CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT
4.4. Kết quả tính toán số
4.4.4. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM liên tục
Trong phần này chúng ta nghiên cứu sự thay đổi tần số riêng của dầm FGM đa nhịp do vết nứt, đối với dầm đơn nhịp các tần số của dầm phụ thuộc vào vết nứt và tính chất vật liệu đã được nghiên cứu chi tiết trong các tài liệu [30-31]. Cụ thể là tính tỷ số tần số riêng của dầm hai và ba nhịp có vết nứt trên tần số riêng của dầm khi không bị nứt (nguyên vẹn) phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt và tham số vật liệu n (chỉ số phân bố vật liệu FGM). Mỗi đồ thị biểu diễn tỷ số tần số nêu trên là hàm số của vị trí vết nứt (hoành độ) và tương ứng với một độ sâu vết nứt hoặc một giá trị của chỉ số phân bố vật liệu n. Trong mỗi hình trình bày tần số cơ bản (uốn) của dầm đa nhịp FGM với hai điều kiện biên khớp (SSB) và ngàm (CCB). Các Hình 4.15 – 4.18 trình bày đồ thị của tần số riêng đã được chuẩn hóa bởi tần số của dầm không bị nứt phụ thuộc vào vị trí vết nứt với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n. Các đồ thị này cho thấy không chỉ ảnh hưởng của vị trí, độ sâu vết nứt mà còn cho phép nghiên cứu ảnh hưởng tham số vật liệu đến tần số uốn đầu tiên của dầm hai và ba nhịp.
Riêng Hình 4.19 biểu thị sự thay đổi tần số dọc trục, giống nhau cho cả dầm hai nhịp và ba nhịp do vết nứt và chỉ số vật liệu. Nghiên cứu các đồ thị này, chúng ta có thể đưa ra những nhận xét sau đây cho từng loại dầm hai nhịp và ba nhịp.
a. Dầm FGM liên tục hai nhịp
Nói chung, độ sâu vết nứt càng tăng thì tần số của dầm FGM đa nhịp sẽ giảm, trừ một số điểm nút đã được xác định ở trên cho dầm đồng chất đa nhịp (Hình 4.15). Một số đặc điểm của các điểm nút tần số của dầm đồng chất vẫn còn được duy trì cho dầm FGM như: khi gối tựa trung gian của dầm hai nhịp nằm ở giữa dầm (tức hai nhịp có độ dài bằng nhau) thì chính gối trung gian này là điểm nút tần số của cả dầm ngàm hai đầu và khớp hai đầu. Tuy nhiên dầm khớp hai đầu chỉ có duy nhất một điểm nút tần số, trong khi đó dầm ngàm hai đầu có các điểm nút khác không phải là gối trung gian. Độ nhạy của tần số với vết nứt càng tăng khi chỉ số phân bố vật liệu n giảm, nhưng vị trí các điểm nút tần số không phụ thuộc vào chỉ số vật liệu này (Hình 4.16). Điều này đúng cho cả hai dạng điều kiện biên nêu trên.
(a)
(b)
Hình 4.15. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau
của độ sâu vết nứt (a/h)
(a)
(b)
Hình 4.16. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau
về chỉ số phân bố vật liệu (n).
b. Dầm FGM liên tục ba nhịp
Đối với dầm FGM ba nhịp, tỷ số tần số riêng cơ bản được trình bày trong các Hình 4.17 (ảnh hưởng của độ sâu vết nứt) và Hình 4.18 (ảnh hưởng của chỉ số phân bố vật liệu). Nghiên cứu các đồ thị trên các hình vẽ này chúng ta thấy:
hai gối tựa trung gian vẫn là các điểm nút tần số của dầm khớp hai đầu, nhưng đối với dầm ngàm hai đầu cả 4 điểm nút tần số đều không trùng với các gối trung gian. Nhưng tốc độ thay đổi tần số qua các gối của dầm ngàm hai đầu có bước nhảy (đạo hàm không liên tục). Điều này có thể lý giải bằng việc điều kiện biên của hai nhịp ở hai bên gối là khác nhau nên sự thay đổi tần số cũng khác nhau. Đây là một biểu hiện của sự ảnh hưởng của điều kiện biên đến sự thay đổi tần số của dầm đa nhịp có vết nứt. Ngoài ra còn có thể nhận thấy rằng điểm giữa của hai nhịp biên của dầm khớp hai đầu nhạy cảm nhất với vết nứt, trong khi đó điểm nhạy cảm nhất với vết nứt chính là điểm giữa dầm hay điểm giữa của nhịp trung gian trong dầm ba nhịp. Sự ảnh hưởng của tham số vật liệu đến tần số dao động của dầm FGM ba nhịp có vết nứt cũng tương tự như dầm hai nhịp đã phân tích ở trên.
