

M. Li M., 2000. Phys. Rev. B62, 13979.

[7]

N. Tang, V. V. Hung, 1990. Phys. Stat. Sol. (b)149, 511; 161,165; 162,371; 162, 379.

[8]

V.V.Hung, 2009. Statistical moment method in studying thwermodynamic and elastic property of crystal. HNUE Publishing House.

[9]

D.R.Lide, 2005. CRC Handbook of Chemistry and Physics. 86th Ed., Taylor & Francis, Boca Raton, London, New York, Singapore.

[10]

N.Eliaz, D.Fuks, D.Elieze, 1999. Master. Letter 39, 255.

[11]

N.Q.Hoc, D.Q.Vinh, B.D.Tinh, T.T.C.Loan, N.L.Phuong, T.T.Hue, D.T.T.Thuy, 2015. Journal of Science of HNUE, Mathematical and Physical Sci. 60, 7, 146.

[12]

N.Q.Hoc, B.D.Tinh, L.D.Tuan, N.D.Hien, 2016. Journal of Science of HNUE, Mathematical and Physical Sci. 61, 7, 47.

[13]

N.Q.Hoc, D.Q.Vinh, N.T.Hang, N.T.Nguyet, L.X.Phuong, N.N.Hoa, N.T.Phuc,T.T.Hien, 2016.

Journal of Science of HNUE, Mathematical and Physical Sci.61, 7, 65.

[14]

M. N. Magomedov, 1987. J. Fiz. Khimic 61, 1003 (in Russian).

[15]

F. Cleri, V.Rosato, 1993. Phys. Rev., B 48, 1, 22.

[16]

D.Wolf, P.R.Okamoto, S, Yip, J.F.Lustko, M.Kluge, 1990. J.Matter.Res.5, 2, 286.

[17]

A.P.Sutton, J.Chen, 1990. Phil.Mag.Lett. 61, 139.

[18]

P.Soderlind, O.Eriksson, J.M.Willis, A.M.Boring, 1993. Phys.Rev. B48, 5844.

[19]

M.Doyama, Y.Kogure, 1999. Comp.Mater.Sci. 14, 80.

[20]

K.Masuda-Jindo, V.V.Hung, P.D.Tam, 2002. Calphad 26, 1, 15.

[21]

J.K.Baria, 2004. Czechoslavak J.Phys. 54, 4,469.

[22]

M.J.Mehl, D.A.Papconstantopoulos, 1996. Phys.Rev.B54, 4519.

[23]

M.J.Mehl, 1993. Phys.Rev.B47, 2493.

ABSTRACT

Study on elastic deformation of substitution alloy AB with interstitial atom C and FCC structure under pressure

Nguyen Quang Hoc and Nguyen Duc Hien

Faculty of Physics, Hanoi National University of Education The analytic expressions of the free energy, the mean nearest neighbor distance between two atoms, the elastic moduli such as the Young modulus E, the bulk modulus K, the rigidity modulus G and the elastic constants C11, C12, C44 for substitution alloy AB with interstitial atom C and FCC structure under pressure are derived from the statistical moment method. The elastic deformations of main metal A, substitution alloy AB and interstitial alloy AC are special cases of elastic deformation for alloy ABC. The theoretical results are applied to alloy AuCuSi. The numerical results for alloy AuCuSi are compared with the numerical results for main metal Au, substitution alloy AuCu and interstitial alloy AuSi. The numerical results for Au are compared with other calculations and experiments.

Keywords: Substitution and interstitial alloy, elastic deformation, Young modulus, bulk modulus, rigidity modulus, elastic constant, Poisson ratio.