TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG BẰNG NGÔN
NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA
Huỳnh Trọng Dương1, Võ Thị Hoa2
Tóm tắt: Trong lĩnh vực giáo dục, việc sử dụng phần mềm trong nghiên cứu, học tập các môn khoa học tự nhiên nói chung và vật lý nói riêng, đã đem lại những thành tựu vô cùng quan trọng. Bài viết này đề cập đến ứng dụng của phần mềm Mathematica trong giảng dạy bộ môn Vật lý. Cụ thể, ngôn ngữ của phần mềm này được sử dụng để
xây dựng các mô hình khảo sát và mô phỏng bài toán cực trị của vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.
Từ khoá: Mathematica, chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng, cực trị.
1. Mở đầu
Phần mềm Mathematica được ra mắt lần đầu tiên vào năm 1988 bởi hãng Wolfram Research. Với những tính năng vượt trội, phần mềm đã gây ấn tượng sâu sắc đối với người sử dụng máy tính trong kỹ thuật và các lĩnh vực khác. Đây là một phần mềm tổ hợp các thao tác tính toán bằng ký hiệu, bằng số, xử lý đồ hoạ và lập trình. Mục đích chính của phần mềm khi hãng Wolfram đưa ra lần đầu tiên là hỗ trợ nghiên cứu cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ và toán học.
Trong giảng dạy vật lý, với sự hỗ trợ của Mathematica, giảng viên vật lý có thể tạo ra mô hình riêng và các điều khiển trực quan theo đúng ý đồ của mình. Giảng viên trong quá trình giảng dạy dễ dàng thay đổi các giá trị bằng các lệnh và thao tác đơn giản. Ngoài ra, sinh viên học vật lý có thể sử dụng Mathematica để hiểu sâu hơn các khái niệm, hoàn thành bài tập về nhà và thực hiện các dự án lớn hơn như nghiên cứu đề tài mà không cần thêm các phần mềm chuyên dụng khác. Mathematica hỗ trợ người dạy và người học không chỉ trong suốt khoá học mà cả quá trình phát triển nghề nghiệp sau này [0, 0, 0].
Để minh chứng cho điều đó, bài viết này trình bày kết quả nghiên cứu, xây dựng các mô hình khảo sát và mô phỏng bài toán cực trị của vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng bằng ngôn ngữ lập trình Mathematica.
2. Nội dung
2.1. Bài toán tìm cực trị trong chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng Bài toán: Một vật có khối lượng trượt trên mặt phẳng nghiêng góc so với phương nằm ngang. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là . Tại thời điểm khảo sát, vật nằm cách chân mặt phẳng nghiêng một khoảng L và đang trượt hướng
khảo sát, lên trên v
* B hình vẽ. Xét gian tại t
), th là .
phải tìm. * Các và lực ma
Phư Chi
Vớ Ta Phư
Tìm Côn Độ
, vật nằm cá với vận tốc Bước 1: Xác
t bài toán đố Chọn gốc to thời điểm kh
ời gian cần
Hình 1 Bước 2: Xá Biểu diễn c c lực tác dụn
a sát . ương trình củ
iếu phương t
i
thấy , v ương trình ch
m thời gian v ng thức xác
cao của vật
ách chân mặt . Tìm thời định hàm và ối với hệ qu oạ độ trùn
hảo sát, l tìm . Bài
1. Hình minh ác lập các m các mối liên h
ng lên vật gồ ủa định luật trình (1) lên
, (2) và (3) t vật chuyển đ huyển động
vật lên đến đ định độ lớn được xác đị
t phẳng nghi gian để vật l à đối số của h uy chiếu gắn ng với chân c là vị trí cao toán dẫn đế
h họa vật chu mối liên hệ cụ hệ đó dưới d ồm trọng lực II Newton c hai trục
ta được:
động chậm d của vật trên
độ cao cực đạ vận tốc của ịnh qua biểu
iêng một kh lên đến độ c hàm.
n với Trái Đ của mặt phẳn nhất của vậ ến việc xác l
uyển động tr ụ thể của cá dạng hàm và c , phản lự cho vật:
ta được
dần đều và d trục đượ
ại bằng cách vật ở thời đi
thức:
hoảng L và đ ao cực đại?
Đất, chọn hệ ng ngiêng ( ật (độ cao cự
lập hàm
rên mặt phẳn ác dữ kiện xu à đối số.