(a)
(b)
Hình 4.17. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau
của độ sâu vết nứt (a/h)
(a)
(b)
Hình 4.18. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau
của chỉ số phân bố vật liệu (n).
Tính toán tần số uốn của dầm FGM hai và ba nhịp có vết nứt cho thấy: gối trung gian không ảnh hưởng đến tần số dao động dọc trục. Điều này dễ hiểu bởi các gối trung gian đều là gối trượt, không ngăn cản chuyển vị dọc trục của dầm FGM. Hơn nữa, trong cả hai trường hợp điều kiện biên khớp và ngàm chuyển vị dọc trục của dầm đều bị hạn chế như nhau. Vì vậy trên Hình 4.19 trình bày tỷ số tần số dọc trục của dầm FGM đa nhịp nói chung phụ thuộc vào các tham số vết nứt và vật liệu (n). Các đồ thị trên Hình 4.19 cho thấy tần số dao động dọc trục của dầm FGM đa nhịp chỉ có duy nhất một điểm nút tại giữa dầm và việc tăng chỉ số phân bố vật liệu n làm giảm độ nhạy cảm của tần số dọc trục với vết nứt. Và như mọi trường hợp, độ sâu vết nứt tăng làm giảm mạnh tần số dao động dọc trục.
(a)
(b)
Hình 4.19. Tần số dao động dọc trục của dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc vào độ sâu vết nứt (a) và chỉ số phân bố vật liệu n (b).
Ảnh hưởng của số lượng vết nứt đến tần số của dầm FGM đa nhịp cũng đã được nghiên cứu và kết quả tính toán tần số riêng cơ bản của dầm ba nhịp theo các kịch bản khác nhau của vết nứt được trình bày trong bảng 4.3. Các kịch bản vết nứt bao gồm từng nhịp bị nứt, các cặp nhịp cùng bị nứt và cả ba nhịp đều bị nứt. Tất cả các vết nứt đều xảy ra ở giữa nhịp và có độ sâu là 30%, tham số vật liệu n = 2.
Bảng 4.3. Ảnh hưởng của số lượng và phân bố vết nứt đến tần số riêng của dầm ba nhịp
Stt Số lượng vết nứt (a/h=30%)
Không Một Hai Ba
Vị trí vết nứt 1/6 1/2 5/6 1/6 -1/2 1/2 -5/6 1/6-5/6 1/6-1/2-5/6 Dầm tựa đơn hai đầu
1 2 3 4 5
3.1173 3.6882 4.3266 4.8049 8.6070
2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196
2.9376 3.6882 4.3266 4.5923 8.2420
2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196
2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492
2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492
2.7794 3.2741 4.0554 4.7058 8.4273
2.6336 3.2741 4.0554 4.4553 8.0509 Dầm ngàm hai đầu
1 2 3 4 5
3.6901 4.3156 4.8139 5.4082 8.6070
3.6042 4.1779 4.6265 5.3252 8.5196
3.3995 4.3156 4.8139 5.3095 8.2421
3.6042 4.1779 4.6265 5.3252 8.5196
3.3331 4.1771 4.6123 5.2209 8.1495
3.3331 4.1771 4.6123 5.2209 8.1495
3.5354 4.0427 4.4668 5.1982 8.4274
3.2754 4.0427 4.4668 5.0673 8.0512 Et=390GPa, t=3960kg/m3, t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m3, b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1;
Nghiên cứu số liệu cho trong Bảng 4.3 ta thấy: Trong dầm đa nhịp các vết nứt đối xứng nhau qua điểm giữa dầm ảnh hưởng như nhau đến tần số; Điểm giữa dầm ba nhịp, đồng thời là điểm giữa của nhịp giữa là điểm nút của các tần số thứ hai và thứ ba (tần số uốn thứ hai và tần số dọc trục đầu tiên); Vết nứt xuất hiện trong nhịp giữa dầm ngàm hai đầu nguy hiểm hơn vết nứt xuất hiện ở các nhịp hai bên, đối với dầm khớp hai đầu thì ngược lại. Điều này có thể lý giải bằng việc hai biên đều là điểm nút tần số của dầm khớp hai đầu. Cũng tương tự như dầm đồng chất, số lượng vết nứt càng tăng thì tần số càng giảm (tất nhiên trừ trường hợp vết nứt xuất hiện tại các điểm nút tần số).
