KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
Só 1+2/2022
Phân tích động dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động với vận tốc không đổi
■ThS. ĐỖXUÂN QUÝ;Ths. vũ THỊNGA Trường Đại học Giơo thông vận tải
TÓM TẮT: Dầm trênnền đàn hồi là kết cấu phổ biến trong xây dựng công trìnhnói chung, công trình giao thôngnói riêng.Các kết cấu có thể kểđến như:dầm móng đặt trên nền đàn hổi, hệ phao nổi trên mặt nước, hệ cọc trong đất, tà vẹt trên nền đá ballast...
Các mô hình tính áp dụng trong thiết kế hiện nay giả thiết rằng dầm luôn luôntiếpxúcvới nền.Trong khi đó, nhiều trường hợp có một bộ phận của dầm không tiếp xúc với nền nên việc mô hình như trên là không phù hợp. Theo đó, các kết luận, khuyến cáo trong công tác tưvấn không sát với thực tế làm việc của dầm. Để mô tả sát với ứng xử thực tế của dầm có kể đến sự không tiếp xúc giữadầm và nền, liên kết dj hướng là một giải pháp hiệu quả để giải quyếtvấn đề này. Trong nghiên cứu này, tác giả giới thiệu phương pháp phân tích động dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụngcủa khối lượng di chuyển với vậntốc không đổi.
TỬ KHÓA: Liên kết dị hướng, phi tuyến, phần tử hữu hạn, dầm trên nềnđàn hồi, phân tích động.
ABSTRACT: Beam resting on elastic foundation is a common structure in engineering, especially in civil engineering, for instance, ground beams, buoys floating on water, piles resting in foundation, or rails acting onrailway sleepers. The well-known computing models used in design based on the assumption that beam is fully contacted with foundation. In fact, there are some non-contact regions between beam and foundation, and hence, the above assumption is not always valid. As a result, such conclusions or recommendations made by construction consultants are sometimes inappropriatewith the actual behaviors of beam and foundation. In order to closelydescribe the actual behavior of beamstaking into accountthe non-contact between the beam and the foundation, anisotropic restraint is an effective solution to this problem. In this research, the author introduces a method ofdynamicanalysis of beams with anisotropic restraints being affected by the influence of moving masses in constant velocity.
KEYWORDS: Anisotropic restraints, nonlinearity, FEM, anisotropicbeam-foundation element, dynamic analysis.
1. ĐẶTVẤNĐÉ
Hiện nay, các mô hình tính dầm trên nến đàn hói trong nghiên cứu cùng như trong tính toán thiết kế công trình hầu hết đều mô hình nến thành các dạng liên kết đàn hói có độ cứng không đổi. Các công bố có thể kể đến như:
Vũ Đình Lai và cộng sự [1 ], Lều ThọTrình và cộng sự [2], Anil K. Chopa [3], giới thiệu phương pháp tính dầm trên nền đàn hối theo mô hình theo Winkler.
Đề mô phỏng gần với ứngxửthựctếcủadầmtrên nền đàn hồi, các tác giả đã xem xét đến sựtiếp xúc và không tiếp xúc giữa dầm và nền, khi đó tương tác giữa dầm và nền có thể coi như các liên kết có độ cứng thay đổi: z. Celep và các cộng sự [4] khảo sát tác dụng động của dầm dài hữu hạn trên nền một chiều; Diego Froio và các cộng sự [5] phân tích dầm trên nền phi tuyến, dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian di động; Cristiano Viei Rodrigues [6] phân tích dầm trên nền phi tuyến, chịu tác dụng của bộ dao động di động bằng phương pháp phấn tử hữu hạn;
D. Froio và các cộng sự [7], sử dụng phương pháp số tính dầm giản đơn trên nền phi tuyến bậc 3, dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian di động; S.M. Abdelghany và các cộng sự [8], khảo sát ứng xử của dầm trên nền phi tuyến, chịu tác dụng của tải trọng di động bằng phương pháp Galerkin và Runge-Kutta; Đỗ Xuân Quý và các cộng sự [9], nghiên cứu ứng xử cơ học của thanh có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động; Đỗ Xuân Quý và các cộng sự [10] nghiên cứu thực nghiệm ứng xử của có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động.
