EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET
PADA FINITE FIELD
? ? ??
??
SALAMIA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2009
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ? ? ??? ? adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, November 2009
Salamia NRP G551070621
SALAMIA. The Exploration of Discrete Logarithm over Finite Field ? ? ??? ?G Under supervision of SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.
The generalized discrete logarithm problem is the following. If given cyclic group of order •, ? generator of , and ? ? , the aim is to find the integer ?, ? ? ? ? • –? , such that ?? ? ? ?• ? ? •?. Discrete logarithm problem represents a problem which is defined as modular arithmetic. It is often used to generate a key pair on public key cryptography as security object. Some algorithms for discrete logarithm problem given by Menezes et al. (1997) are exhaustive search algorithm, the Baby-step Giant-step algorithm, Pollard’s rho algorithm, Pohlig-Hellman algorithm, and Index-calculus algorithm. Hereinafter, these algorithms are explored to determine the solution of discrete logarithm problem over finite field ??? ?. The exploration also produces some algorithms, i.e. negative exhaustive search algorithm, step Giant-step 2 algorithm, Baby-step Giant-Baby-step 3 algorithm, Baby-Baby-step Giant-Baby-step 4 algorithm, Pohlig Hellman algorithm for ? even or odd number and Pollard Rho algorithm for composite number order. All algorithms are implemented using Maple 11 software, which can be exploited to measure security level of cryptography algorithm based on security aspects of discrete logarithm problem.
RINGKASAN
SALAMIA. Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ? ? ??? ?G Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS.
Misal ? adalah grup siklik hingga berorder ? , ? adalah generator dari ? , dan ? ? ? G Logaritma diskret dari ? dengan basis ? dinotasikan ?? ??? adalah integer positif unik ? , ? ? ? ? ? ? ? , sedemikian sehingga ?? ? ? . Bagaimana menentukan nilai ? disebut masalah logaritma diskret pada grup siklik hingga ? (Menezes et al. 1997). Mudah untuk menghitung nilai ? jika dipilih ? yang relatif kecil, akan tetapi akan menjadi tak layak hitung jika dipilih ? yang relatif besar.
Algoritme untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret adalah algoritme Exhaustive search, algoritme Baby-step Giant-step, algoritme
Pollard-rho, algoritme Pohlig-Hellman, dan algoritme Index-calculus.
Algoritme-algoritma tersebut telah digunakan pada grup siklik ??? dengan ? bilangan prima (Menezes et al. 1997). Eksplorasi algoritme-algoritme tersebut dilakukan sehingga dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??. Hasil eksplorasi yang diperoleh adalah algoritme Negative
Exhaustive search (pelacakan lengkap negatif), algoritme Baby-step Giant-step 2,
algoritme Baby-step Giant-step 3 algoritme Baby-step Giant-step 4, algoritme
Pohlig Hellman untuk ? genap atau ? ganjil, dan algoritme Pollard rho untuk
grup berorder komposit.
Himpunan semua polinomial dalam peubah (indeterminit) ? dengan koefisien ??, dinotasikan dengan ???? ?. Jika dipilih ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial irreducible berderajat ? atas ?? dan suatu ? ? ???? ? dengan ???? ? merupakan perluasan field dari ?? maka ? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? ??? ???? ? adalah finite field berorder ?? di bawah operasi penjumlahan dan perkalian modulo ? ?? ?. Setiap elemen ? ? ??? ? dapat direpresentasikan dalam bentuk
polinomial yaitu ? ? ??? ? ? ?? ? ????? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? dengan ?? ? ?? dan dapat juga direpresentakan dalam bentuk vektor yaitu ? ? ??? ? ? ???
????????g ??? ? ?? ??? ???. Elemen-elemen tak nol dari ? ? ??? ?
membentuk grup siklik perkalian dinotasikan dengan ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? ? ? , jadi ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ???. Jika dipilih ??? ? ? ?
