ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐỖ NAM
DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2021
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐỖ NAM
DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101.01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
NGƯỜINGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm 2. PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng:
1. GSSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
Hà Nội - 2021
LỜI CAM ĐOAN
Tác giả luận án xin cam đoan rằng luận án bao gồm các kết quả nghiên cứu của nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của các thầy hướng dẫn và giúp đỡ của các đồng nghiệp, mọi kết quả của người khác đã được trích dẫn đầy đủ.
Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án
Đỗ NamGS.TSK chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ, Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.
LỜI CẢM ƠN
Tác giả chân thành cảm ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh hoàn thành luận án của mình. Đồng thời nghiên cứu sinh cũng đặc biệt cảm ơn các thầy hướng dẫn, GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm, PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng đã tận tình động viên, chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ, Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ... i
DANH MỤC BẢNG ... iii
DANH MỤC HÌNH VẼ ...iv
MỞ ĐẦU ... 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU... 4
1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng ... 4
1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian) ... 6
1.3. Dao động của dầm có vết nứt ... 7
1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt ... 7
1.3.2. Dầm FGM có vết nứt ... 9
1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu ... 10
Kết luận chương 1 ... 12
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN ... 13
2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền ... 13
2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển ... 14
2.3. Phương pháp ma trận truyền cải biên ... 19
2.4. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm liên tục ... 23
Kết luận chương 2 ... 27
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT .. 28
3.1. Mô hình dầm có vết nứt ... 28
3.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm đồng nhất có vết nứt ... 32 3.3. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm liên tục có vết nứt 36
3.4. Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ... 39
3.4.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp ... 40
3.4.2. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt và gối trung gian trong dầm liên tục hai nhịp ... 44
3.4.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp ... 49
Kết luận chương 3 ... Error! Bookmark not defined. CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT ... 55
4.1. Mô hình dầm FGM có vết nứt ... 55
4.1.1. Phương trình dao động của dầm FGM ... 55
4.1.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM ... 58
4.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt ... 59
4.3. Phương pháp ma trận truyền mở cho dầm FGM liên tục có vết nứt ... 61
4.3.1. Ma trận truyền cho phần tử dầm FGM gối cứng hai đầu ... 61
4.3.2. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục .... 62
4.4. Kết quả tính toán số ... 65
4.4.1. Kiểm chứng phương pháp, thuật toán và chương trình ... 65
4.4.2. Một số đặc tính dao động của dầm đơn FGM ... 69
4.4.3. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm FGM liên tục .... 82
4.4.4. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM liên tục ... 84
Kết luận chương 4 ... 92
KẾT LUẬN CHUNG ... 93
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ... 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 95
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu Nguyên nghĩa
𝐼̄12
= 𝑛(𝑅𝜌− 1) (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)(𝑅𝜌+ 𝑛)
2ℎ0
ℎ(𝑛 + 1) Hệ số tương tác dao động trong dầm FGM 𝑁̅(𝑥, 𝜔), 𝑀̅(𝑥, 𝜔), 𝑄̅(𝑥, 𝜔) Biên độ phức của nội lực
𝛾1 = 𝐸𝐴 𝑇⁄ , 𝛾2 = 𝐸𝐼 𝑅⁄ Độ lớn vết nứt được tính từ độ sâu vết nứt 𝛾10= 𝐸0𝐴 𝑇⁄ , 𝛾20= 𝐸0𝐼 𝑅⁄ Độ lớn vết nứt của dầm đồng chất
[𝐓(𝑥1, 𝑥2)] Ký hiệu ma trận truyền
Hệ số Poisson
Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt
𝜃(𝑥, 𝑡) Góc xoay của tiết diện ngang
, t, b, 0 = (t + b)/2 Mật độ khối của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dưới)
𝜔𝑗, 𝜔̄𝑗 = 𝜔𝑗/𝜔𝑗0 Tần số riêng và tần số riêng chuẩn hóa (tỷ số giữa tần số của dầm bị nứt và tần số riêng của dầm nguyên vẹn).
CC-beam (CCB) Ký hiệu dầm ngàm hai đầu CF-beam (CFB) Ký hiệu dầm công xôn
DSM Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method)
e, a Vị trí và độ sâu vết nứt.
𝐸, 𝐸𝑏, 𝐸𝑡
𝐸0 = (𝐸𝑏+ 𝐸𝑡) 2⁄
Mô đun đàn hồi của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dưới).
E-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element
Method).
FGM Vật liệu cơ tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material).