Bài báo giới thiệu một phương pháp phân tích động dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động xây dựng trên cơ sở của phương pháp phấn tử hữu hạn.Từphương trình cân bằng động lực cùa phương pháp phần tử hữu hạn đối với kết cấu có liên kết đàn hói, tác già bổ sung thêm thành phẩn mô phỏng phản lực liên kết dị hướng và khối lượng di động. Sau khi có phương trình cân bằng động lực, tác giả giải phương trình bằng phương pháp tích phân Newmark, ở mỗi thời điểm tính, phương trình cân bằng động lực là một phương trình phi tuyến, được giải bằng phương pháp lặp Newton. Lời giải của bài toán có được bằng cách ghép nối các kết quả phân tích ở từng thời điềm tính.
2. Cơ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH ĐỘNG DẨM có LIÊN KẾT DỊ HƯỚNG CHỊUTÁC DỤNG CỦA KHỐI LƯỢNG DI ĐỘNG
2.1. Mô hìnhtính
104
KHOA HỌC CŨNG NGHỆ
Só 1+2/2022
Hình 2.1 là một trường hợp dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động. Dầm AB được kê trên gối cố định A, di động B và các liên kết dị hướng 1,2,3, ph a trên có khối lượng M di chuyển đểu với vận tốc V. Dầm làm bằng vật liệu có mô-đun đàn hồi E, khối lượng riêng p Vỉ mặt cắt ngang dầm có diện tích F, mô-men quán tính trục J. Các liên kết dị hướng 1, 2, 3 có độ cứng biến dạng dương k+, độ cứng biến dạng âm k và độ lệch chuẩn Do.
thiết rằng khối lượng M luôn luôn tiếp xúc với bề mặt dầm trong quá trình di chuyển từ A đến B.
Giả
[M Ơ)]{Ă} + [C]{Ã} + [K]{A} + {JV(A)1 = W)} + {Ọ} (3) Trong đó: {N(A)Ị - Vector phản lực liên kết dị hướng được tính theo công thức (1);
{Q} - Vector tải trọng tĩnh;
[M(t)] - Ma trận khối lượng của hệ;
ÍP(t)} - Vector tải trọng động do vật M di chuyển sinh ra.
- Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản của kết cấu được thành lập từ ma trận độ cứng (4), ma trận khối lượng (5), ma trận cản (6) của các phần tử [11]:
Hình 2.1: Mô hình tính dẩm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối luọng di động vói vận tốc không đổi
- Quan hệ giữa phản lực liên kết dị hướng (N) và chuyển vị điểm tựa liên kết (A) được sử dụng trong nghiên cứu ìày như công thức (1).
k+ + k~ r. k+ - k~
N = 2 (A - Ao) + .. 2 -- |A - Ao|
Trong đó: k+, k - Độ cứng biến dạng dương, âm của liên kết;
D0-ĐỘ lệch chuẩn.
2.2. Phương trình cân bằng động lựccủa dầmcó liênkết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động
Phương trình cân bằng động lực của phương pháp tử hữu hạn được viết cho dầm có liên kết đàn hói
(1)
12EJ 6EỊ 12EJ 6EJ
~p~ ~~p~
6EỊ 4EJ ỐEỊ 2EJ
= 12EJ ~T 6EJ
____
12EỊ ~T -Ị— ~lĩ~ --ỴĨ-6EJ 6EJ 2EJ 6EJ 4EJ -p- ~T “"F l
13 11 9 13 i'
35 2ĨÕl 70
11 13 1
2
ịme] = m
2ĨÕ/
9 105
13 t 420z
13 140
11
70 420^
35
13 11 -L/2
420 140 ~2ĨÕl 105
13 11 9 _ 13 , ỉ
35 210z 70 420
11 1 ,2 13
[Cq = /Ỉ.(.F 21Q1
9
105 420^
13 140
_ 11 1
70 420 35 210
13 11 t ĩ 2
“4201
140 ĨÕ5'
(4)
(5)
(6)
phần
chịu tác dụng của tải trọng động [11],
[M]{Ẩ} + [C]{Ã) + [K]{A} = {P(t)J (2) Trong đó: [K], [C], [M] - Ma trận độ cứng, cản, khối lượnc của dầm;
{A},{A},{A} -Vector chuyển vị và các đạo hàm của nó;
{3(t)} - Vector tải trọng động.
Dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động, phương trình cân bằng động lực được viết lại bằng cách bổ sung các yếu tố liên quan đến liên kết dị hướng và khối lượng di động. Vì dầm có liên kết dị hướng nên ciìn bổ sung mô tả vể liên kết dị hướng, cũng như xét đến tính phi tuyến của bài toán. Phản lực liên kết dị hướng được xem như một loại tải trọng khi đó vế trái của phương trình động lực được bổ sung thêm thành phần phản lực liên két {N(A)}. Do tính phi tuyến của bài toán nên các tải trọng tác dụng vào kết cấu phải được đưa vào phân tích đóng thời bằng cách bổ sung thành phần tải trọng tĩnh {Q} vào vế phải của phương trình. Khối lượng di động được xem xet ở hai khía cạnh là mức độ quán tính và tải trọng di động. Ở khía cạnh mức độ quán tính, khối lượng của vật di chuyển được cộng thêm vào ma trận khối lượng của hệ [M(t)] t|ương ứng với vị trí của vật ở từng thời điểm tính, ở khía cạhh tải trọng di động, vector tải trọng P(t) được dùng để mô rả sự di chuyển và độ lớn của trọng lượng bản thân vật. Sau khi bổ sung các yếu tố trên, phương trình động lực của dấm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động được viết lại như sau:
Trong đó: E - Mô-đun đàn hồi của vật liệu;
I, F, J, m, p - Chiều dài, diện tích mặt cắt ngang, mô-men quán tính trục, khối lượng, khối lương riêng của phần tử;
p - Hệ số cản.
- Phương pháp chung để giải các phương trình động lực (3) là chia nhỏ khoảng thời gian tính bởi các điểm tính t, cách nhau các khoảng thời gian Dt. Tại các điểm tính t, tải trọng động {P(t)} và ma trận khối lượng [M(t)] có giá trị xác định, phương trình động lực trở thành phương trình cân bằng tĩnh tương ứng. Khi tính tại thời điểm đẩu tiên, các dữ liệu cẩn thiết về gia tốc, vận tốc của các nút được cho trước, kết quả tính ở thời điểm này sẽ được dùng làm dữ liệu đẩu vào để tính thời điểm tiếp theo. Quan hệ giữa số liệu đầu vào của các bước tính phải tuân thủ theo các qui tắc qui định trong phương pháp tính lặp theo thời gian được lựa chọn. Các phương pháp tính lặp theo thời gian có thể kể đến là phương pháp tích phân Newmark, phương pháp Houbolt, phương pháp Wilson 9, phương pháp HHT-a. Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp tích phân Newmark để giải phương trình động lực (3). Theo đó, việc giải bài toán sẽ trở thành việc giải một chuỗi các bài toán tĩnh tương ứng, kết quả tính theo thời gian có được bằng cách nối ghép kết quả tính tại từng thời điểm tính tị.
- Do trong phương trình động lực (3) có chứa vector phản lực liên kết dị hướng {N(A)} là hàm đối với các chuyển vị A được tính theo công thức (1) nên các phương trình cân bằng tĩnh thu được tại từng điểm tính t là các phương trình phi tuyến được tác giả giải bằng phương pháp lặp Newton.
