HASIL DAN PEMBAHASAN
3.3.8 Algoritme Pohlig-Hellman
???? ? ? ? ???? ? ? ? 42 42 43 32 33 33 ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? 47 48 49 40 41 42
Tabel 16 menunjukkan bahwa iterasi berhenti pada saat ? ? ? ? karena telah diperoleh ??? ? ???. Selanjutnya menghitung solusi.
? ? ?? ??? ? ????? ???? ????? ??????? • ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ??????? • ? ? ???
? ? ? ? solusi yang diperoleh benar.
Solusi yang diperoleh pada Contoh 3.3.7.8 tidak mempunyai invers. Pada Contoh 3.3.7.7 solusi yang diperoleh salah karena
??? ? ?? ? ? ? ? ? ?• ? ? ?? ? ? ? ? ? ? Sedangkan pada Contoh 3.3.7.9 diperoleh solusi yang benar karena
???? ? ?? ? ? ? ? ? ?• ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? Kelemahan algoritme Pollard-rho untuk mendapatkan solusi masalah logaritma diskret pada finite field ? ? ??? ?? terdapat pada pemilihan bilangan prima relatif ? terhadap modulo n yang tidak tepat. Pemilihan bilangan prima relatif ? terhadap modulo n secara tepat mutlak diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar, tetapi penulis belum dapat menemukan cara untuk menentukannya. Penentuan bilangan prima relatif masih dilakukan secara acak sampai diperoleh ? yang tepat untuk memperoleh solusi yang benar. Karena pemilihan ? dilakukan secara acak maka terdapat empat solusi yang mungkin diperoleh yaitu solusi tidak mempunyai invers, solusi salah, solusi gagal (failed) dan solusi sukses (solusi benar).
3.3.8 Algoritme Pohlig-Hellman
Algoritme Pohlig-Hellman ditemukan oleh Ronald Silver, dan dipublikasikan oleh Stephen Pohlig dan Martin Hellman. Algoritme yang dipublikasikan oleh Pohlig dan Hellman adalah algoritme untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ?? ? jika ? –? mempunyai faktor prima kecil, di mana ? adalah bilangan prima. Algoritme Pohlig-Hellman efektif digunakan untuk grup berorder bilangan komposit. Grup siklik ? ? ??? ??
dari finite field ? ? ??? ? selalu berorder bilangan komposit. Oleh karena itu algoritme Pohlig-Hellman efektif untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ??? ??G Yang menjadi masalah adalah order dari ? ? ??? ?? relatif besar jika dipilih ? yang relatif besar. Sehingga akan menghasilkan faktorisasi prima besar. Algoritme Pohlig Hellman dieksplorasi lebih lanjut agar efisien digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??. Berikut ini adalah analisis algoritme Pohlig Hellman sebelum melakukan eksplorasi.
Misalkan ? adalah sebuah generator dari grup siklik ? ? ??? ?? dengan order ? , ? ? ? ? ??? ?? dan ? ?? ? ? ???? ?G Menentukan solusi masalah logaritma diskret pada kongruensi (2a) menggunakan algoritme Pohlig- Hellman, dilakukan dengan langkah- langkah sebagai berikut:
Tentukan faktorisasi prima dari ? yaitu
? ? ???????? g ???? ? ? ? ????
?? ? , (4a) dengan ?? adalah bilangan prima berbeda dan ??? ? untuk setiap ?? ? ? ? ? ?. Asumsikan bahwa ??? ?? ? ?G Ide dari algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret (2a) adalah menemukan ? mod ? . ? mod ? diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan ? • ? ? ???? untuk setiap ?? ? ? ? ? ? menggunakan Teorema Sisa Cina (Teorema 2.2.12) . Masalah logaritma diskret (2a) dapat dinyatakan dalam modulo ? , dinotasikan dengan ? • ? ? ?.
? ?• ? ? ? ? ? ? ?• ? ? ? ? ????