ực của mặt p
c:
dừng lại ở điể ợc xác định
h tìm cực trị iểm t:
đang trượt h
ệ trục toạ độ ), gốc ực đại của v , với đ
ng nghiêng.
uất phát và ẩ phẳng nghiên
(1 (2 (3 ểm cao nhất (4
bởi biểu thứ (5 của (5):
(6 (7 (8
ướng
ộ như c thời vật là đối số
ẩn số ng
) 2) ) 4) .
ức:
5) 6) ) )
Giải (6) ta suy ra được thời gian vật lên đến độ cao cực đại , thay vào (8) ta tìm được độ cao cực đại .
* Bước 3: Tính toán và minh họa kết quả với sự hỗ trợ của phần mềm.
Khi sử dụng phần mềm minh họa, các biểu thức (4), (5), (6), (7) và (8) sẽ được đưa vào trong các câu lệnh để thực hiện, mô hình sẽ được thiết lập chạy kết quả trong khoảng thời gian từ 0 đến , nghĩa là mô phỏng chuyển động của vật từ vị trí ban đầu đến vị trí có độ cao cực đại .
2.2. Xây dựng mô hình khảo sát cực trị trong bài toán vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng bằng ngôn ngữ lập trình Mathematica
Mô hình xây dựng nhằm khảo sát các đại lượng sau:
- Gia tốc chuyển động của vật.
- Thời gian để vật lên đến độ cao cực đại . - Độ cao cực đại vật đạt được .
- Vị trí, quãng đường và vận tốc của vật lúc thời gian t.
Mô hình khảo sát cực trị trong bài toán vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng bằng ngôn ngữ lập trình Mathematica, thể hiện qua các dòng lệnh sau:
Manipulate[g=9.8;Subscript[a,x]=-g (k Cos[\[Alpha]] +Sin[\[Alpha]]);p1 =Solve [\!\(\* ubscriptBox[\(\[PartialD]\),\(t1\)]\((\*FractionBox[\(\*SubscriptBox[\(a\),\(x\)]\\
*Superscript Box[\(t1\), \(2\)]\), \(2\)] + \*SubscriptBox[\(v\), \(0\)]\ t1 + L)\)\)==
0,t1];Plot[(Subscript[a, x] t^2)/2+Subscript[v, 0] t+L,{t,0,Subscript[v, 0]/(g (k Cos[\[Alpha]]+Sin[\[Alpha]]) )}, Plot Range->{0,2.0},AxesLabel->{"t(s)","x(m)"}, PlotStyle->{Orange,Thick},GridLines-> Automatic, ImageSize->{650,400}, PlotLabel->Style[Row[{"Voi Van toc dau Subscript[v, 0] = ",Subscript[v, 0],"(m/s)",";"," Goc nghieng \[Alpha] = ",\[Alpha],"; "," He so ma sat k = ",k,";", "
Khoang cach tu chan mat phang den vat L = ",L,"(m)",";"," Gia toc a = ",Round[- Abs[Subscript[a, x]],.001]," (m/s^2)",";"," Thoi gian vat truot den do cao cuc dai Subscript[t, H ]= ",Round[ t1/.p1,.01]," (s)",";"," Do cao cuc dai cua vat Subscript[h, max] = ",Round[Sin[\[Alpha]] ((Subscript[a, x] t1^2)/2+Subscript[v, 0]
t1+L)/.p1,.001]," (m)","; "," Luc t = ",t,"(s)","; ","Vi tri vat Subscript[x, t] = ",Round [(Subscript[a, x] t^2)/2+Subscript[v, 0] t+L,.001]," (m)",";"," Quang duong S(t) =
",Round[ Abs[(Subscript[a, x] t^2)/2+ Subscript[v, 0] t],.001]," (m)","; ","Van toc Subscript[v, t] = ",Round[Abs[Subscript[v, 0]+Subscript[a, x] t],.1],"
(m/s)"}],Black,"Label",13]],{{Subscript[v, 0],3,"Van toc Subscript[v, 0]
(m/s)"},10},{{\[Alpha],30 Degree,"Goc nghieng \[Alpha] (Degree)"},90 Degree},
t^2)/2+Su {0,0}])]
vận tốc b K kết quả th - - - - + + +
H nghiê cần thay Đ L bằng c
“Enter” t sát V
-
ubscript[v, Kết quả chạy
ban đầu hu được như
Gia tốc chuy Thời gian để Độ cao cực Vị trí, quãng + Vị trí của v + Quãng đườ + Vận tốc của
Hình 2. Kết q êng với vận Để khảo sát c
đổi các giá cách nhập s trên giao diệ Với các giá tr
và Gia tốc chuy
0] t+L);box y chương trìn
ư sau: , yển động củ ể vật lên đến
đại vật đạt đ g đường và v vật
ờng vật đi đư a vật
quả khảo sát tốc ban đầu cực trị trong
trị của vận t số liệu ở cá n sẽ hiển thị rị vận tốc ba , kết q yển động củ
xsize={.03,.0 nh sẽ cho gia , góc ngh ủa vật
n độ cao cực được
vận tốc của v
; ược
.
