NGHIÊN CỨU, XÂY DựNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG BÀI

(1)

NGHIÊN CỨU, XÂY DựNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG BÀI TOÁN cực TRỊ TRONG KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRÊN MẠT PHẲNG NGHIÊNG BẰNG NGÔN

NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA

Huỳnh Trọng Dương1, Võ Thị Hoa1 2

1. PGS.TS., Trường Đại học Quảng Nam 2. TS., Trường Đại học Quảng Nam

Tóm tắt:

Trong lĩnh vực giáo dục, việc sử dụng phần mềm trong nghiên cứu, học tập các môn khoa học tự nhiên nói chung và vậtlý nói riêng, đã đem lạinhững thành tựu vô cùngquan trọng. Bài viết này đề cập đến ứng dụng củaphần mềm Mathematica trong giảngdạy bộ môn Vật lý. Cụ thể, ngôn ngữcủa phần mềm nàyđượcsử dụng đê xây dựng các mô hìnhkhảo sátvàmô phỏng bài toáncực trị của vật chuyên động trên

mặt phăng nghiêng.

Từ khoá:

Mathematica, chuyển động của vật trên mặt phảng nghiêng, cựctrị.

1. Mở đầu

Phầnmềm Mathematica được ra mắt lần đầu tiênvàonăm 1988 bởi hãngWolfram Research. Với những tính năng vượt trội, phần mềm đã gây ấn tượng sâu sắc đối với người sử dụng máy tínhtrong kỳ thuật và các lĩnhvực khác. Đâylà một phần mềm tô hợp các thao tác tính toán bằng ký hiệu, bằng số, xử lý đồ hoạ và lập trình. Mục đích chính củaphần mềm khi hãng Wolfram đưa ra lần đầutiên làhồ trợnghiên cứu cho các ngành khoahọc vậtlý, công nghệvà toánhọc.

Trong giảng dạy vậtlý, với sự hỗ trợ của Mathematica, giảngviên vật lý có thêtạo ramô hình riêngvà cácđiều khiển trực quan theo đúng ý đồ cùamình. Giảng viên trong quá trìnhgiảng dạydễ dàng thay đổi các giá trịbằngcác lệnh và thao tác đon giản.Ngoài ra, sinh viên học vật lý có thê sử dụng Mathematicsđể hiểu sâu hon các khái niệm,hoàn thành bài tập về nhà và thực hiện các dự án lớn honnhưnghiên cứu đề tài mà không cần thêmcácphầnmềmchuyên dụng khác.Mathematica hồ trợ người dạyvàngười học không chỉtrong suốt khoáhọc mà cả quá trình phát triểnnghề nghiệp saunày [0, 0, 0].

Để minh chúng cho điều đó, bài viếtnày trình bày kết quảnghiên cứu, xây dụng các mô hìnhkhảosát và mô phỏng bài toán cực trị của vật chuyên động trên mặt phăng nghiêng bằng ngôn ngữ lập trìnhMathematica.

2. Nội dung

2.1. Bài toán tìm cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng

Bàitoán: Một vật có khối lượng m trượt trên mặt phang nghiêng góc a so với phương nằm ngang. Hệ số ma sát giữa vậtvà mặt phang nghiêng là k .Tại thời điểm khảo sát, vật nằm cáchchânmặt phẳng nghiêng một khoảng L và đang trượt hướng

36

(2)

HUỲNH TRỌNG DƯƠNG - VÕ THỊ HOA

khảo sát, vậtnằm cách chân mặt phẳng nghiêng một khoảng L và đang trượt hướng lên trên với vậntốc Vo- Tìm thời gian để vật lên đến độ cao cực đại?

* Bước 1: Xác địnhhàm và đối số của hàm.

Xét bài toán đối với hệ quy chiếu gắn với Trái Đất, chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Chọn gốc toạ độ o trùngvớichâncủa mặtphẳng ngiêng (a?0 = L), gốc thời gian tại thời điểm khảo sát, H là vị trí cao nhất của vật (độ cao cực đại của vật là hmax), thời gian cần tìm ỈỊỊ. Bài toán dẫn đến việc xác lập hàm X = /(/), với đối số lài.