?? ? ? (4b) Karena ?? adalah bilangan prima yang berbeda maka berdasarkan Teorema Sisa Cina diperoleh kongruensi
??? ? ?• ? ? ???? ? (4c) untuk setiap ?, ? ? ? ? ?. Untuk menentukan nilai ? , terlebih dahulu tentukan ??. Misalkan ??? ? dan ??? ? maka kongruensi (4c) menjadi
??? ? ?• ? ? ??? (4d) Di mana ? ? ??? ??? ? . Selanjutnya menentukan nilai ?? melalui proses berikut.
65
Nilai ?? dapat diperluas dengan menggunakan ekspansi q-radix dari ?? , yaitu
?? ? s? ? ?????
?? ? (4e) di mana ? ? ??? ? ? ? , untuk ? ? ? ? ? ? ?. Berdasarkan algoritme pembangian maka persamaan (4e) dapatdinyatakan sebagai
? ? ??? ???
untuk beberapa integer ?. Sehingga dipeorleh ? ? s? ? ?????
?? ? ? ???.
Selanjutnya menentukan nilai ?? . Nilai ?? diperoleh dari ??? ? ?????
??
?• ? ? ? ?? ?? (4f) Selanjutnya akan dibuktikan ??? ? ???????
?• ? ? ? ?? ?? dengan menggunakan algoritme pelacakan lengkap atau Baby-step Giant-step 1.
?? ? ? ?• ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?• ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ??? ??• ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ????? ??? ? ? ? ??? ???? ?? ????? ? ? ??? ???? ?? ?????? ?• ? ? ??? ?? ? ??? ? ??????? ????? ? ? ? ??? ???? ?? ????? ? ? ?? ? ???? ?? ???? ? ? ?mod ? ?? ?? ? ??? ? ????????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?• ? ? ??? ?? ? ??? ? ??????? ?• ? ? ??? ?? Jadi terbukti bahwa ??? ? ???????
?• ? ? ? ?? ??G
Dari persamaan (4f), jika ? ? ? ? maka diperoleh ??? ??. Setelah nilai ?? diketahui, maka langkah selanjutnya adalah menentukan ?? ??? ?g ???? ? untuk ? ? ? . Cara menentukan ?? , ? ? ? ? ? ? ? adalah sama dengan proses menentukan ??. Definisikan ?? ? ? dan
?? ? ? ?? ???• ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? . Persamaan berikut adalah bentuk umun dari persamaan (4f)
???
? ?? ?
? ???????
Akan dibuktikan persamaan (4h) Misalkan ? ? ???? ???? ? ? ???? ??? ? ????? ? ? ??? ???? ? (4g) dan ? ? ??? ?? ?? ? ?? ?? ??? ?? ?? . ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ??? ?? ?? (• ? ? ? ?? ?) ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ?? (• ? ? ? ?? ?) ? ??????? ??? ???? ?? ? ? ??? ? ??? ?? ? ? ?? ? (• ? ? ? ?? ?) ? ??????G???? ? ??? ?? ? ? ??? ???? ?? ??? ?? ?? (• ? ? ? ?? ?) ? ?????????????? ?? ? ? ?? ? ???? ?? ? (• ? ? ? ?? ?) ? ???????G??????? ?? ? ? ?? ? ???? ?? ? (• ? ? ? ?? ?) ? ??????? (• ? ? ? ?? ?) selanjutnya cari nilai ?? dengan menggunakan persamaan (4e). Untuk memperoleh
??? ? definisikan ??? ? ? ???? ????, untuk setiap ?? ? ? ? ? ? ? ?. Setelah semua nilai ?? diketahui maka maka diperoleh
? ? ???• ? ? ???, untuk setiap ?? ? ? ? ? ? (4i)
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema sisa cina diperoleh ? ? ?? ??? ?• ? ? ? ?. Nilai ? ini adalah solusi masalah logaritma diskret (2a)
yang memenuhi
?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??
Seperti yang telah dijelaskan di atas bahwa algoritme Pohlig-Hellman tergantung pada faktorisasi prima dari order grup. Di mana order ? ? ??? ?? relatif besar, apabila dipilih nilai ? yang relatif besar, sehingga akan diperoleh faktorisasi prima besar. Berikut ini adalah faktorisasi prima order ? ? ??? ?? untuk beberapa nilai ? G Perhatikan tabel di bawah ini.