??? ? polinomial primitif maka ? adalah generator ? ? ??? ??. Sehingga
? ? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ????g ??? ? ??.
Diberikan grup siklik hingga ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? ? ? , dengan ? ?? ? ? ? ??? ??, ? adalah generator dan ? ?? ? ? ?
??? ? polinomial primitif berderajat ? atas ??. Logaritma diskret dari ? dengan basis ? dinotasikan ?? ???
adalah integer positif unik ? , ? ? ? ? ? ? ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??. Bagaimana menentukan integer ? disebut masalah logaritma
diskret pada ? ? ??? ?? ((Menezes et al. 1997).
Algoritme Exhaustive search (pelacakan lengkap) merupakan algoritme yang berdasarkan pada definisi masalah logaritma diskret. Solusi masalah logaritma diskret diperoleh dengan cara melacak semua kemungkinan solusi yang ada. Kemungkinan solusi sebanyak ? . Kemungkinan terburuk jika solusi ada pada pelacakan ke-? . Oleh karena itu komputasi algoritme pelacakan lengkap kurang
efisien jika dipilih ? yang relatif besar. Berdasarkan sifat order, di mana ? ? ??? ?? selalu berorder genap. Sifat ini menjadi ide dasar eksplorasi algoritme
pelacakan lengkap. Algoritme hasil ekplorasi adalah algoritme pelacakan lengkap negatif. Algoritme ini lebih efisien karena komputasi dilakukan hanya
sampai pada setengah order ? ? ??? ??.
Algoritme Baby-step Giant-step 1 melalui dua tahap perhitungan yaitu tahap satu disebut Baby-step dan tahap dua disebut Giant-step 1 (Hoffstein et al. 2008). Tahap Baby-step digunakan untuk mengurangi beban komputasi dengan menggunakan memori komputer. Tahap Giant-step digunakan untuk memperoleh solusi. Jika dipilih ? yang relatif besar maka diperlukan memori komputer yang besar. Oleh karena itu eksplorasi algoritme Baby-step Giant-step 1 dilakukan sehingga diperoleh algoritme yang dapat mengurangi beban memori komputer. Algoritme tersebut adalah algoritme Baby-step Giant-step 2, algoritme Baby-step
Giant-step 3 , dan algoritme Baby-step Giant-step 4.
Algoritme Pollard-rho mengambil ide dasar teori Floyd's Cycle-finding dan teori Birthday Paradox. Teori Birthday paradox digunakan untuk menjamin bahwa adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan dengan peluang lebih dari setengah sedikitnya setelah langkah ke ? Q? OQ (Hoffstein et al. 2008). Teori Floyd's cycle-finding digunakan untuk menemukan cycle dalam barisan ??????????g ???? dengan membandingkan unsur-unsur ?? dengan ??? sehingga diperoleh pasangan ??? ???. Pasangan ??? ??? diperoleh dengan membangkitkan suatu barisan fungsi dari barisan ??????????g ???? yang dipartisi menjadi tiga bagian. Selanjutnya dibangkitkan fungsi lain untuk memperoleh solusi. Algoritme Pollard-rho biasanya digunakan pada grup siklik berorder prima. Order ? ? ??? ??. selalu komposit. Oleh Karena itu dilakukan eksplorasi algoritme Pollard-rho. Eksplorasi dilakukan pada pemilihan basis. Jika dipilih basis ??? di mana gcd?? ?? ? ? ? dan ? dipilih secara acak maka diperoleh algoritme yang dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritme diskret pada ? ? ??? ??. Pemilihan ? memerlukan waktu yang lama sehingga algoritme ini kurang efisien digunakan pada ? ? ??? ??.
Algoritme Pohlig-Hellman dipengaruhi oleh faktorisasi prima dari order grup. Algoritme ini hanya berlaku pada ? ? ??? ?? untuk ? ganjil (Menezes et al., 1997). Eksplorasi dilakukan berdasarkan pada sifat grup siklik ? ? ??? ??. Algoritme hasil eksplorasi dapat digunakan untuk ? ganjil maupun ? genap.