𝐺 = 𝐸
2(1+𝑣), 𝐺, 𝐺𝑏, 𝐺𝑡 Mô đun trượt tính từ mô đun đàn hồi của các pha vật liệu
ℎ0, ℎ̄0 =ℎ0
ℎ = 𝑛(𝑅1−1)
2(𝑛+2)(𝑛+𝑅1)
Vị trí trục trung hòa tính từ trục giữa của dầm
𝑘𝑖 Số sóng
L, b, h Chiều dài, chiều rộng, và chiều cao của dầm
Ký hiệu Nguyên nghĩa
n Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy thừa)
𝑁(𝑥, 𝑡), 𝑀(𝑥, 𝑡), 𝑄(𝑥, 𝑡) Lực dọc trục, mô men uốn và lực cắt của mặt cắt tại vị trí x
P-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa 𝑟 = 𝑅𝑒⁄𝑅𝜌 Hệ số tỷ lệ của vật liệu
𝑅𝜌 = 𝜌𝑡⁄𝜌𝑏 Tỷ số mật độ khối của các pha vật liệu (trên/dưới) 𝑅𝑒 = 𝐸𝑡⁄𝐸𝑏 Tỷ số mô đun đàn hồi của các pha vật liệu (trên/dưới) S-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid SS-beam (SSB) Ký hiệu dầm tựa đơn hai đầu
T, R Là độ cứng lò xo dọc trục và lò xo xoắn mô tả vết nứt TMM Phương pháp ma trận truyền (Transfer Matrix Method) 𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔), Θ(𝑥,) Biến đổi Fourrie (biên độ phức) của chuyển vị dọc
trục, độ võng và góc xoay
𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑡) Chuyển vị của điểm nằm trên mặt trung hòa
𝜆𝑗 Nghiệm của phương trình đặc trưng
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2.1. Tần số của dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) khi vị trí gối cứng thay đổi ... 24 Bảng 2.2. Tần số của dầm ba nhịp khi vị trí gối cứng thay đổi ... 25 Bảng 4.1. So sánh tần số tính bằng phương pháp ma trận truyền (TMM) và phương pháp độ cứng động (DSM) trong các trường hợp ℓ/h =5;10 và các giá trị khác nhau của chỉ số n. ... 66 Bảng 4.2. Tần số riêng của dầm FGM một, hai và ba nhịp phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu n ... 82 Bảng 4.3. Ảnh hưởng của số lượng và phân bố vết nứt đến tần số riêng của dầm ba nhịp. ... 91
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều
dày ... 5
Hình 2.1. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian đến tần số riêng của dầm hai nhịp trong hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam. ... 26
Hình 3.1. Mô hình vết cưa... 29
Hình 3.2. Mô hình vết nứt ... 29
Hình 3.3. Mô hình vết nứt cạnh ... 30
Hình 3.4. Mô hình dầm có nhiều vết nứt ... 32
Hình 3.5. Mô hình dầm liên tục có vết nứt ... 36
Hình 3.6. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ... 41
của dầm đồng nhất hai nhịp tựa đơn hai đầu ... 41
Hình 3.7. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ... 42
của dầm đồng nhất hai nhịp ngàm hai đầu ... 42
Hình 3.8. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ... 43
của dầm công xôn đồng nhất hai nhịp ... 43
Hình 3.9. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian và vết nứt đến ba tần số đầu tiên 45 của dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu ... 45
Hình 3.10. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian ... 47
của dầm hai nhịp ngàm hai đầu ... 47
Hình 3.11. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian ... 48
của dầm công xôn hai nhịp ... 48
Hình 3.12. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ... 51
của dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu ... 51
Hình 3.13. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ... 52
của dầm ba nhịp ngàm hai đầu ... 52
Hình 3.14. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ... 54
của dầm công xôn ba nhịp ... 54
Hình 4.1. Mô hình của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt ... 55
Hình 4.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM ... 58
Hình 4.3. So sánh tần số cơ bản của dầm FGM có vết nứt tính được bằng các phương pháp TMM, DSM và p-FEM; a – dầm tựa đơn hai đầu; b – dầm ngàm hai đầu ... 68
Hình 4.4. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị ... 70
tỷ số mô đun đàn hồi khác nhau. ... 70
Hình 4.5 Vị trí trục trung hòa (tính từ trục giữa dầm) phụ thuộc vào tỷ số ... 71
đàn hồi với các giá trị khác nhau của chỉ số n. a) Re<1; b) Re>1. ... 71
Hình 4.6. Hệ số tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn, 𝐼12, phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi và hệ số tỷ lệ thể tích n, Ro=1, a) Re<1; b) Re >1 ... 73
Hình 4.7. Ảnh hưởng của trục trung hòa đến tần số riêng của dầm FGM ... 74
Hình 4.8. Ảnh hưởng của hệ số tương tác dao động đến tần số riêng của dầm FGM ... 74
Hình 4.9. Ảnh hưởng của tỷ số mô đun đàn hồi đến tần số riêng của dầm FGM 75 Hình 4.10. Ảnh hưởng của tỷ số mật độ khối đến tần số riêng của dầm FGM ... 75
Hình 4.11. Ảnh hưởng của độ mảnh đến trật tự sắp xếp các dạng dao động ... 77
Hình 4.12. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ nhất của dầm FGM tựa đơn hai đầu ... 79
Hình 4.13. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ hai của dầm FGM tựa đơn hai đầu ... 80
Hình 4.14. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) ... 81 và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ ba của dầm FGM tựa đơn hai đầu. 81
Hình 4.15. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) ... 85
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ... 85
của độ sâu vết nứt (a/h) ... 85
Hình 4.16. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) ... 86
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ... 86
về chỉ số phân bố vật liệu (n). ... 86
Hình 4.17. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ... 88
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ... 88
của độ sâu vết nứt (a/h) ... 88
Hình 4.18. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ... 89
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ... 89
của chỉ số phân bố vật liệu (n). ... 89
Hình 4.19. Tần số dao động dọc trục của dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc vào độ sâu vết nứt (a) và chỉ số phân bố vật liệu n (b). ... 90
MỞ ĐẦU
Đầu những năm 80 thế kỷ trước, trong khi nghiên cứu vật liệu composite lớp (laminated composite) một nhà khoa học Nhật Bản đã sáng chế ra một loại vật liệu composite mới gọi là vật liệu cơ lý tính biến thiên theo quy luật hàm số liên tục (Functionally Graded Material - FGM). Vật liệu mới này đã đem lại nhiều ưu thế nổi trội. Cụ thể là do sự biến đổi các tính chất một cách liên tục nên tránh được sự tập trung ứng suất và sự bong tách giữa các lớp vật liệu khác nhau.
Đặc biệt sự pha trộn liên tục các vật liệu khác nhau cho phép ta phát huy các ưu điểm của từng loại vật liệu. Ví dụ, sự pha trộn giữa thép và gốm tạo nên một vật liệu dai như thép nhưng lại cứng và chịu nhiệt tốt như gốm, v.v… Sự ra đời của loại vật liệu FGM đã đặt ra nhiều bài toán cho các nhà cơ học, ví dụ, các bài toán dao động của kết cấu dầm, tấm hay vỏ làm bằng FGM. Cơ sở để mô hình hóa vật liệu và kết cấu FGM đã được trình bày bởi Birman và Byrd [11] và các bài toán dao động của dầm FGM được nghiên cứu trong nhiều công trình, ví dụ như [14, 19, 33, 37, 57, 58]. Ở đây những vấn đề cơ bản của dao động riêng, dao động cưỡng bức, thậm chí là dao động phi tuyến của dầm FGM đã được giải quyết khá trọn vẹn. Gần đây, mô hình vết nứt trong dầm FGM và dao động của các dầm FGM chứa các vết nứt đã được quan tâm nghiên cứu cả lý thuyết lẫn ứng dụng [8]. Các phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Rayleigh-Ritz hay phương pháp độ cứng động đều đã được phát triển để nghiên cứu kết cấu dầm FGM.