67
Tabel 17 Faktorisasi prima order ? ? ??? ??
m Order Faktorisasi Prima
2 24 (2)3(3) 3 124 (2)2 (31) 4 624 (2)4 (3)(31) 5 3124 (2)2 (11)(71) 6 7 8 9 10 15624 78124 390624 1953124 9765624 (2)3 (3)2 (7)(31) (2)2(19531) (2)5(3)(13)(313) (2)2(19)(31)(829) (2)3(3)(11)(71)(521)
Dari tabel 17 dapat diidentifikasi bahwa faktorisasi prima order ? ? ??? ?? selalu mempunyai faktor prima ? . Faktor prima dari ? selalu berpangkat ? untuk ? ganjil. Untuk ? genap faktor prima dari ? selalu berpangkat ? ? .
Berdasarkan faktorisasi prima di atas maka diperlukan eksplorasi algoritme Pohlig Hellman agar dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??. Faktorisasi prima yang efisien untuk digunakan pada algoritme ini adalah faktorisasi prima kecil dari order ? ? ??? ??. Dengan demikian diperlukan teknik untuk memperoleh faktorisasi prima kecil. Teknik itu adalah membagi order grup ? ? ??? ??, dengan suatu konstanta ? kemudian mencari faktorisasi hasil bagi untuk memperoleh faktorisasi prima kecil. Solusi masalah logaritma diskret diperoleh dengan melakukan komputasi pada subgrup dari ? ? ??? ?? (Lemma 2.3.1.17). Teknik ini menghasilkan algoritme solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??.
Misalkan faktorisasi prima order ? ? ??? ?? adalah ? ???????? g ????? ??? ? , ??? ??? ?. Untuk memperoleh faktorisasi prima kecil pada subgrup ? ? ??? ?? maka
? ? ?? , ? ? ? . (4j) Diberikan grup siklik ? ? ??? ??G Masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? adalah menentukan y sedemikian sehingga
?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??G (4k) ? adalah generator dari ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?? dan ? ?? ?∈???? ? adalah
polinomial primitif berderajat ? atas ??. Grup siklik ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? –? .
Misalkan ? ? ?? ∈? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? merupakan subgrup dari ? ? ??? ??? dan ?? ? ? ?, di mana ? ? ??? ? ? ? . Berdasarkan Teorema 2.3.1.19 bagian 2, karena ? ? ??? ?? adalah grup siklik maka ? merupakan subgrup siklik, sehingga ? ? ?? ? ? ?? ?? ????g ??? ? ? ?g ???? ??
?? diperoleh dengan menggunakan algoritme 3.3.1.1. Berdasarkan Definisi 2.1.2,
x dapat dinyatakan dengan ? ? ??? ? ? ? ? ?. Dari kongruensi (4k) diperoleh ?? ? ??= ? ?• ? ? ? ?? ??
Nilai y diperoleh dengan melakukan pelacakan nilai ?, ? ? ? ? ? –? sampai diperoleh ? . Nilai ? pada (4k) adalah
? ? ? ? ?? mod ? sebagai solusi masalah logaritme diskret pada ? ? ??? ??.
Pemilihan ? tergantung pada faktorisasi order ? . Karena tidak diperoleh solusi untuk faktor prima ?? di mana ? ? ? , maka pemilihan ? diharapkan untuk memperoleh faktorisasi prima yang menghasilkan faktor prima ?? di mana ? ? ? atau ? ? ? .
Untuk memperoleh faktorisasi prima ?? di mana ? ? ? atau ? ? ? maka ? yang dipilih dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Tabel 18 Pemilihan ? untuk memperoleh faktorisasi prima kecil order ? ? ??? ??
? 2 3 4 5 6 7 ? 8
? 2 2,4 4,8 8,16 16 32 64
Berdasarkan uraian di atas diperoleh algoritma untuk menentukan masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? sebagai berikut dengan input representasi elemen? ? ??? ?? dalam bentuk vektor penta.
Algoritme 3.3.8.1 (LogPolhigHelmann)
Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??
Input : Vektor B = [??????g ???? dan integer positif ? . Output : Integer positif ?.