105
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
Só 1+2/2022
2.3. Phương pháptíchphânNewmarkgiảiphương trìnhcânbằng động lực của dầm có liên kết dị hướng chịutác dụng của khối lượng di động
- Phương pháp tích phân Newmark là một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả để giải phương trình động lực của bài toán động. Cơ sở của phương pháp được mô tả như sau: Giả thiết rằng chuyển vị là hàm đa thức theo biến thời gian. Theo Taylor thì chuyển vị tại thời điểm sau sẽ được phân tích thành một đa thức theo chuyển vị và các đạo hàm của nó ở thời điểm tính ngay trước.Trong đa thức đó bỏ đi các vô cùng bé bậc cao và giả thiết rằng trong khoảng thời gian giữa hai điểm tính liên tiếp, gia tốc của chuyển vị là hằng số. Để tăng độ chính xác do việc bỏ các đạo hàm bậc cao, người ta bổ sung các hệ số ơ và 0 [12], Theo đó, lập được quan hệ giữa chuyển vị, đạo hàm của chuyển vị tính tại thời điểm sau theo chuyển vị, đạo hàm chuyển vị tại thời điểm ngay trước là:
{4+1} ={4}+ {Á,}At + (ỉ- a){Ă,]At2 + a{Ăí+1}At2 {Áí+i} = {4} + (l-/?){4}At + /?{Ẩí+1}At
Trong đó: a, p - Các thông số được xác định từ yêu cầu về độ chính xác của lời giải.
Trong nghiên cứu này, tác giả lựa chọn hệ số 3 =0,5 và a = 0,25 từ phương trình thứ 2 của (7) biến đổi được:
= (8)
Biến đổi thu được:
{4+1} = ai({Aí+1} -{A,}) -a4{À,} - a5{Ẩ,} (9) {4+1} = a0({4+1} -{4})-n2{4} - a3{4}
Ký hiệu:
1 p 1 1
a0 = —ữi = -L—, a-> = ——, a3 = - --- 1
aAt2 aAt aAt 2a
(10) p „ (P \&t
a4 = - 1, as = ( - y, a6 = (1 - /?)At, a7 =
Thay (10) vào (3) tại thời điểm ti+1, được hệ phương trình chuyển động tại thời điểm t cho phép xác định chuyển vị nút {Ai+1} như sau:
([
*
■] + ajc] + a0[Mj+ Í]){A,+1} + {/V;+1(AÍ+1)1 = {Ọ} + {Pí+1} +
[Míl(ao{4} + a2{Áí}+a3{Ă,}) + [CKaJAJ + a4{Á,}+a5{Ă,}) Đặt:
[A"] = [K] + ajc] + a0[Mí+1]
[P‘] = {Ọ} + {P;+1} +[M,] (a0{Aj} + a2ịÀ,}+a3{Ăl}) + (12) [C](a1{Aí}+ a4{A(}+a5{4})
Phương trình (16) trở thành:
[/r]{Ai+1} + {4+i(4+i)} = ƠY+1) (13) Trong đó: [K*], [P* i+1] - Ma trận độ cứng và vector tải mở rộng tại thời điểm ti+1 của kết cấu.
Phương trình (13) là phương trình phi tuyến, để giải tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton.
2.4. Thuật toán
* Bước 1. Tính toán các thông số ban đấu
- Số thứ tự bước tính n = 1, tính [K], [C], [M], {Q}, ajZ...
- Cho trị số chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban đầu:{A0},{Á0}, {Ão}.
- Giải hệ (13) bằng phương pháp lặp Newton, được vector chuyển vị nút {A^.
- Lấy ra {Ái}, {4}dung làm số liệu đẩu vào cho bước tínhthứ2.
* Bước 2. Tính chuyển vị tại các điểm tính tiếp theo, ở các thời điểm 2l\t, 3ĩst, 4íst,...
- Số thứ tự bước tính n = 2,3,4,...
- Xác định trị số chuyển vị, vận tốc tại thời điểm ban đầu theo công thức (9).