Hình 1. Hình minh họa vậtchuyểnđộng trênmặt phẳngnghiêng.

* Bước 2: Xác lập các mối liên hệ cụ thể củacác dừ kiện xuấtphát và ẩn số phải tìm. Biểudiễn cácmối liên hệ đó dưới dạnghàm và đối số.

Các lực tác dụng lên vật gồm trọng lực p, phản lực của mặt phang nghiêng N và lực ma sátfms.

Phươngtrình của địnhluậtIINewton cho vật:

P +N +f~a = ma (1)

Chiếu phương trình (1) lên hai trục Ox, Oy ta được:

—Psina — fms = max = ma (2)

—Pcosa+ N — 0 (3)

Với fms = kN, (2) và (3) ta được;

a = —g(sina + kcosà) (4)

Ta thấy a < 0, vật chuyển động chậm dầnđều và dừng lại ở điểm cao nhất H.

Phương trìnhchuyển động của vậttrên trục Ox được xác định bởi biểu thức:

’ . . 1 _,2

xt = L + vot + y-at2 (5)

£

Tìmthờigianvật lên đến độ cao cực đại bằng cách tìm cực trị của (5):

9

ị

X

= 0 (6)

Công thức xác địnhđộ lớn vậntốc của vật ởthời điểm t:

vt = Vo +at (7)

Độ cao của vậtđược xác định qua biểu thức:

h = xt.sina (8)

(3)

NGHIÊN CỨU, XÂY DựNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG BÀI TOÁN cực TRỊ...

Giải (6) ta suy ra được thời gian vật lên đến độ cao cực đại tu, thay í = t{ỉ vào (8) tatìmđược độ cao cực đạihmax.

* Bước 3: Tínhtoán và minh họakếtquảvới sự hồ trợcủa phầnmềm.

Khi sử dụng phần mềm minh họa, các biểu thức (4), (5), (6), (7) và (8) sẽ được đưavàotrong các câu lệnh đểthực hiện, mô hìnhsẽ được thiết lập chạy kết quả trongkhoảngthời giantừ 0 đến tỵ, nghĩa là môphỏng chuyển động của vậttừ vị trí banđầu đến vị trícó độ cao cực đạihmax.

2.2. Xây dựng mô hình khảo sát cực trị trong bài toán vật chuyến động trên mặt phẳng nghiêng bang ngôn ngữ lập trình Mathematica

Mô hình xây dựng nhằm khảo sátcác đại lượngsau:

- Gia tốc chuyển động của vật.

- Thời gian để vật lên đếnđộ cao cựcđại tH. - Độ cao cực đại vậtđạt được hmax.

- Vị trí, quãng đường và vận tốccủavật lúcthờigian t.

Mô hình khảo sát cực trị trong bài toán vật chuyên động trên mặt phăng nghiêng bằngngôn ngữ lập trình Mathematica, thềhiệnqua các dònglệnhsau:

Manipulate[g=9.8;Subscript[a,x]—g(k Cos[\[Alpha]] +Sin[\[Alpha]]);pl =Solve [\!\(\* ubscriptBox[\(\[PartialD]\),\(tl\)]\((\*FractionBox[\(\*SubscriptBox[\(a\),\(x\)]\\

* Superscript Box[\(tl\), \(2\)]\), \(2\)] + \*SubscriptBox[\(v\), \(0\)]\ tl + L)\)\)=

0,tl];Plot[(Subscript[a, x] tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L,{t,O,Subscript[v, 0]/(g (k Cos[\[Alpha]]+Sm[\[ Alpha]]) )}, Plot Range->{0,2.0},AxesLabel->{"t(s)","x(m)"}, PlotStyle-> {Orange,Thick} ,GridLines-> Automatic, ImageSize->{650,400}, PlotLabel->Style[Row[{"Voi Van toe dau Subscript [v, 0] = ", Subscript^, 0],"(m/s)",Goc nghieng \[Alpha] = ”,\[Alpha],"; "," He so ma sat k = ",k,";", "