Algoritme Index-Calculus dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? (Menezes et al. 1997). Kekuatan algoritme ini terletak pada faktorisasi polinomial. Ide dasarnya adalah memilih subset ? ? ???????g ???? dari ? ? ??? ?? sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen ? ? ??? ??dapat dinyatakan sebagai produk dari elemen-elemen ? .
Implementasi algoritme-algoritme yang dihasilkan menggunakan software Maple 11. Komputasi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? dapat dilakukan kasus per kasus berdasarkan nilai ? G Algoritme Pohlig-Hellman cukup efisien untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? untuk ? ? ? ? G
@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang -undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah,
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET
PADA FINITE FIELD
? ? ??
??
SALAMIA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2009
Judul Tesis : Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ? ? ?? ? Nama : Salamia
NIM : G551070621
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Sugi Guritman, M.S. Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2009 ini adalah logaritma diskret, dengan judul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ? ? ??? ?G
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Sugi Guritman dan Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom sebagai penguji di luar komisi yang telah memberikan masukan dan saran untuk kelengkapan tesis ini. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada ayah (almarhum), ibu, serta seluruh keluarga, atas segala do’a dan kasih sayangnya. Ucapan terima kasih juga kepada Yana, Ai Tusi Fatimah, Ahmadi, Ilham dan semua pihak atas segala bantuannya dalam penelitian ini.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna. Akhir kata semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, November 2009
Penulis dilahirkan di Enrekang, Sulawesi Selatan pada tanggal 8 Januari 1970 sebagai anak kedua dari 7 bersaudara.
Penulis menyelesaikan pendidikan strata satu jurusan Tadris Matematika di Institut Agama Islam Negeri Alauddin Makassar pada tahun 1994. Mengajar di SMU Negeri 3 Balikpapan pada tahun 1995 sampai 1999 dan SMU Patra Darma Balikpapan pada tahun 1996 sampi 1999. Mengajar mata kuliah Statistik di Sekolah Tinggi Agama Islam Ibnu Rusyd Tanah Grogot pada tahun 2004 sampai 2006. Mengajar di MTs Negeri Tanah Grogot pada tahun 1999 sampai sekarang.
Pada tahun 2007 penulis mendapat kesempatan melanjutkan pendidikan pada Program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Intitut Pertanian Bogor dengan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia.
Halaman
DAFTAR ISI ………... xi
DAFTAR TABEL ……….. xiii
DAFTAR ALGORITME ……… xv
DAFTAR LAMPIRAN ………... xvi
BAB 1 PENDAHULUAN ………. 1
1.1 Latar Belakang ………... 1
1.2 Tujuan Penelitian ……… 4
1.3 Manfaat Penelitian ……….. 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ……… 5
2.1 Teori Bilangan ……… 5
2.2 Bilangan Bulat Modulo ? ………. 6
2.3 Struktur Alabar ……….. 9 2.3.1 Grup ………. 9 2.3.2 Ring (Gelanggang) ………... 12 2.3.3 Field (Lapangan) ………... 14 2.4 Polinomial Ring ……….. 14 2.5 Perluasan Field ………... 16
2.6 Masalah Logaritme Diskret ……… 18
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN ………. 19
3.1 Finite field ? ? ??? ? ………. 19
3.2 Masalah Logaritma Diskret pada ? ? ??? ?? ………. 21
3.3 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada ? ? ??? ?? ………. 22
3.3.1 Algoritme Exhaustive Search (Pelacakan Lengkap)... 23
3.3.2 Algorime Pelacakan Lengkap Negatif ………... 31
3.3.3 Algoritme Baby-step Giant-step 1 ……….. 34
3.3.4 Algoritme Baby-step Giant-step 2 ………... 40
3.3.5 Algoritme Baby-step Giant-step 3 ………... 43
3.3.7.1 Floyd’s Cycle Finding ……….. 50