Kết luận chương 4
Trong Chương này, phương pháp ma trận truyền đã được phát triển để áp dụng tính toán tần số riêng của dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt. Khác với dầm đồng chất, ở đó dao động uốn và dao động dọc trục tách rời nhau, trong dầm Timoshenko FGM dao động uốn có sự tương tác với dao động dọc trục (uncoupled). Vì vậy, phương pháp ma trận truyền áp dụng cho dầm FGM phức tạp hơn, đặc biệt là khi dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt. Sự phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm FGM đã được kiểm chứng bằng cách so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (p-version FEM) và phương pháp độ cứng động lực.
Sử dụng phương pháp ma trận truyền đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của gối trung gian, vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu đến tần số riêng cơ bản của dầm FGM liên tục hai và ba nhịp. Kết quả chính của việc nghiên cứu này là: trong dầm FGM vẫn tồn tại các tần số gối như trong dầm đa nhịp đồng chất, nhưng các tần số gối này phụ thuộc nhiều vào chỉ số phân bố vật liệu n; Gối trung gian chỉ ảnh hưởng đến các tần số dao động uốn mà không ảnh hưởng đến tần số dao động dọc trục; Chỉ số phân bố vật liệu không ảnh hưởng đến các điểm nút tần số (các điểm không nhạy cảm với vết nứt).
KẾT LUẬN CHUNG
Tổng kết lại, những kết quả chính đạt được có thể tóm lược như sau:
1. Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt, cho phép đơn giản hóa việc tính toán tần số riêng của dầm đa nhịp (không cần tính phản lực tại các gối trung gian của dầm đa nhịp).
2. Đã áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên để nghiên cứu chi tiết dao động riêng của dầm Euler-Bernoulli liên tục đồng nhất có vết nứt. Ở đây đã phân tích chi tiết ảnh hưởng của gối trung gian lên tần số của dầm và cho thấy gối trung gian ảnh hưởng nhiều đến phân bố tần số riêng của dầm. Đặc biệt là gối trung gian làm xuất hiện những tần số giống nhau cho các điều kiện biên khác nhau, được gọi là các tần số gối.
3. Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu tần số riêng của dầm FGM liên tục có vết nứt sử dụng nghiệm tổng quát về dao động của dầm Timoshenko FGM có nhiều vết nứt. Ở đây sử dụng mô hình vết nứt được biểu diễn bằng hai lò xo dọc trục và lò xoắn; lý thuyết dầm Timosshenko và quy luật biến đổi vật liệu theo hàm lũy thừa. Đặc biệt có kể đến vị trí thực của trục trung hòa trong dầm FGM.
4. Đã nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt và các tham số vật liệu có cơ lý tính biến thiên liên tục đến tần số riêng của dầm FGM liên tục. Đặc biệt là đã chỉ ra trong dầm FGM liên tục cũng tồn tại những vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi một tần số nào đó, gọi là các điểm nút tần số. Đã chỉ ra rằng vết nứt xuất hiện tại các gối có thể không ảnh hưởng đến tần số này, nhưng lại làm thay đổi đáng kể tần số khác. Tất cả những nhận xét này là những thông tin rất quan trọng để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các tần số riêng.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
(1) (2016) Vibration of continuous multispan Timoshenko beam made of functionally graded material. Proceedings of 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), Hanoi, August 25-26, 2016.
(2) (2018). Free vibration of cracked multispan continuous beam. Proceedings of Xth National Conference on Mechanics, Hanoi, December 8-9, 2017, pp.303- 311.
(3) (2018) Effect of intermediate support location on natural frequencies of multiple cracked continuous beams. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 40, No.
2 (2018), pp. 181 – 198.
(4) (2019) An application of the dynamic stiffness approach to free vibration of continuous multispan beam with cracks. Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc kỷ niệm 40 năm Viện Cơ học, 9-4-2019.
(5) (2020) Modal analysis of cracked continuous Timoshenko beam made of functionally graded material. Mechanics Based Design of Structures and Machines 48(4) 459-479. DOI: 10.1080/15397734.2019.1639518.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1] Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm, “Lời giải chính xác của bài toán dao động của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt và ứng dụng”. Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam 1975-2010. ISBN: 978- 604-913-009-0, Hà Nội, 2010.