Khoang each tu chan mat phang den vat L = ",L,"(m)",";"," Gia toe a = ",Round[- Abs[Subscript[a, x]],.001]," (m/sA2)",";"," Thoi gian vat truot den do cao cue dai Subscript}!, H ]= ",Round} tl/.pl,.Ol]," (s)",";"," Do cao cue dai cua vat Subscript}!!, max] = ",Round[Sin}\[Alpha]] ((Subscript[a, x] tlA2)/2+Subscript[v, 0]

tl+L)/.pl,.001]," (m) , ; "," Luc t = ",t,"(s)","; ","Vi tri vat Subscript}^ t] = ",Round }(Subscript[a, x] tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L,.001]," (m)",";"," Quang duong S(t) =

",Round} Abs[(Subscript[a, x] tA2)/2+ Subscript[v, 0] t],.001]," (m)","; ","Van toe Subscript[v, t] = ",Round[Abs}Subscript[v, 0]+Subscript[a, x] t],.l],"

(m/s)"}],Black,"Label", 13]],{{Subscript^, 0],3,"Van toe Subscriptfv, 0]

(m/s)"},10},{{\[Alpha],30 Degree,"Goc nghieng \[Alpha] (Degree)"},90 Degree}, {{k,0.02,"He so ma sat k"},0.5},{{L,0.1,"Khoang each L (m)"},10},{t,0,Subscript^, 0]/(g (k Cos[\[Alpha]]+Sin[\[Alpha]]) ),.01},Initialization:>(w=100 ((Subscript[a, x]

38

(4)

HUỲNHTRỌNG DƯƠNG - VÕ THỊ HOA

tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L);boxsize={.03,.03};tilt[a_,\[Alpha]_]:=Rotate[a,\[Alpha], {0,0}])]

Kết quả chạy chương trình sẽ cho giao diện bảng như Hình 2. Với các giá trị vận tốc ban đầu Vo = 5m/s, L — 0, góc nghiêng a = 45° và hệ số ma sát k = 0,2, kết quả thu được như sau:

- Gia tốcchuyển động củavật a — —8,316m/s2 - Thời gian đế vật lên đếnđộ cao cực đại tH = 0,6s.

- Độ cao cực đại vậtđạt được hmax = 1,063m.

- VỊ trí, quãng đườngvà vậntốc của vật khi t=0,16s là:

+VỊ trí củavậtXt = 0, 694m;

+ Quãng đường vậtđi được S(t) = 0,694m;

+Vận tốccủa vậtVt — 3, 7m/s.

________ o ì

ĨỊ .■____",...■...1 Got nahrtng s íD«®reei 45* ____,1,.i

“*

Voi Van toc cau Vo = Stmsi; Goc nghiêng a = 45»; He so ma sat k 8 O.2;

Khoang each tu chan mat phang đer vat t = Omì; Gia toe a = “8.316 ims2!;

Thoi gian vat truữt đen do cao cuc daì t* 8 ỉữ.6] (S|J Do cao cuc dà cua vat hmax = 1-063 tmj;

Hình 2. Kết quả khảo sát cực trị trong chuyển động củavật trênmặt phẳng nghiêng vớivận tốc banđầu Vo — 5m/s, góc nghiêng a =45°, hệ sốma sát

k = 0,2.

Để khảo sát cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phang nghiêng, chỉ cần thay đổicác giá trị của vậntốc ban đầu, góc nghiêng, hệ số ma sát, khoảngcách L bằng cách nhập số liệu ở các ô hiển thị đại lượng tương ứng trên bảng, nhấn

“Enter” trêngiao diện sẽhiển thị kết quả mới.

Với cácgiá trị vận tốc ban đầu Vo = 4m/s, gócnghiêng a = 60°, hệ sốma sát k = 0, 02 và L = Im,kếtquả thu được như Hình 3:

- Gia tốc chuyển động củavật a — —8,585m/s2

39

i

(5)

NGHIÊN CỨU,XÂY DựNG MÔ HÌNH MÔPHỎNG BÀI TOÁN cực TRỊ...

- Thời gianđê vật lênđếnđộcao cực đại ÍỊỊ = 0,47s.

- Độcao cực đại vật đạt được hmax = 1.673m.