Nhưng bài toán dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chứa vết nứt vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu, mặc dù bài toán dao động của dầm đồng nhất liên tục nhiều nhịp đã được nghiên cứu khá chi tiết. Vì vậy, vấn đề đặt ra là nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt.
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động của dầm liên tục (đồng nhất và FGM) có vết nứt làm cơ sở để chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng phương pháp rung động.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là dầm Timoshenko có nhiều gối cứng và chứa các vết nứt. Dầm được giả thiết là có tiết diện đều, làm từ vật liệu FGM với quy luật biến đổi theo hàm lũy thừa. Vết nứt được giả thiết là luôn mở (vết nứt cạnh), không phát triển và có thể mô tả bằng hai lò xo dọc trục và xoắn với độ cứng tính được từ độ sâu của vết nứt theo lý thuyết cơ học phá hủy.
Phương pháp nghiên cứu là phương pháp ma trận truyền (giải tích) được minh họa bằng các kết quả số nhận được nhờ Matlab.
Nội dung và bố cục của luận án bao gồm:
Chương 1 tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm liên tục đồng nhất có gối cứng; dầm đồng nhất có vết nứt; mô hình dầm FGM và dao động của dầm đơn FGM có vết nứt để từ đó rút ra vấn đề nghiên cứu cho luận án.
Chương 2 trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp ma trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao động riêng của dầm liên tục đồng nhất.
Chương 3 trình bày mô hình dầm liên tục đồng nhất có vết nứt; sự phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục đồng nhất có vết nứt và nghiên cứu ảnh hưởng của gối cứng và vết nứt đến tần số riêng của dầm đồng nhất liên tục.
Chương 4 trình bày mô hình dầm FGM có vết nứt; thiết lập các phương trình cơ bản của dầm FGM, lời giải tổng quát bài toán dao động của dầm FGM có vết nứt trong miền tần số. Áp dụng phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu ảnh hưởng của gối cứng trung gian đến tần số của dầm FGM có vết nứt.
Kết luận trình bày các kết quả chính của luận án như sau: (a) Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động của FGM liên tục, nhiều nhịp có vết nứt tránh được thuật toán xác định phản lực tại các gối trung gian như trong phương pháp ma trận truyền cổ điển; (b) Đã nghiên cứu ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm đồng nhất có vết nứt và phát hiện ra rằng gối cứng trung gian làm xuất hiện một số tần số không phụ thuộc vào điều kiện biên, được gọi là tần số gối; (c) Đã nghiên cứu ảnh hưởng của gối trung
gian, vị trí và độ sâu vết nứt, các tham số vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm FGM liên tục có vết nứt.
Tài liệu tham khảo bao gồm 70 tài liệu đã được trích dẫn trong luận án.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 5 công trình nghiên cứu, trong đó 01 trên tạp chí ISI, 01 bài trên Tạp chí Cơ học; 01 bài trong tuyển tập Hội nghị khoa học quốc tế và 02 bài trong Tuyển tập Hội nghị khoa học quốc gia.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng
Vật liệu Composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới như: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ô tô, cơ khí, xây dựng, đồ gia dụng... do có nhiều ưu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ, độ bền, mô đun đàn hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt. Vật liệu Composite là loại vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều pha vật liệu khác nhau, có tính chất rất khác nhau. Vật liệu composite lớp là loại được sử dụng phổ biến, những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính cơ học. Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây tách lớp. Một trong những giải pháp khắc phục nhược điểm này của vật liệu composite lớp là sử dụng vật liệu có cơ tính biến thiên - Functionally Graded Materials (FGMs).
Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp trong các loại composite lớp. Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư; Vật liệu FGM là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al…) phân bố trong môi trường vật liệu theo một trật tự nhất định.
Đặc biệt, trong một số trường hợp bề mặt chịu nhiệt độ cao như bề mặt của tàu không gian – máy bay ước tính có thể đạt tới 2100 K. Do đó, vật liệu ở bề mặt phải chịu được nhiệt độ cao tới 2100 K và sự chênh lệch nhiệt độ có thể lên tới 1600 K, trong trường hợp này thường sử dụng các vật liệu gốm chịu nhiệt ở bề mặt nhiệt độ cao và các loại thép có độ bền cao với độ dẫn nhiệt cao ở bề mặt có nhiệt độ thấp tạo ra sự biến thiên dần dần từ gốm tới kim loại. Do đó FGMs là loại vật liệu được bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất, các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ
các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu FGMs dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động.
Tuỳ thuộc vào quy luật phân bố các maxel trong không gian khối vật liệu, ta chế tạo được các loại vật liệu FGM khác nhau. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ tiêu cơ-lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu (hàm đặc trưng) xác định, giá trị của hàm thay đổi theo chiều dày. Sử dụng quy luật toán học của hàm thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu. Xét một tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu FGM như hình vẽ.
Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều dày Hàm đặc trưng cho các đặc trưng vật liệu của tấm được biểu diễn như sau [11]:
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑏+ (𝑉𝑡 − 𝑉𝑏)𝑔(𝑧) (1.1)
Trong đó 𝑉(𝑧) biểu diễn các đại lượng E, G, và các chỉ số dưới b và t ký hiệu các pha vật liệu khác nhau (b – vật liệu ở mặt dưới và t – vật liệu ở mặt trên). Hàm 𝑔(𝑧) mô tả tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu khác nhau được sử dụng để phân loại các vật liệu FGM như sau. Hiện tại người ta phân biệt 3 loại cơ bản sau đây:
a) Loại P-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa:
𝑔(𝑧) = (ℎ 2⁄ +𝑧
ℎ )𝑛 (1.2)
trong đó: n là chỉ số phân bố vật liệu, không âm:
z là toạ độ điểm nghiên cứu: −ℎ 2⁄ ≤ 𝑧 ≤ ℎ 2⁄ Vật liệu FGM
E = E(z), G = G(z), = (z)
x
y z h/2 h/2
b) Loại S-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid (sử dụng 2 quy luật hàm mũ cho 2 miền):
𝑔1(𝑧) = 1 − 1
2(ℎ 2⁄ −𝑧
ℎ 2⁄ )𝑛 với 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ 2⁄ (1.3) 𝑔2(𝑧) =1
2(ℎ 2⁄ +𝑧
ℎ 2⁄ )𝑛 với −ℎ 2⁄ ≤ 𝑧 ≤ 0 (1.4) c) Loại E-FGM
Mô đun đàn hồi của loại vật liệu FGM này được giả thiết tuân theo quy luật hàm số mũ [42] (hàm e mũ):
𝐸 (𝑧) = 𝐸𝑡𝑒−𝛿(1−2𝑧 ℎ⁄ ), 𝛿 = 1
2 ln𝐸𝑡
𝐸𝑏 (1.5) Vật liệu FGM có thể được ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực vật liệu.