[2] Trần Thanh Hải (2012), “Chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng phương pháp dao động”. Luận án Tiến sĩ, Viện Cơ học, Viện HLKH&CNVN, Hà Nội, 2012.
[3] Nguyễn Ngọc Huyên (2017), “Dao động của dầm FGM có vết nứt”. Luận án tiến sĩ, Học viện KH&CN, Viện HLKHCNVN, Hà Nội, 2017.
[4] Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật. NXB KHKT, Hà Nội 2001.
[5] Nguyễn Tiến Khiêm (2016), Cơ sở động lực học công trình. NXB ĐHQGHN.
Tài liệu tiếng Anh
[6] Adams, R. D., Cawley. P., Pye. C. J and Stone. B. J. “A vibration technique for non-destructively assessing the integrity of structures”. Journal of Mechanical Engineering Science, Vol 20(2), 1978, pp. 93-101.
[7] Akbas, S.D. Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally Graded Beams by Using Finite Element Method, Int. J. Eng. Trends Technol. 4(10) (2013) 4590-4597.
[8] Aydin, K. Free vibration of functional graded beams with arbitrary number of cracks, Euro. J. Mech., A/Solid 42 (2013) 112-124.
[9] Azizi N., Saadatpour M.M. and Mahzoon M. Using spectral element method for analyzing continuous beams and bridges subjected to a moving load.
Applied Mathematical Modelling, 36(8) (2012) 3580-3592.
[10] Banerjee, A., Panigrahi, B., Pohit, G. Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA, Nondestr. Test. Eval. 31(2) (2015) 142-164.
[11] Birman, V., Byrd, L.W. Modeling and analysis of functional graded materials and structures. Appl. Mech. Rev. 60 (2007) 195–215.
[12] Caddemi, S. and Caliò. I. “Exact closed-form solution for the vibration modes of the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks”. Journal of Sound and Vibration, Vol 327(3-5), 2009, pp. 73-489.
[13] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S. A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams. Int. J. Solids Struct.
40 (2003) 2421–2448.
[14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J.N. A new beam finite element for the analysis of functional graded materials. Int. J. Mech. Sci. 45 (2003) 519–539.
[15] Chondros, T. G., Dimarogonas, A. D. and Yao, J. A continuous cracked beam vibration theory”. Journal of Sound and Vibration, 215 (1), 1998, 17-34.
[16] Chondros, T.G., Dimarogonas, A.D., Yao, J. Longitudinal vibration of a continuous cracked bar, Eng. Fract. Mech. 61 (1988) 593-606.
[17] Christides S. and Barr, S. One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams. International Journal of Mechanical Sciences 26 (11-12), 1984, 639-648.
[18] Do Nam et al., Effect of intermediate supports location on natural frequencies of multiple cracked continuous beam. Vietnam J. Mech. 40 (2) (2018) 181- 198.
[19] Eltaher, M., Alshorbagy, V. and Mahmoud, F. Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams, Compos. Struct. 99 (2013) 193-201.
[20] Erdogan, F., Wu, B.H. “The surface crack problem for a plate with functionally graded properties”, J. App. Mech. 64 (1997) 448-456.
[21] Gan, B.S., Kien, N.D. Effect of Intermediate Elastic Support on Vibration of Functionally Graded Euler Bernoulli Beams Excited by a Moving Point.
Journal of Asian Architecture and Building Engineering. May 2017
[22] Gu, P., Asaro, R.J. Cracks in functionally graded materials, Int. J. Solids Struct. 34(1) (1997) 1-17.
[23] Guojin Tan · Zhiqing Zhu · Wensheng Wang · Yongchun Cheng. Free Vibration Analysis of a Uniform Continuous Beam with an Arbitrary Number of Cracks and Spring-Mass Systems. Arab J Sci Eng.
[24] Gupta, A., Talha, M. Recent development in modeling and analysis of functionally graded material and structures, Progress in Aerospace Sciences 79 (2015) 1-14.
[25] Henchi K., Fafard M., Dhatt G. and Talbot M. Dynamic behavior of multi- span beams under moving loads. Journal of Sound and Vibration 199(1) (1997) 33-50.
[26] Ichikawa M, Miyakawa Y. and Matsuda A. Vibration analysis of the continuous beam subjected to a moving mass. Journal of Sound and Vibration 230(3) (2000) 493-506.
[27] Jin, Z.H., Batra, R.C. Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials, J. Mech. Phys. Solids. 44(8) (1996) 1221–1235.