69
1. ? ? ?? ? ? G
2. ? ? ? Faktorisasi prima dari ? . 3. ? ? = Operan ke-1 dari ? ? 4. ? 1 = Operan ke-2 dari ? 0
5. Jika ? ? = 2 maka ? ? = 2, jika ? ? = 3 maka ? ? = 24, jika ? ? = 4 maka ? ? = 8 atau 16, jika ? ? = 5 maka ? ? = 8, jika ? ? = 6 maka ? ? = 16, jika ? ? = 7 maka ? ? = 32 dan jika ? ? selannya maka ? ? = 64.
6. ? ? ?? ??? ? 7. P = Faktorisasi ? .
8. ? = Banyaknya elemen P. 9. X = Barisan (0*?, ? ? 1..?) 10. Y = Barisan (0*?, ? ? 1..?)
11. Untuk ? dari 1 sampai ? lakukan berikut: 11.1s = Elemen ke-? dari P.
11.2? = Elemen dari elemen ke-? dari s. 12. Jika banyaknya elemen s = 1 maka t = 1,
13. Jika banyaknya elemen s ? 1 maka t = Elemen ke-2 dari s 14. ? = [1], 1 = 0, ? = ? ??.
15. xA=Gunakan algoritme ExpP dengan input [0,1], integer ? dan integer ? 16. Untuk ? dari 0 sampai (t – 1) lakukan berikut:
16.1 Jika ? ? ? maka k = 0.
16.2 Jika ? ? ? maka k = R*(??? ??
17. T = Gunakan algoritme ExpP dengan input [0,1] dan k
18. G = Gunakan algoritme MultiP dengan input vektor G, vektor T dan integer ?
19. iG = Gunakan algoritme InvP dengan input vektor G dan integer ?
20. bG = Gunakan algoritme MultiP dengan input vektor iG, vektor B dan integer ?
21. xB = Gunakan algoritme ExpP dengan input vektor bG, (? ???? ?? dan integer ?
xB dan integer? (Algoritme 3.3.1.2) 23. l = ?+ (R*(??? 24. X[?] = 1 25. b = ?? 26. Y[?] = b 27. a = X 28. d = Y
29. c = Gunakan Teorema Sisa Cina dengan input a dan d (Teorema 2.2.10) 30. Jika y benar maka
31. Cek=Gunakan algoritme ExpP dengan input [0,1], integer ? dan integer ? 32. Jika cek ? B maka ? ? ? ?? G
33. Untuk v dari 1 sampai ? ? lakukan berikut:
33.1z = Gunakan algoritme ExpP dengan input [0,1], integer ? dan integer ?
33.2 Jika z = B maka? ? ?. 33.3 Jika z ? B maka ? ? ? ? ? G 34. Return (?).
Implementasi algoritme ini mengguanakan software Maple 11 dapat dilihat pada lampiran 6. Beban komputasinya adalah
sUL? ? HL??? ? ?? ? ? ? ? ??? (Menezes, at al., 1997)
Berikut ini adalah contoh menentukan solusi masalah logaritma diskret menggunakan Pohlig Hellman pada ? ? ??? ?? dengan representasi elemen ? ? ??? ?? dalam bentuk polinomial.
Contoh 3.3.8.2
Diberikan grup siklik ? ? ?????? ? adalah generator dari ? ? ?????? ? ?? ? ? ? dengan ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? adalah polinomial primitif atas ? dan ? ? ? ? ????? dengan ? ? ? ? ? G
Tentukan ? ? ?? ??? dengan algoritme Pohlig-Hellman. Solusi:
71
Order grup siklik ? ? ?????? adalah ? ? ?? –? ? ? ? , 1. Faktor prima ? ? ??G? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2. Untuk ? ? ? ? ? ? ? ? ? Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ? ? (i) ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ?? (mod ? ?? ??
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ??? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?
(ii) ? ? ? ? ?? ? ???? ? ???? ? ? ? ?
? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?????• ? ? ? ?? ?? ? ?
?? ??? ? ?? (mod ? ?? ??
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ?? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?
(iii) ? ? ? ? ?? ? ???? ??? ?? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ?? (mod ? ?? ??
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ?? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? diperoleh ?? ? ?? ? ???? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?• ? ? ? ? 3. Untuk ? ? ? Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ?