Ví dụ như các hệ thống giao thông, các hệ thống biến đổi năng lượng, dụng cụ cắt, bộ phận máy móc, chất bán dẫn, quang học và các hệ thống sinh học. Các ứng dụng trong ngành hàng không vũ trụ, năng lượng hạt nhân yêu cầu độ tin cậy cao trong khi đó trong các ứng dụng khác như các dụng cụ cắt, các trục cán nhiệt độ cao và các chi tiết máy lại yêu cầu về độ mài mòn, nhiệt, va chạm, và độ ăn mòn.
1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian)
Dầm liên tục nhiều nhịp là một mô hình kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật cầu và cơ khí chế tạo. Phân tích động lực học kết cấu dạng này là rất quan trọng và đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu. Bài toán cơ bản của động lực học dầm liên tục nhiều nhịp là bài toán tính toán tần số và dạng dao động riêng. Việc nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí và số lượng gối trung gian đến tần số dao động riêng của dầm liên tục nhiều nhịp đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế tối ưu kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp. Hơn nữa chính tần số riêng và dạng dao động riêng là cơ sở để giải bài toán dao động cưỡng bức dưới tác dụng của các tải trọng khác nhau. Vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu dầm liên tục nhiều nhịp là mô phỏng xử lý các gối cứng trung gian. Lúc đầu, người ta coi đó là các gối đàn hồi với độ cứng rất lớn [41-42]. Sau đó, bài toán dao động của
dầm liên trục với gối cứng trung gian được giải quyết bằng phương pháp Rayleigh-Ritz [70] sử dụng các hàm thử là đường cong biến dạng tĩnh. Saeedi và Bhat [52] lại giải quyết bài toán bằng cách giải phóng gối cứng và thay bằng một lực tập trung tại các gối, lúc này ta được bài toán dao động của dầm với các lực tập trung tại các gối. Các lực tập trung (thực chất là phản lực của gối) được tính từ điều kiện chuyển vị triệt tiêu tại các gối. Zheng [68] lại có cách tiếp cận riêng:
ông ta tìm dạng dao động của dầm liên tục có gối cứng trung gian bằng tổng của dạng dao động riêng của dầm tự do (không có gối trung gian) với một đa thức bậc 3 (biến dạng tĩnh) với các hệ số được tính từ điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối. Đây hiển nhiên là dạng riêng gần đúng được tác giả sử dụng để nghiên cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của lực di động.
Ichikawa và cộng sự [26] đã xây dựng được dạng riêng chính xác cho dầm liên tục nhiều nhịp gối tựa hai đầu và đã sử dụng để nghiên cứu đáp ứng của dầm liên tục nhiều nhịp dưới tác dụng của khối lượng di động. Các tác giả của các công bố [60, 64, 65] đã nghiên cứu dầm Timoshenko liên tục nhiều nhịp với nhiều hệ lò xo – khối lượng tập trung. Henchi và cộng sự [25] và Azizi [9] đã phát triển phương pháp độ cứng động hay còn gọi là phương pháp phần tử phổ để nghiên cứu dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng di động. Gần đây, Liu và cộng sự [43] đã nghiên cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp có vết nứt dựa trên phương pháp ma trận truyền có kể đến chuyển vị bằng 0 tại các gối trung gian. Tuy nhiên, ở công trình cuối tác giả vẫn sử dụng ma trận truyền qua cả gối và vết nứt, do đó ma trận truyền sẽ rất phức tạp đòi hỏi khối lượng tính toán nhiều nếu trong một nhịp có nhiều vết nứt. Hơn nữa các tác giả cuối chưa nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến các tần số riêng và ảnh hưởng của vị trí gối trung gian đến tần số của dầm liên tục có vết nứt.
1.3. Dao động của dầm có vết nứt 1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt
Hư hỏng của kết cấu được hiểu là sự thay đổi các tính chất vật lý (vật liệu, liên kết, …) và hình học (kích thước, hình dáng, …) của kết cấu so với trạng thái
ban đầu được gọi là kết cấu nguyên vẹn. Hư hỏng kết cấu nói chung được mô tả bởi hai tham số: vị trí và mức độ hư hỏng. Ví dụ, vết nứt là dạng hư hỏng điển hình của kết cấu, được đặc trưng bởi hai tham số là vị trí và kích thước của nó.
Bài toán cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi Adams và các cộng sự [6], ở đó ông đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyết tật (suy giảm độ cứng cục bộ) được mô tả bằng một lò xo dọc trục và xây dựng được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số riêng. Liang cùng với cộng sự [38] đã phỏng đoán dạng tổng quát của phương trình tần số cho dầm đàn hồi có vết nứt được mô tả bằng một lò xo xoắn với độ cứng tính được từ độ sâu vết nứt. Morassi [45] thiết lập được phương trình nhiễu cho tần số riêng của dầm có một vết nứt có độ cứng thay đổi. Narkis [46] tìm được nghiệm giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu đo hai tần số riêng trong trường hợp điều kiện biên gối tựa đơn. Nguyễn Tiến Khiêm và Đào Như Mai [47] đã nghiên cứu chi tiết sự thay đổi của tần số phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong các trường hợp điều kiện biên khác nhau. Nói chung trong trường hợp dầm có một vết nứt, việc chẩn đoán vết nứt được tiến hành chủ yếu sử dụng số liệu đo của tần số riêng và bài toán đã được nghiên cứu giải quyết trên nhiều phương diện khác nhau.
Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi số lượng vết nứt tăng lên, đặc biệt với số lượng vết nứt chưa biết. Bằng phương pháp cổ điển Ostachowicz và Krawczuk [50] thiết lập được phương trình tần số của dầm có hai vết nứt ở dạng định thức cấp 12×12 và sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của các vết nứt khác nhau đến tần số của dầm. Nếu vẫn sử dụng phương pháp truyền thống nêu trên, phương trình tần số của dầm có n vết nứt đòi hỏi phải tính định thức cấp 4(n+1), một công việc tốn rất nhiều thời gian và tích lũy sai số tính toán lớn. Shifrin và Ruotolo [55], biểu diễn vết nứt như sự thay đổi cục bộ độ cứng của dầm được mô tả bằng hàm Delta Dirac và nhận được phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng định thức cấp (n+4) (nghĩa là nếu dầm có 2 vết nứt thì chỉ cần tính
định thức cấp 6×6). Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên [29] sử dụng phương pháp ma trận truyền để thiết lập phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng định thức cấp 4×4. Điều này giảm đáng kể khối lượng tính toán khi phân tích tần số riêng của dầm có nhiều vết nứt. Cademi và Calio [12] đã xây dựng được biểu thức nghiệm tổng quát chính xác cho bài toán dao dộng riêng của dầm có nhiều vết nứt. Tuy nhiên biểu thức nghiệm tổng quát này vẫn chứa hàm suy rộng Delta Dirac nên khó sử dụng để tính toán số. Gần đây, Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự [1, 32] đã xây dựng được biểu thức nghiệm tổng quát cho bài toán dao động riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt, đơn giản và thuận tiện hơn nhiều lời giải của Cademi và Calio. Đặc biệt là có thể sử dụng như hàm dạng để áp dụng phương pháp ma trận truyền hay phương pháp phần tử liên tục.
1.3.2. Dầm FGM có vết nứt
Cơ sở khoa học cho việc mô phỏng, tính toán kết cấu FGM đã được trình bày trong [11, 24]. Các phương pháp phân tích động lực học kết cấu FGM đã được phát triển trong các công bố [13, 14, 19, 36, 37, 56, 57, 58, 59, 69]. Gần đây, do nhu cầu của thực tế, các vấn đề về vết nứt trong kết cấu composite nói chung và kết cấu FGM nói riêng đã được quan tâm nghiên cứu. Cơ sở khoa học cho các nghiên cứu này đã được trình bày trong các tài liệu [20, 22, 27]. Những kết quả nghiên cứu này đã chỉ ra rằng vết nứt cạnh, mở trong phần tử dầm FGM có thể được mô tả bằng các lò xo tương đương với các độ cứng được tính theo lý thuyết phá hủy của FGM tại mặt cắt chứa vết nứt. Dựa trên cơ sở này, các phương pháp truyền thống trong nghiên cứu dao động, ổn định của dầm FGM có vết nứt đã được phát triển và đã đạt được những kết quả cơ bản như sau. Yang và Chen [63] đã tính được các tần số riêng của dầm Euler-Bernoulli làm từ vật liệu dạng E-FGM bằng phương pháp giải tích truyền thống và chỉ ra rằng tần số của dầm FGM sẽ nhạy cảm với vết nứt hơn khi mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt đáy nhỏ hơn mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt trên. Các tác giả của công bố [28] đã nghiên cứu dầm Timoshenko có vết nứt và đã cho thấy rằng tần số riêng
của dầm FGM sẽ nhạy cảm hơn với vết nứt khi độ mảnh (L/h) của dầm giảm.
Aydin [8] đã nhận được phương trình tần số của dầm FGM có số lượng vết nứt bất kỳ ở dạng định thức cấp 3 và đã chứng tỏ rằng tồn tại trên dầm FGM những vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi một tần số nào đó. Các điểm này, tương tự như trong dầm đồng nhất được gọi là các điểm nút tần số. Matbuly và cộng sự [44] đã phát triển phương pháp cầu phương vi phân (differential quadrature method) để nghiên cứu dao động của dầm FGM Timoshenko và đã phát hiện ra sự thay đổi đột ngột của dạng dao động riêng tại vị trí vết nứt, một dấu hiệu quan trọng để chẩn đoán vết nứt bằng dao động. Sherafatnia và cộng sự [54] đã nghiên cứu dầm FGM có vết nứt sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau và đã chỉ ra rằng lý thuyết dầm Timoshenko cho kết quả phù hợp với thực nghiệm hơn các lý thuyết dầm khác. Nếu các kết quả nghiên cứu trên nhận được bằng phương pháp giải tích, thì Gan và các cộng sự [21, 35] đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chịu tải trọng di động. Akbas [7] đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM Euler-Bernoulli và Banerjee và cộng sự [10]
cho dầm FGM Timoshenko có vết nứt.
1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu
Yu và Chu [66] đã cho thấy việc sử dụng các hàm dạng bậc cao, gọi là phiên bản p (p-version) của phương pháp phần tử hữu hạn, có thể nâng cao độ chính xác trong việc tính toán tần số riêng của dầm FGM có vết nứt. Tuy nhiên, dù có thể cải thiện đến mức độ nào thì việc sử dụng các đa thức làm hàm dạng như trong phương pháp phần tử hữu hạn vẫn không thể đạt được kết quả giống như giải tích. Điều này chỉ có thể đạt được bằng phương pháp độ cứng động (DSM), ở đó các hàm dạng là nghiệm đúng của bài toán dao động riêng, phụ thuộc vào tần số dao động riêng của kết cấu. Phương pháp độ cứng động đã được phát triển cho dầm FGM bởi Azizi và cộng sự [9]; Su và Banerjee [59] và gần đây đã được phát triển bởi Trần Văn Liên và cộng sự [40-41] để nghiên cứu dầm
FGM có vết nứt. Mặc dù đã cải thiện được độ chính xác và số lượng các tần số có thể tính được với số lượng bậc tự do tối thiểu so với phương pháp phần tử hữu hạn, kích thước của ma trận độ cứng động vẫn lớn khi áp dụng cho dầm liên tục có nhiều gối trung gian. Trong trường hợp này, phương pháp ma trận truyền lại tỏ ra rất hữu hiệu, bởi vì nó cho phép ta bỏ qua các bậc tự do ở các nút trung gian bằng việc tính ma trận truyền từ nút đầu đến nút cuối. Như vậy, ta chỉ cần đến các bậc tự do ở nút đầu và nút cuối và do đó ma trận tính toán chỉ có kích thước tối thiểu (thường là 2x2). Ý tưởng này đã được phát triển trong [29] để tính tần số riêng của dầm đồng nhất có số lượng vết nứt bất kỳ. Phương pháp ma trận truyền cổ điển đã được phát triển cho dầm FGM không nứt (nguyên vẹn) bởi Lee và Lee [36] và cho dầm FGM có vết nứt trong [54, 61]. Các tác giả cuối đã khẳng định rằng độ mảnh của dầm và mô đun đàn hồi ảnh hưởng nhiều hơn đến dao động riêng của dầm FGM so với sự xuất hiện vết nứt.