- Vị trí, quãng đường và vận tốc của vậtkhi t=0,3slà:

+ Vị trí củavật xt = 1,814m;

+Quãng đườngvật đi được S(í) = 0,814m;

+ Vận tốc củavật vt — 1.4m/s.

v#ntót»ỊỊiwsj 4 fioenghteng SI Degree* __L1_

Hewauuli axs Kh«*no CMRL í»i ^ĩ

' !

Sỉ - ► ♦ A s -»

VáVan toc dau*0 3 4f'wsj; Goc ngbseng ứ- 60°.He so ma sat k= 0.02;

KMarsg each tu chan mat phang đen vat L » Km>; Ga toe a =: -8.S85 fisvs2!;

Thồi gian vat truer đêrt đo C3ữ cue das a (C-.47Ỉ ệsj; Do cao cue đas Cua vat 8 1.673 tm»;

Luct = 0.3<si;V) tn vatXt^ss^1.314^trm;^Quang^ốuong^{Síti s}^0.814(tay. van teeV.= 1.4 <m,s)

Hình 3. Kết quả khảo sát cực trịtrong chuyển động củavật trênmặt phẳng nghiêngvới vận tốcban đầu Vo = 4m/s, góc nghiêng a = 60°, hệ số ma sát

k - 0,02, L = Im.

2.3. Xây dựng mô hình mô phỏng hài toán tìm cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phăng nghiêng

Mô phỏng bài toán tìm cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng thông quacáccâulệnhsau:

Manipulate [g=9.8; Subscript[a,x]=-g(k

Cos[\[Alpha]]+Sin[\[Alpha]]);pl=Solve[\!\(\*Subscript Box[\(\[PartialD]\), \(tl\)]\

((\*FractionBox[\(\*SubscriptBox[\(a\), \(x\)]\ \*SuperscriptBox[\(tl\),\(2\)]\), \(2\)]

+ \*SubscriptBox[\(v\), \(0\)]\ tl + L)\)\)==0,tl];Module[{S},S= {(SubscriptỊa, x]

tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L,boxsize[[2]]};Graphics[{{FaceForm [Red],tilt[Rectangle [S- boxsize,S+10 boxsize],\[Alpha]]},Style[Polygon[{{ w, w Tan[\[ Alpha]]},{

w,0},{0,0}}],Blue]},PlotRange->{{-.25,3.5},{-.15,2}},PlotLabel->Style[Row[{"

Voi Van toc dau Subscript[v, 0] = ",Subscript[v, 0],"(m/s)",";"," Goc nghiêng

\[Alpha] = ",\[Alpha],"; He so ma sat k = ",k,";", " Khoang each tu chan mat phang den vat L = ",L,"(m)",";"," Giatoe a= ",Round[-Abs[Subscript[a, x]],.001],"

40

(6)

HUỲNHTRỌNG DƯƠNG - VÕ THỊ HOA

(m/sA2)",";"," Thoi gian vat truot den do cao cuc dai Subscript}!, H ]= ",Round[

tl/.pl,.Ol]," (s)",";"," Do cao cuc dai cua vat Subscript[h, max] = ", Round[(Sin[\[Alpha]] ((Subscript[a, x] tlA2)/2+Subscript[v, 0] tl+L)/.pl),.001],"

(m)","; Luc t = ",t,"(s)","; ","Vi tri vat Subscript[x, t] = ",Round [(Subscript[a, x]

tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L,.OOl]," (m)",";"," Quang duong S(t) = ",Round[

Abs[(Subscript[a, x] tA2)/2+Subscript[v, 0] t],.001]," (m)","; ","Van toe Subscript[v, t] = ",Round[Abs[Subscript[v, O]+Subscript[a, x] t],.l]," (m/s)"}], Black,

"Label",13],ImageSize->{650,500}]],{{Subscriptfv, 0],3,"Van toc Subscript[v, 0]

(m/s)"},10},{{\[Alpha],30 Degree,"Goc nghiêng \[Alpha] (Degree)"},90 Degree},{{k,0.02,"He so ma sat k"},0.5}, {{L,0.1,"Khoang each L (m)"},10},