?? ??? ? ? (mod ? ?? ??
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? diperoleh ?? ? ? ?• ? ? ??
Dengan menggunakan Teorema sisa cina ? ? ? sehingga solusi yang diperoleh salah.
Cara lain:
Menghitung ? ? menggunakan algoritme Gauss (Teorema 2.2.14). ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ?? ? • ? ? ? ? ? diperoleh ? ? 6(3)(16) mod 24+ 0(8)(2) mod 24 = 0 Solusi yang diperoleh salah.
Contoh 3.3.8.3
Diberikan grup siklik ? ? ?????, ? adalah generator dari ? ? ?????, ? ? ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif berderajat ? dengan ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? .
Order ? ? ????? adalah ? ? ?? – ? ? ? ? ? , pilih ? ? ? , sehingga ? ? ???? ? ? ? Solusi: 1. Faktor prima ? ? ?? G? ? G 2. Faktor prima ? ? ? ? ? ? G? ? 3. Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ? ? Untuk ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? Pelacakan lengkap untuk memperoleh ???
73 ?? ??? ? ? (mod ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? Sehingga diperoleh ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?• ? ? ? ? 4. Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ? ? ? Untuk ? ? ? ? ? ???? ?• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?• ? ? ? ?? ?? ? ??
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ???
?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? Sehingga diperoleh ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?• ? ? ? ? ?
5. Dari langkah 2, 3 dan 4 diperoleh ?? ? ? ?•?? ? ?? dan ?? ? ? ? ?• ? ? ? ? ?
6. Dengan menggunakan teorema sisa cina diperoleh ? ? ? ? .
Dilakukan pelacakan untuk mencari ?, ?? ? ??= ? ?• ? ? ? ????G . Diperoleh ? = 1, sehingga diperoleh ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? G
Cara lain:
Menghitung ? ? menggunakan algoritme Gauss (Teorema 2.2.14). ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?
?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? diperoleh ? ? 3(31)(1) mod 62 + 21(2)(16) mod 62 ? ? ? •?? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sehingga ? ? ?? ??? ? ? ? Contoh 3.3.8.4
Diberikan grup siklik ? ? ?????? ? adalah generator dari ? ? ?????? ? ?? ? ? ? dengan ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? adalah polinomial primitif atas ? dan ? ? ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? G
Tentukan ? ? ?? ??? dengan menggunakan algoritme Pohlig-Hellman. Solusi:
Order grup siklik ? ? ?????? adalah ? ? ?? –? ? ? ? ?, pilih ? ? ? , sehingga ? ? ???? ? ? ? 1. Faktor prima ? ? ? G? G? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? . 2. Untuk ? ? ? Menghitung ?? ? ? • ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? (mod ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? Pelacakan lengkap untuk memperoleh ??? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
(? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
75 (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? (? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? Sehingga diperoleh ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?• ? ? ? ? 3. Untuk ? ? ? Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ??. ? ? ????• ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? Pelacakan lengkap untuk memperoleh ???
?? ??? ? ? (mod ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? 2 ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? Sehingga diperoleh ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ?• ? ? ? ? 4. Untuk ? ? ?
Menghitung ?? ? ? ?• ? ? ? ? ?
? ? ???? ?• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ?• ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?
Pelacakan lengkap untuk memperoleh ??? ?? ??? ? ? (mod ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? Sehingga diperoleh ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?• ? ? ?? ?
5. Dari langkah 2, 3 dan 4 diperoleh ?? ? ? ? ?•?? ? ?? ?? ? ? ? ?• ? ? ?? dan ?? ? ? ?• ? ? ? ? ?.
6. Dengan menggunakan teorema sisa cina diperoleh ? ? ? ? .
7. Dilakukan pelacakan untuk mencari ?, ?? ? ??= ? ?• ? ? ? ????G . Diperoleh ? = 1, sehingga diperoleh ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? G Cara lain:
Menentukan ? ? menggunakan algoritme Gauss (Teorema 2.2.14). ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ?? ? • ? ? ? ? ? ? ? diperoleh
? ? 13(39)(1) mod 78 + 13(26)(2) mod 78 + 5(6)(11) mod 78 ? ? ? ? •?? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ? ? ? • ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
77