Dựa trên những phân tích nêu trên, phương pháp ma trận truyền đã được phát triển trong luận án này để nghiên cứu dầm liên tục đồng nhất và FGM có vết nứt.
Nội dung chính của luận án được trình bày trong 4 Chương:
Chương một tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm đồng nhất và dầm FGM có vết nứt và đặt vấn đề nghiên cứu.
Chương hai trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp ma trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao động riêng của dầm liên tục đồng nhất.
Chương ba nghiên cứu dao động của dầm liên tục đồng nhất có vết nứt.
Ảnh hưởng của gối trung gian và vị trí vết nứt đến tần số dao động riêng của dầm liên tục đồng nhất.
Chương bốn nghiên cứu dao động của dầm liên tục FGM có vết nứt sử dụng phương pháp ma trận truyền cải biên.
Những điểm mới về phương pháp và nội dung nghiên cứu trong luận án này so với các công trình nghiên cứu đã công bố như sau:
(1) Thứ nhất, đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động của dầm đồng nhất và dầm FGM liên tục có vết nứt, tránh được việc tính toán phản lực chưa biết tại các gối cứng.
(2) Thứ hai, đã áp dụng hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt, dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, sử dụng mô hình hai lò xo (dọc trục và quay) và có tính đến vị trí thực của trục trung hòa của dầm FGM để phát triển phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục có nhiều vết nứt.
(3) Thứ ba, đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí gối trung gian, các tham số vết nứt và các đặc trưng vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm hai và ba nhịp. Đặc biệt là phát hiện ra các tần số giống nhau cho các trường hợp điều kiện biên khác nhau, đặc trưng cho sự có mặt của các gối trung gian, do đó các tần số này được gọi là các tần số gối.
Kết luận chương 1
Trong Chương này đã trình bày tổng quan và những kiến thức cơ bản về:
Vật liệu FGM và dao động của dầm FGM; những nghiên cứu cổ điển về dao động của dầm đồng nhất liên tục; mô hình và dao động của dầm có vết nứt làm cơ sở để đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục có vết nứt.
Ngoài ra, ở đây cũng chỉ ra rằng để tính toán tần số riêng của dầm liên tục đồng nhất hay FGM, phương pháp ma trận truyền là công cụ tốt nhất, kể cả so với phương pháp độ cứng động lực. Bởi vì, thứ nhất, phương pháp ma trận truyền là một phương pháp chính xác và thứ hai, phương pháp ma trận truyền cho phép ta nhận được phương trình tần số ở dạng định thức cấp 2, tính được bằng giải tích.
Tuy nhiên, phương pháp ma trận truyền cổ điển áp dụng cho dầm liên tục vẫn bị hạn chế bởi sự cần thiết phải tính phản lực gối. Do đó, vấn đề đặt ra cho luận án là phát triển phương pháp ma trận truyền để tính toán dao động của dầm liên tục có vết nứt, không cần phải tính phản lực tại các gối trung gian.
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN
Trong Chương này tác giả trình bày nội dung chính của phương pháp ma trận truyền cổ điển áp dụng để tính toán tần số riêng của dầm liên tục đồng nhất với một hạn chế là cần đến một thuật toán xác định phản lực gối trung gian trước khi tính toán tần số dao động riêng. Từ đó đề xuất một cải tiến phương pháp ma trận truyền để tránh việc tính toán phản lực gối. Ý tưởng của sự cải tiến này là sử dụng điều kiện độ võng bằng 0 tại các gối để khử hai trong bốn hằng số chưa biết của hàm dạng dao động. Do đó chỉ cần sử dụng hai điều kiện liên tục của góc xoay và mô men uốn tại gối để thiết lập mối liên hệ giữa góc xoay và mô men uốn của hai nhịp liền kề phục vụ việc xây dựng ma trận truyền tổng thể cho dầm liên tục. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên này bao gồm các bước chính như sau: một là xác định hàm dạng dao động tổng quát của một đoạn dầm giữa hai gối liền nhau; hai là sử dụng điều kiện đã biết tại gối khử hai hằng số chưa biết để nhận được hàm dạng dao động chỉ chứa hai hằng số chưa biết và ba là sử dụng hàm dạng dao động rút gọn để thiết lập ma trận truyền giữa các nhịp của dầm liên tục.
2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền
Phương pháp ma trận truyền [4-5] là một công cụ được sáng chế ra lúc đầu để nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng, sóng điện từ hay sóng âm. Tuy nhiên sau này nó được áp dụng rộng rãi trong phân tích các hệ thống động lực học nói chung và kết cấu công trình nói riêng. Đây là một phương pháp chính xác để tính toán các đặc trưng động lực học kết cấu công trình. Cơ sở khoa học của phương pháp như sau:
+ Trước tiên ta đưa vào một véc tơ trạng thái {𝑺} mô tả trạng thái làm việc của một đối tượng tại một vị trí trong kết cấu hoặc một thời điểm cụ thể.
+ Sau đó bằng các lý thuyết đã có về đối tượng, xây dựng mối liên hệ giữa hai trạng thái bất kỳ khác nhau {𝑺(𝒏)}, {𝑺(𝒏 + 𝟏)} của đối tượng, nói chung được mô tả bằng một phương trình đại số tuyến tính
{𝑺(𝒏 + 𝟏)} = [𝐓(𝒏)]{𝑺(𝒏)} (2.1)
trong đó [𝐓] là một ma trận.