- Giải hệ (13) bằng phương pháp lặp Newton, được vector chuyển vị nút {Ai+1}.
- Lấy ra {4+1}. {4+1} dùng làm số liệu đầu vào cho bước tính tiếp theo.
* Bước 3. Dừng lặp khi bước tính n = N.
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KIẾNNGHỊPHÂN TÍCH ĐÔNG DÂM CÓ LIÊN KẾTDỊ HƯỚNGCHỊỮTÁC DỤNG CỦA KHỐI LƯỢNGDI ĐỘNG
*Đặtbài toán:
Cho một dầm liên tục 2 nhịp, ở giữa các nhịp được kê bởi các liên kết dị hướng như Hình 3.1. Dầm làm bằng vật liệu có: E = 2,104 kN/cm2, p = 7,8 tấn/m3, có mặt cắt ngang dạng chữ nhật F = 2x0,4 cm2. Liên kết dị hướng có thông số: k = 4.630 N/m, k+ = 0, Do = 0. Vật M = 4,2 kg di chuyển với vận tốc V = 0,21 m/s. Phân tích, so sánh độ võng tại mặt cắt F khi tại D, E có các liên kết dị hướng và có liên kết đàn hói có độ cứng không đổi k = 4.630 N/m.
~ X V r;
A D O- ► c E F B
£ ---
| 25cm 25cm 25cm Ị Ị2.5cm |Ị2.5cm I ĨOOcm
Hình 3.1: Dầm liên tục 2 nhịp, giữa các nhịp đuọc kê bằng các liên kết dị huớng chịu tác dụng của khối luọng di chuyến với vận tốc
không đổi
Độ võng tại mặt cãt F khi cho khôi lượng di chuyên với tận tốc * = 0,2 1 m/s
Hình 3.2: Độ võng tại mặt cắt F khi tại c, D có liên kết dị huớng và liên kết đàn hổi
* Kết quả phân tích:
Hình 3.2 là độ võng theo thời gian của mặt cắt F trong hai trường hợp liên kết tại c, D có liên kết dị hướng và có liên kết đàn hồi. Thực tế, khi vật M di chuyển trên AC, nhịp AC võng xuống, nhịp CB vổng lên khiến cho liên kết dị hướng c làm việc giống liên kết đàn hổi, còn liên kết dị
106
4 J-
hướng D có độ cứng bằng không. Khi vật M di chuyển trên c ỉ, liên kết dị hướng D làm việc giống liên kết đàn hổi, còn lien kết dị hướng c có độ cứng bằng không. Theo đó, vật di chuyển đến bất cứ nhịp nào thì độ cứng của dầm tại F khi có liên kết dị hướng nhỏ hơn khi dầm có liên kết đàn hói.
Độ võng tại F nhỏ hơn khi dầm có liên kết dị hướng. Điểu náy hoàn toàn phù hợp với kết quả phân tích động bằng ct ương trình tính được xây dựng trên cơ sở phương pháp kiến nghị (Hình 3.2). Trong bài toán này (độ võng lớn nhất và nhỏ nhất) tại mặt cắt F bằng (87,84 X 10'3 mm và 27,92 X 03 mm) khi dẩm có liên kết dị hướng, bằng (86,16 X 10’3 m TI và 20,32 X 103 mm) khi dầm có liên kết đàn hói. Giữa hai trường hợp liên kết, sai số về độ võng lớn nhất và nhỏ nhất có giá trị bằng 1,91% và 27,22%, cũng có nghĩa là kết quả phân tích theo truyền thống với mô hình liên kết đàn hổi đang thiên về không an toàn cho kết cấu có sai số là 1,91 % và 27,22%. Điều này chứng tỏ việc phân tích kết cấu vớ mô hình liên kết dị hướng khi có sự không tiếp xúc giữa dầm và nền là rất cần thiết.