t cực trị tron
g chuyển độ tốc ban đầu, ác ô hiển thị ị kết quả mớ an đầu quả thu được ủa vật
03};tilt[a_,\[
ao diện bảng hiêng
đại . vật khi t=0,1
;
ng chuyển độ , góc nghiên ộng của vật t.
góc nghiêng ị đại lượng ới.
, góc c như Hình 3
[Alpha]_]:=R g như Hình 2 và hệ số
. 16s là:
ộng của vật t
ng ,
trên mặt ph g, hệ số ma tương ứng c nghiêng
3:
Rotate[a,\[Al 2. Với các g ma sát
trên mặt phẳ hệ số ma sá hẳng nghiêng sát, khoảng trên bảng,
, hệ s lpha], giá trị ,
ẳng át g, chỉ
cách nhấn số ma
- - - + + +
H nghiê vật trên m2.3.
nghiêng tM Cos[\[AlpMa ((\*Fract + \*Subs t^2)/2+Su [S- boxs w,0},{0,0 Voi Van
\[Alpha]
Thời gian để Độ cao cực Vị trí, quãng + Vị trí của v + Quãng đườ + Vận tốc của
Hình 3. Kết q êng với vận t
. Xây dựng m mặt phẳng n Mô phỏng bà thông qua cá anipulate[g=9 pha]]+Sin[\[
ionBox[\(\*S scriptBox[\(v ubscript[v, 0 ize,S+10 bo 0}}],Blue]}, n toc dau S
= ",\[Alpha
ể vật lên đến đại vật đạt đ g đường và v vật
ờng vật đi đư a vật
quả khảo sát tốc ban đầu mô hình mô nghiêng
ài toán tìm ác câu lệnh s 9.8;Subscrip [Alpha]]);p1 SubscriptBo v\), \(0\)]\ t 0] t+L,boxs oxsize],\[Alp ,PlotRange->
Subscript[v, a],"; "," He
n độ cao cực được
vận tốc của v
; ược
.
t cực trị tron , ô phỏng bài
cực trị tron sau:
pt[a,x]=-g(k
=Solve[\!\(\
x[\(a\), \(x\) 1 + L)\)\)==
ize[[2]]};Gr pha]]},Style[
>{{-.25,3.5}
0] = ",Sub so ma sat k
đại . vật khi t=0,3
;
ng chuyển độ , góc nghiên
. toán tìm cự ng chuyển độ
\*Subscript ]\ \*Supersc
=0,t1];Modu raphics[{{Fa [Polygon[{{
},{-.15,2}},P bscript[v, 0 k = ",k,";",
. 3s là:
ộng của vật t
ng ,
ực trị trong c ộng của vật
Box[\(\[Par criptBox[\ (t
ule[{S},S=
aceForm [Re w, w T PlotLabel->S 0],"(m/s)",";"
" Khoang c
trên mặt phẳ , hệ số ma sá chuyển động t trên mặt p
rtialD]\), \(
1\), \(2\)]\), {(Subscript[
ed],tilt[Recta Tan[\[ Alpha
Style[Row[{
"," Goc ngh cach tu chan
ẳng át g của phẳng
(t1\)]\
\(2\)]
[a, x]
angle a]]},{
"
hieng n mat
41 (m/s^2)"
t1/.p1,.01 Round[(S (m)","; "
t^2)/2+Su Abs[(Sub t] = "
"Label",1 (m/s)"},1 Degree}, {t,0,Subs ((Subscri [Alpha]_
vận tốc b K kết quả th - - - - + + +
,";"," Thoi g 1]," (s)",";"
Sin[\[Alpha]
," Luc t = ", ubscript[v, bscript[a, x]
",Round[Ab 13],ImageSiz 10},{{\[Alph
,{{k,0.02,"H script[v, 0]/(
ipt[a, x]
_]:=Rotate[a, Kết quả chạy
ban đầu hu được:
Gia tốc của Thời gian để Độ cao cực Vị trí, quãng + Vị trí của v + Quãng đườ + Vận tốc của
gian vat tru
"," Do ca ]] ((Subscrip ,t,"(s)","; ","
0] t+L,.00 t^2)/2+Subs s[Subscript[
ze->{650,50 ha],30 De He so ma s (g (k Cos[\[A
t^2)/2+Sub ,\[Alpha],{0 y chương trìn
, góc vật là a= -5 ể vật lên đến
đại của vật l g đường và v vật
ờng vật đi đư a vật
uot den do c ao cuc dai pt[a, x] t1^
Vi tri vat Su 01]," (m)","
script[v, 0] t [v, 0]+Sub 00}]],{{Subs egree,"Goc sat k"},0.5}
Alpha]]+Sin bscript[v,
,0}])]
nh sẽ cho gia c nghiêng
,07 m/s2. n độ cao cực
vận tốc của vlà
; ược
.