+ Sử dụng mối quan hệ này và các trạng thái đầu và cuối, ví dụ {𝑺(𝟎)}, {𝑺(𝑵)}, thiết lập mối liên hệ
{𝑺(𝑵)} = [𝐓(𝑵) … . 𝐓(𝟏)]{𝑺(𝟎)} = [𝐓]{𝑺(𝟎)} (2.2) + Cùng với điều kiện biên hoặc điều kiện đầu, từ mối liên hệ (2.2) ta nhận được các phương trình để giải bài toán đặt ra.
Dễ dàng nhận thấy, để thiết lập được hệ phương trình cơ bản (2.2) nêu trên chúng ta cần: (a) một lưới chia đối tượng thành các điểm nút và xác định véc tơ trạng thái tại các điểm nút; (b) sự lan truyền trạng thái từ nút này sang nút kia phải đủ đơn giản để có thể thiết lập được mối quan hệ tuyến tính (2.1). Ý tưởng đơn giản này của phương pháp ma trận truyền cũng là những ý tưởng chủ đạo của các phương pháp hiện đại khác trong phân tích kết cấu, ví dụ phương pháp phần tử hữu hạn.
2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển
Xét một dầm Euler-Bernoulli có các tham số vật liệu và hình học như sau: E, G, ρ lần lượt là mô đun đàn hồi Young, mô đun trượt, mật độ khối và L, A, I là chiều dài, diện tích mặt cắt ngang và mô men quán tích của mặt cắt ngang. Dao động uốn của dầm được mô tả bằng phương trình
𝜌𝐴𝜕2𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 + 𝐸𝐼𝜕4𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥4 = 0. (2.3) Tìm nghiệm phương trình (2.3) ở dạng 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡, khi đó ta nhận được phương trình
𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = 0, 𝜆4 = (𝜔/𝑎)2, 𝑎 = √𝐸𝐼/𝜌𝐴 (2.4) Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) có dạng
𝑊(𝑥) = 𝐶1cosh𝜆𝑥 + 𝐶2sinh𝜆𝑥 + 𝐶3cos𝜆𝑥 + 𝐶4sin𝜆𝑥 (2.5) với các hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4. Trong trường hợp này véc tơ trạng thái tại mặt cắt x được xác định bằng (độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt)
{𝐒(𝑥)} = {𝑊(𝑥), 𝑊′(𝑥), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥)}𝑇
Do đó, ta có
{𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇, (2.6) trong đó ma trận
[𝚽(𝑥)] = [
cosh𝜆𝑥 sinh𝜆𝑥 𝜆sinh𝜆𝑥 𝜆cosh𝜆𝑥
cos𝜆𝑥 sin𝜆𝑥
−𝜆sin𝜆𝑥 𝜆cos𝜆𝑥 𝜆2cosh𝜆𝑥 𝜆2sinh𝜆𝑥
𝜆3sinh𝜆𝑥 𝜆3cosh𝜆𝑥
−𝜆2cos𝜆𝑥 −𝜆2sin𝜆𝑥 𝜆3sin𝜆𝑥 −𝜆3cos𝜆𝑥
] (2.7) Đưa vào ký hiệu trạng thái tại mặt cắt 𝑥1 là:
{𝐒𝟏} = {𝐒(𝑥1)} = {𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1)}𝑇 Khi đó ta có
{𝐒𝟏} = [𝚽(𝑥1)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇 hay
{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇 = [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} Thay biểu thức cuối này vào (2.6) ta được
{𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)] ∙ [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} (2.8) Do vậy, véc tơ trạng thái ở mặt cắt 𝑥2
{𝐒𝟐} = {𝐒(𝑥2)} = {𝑊(𝑥2), 𝑊′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥2)}𝑇 sẽ tính được bằng
{𝐒𝟐} = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} = [𝐓]{𝐒𝟏} (2.9) Như vậy, trong trường hợp dao động uốn ma trận truyền được xác định bằng
[𝐓] = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1, (2.10) trong đó ma trận [𝚽(𝑥)] được xác định bằng công thức (2.7).
Đối với dầm liên tục nhiều nhịp, hay còn gọi là dầm liên tục có gối trung gian, do sự gián đoạn của lực cắt tại các gối, không có điều kiện liên tục của véc tơ trạng thái tại gối, nên không thể thiết lập được mối liên hệ (2.10). Khi đó chúng ta phải tiến hành như sau: Giả sử dầm có gối trung gian tại vị trí 𝑥1và chia dầm thành hai đoạn (𝑥0, 𝑥1), (𝑥1, 𝑥2). Lúc này ta phải phân biệt véc tơ trạng thái ở cuối đoạn dầm thứ nhất (𝑥1−) với véc tơ trạng thái ở đầu đoạn dầm thứ hai (𝑥1+), được ký hiệu lần lượt là:
𝑆1− = {𝑊(𝑥1−), 𝑊′(𝑥1−), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1−), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1−)}𝑇; 𝑆1+ = {𝑊(𝑥1+), 𝑊′(𝑥1+), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1+), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1+)}𝑇 với điều kiện
𝑊(𝑥1−) = 𝑊(𝑥1+) = 𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1−) = 𝑊′(𝑥1+) = 𝑊′(𝑥1),
𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1−) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1+) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1−) + ∆𝑄1 = 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1+), trong đó ∆𝑄1 là phản lực tại gối chưa biết. Như vậy, ta có
{𝑆1+} = {𝑆1−} + ∆𝑄1{𝐼4}; {𝐼4} = {0,0,0,1}𝑇; {𝑆1−} = [𝐓1]{𝑆0+}; {𝑆2−} = [𝐓2]{𝑆1+}
và do đó
{𝑆2−} = [𝐓2][𝐓1]{𝑆0+} + ∆𝑄1[𝐓2]{𝐼4} = [𝐓]{𝑆0+} + ∆𝑄1{𝐸4(2)} (2.11) với
{𝐸4(2)} = {𝑇14(2), 𝑇24(2), 𝑇34(2), 𝑇44(2)}𝑇
là một véc tơ bao gồm các thành phần 𝑇𝑗𝑘(2) là phần tử của ma trận đã biết [𝐓2].