4. KẾT LUẬN VÀKIẾNNGHỊ
-Tác giả đã viết được phương trình cân bằng động lực cho dầm, thuật toán, chương trình phân tích động dám có liên kết dị hướng chịu tác dụng của khối lượng di động.
Phàn tích cho thấy sự cẩn thiết khi sử dụng mô hình liên kết dị hướng trong trường hợp dầm có liên kết có độ cứng thay đổi.
- Nhóm nghiên cứu dự kiến sẽ sử dụng chương trình tính lập được trên cơ sở của phương pháp kiến nghị để khclO sát nhiều hơn vể ứng xử động của dầm có liên kết dị hương chịu tác dụng của khối lượng di động, để từ đó có các kiến nghị giá trị trong thực tiễn.
Lời cảm ơn:Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học GTVT trong Để tài mã SỐT2021-CT-023.
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
Số 1+2/2022
oscillator, European Journal of Mechanics - A/Solids, 68, 9-24, https://doi.Org/10.1016/j.euromechsol.2017.10.005.
[7] . D. Froio, R. Moioli, E. Rizzi (2016), Numerical dynami analysis of beams on nonlinear elastic foundation under harmonic moving load, ECCOMAS Congress 2016, VII European Congress on ComputationalMethods in Applied Sciences and Engineering, Greece, pp.4794-4809, https://
doi.org/10.7712/100016.2149.7515.
[8] . s. M. Abdelghany, K.M. Ewis, A.A. Mahmoud, M.M. Nassar (2015), Dynamic response of non-uniform beam subjected to moving load and resting on non-linear viscoelastic foundation, Beni-Suef University Journal of Basic and Applied Sciences, 4, 192-199, . org/10.1016/j.bjbas.2O15.05.007.
https://dx.doi
[9] . Đỗ Xuân Quý, Lương Xuân Bính, Hà Văn Quân, Hoàng Văn Tuấn (2018), Nghiên cứu ứng xử cơ học của thanh có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động, Tuyển tập công trình khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn lấn thứ XIV, TP. Hồ Chí Minh, tr.549-556.
[10] . Do Xuan Quy,TaThi Hien, Luong Xuan Binh, Hoang Van Tuan and Le Thanh Tam (2019), Experimental research on dynamic response of beams with anisotropic restraints, The 5th international Conference on Enginneering Mechanics and Automation, Ha Noi, pp.98-104.
[11], Nguyễn Xuân Lựu (2007), Phương pháp phán tử hữu hạn, NXB. GTVT, Hà Nội.
[12], Patrick Paultre (2005), Dynamicque des structures, Application aux ouvrages de gesnie civil, Hemes science.
Ngàynhận bài:17/12/2021
Ngàychấp nhận đăng:06/01 /2022 Ngườiphản biện:TS. TrầnNam Hưng
TS.Trần Anh Dũng
Tài liệutham khảo
[1 ]. Vũ Đình Lai (2010), Sức bền vật liệu, tái bản 3, NXB.
GTVT, Hà Nội.
[2], Lều Thọ Trình và Đỗ Văn Bình (2002), ốnđịnh công trình, lần 1, NXB. Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[3], Anil K. Chopra (2012), Dynamicsofstructures, fourth ed, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prehlice Hall, America.
[4], z. Celep, K. Gùler, F. Demir (2011), Response of a completely free beam on a tensionless Pasternak foundation subjected to dynamic load, Structural Engineering and
sam
Mechanics, 37, 61-77, http://techno-press.org/
I Jlejournal/pdf/sem3701004.pdf.
[5], Diego Froio, Egidio Rizzi, Fernando M.F. Simões, A. p nto da Costa (2017), Critical velocities of a beam on nonlinear elastic foundation under harmonic moving load, Procedia Engineering, 199, 2585-2590, https://doi.
org/i 0.1016/j.proeng.2017.09.348.
![6]. c. Rodrigues, F.M.F. Simões, A. Pinto da Costa, D.
Froid, E. Rizzi (2018), Finite element dynamic analysis of beams on nonlinear elastic foundations under a moving