cao cuc dai i cua vat
^2)/2+Subscr ubscript[x, t]
";"," Quang t],.001]," (m bscript[a, x script[v, 0], nghieng , {{L,0.1,"K [\[Alpha]]) )
0] t+L);b ao diện bảng , hệ s
đại là vật khi t=0,2.
;
Subscript[t Subscript[
ript[v, 0] t ] = ",Round g duong S m)","; ","Van x] t],.1],"
,3,"Van toc
\[Alpha]
Khoang cac ),.01},Initial boxsize={.03 g như Hình 4 số ma sát
. 29s là:
t, H ]= ",Ro [h, max] =
1+L)/.p1),.0 [(Subscript S(t) = ",Ro
n toc Subscri (m/s)"}],B Subscript[v
(Degree)"
ch L (m)"}
lization:>(w 3, .03};tilt
4. Với các g ,
ound[
= ", 001],"
[a, x]
ound[
ipt[v, Black, v, 0]
"},90 ,10}, w=100 t[a_,\
giá trị
Hìn phẳng ng đầu, góc Đ tương ứn sát V
- - - - + + +
Hìn phẳng n nghiêng. B phép dừn
nh 4. Mô hìn ghiêng với v Để khảo sát v
nghiêng, hệ ng trên bảng, Với các giá t
, Gia tốc của Thời gian để Độ cao cực Vị trí, quãng + Vị trí của v + Quãng đườ + Vận tốc của
nh 5. Mô hìn nghiêng với v Bấm nút “pl Thời gian t ng ở thời gia
nh mô phỏng vận tốc ban đ với các giá t ệ số ma sát , nhấn “Ente trị vận tốc b , kết quả th vật là a= -3 ể vật lên đến
đại của vật l g đường và v vật
ờng vật đi đư a vật
nh mô phỏng vận tốc ban đ lay” (►), m t thể hiện trê an t bất kỳ.
g bài toán cự đầu
trị khác, chỉ bằng cách er” trên giao
an đầu hu được như
,536 m/s2. n độ cao cực
là vận tốc của v
; ược .
g bài toán cự đầu sát mô phỏng ên thanh trư
ực trị trong c , góc ngh .
cần thay đổ nhập số liệu diện sẽ hiển
, góc ư Hình 5:
đại là vật khi t=0,1.
;
ực trị trong c , góc ng
. chuyển độn ượt, được điề
chuyển động hiêng ổi các giá trị
u ở các ô hi n thị kết quả c nghiêng
. 19s là:
chuyển động ghiêng ng của vật
ều khiển bởi
g của vật trên , hệ số m ị của vận tốc iển thị đại l
mới.
, hệ s
g của vật trên và hệ số trên mặt p i nút “play”
n mặt ma sát c ban
ượng ố ma
n mặt ố ma phẳng
”, cho
đầu, góc Đ tương ứn sát V
- - - - + + +
Hìn phẳng n nghiêng. B phép dừn
Để khảo sát v nghiêng, hệ ng trên bảng, Với các giá t Gia tốc của , Thời gian để Độ cao cực Vị trí, quãng + Vị trí của v + Quãng đườ + Vận tốc của
nh 5. Mô hìn nghiêng với v Bấm nút “pl Thời gian t ng ở thời gia
với các giá t ệ số ma sát , nhấn “Ente trị vận tốc b , kết quả th vật là a= -3 ể vật lên đến
đại của vật l g đường và v ờng vật đi đưvật
a vật
nh mô phỏng vận tốc ban đ lay” (►), m t thể hiện trê an t bất kỳ.
trị khác, chỉ bằng cách er” trên giao
an đầu hu được như
,536 m/s2. n độ cao cực
là vận tốc của v ược ;
.
g bài toán cự đầu sát mô phỏng ên thanh trư
cần thay đổ. nhập số liệu diện sẽ hiển
, góc ư Hình 5:
đại là vật khi t=0,1.