Rõ ràng là bốn hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 của đoạn dầm sau được biểu diễn qua các hằng số này của đoạn trước và tại mỗi gối trung gian xuất hiện thêm một ẩn số là phản lực tại gối. Do vậy, nếu dầm có n gối trung gian thì tổng cộng ta có 𝑛 + 4 ẩn 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, ∆𝑄1, … , ∆𝑄𝑛, chúng được xác định từ 4 điều kiện biên cùng với n điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối
𝑊(𝑥𝑗) = 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛. (2.12)
Như vậy, khi áp dụng phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục số chiều của bài toán tăng lên đúng bằng số lượng gối trung gian. Để giảm số chiều của bài toán về 4 ẩn, người ta phải xây dựng thêm thuật toán xác định các phản lực gối từ các điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối. Dưới đây trình bày một phương pháp xác định phản lực gối từ điều kiện chuyển vị tại các gối bằng 0.
Giải phóng các gối và thay bằng một lực tác dụng để chuyển vị tại các gối bằng 0. Phương trình dao động của dầm liên tục chịu tác dụng các lực tập trung Δ𝑄𝑗 tại gối 𝑥𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 có dạng
𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = − ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝛿(𝑥 − 𝑥𝑗), (2.13) trong đó 𝛿(𝑥) là hàm Đi-rắc thỏa mãn
𝛿(𝑥) = {∞: 𝑥 = 0
0: 𝑥 ≠ 0; ∫−∞+∞𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑠)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑠).
Ký hiệu 𝑊0(𝑥) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
𝑑4𝑊0(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊0(𝑥) = 0, (2.14)
khi đó nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.13) có dạng
𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∫ ℎ(𝑥 − 𝜏)0𝑥 ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝛿(𝜏 − 𝑥𝑗)𝑑𝜏 (2.15) với hàm số
ℎ(𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥)/𝜆2
là nghiệm của phương trình (2.14) và có tính chất ℎ(0) = ℎ′(0) = ℎ′′(0) = 0, ℎ′′′(0) = 1
Tính các tích phân trong (2.15) sử dụng tính chất của hàm Đi-rắc ta được
𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∑𝑛𝑗=1Δ𝑄𝑗𝐻(𝑥 − 𝑥𝑗) (2.16) với hàm
𝐻(𝑥) = {ℎ(𝑥): 𝑥 ≥ 0;
0: 𝑥 < 0.
Áp biểu thức (2.16) vào điều kiện độ võng tại gối bằng 0 ta được 𝑊0(𝑥1) = 0;
𝑊0(𝑥2) − Δ𝑄1ℎ(𝑥2− 𝑥1) = 0;
𝑊0(𝑥3) − Δ𝑄1ℎ(𝑥3− 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥3 − 𝑥2) = 0;
……… ……….
𝑊0(𝑥𝑛) − Δ𝑄1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥𝑛− 𝑥2) − ⋯ − Δ𝑄𝑛−1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) = 0;
Từ 𝑛 − 1 phương trình cuối ta có thể lần lượt biểu diễn 𝑛 − 1 tham số Δ𝑄1, … , Δ𝑄𝑛−1 một cách tuyến tính qua các giá trị 𝑊0(𝑥2), … , 𝑊0(𝑥𝑛)
Δ𝑄𝑗 = ∑𝑗𝑘=1𝛼𝑗𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1), 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 − 1, (2.17) trong đó 𝛼𝑗𝑘 là các phần tử của ma trận [𝐀]−1 với
[𝐀] = [
ℎ(𝑥2− 𝑥1) 0 ⋯ 0 0 ℎ(𝑥3− 𝑥1)
⋮
ℎ(𝑥𝑛−1− 𝑥1)
ℎ(𝑥3 − 𝑥2)
⋮
ℎ(𝑥𝑛−1 − 𝑥2)
⋯
⋮
⋯
0
⋮
ℎ(𝑥𝑛−1− 𝑥𝑛−2)
0
⋮ 0
ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥2) ⋯ ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)]
.
Vì
𝑊0(𝑥) = 𝐶1cosh 𝜆𝑥 + 𝐶2sinh 𝜆𝑥 + 𝐶3cos 𝜆𝑥 + 𝐶4sin 𝜆𝑥 chứa 4 hằng số chưa biết 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 và hàm số
𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑗=1 Δ𝑄𝑗ℎ(ℓ − 𝑥𝑗)− Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) có thể viết lại thành
𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑘=1𝛽𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛); (2.18) 𝛽𝑘 = ∑𝑛−1𝑗=1𝛼𝑗𝑘ℎ(ℓ − 𝑥𝑗)
chứa thêm một ẩn số Δ𝑄𝑛, nên tổng cộng ta có 5 ẩn số cần tìm từ 4 điều kiện biên và phương trình 𝑊0(𝑥1) = 0.
Ví dụ, cho dầm gối tựa hai đầu ta có 𝑊(0) = 𝑊′′(0) = 𝑊(ℓ) = 𝑊′′(ℓ) = 0.
Khi đó từ sử dụng biểu thức (2.18) cùng với điều kiên biên tại ℓ ta được 𝑊0(ℓ) − ∑𝑛−1𝑘=1𝛽𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) = 0
hay
Δ𝑄𝑛 = ∑𝑛𝑘=1𝛼𝑛𝑘𝑊0(𝑥𝑘+1) với
𝛼𝑛𝑘 = − 𝛽𝑘
ℎ(ℓ−𝑥𝑛), 𝑘 = 1, … , 𝑛 − 1; 𝛼𝑛𝑛 = 1
ℎ(ℓ−𝑥𝑛) .
Như vậy, để xác định 4 hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 ta có 4 phương trình 𝑊(0) = 𝐶1+ 𝐶3 = 0; 𝑊′′(0) = 𝐶2 + 𝐶4 = 0.
Do đó
𝑊0(𝑥) = 𝐶1𝐿1( 𝜆𝑥) + 𝐶2𝐿2(𝜆𝑥)
𝐿1( 𝜆𝑥) = (cosh 𝜆𝑥 − cos 𝜆𝑥); 𝐿2(𝜆𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥) và
𝑊0(𝑥1) = 𝐶1𝐿1( 𝜆𝑥1) + 𝐶2𝐿2(𝜆𝑥1) = 0.