[28] Ke, L.L., Yang, J., Kitipornchai, S., Xiang, Y. Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials, Mech. Advanc. Mater. Struct. 16 (2009) 488–502.
[29] Khiem, N. T. and Lien, T. V. A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam. Journal of Sound and Vibration, Vol 245(4), 2001, pp. 737-751.
[30] Khiem, N.T. and Huyen, N.N. A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam”, Nondestr. Test. Eval. 32(3) (2017) 319-341.
[31] Khiem, N.T. and Huyen, N.N. Uncoupled vibrations in functionally graded Timoshenko beam, Vietnam J. Sci. Technol. 54(6) (2016) 785-796.
[32] Khiem, N.T., Tran T. H. A procedure for multiple crack Identification in beam-like structures from natural vibration mode. Journal of Vibration and Control, Vol. 20 (9), 1417-1427 (2014).
[33] Khiem, N.T., Lien, T.V., Ninh, V.T.A. Natural frequencies of multistep functionally graded beam with cracks. Iran J Sci Technol Trans Mech Eng (2019) 43 (Suppl 1): S881–S916.
[34] Kitipornchai, S., Ke, L.L., Yang, J., Xiang, Y. Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams, J. Sound Vib. 324 (2009) 962-982.
[35] LE, Thi Ha, GAN, Buntara Sthenly, TRINH, Thanh Huong and NGUYEN, Dinh Kien (2014) Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load. Bulletin of JSME: Mechanical Engineering Journal, Vol.1, No.3, 2014. Paper No.13-00226.
[36] Lee, J.W., Lee, J.Y. Free vibration analysis of functionally graded Bernoulli- Euler beams using an exact transfer matrix expression, Int. J. Mech. Sci.
122(2017) 1-17.
[37] Li, X.F. A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, J. Sound Vib.
318 (2008) 1210–1229.
[38] Liang, R. R. Y., Hu, J. and Choy, F. “Quantitative NDE technique for assessing damages in beam structures”. Journal of Engineering Mechanics, Vol 118(7), 1992, pp. 1468 -1487.
[39] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T. Free Vibration Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer. J. Solids Struct. 14(9) (2017) 1752-1766.
[40] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T. Mode Shape Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer. J. Solids Struct. 14(7) (2017) 1327-1344.
[41] Lin H.P., Chang S.C. Free Vibration Analysis of Multispan Beams with Intermediate Flexible Constrains. Journal of Sound and Vibration 281 (2005) 155-169.
[42] Lin Y.K. Free vibration of a continuous beam on elastic supports.
International Journal of Mechanical Systems 4 (1962) 409-423.
[43] Liu, H.B., Nguyen, H.H., Xiang, Y.M. Vibration analysis of a multi-span continuous beam with cracks. Applied Mechanics and Materials Vols. 256- 259 (2013) 964-972
[44] Matbuly, M., Ragb, O. and Nassar, M. Natural frequencies of a functionally graded cracked beam using the differential quadrature method, App. Math.
Comput. 215(6) (2009) 2307-2316.
[45] Morassi, A. “Crack-Induced Changes in Eigenparameters of Beam Structures”.
Journal of Engineering Mechanics, Vol 119(9), 1993, pp. 1798-1803.
[46] Narkis, Y. “Identification of crack location in vibrating simply supported beams”. Journal of Sound and Vibration, Vol 172, 1994, pp. 549-558.
[47] Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai. “Natural Frequency Analysis of Cracked Beam”. Vietnam Journal of Mechanics, Vol 19(2), 1997, pp. 28-38.
[48] Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran, Do Nam, Modal analysis of cracked continuous Timosheko beam made of functionally graded material. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2019, Online First 16 July 2019.
DOI. 10.1080/15397734.2019.1639518.
[49] Nguyen Tien Khiem, Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Long, Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material, J.M. Harvie, J. Baqersad (eds.), Shock & Vibration, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting, Acoustics & Optics, Volume 9, Chapter 15, pp. 133-143.
[50] Ostachowicz, W. M. and Krawczuk, M. “Analysis of the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam”. Journal of Sound and Vibration, Vol 150, 1991, pp. 191-201.
[51] Panigrahi, B., Pohit, G. Study of nonlinear dynamic behavior of open-cracked functionally graded Timoshenko beam under forced excitation using harmonic balance method in conjunction with an iterative technique, App. Math. Model.
57(2018) 248-267.
[52] Saeedi K. and Bhat R.B. Clustered natural frequencies in multispan beams with constrained characteristic functions. Shock and Vibration 18 (2011) 697-707.