;
ực trị trong c , góc ng chuyển . độn ượt, được điề
ổi các giá trị u ở các ô hi n thị kết quả c nghiêng
. 19s là:
chuyển động ghiêng ng của vật
ều khiển bởi
ị của vận tốc iển thị đại l
mới.
, hệ s
g của vật trên và hệ số trên mặt p i nút “play”
c ban ượng ố ma
n mặt ố ma phẳng
”, cho
4. Kết luận
Trên cơ sở lý thuyết về phương pháp tìm cực trị hàm số, bài viết đã nêu các bước áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số vào bài toán vật lí. Tùy thuộc vào dạng bài toán mà việc lựa chọn phương pháp tìm cực trị hàm số cho phù hợp. Cùng với sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica, một phần mềm toán học với các tính năng vượt trội như tính toán bằng số, tính toán bằng ký hiệu, giải phương trình vi phân, đồ hoạ, tính số, lập trình,...
tác giả đã xây dựng được mô hình khảo sát và mô hình mô phỏng bài toán cực trị đối với trường hợp vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng. Với phần mềm Mathematica, người dùng còn có thể chủ động thiết kế những mô hình dạy học đối với những kiến thức phức tạp hơn về chuyển động của vật theo ý tưởng riêng bằng cách thay đổi những dòng lệnh tương ứng. Khi đã hiểu được các câu lệnh cơ bản, người dùng còn có thể xây dựng mô hình về các kiến thức vật lý khác như các chuyển động cơ học phức tạp, quang học, điện học,... nhằm hỗ trợ tốt hơn cho hoạt động dạy và học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lương Duyên Bình (Chủ biên), Nguyễn Xuân Chi, Tô Giang, Trần Chí Minh, Vũ Quang, Bùi Gia Thịnh (2007), Vật lý 10, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] N. Hothi, S. Bisht (2013). Contemporary Physics Teaching using Mathematica Software. International Journal of Innovative Research&Development,Vol. 2, Issue 2.
[3] Lương Khánh Tý, Lê Thị Nguyệt Nga (2015). Ứng dụng phần mềm Mtahematica giải các bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính và không gian vectơ thuộc học phần toán cao cấp. Chuyên đề Khoa học và Giáo dục - 03 (01-2015).
[4] http://www.thongtincongnghe.com/article/14402.
[5] http://ebook.net.vn/ebook/su-dung-ngon-ngu-lap-trinh-mathematica-de-giai-mot-so- bai-toan-ve-nang-luong-lien-ket-va-su-phong-xa-cua-hat-nhan-chuong-5955/.
[6]http://download2.nust.na/pub4/sourceforge/r/rl/rlnvsp/2014/Individuals/
NguyenThiThuTrang_Mathematica_Baitoan_giaitich.pdf.
[7] http://vienthongke.vn/tin-tuc/43-tin-tuc/1234-hoi-thao-khoa-hoc-thong-ke-truc-tuyen- cua-wolfram.
[8] http://www.ebook.edu.vn/?page=1.39&view=1263.
[9] http://www.pcworld.com.vn/articles/kinh-doanh/giai-phap/2010/12/1222458/
mathematica-8-phan-mem-dai-so-hieu-ngon-ngu-tu-nhien/.
[10] http://tailieu.tv/tai-lieu/tai-lieu-thuc-hanh-mathematica-40-15533/.
RESEARCHING AND BUILDING MODELS SIMULATING EXTREMUM PROBLEM IN MOVEMENT SURVEY OF OBJECTS ON INCLINED PLANE
WITH MATHEMATICA SOFTWARE
HUYNH TRONG DUONG, VO THI HOA Quang Nam University Abstract: In the field of education, the use of software for researching and studying natural sciences in general and physics in particular has brought about important achievements. This article refers to the application of Mathematica software in physics teaching. Particularly, the language of the software are used to built models simulating extremum problem in movement survey of objects on inclined plane.
Key words: Mathematica, Movement of objects on inclined plane, Extremum.