{t,O,Subscript[v, 0]/(g (k Cos[\[Alpha]]+Sin[\[Alpha]]) ),.01 },Initialization:>(w=100 ((Subscript[a, x] tA2)/2+Subscript[v, 0] t+L);boxsize={.03, ,03};tilt[a_,\

[Alpha]_]:-Rotate[a,\[ Alpha], {0,0}])]

Kết quả chạy chương trình sẽ cho giao diện bảngnhư Hình 4. Với các giátrị vận tốc ban đầu v0 = 3m/s, góc nghiêng a — 30°, hệ số ma sát k = 0, 02, L = Om kết quả thu được:

- Gia tốccủa vật làa= -5,07 m/s2.

- Thời gian để vật lên đến độ cao cựcđại là tH =0, 59s.

- Độ cao cực đại củavậtlà hmax = 0,444m.

- Vị trí, quãng đườngvàvận tốccủa vật khi t=0,29s là:

+ Vị trícủavật xt — 0,657m;

+Quãng đường vật đi được S(t) = 0,657m;

+ Vậntốccủavậtvt — 1, 5m/s.

Van »*< ỉ 3 Goi nqTH«n<i a lOeotee, 30'

■

Vcm Vin toc đau ve at Coc ngtweng a õt 30*: M® so m* sat k o 0.02;

Khoang cacti tu chan mat plhang cten vat L « OợnỊ; Gta toe a ai -5.07 ím/a3);

ThCM gian vat truot den tto cao CMC c*«» (O.S9J <w>ỉ Oo cao cuc dai cu* vat « O.-44-*

Hình4. Mô hình mô phởng bài toán cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng với vậntốc banđầuUo = 3m/s, góc nghiêng a = 30°, hệ số ma sát

(7)

NGHIÊN CỨU, XÂYDựNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG BÀI TOÁN cực TRỊ...

Để khảo sát với các giá trị khác, chỉ cầnthay đổi các giá trị của vận tốc ban đầu, góc nghiêng, hệ số ma sát bằng cách nhập so liệu ở các ô hiên thị đại lượng tương ứng trên bảng, nhấn “Enter” trên giao diện sẽ hiển thị kết quả mới.

Với các giá trị vận tốc ban đầu Vo = 4m/s, góc nghiêng a = 20°, hệ số ma sát k = 0,02,L = Im, kết quả thuđượcnhư Hình 5:

- Gia tốc củavật là a --3,536 m/s2.

- Thời gian để vật lênđến độ cao cực đại là t-H = 1,13s.

- Độ cao cực đại củavật là hmax = 1.116m.

- Vị trí, quãng đường vàvận tốccủa vậtkhi t=0,19slà:

+ Vị trí của vật xt = 1,696m;

+ Quãng đường vậtđi được S(t) = 0,696m;

+ Vận tốc của vật vt = 3, 3m/s.

ự»ntọt»;. >m »! 4

ÍO ui t o.ữỉ KHMO0 c«c*» t : 1

I

Voi van toc dau v0 s 4«n/®ỉ; Goc rvghneng o - 20°; Ha B® ma sat k - 0.02:

Khoang each hj chan mat phang der vat L • nmi; Gia toe a « -3.536 ims2!;

Thot gian vat truot đen đo cao cuc dai tu • ỈX.13Ỉ Do cao cuc đai cua vat » 1.116 tmi:

Luc t * 0.19(5!; Vi tn vat xt w 1.696 im; Quang đuong s<ti ® 0.696 imi; van toe vt ■« 3.3 <w»>

Hình 5. Mô hìnhmôphỏng bài toáncực trị trong chuyểnđộng củavật trên mặt phẳng nghiêng vớivậntốc ban đầuVo =4m/s, góc nghiêng a = 20°và hệ số ma

sát k — 0,02.

Bấm nút “play” (►), mô phỏng chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng. Thời gian t thể hiện trên thanh trượt, được điều khiển bởi nút “play”, cho phépdừng ở thời gian t bất kỳ.

42

(8)

HUỲNHTRỌNGDƯƠNG -VÕ THỊHOA

4. Kết luận

Trêncơ sở lýthuyếtvềphươngpháp tìm cực trị hàm số, bài viết đã nêu các bước áp dụng phương pháp tìm cựctrịhàmsốvàobàitoán vật lí. Tùy thuộc vào dạng bài toán mà việc lựa chọn phươngpháptìmcựctrịhàm số cho phù họp. Cùng với sựhồtrợ của phần mềm Mathematica, mộtphần mềm toán học với cáctính năng vượt trộinhư tínhtoán bằngsố, tínhtoánbằng ký hiệu, giải phương trìnhvi phân, đồ hoạ, tính số, lập trình,...

tác giả đà xây dựngđược mô hình khảo sátvà mô hình mô phỏng bài toáncực trị đối vớitrườnghọp vật chuyểnđộng trên mặt phẳng nghiêng. Với phần mềm Mathematica, người dùng còn có thể chủđộng thiết kế những môhìnhdạyhọcđối với nhữngkiếnthức phứctạp hơn vềchuyểnđộng của vật theoý tưởng riêng bằng cáchthay đổi nhữngdòng lệnh tươngứng. Khi đã hiểu được các câu lệnh cơ bản, người dùng còn cóthể xâydựng mô hìnhvề các kiến thức vật lýkhácnhư các chuyểnđộng cơhọc phức tạp, quanghọc, điện học,... nhằmhồ trợtốt hơn chohoạtđộng dạyvà học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] LươngDuyên Bình (Chủ biên), Nguyễn Xuân Chi, Tô Giang, Trần Chí Minh, Vũ Quang, Bùi Gia Thịnh (2007), Vậtlý 10, Nhà xuất bản Giáodục.

[2] N. Hothi, s. Bisht (2013). Contemporary Physics Teaching using Mathematica Software. International Journal ofInnovative Research&Development, Vol. 2, Issue2.

[3] LươngKhánh Tý, LêThịNguyệt Nga (2015). ứng dụng phần mềm Mtahematica giải cácbàitoánvề ma trận,hệ phương trình tuyếntính và không gian vectơ thuộc học phần toán cao cấp. Chuyên đề Khoa học vàGiáo dục- 03 (01-2015).

[4] http://www.thongtincongnghe.com/article/14402. [5]

. http://ebook.net.vn/ebook/su-dung-ngon-ngu-lap-trinh-mathematica-de-giai-mot-so- bai-toan-ve-nang-luong-lien-ket-va-su-phong-xa-cua-hat-nhan-ehuong-5955/

[6]http://download2.nust.na/pub4/sourceforge/r/rl/rlnvsp/2014/Individuals/

NguyenThiThuTrang_Mathematica_Baitoan_giaitich.pdf.

[7]

.

http://vienthongke.vn/tin-tuc/43-tin-tuc/1234-hoi-thao-khoa-hoc-thong-ke-truc-tuyen- cua-wolfram

[8] http://www.ebook.edu.vn/?page=l,39&view=1263.

[9]

mathematica-8-phan-mem-dai-so-hieu-ngon-ngu-tu-nhien/.

http://www.pcworld.com.vn/articles/kinh-doanh/giai-phap/20 10/12/1222458/

[ 10] http://tailieu.tv/tai-lieu/tai-lieu-thuc-hanh-mathematica-40-15533/.

(9)

NGHIÊN CỨU,XÂYDựNG MÔ HÌNH MỒ PHÓNG BÀI TOÁN cực TRỊ...

RESEARCHING AND BUILDING MODELS SIMULATING EXTREMUM PROBLEM IN MOVEMENT SURVEY OF OBJECTS ON INCLINED PLANE

WITH MATHEMATICA SOFTWARE

HUYNH TRONGDUONG, vo THIHOA QuangNam University

Abstract:

In the field of education, the use of softwarefor researching andstudying natural sciences in general and physics in particular has brought about important achievements. This article refers to the application of Mathematica software in physics teaching. Particularly, the language of the software are usedto built modelssimulating extremum problem in movement survey of objects on inclinedplane.

Key words:

Mathematica, Movementof objects on inclined plane, Extremum.

44