3.3.7.2 Birthday Paradox ……….. 50
3.3.8 Algoritme Pohlig Hellman ………. 63
3.3.9 Algoritme Index-Calculus ………. 77
3.4 Komputasi Masalah Logaritma Diskret Pada ? ? ??? ?? …… 82
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN ... 88
4.1 Kesimpulan ……….. 88
4.2 Saran ………. 90
DAFTAR PUSTAKA ... 91
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Representasi elemen-elemen grup siklik ? ? ????? ? ?? ? ……… 21
2 Representasi solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ????? dengan ? ? ? ? ? ? ………... 26
3 Representasi solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ????? dengan ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ………. 27
4 Representasi polinomial pada ? ? ????? ……… 30
5 Representasi solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ????? dengan ? ? ? ? ? ? ……….. 33
6 Hasil perhitungan Baby-step pada ? ? ????? dengan ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ………... 38
7 Hasil perhitungan Giant-step 1 pada ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ……….. 39
8 Hasil perhitungan Giant-step 2 pada ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ……….. 42
9 Hasil perhitungan Giant-step 3 pada ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ……….. 46
10 Hasil perhitungan Baby-step pada ? ? ????? dengan ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ……… 48
11 Hasil perhitungan Giant-step 4 pada ? ? ????? dengan ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ………. 49
12 Hasil perhitungan Birthday Paradox ……… 52
13 Pendefinisian Keaonggotaan himpunan ?? ? ? ? ??? ??, ? ? ? ?? ?? ……… 55
14 Iterasi algoritme Pollar- rho pada ? ? ????? ? ? ? ? …………... 60
15 Iterasi Algoritme Pollar- rho pada ? ? ?????, ? ? ? ? ………... 61
16 Iterasi algoritme Pollar- rho ? ? ?????, ? ? ? ? ……… 62
17 Faktorisasi prima order ? ? ??? ?? ………. 67
19 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
agoritme pelacakan lengkap ……… 83 20 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme pelacakan lengkap negatif ………. 83 21 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme Baby-step Giant-step 1 ……….. 83 22 Waktu komputasi solusi masalah algaritma diskret menggunakan
algoritme Baby-step Giant-step 2 ……….. 84 23 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme Baby-Giant-step 3 ……… 84 24 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme Baby-step Giant-step 4 ………... 85 25 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme Pollard-rho ……….. 85 26 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
algoritme Pohlig-Hellman ………. 86
27 Waktu komputasi solusi masalah logaritma diskret menggunakan
DAFTAR ALGORITME
Halaman
1 Algoritme Exhaustive Search (Pelacakan Lengkap) ………. 23
2 Algoritme Pelacakan Lengkap Umum ……… 24
3 Algoritme Pelacakan Lengkap Negatif ………. 31
4 Algoritme Baby-step Giant-step 1 ……….. 37
5 Algoritme Baby-step Giant-step 2 ……….. 41
6 Algoritme Baby-step Giant-step 3 ……….. 44
7 Algoritme Baby-step Giant-step 4 ………. 47
8 Algoritme Fungsi Partisi Elemen-Elemen ? ? ??? ?? ………... 57
9 Algoritme Prima Relatif Acak ………. 57
10 Algoritme Pollard Rho ………... 58
11 Algoritme Pohlig-Hellman ……….. 68
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Daftar Polinomial Primitif ………. 94 2 Program Sistem Aritmetik Finite Field ? ? ??? ? ……… 95 3 Program Birthday Paradox ………. 109 4 Algoritme Penunjang Algoritme Index-Calculus untuk Menentukan
Solusi Masalah Logaritma Diskret pada ? ? ??? ?? ………. 110
5 Faktorisasi Prima ……… 112
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Logaritma adalah suatu operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponensial. Misalkan ? ?? ? ? , logaritma dari ? dengan basis ? ditulis ?? ??? adalah ? sedemikian sehingga ?? ? ? . Jadi operasi logaritma untuk memperoleh y adalah ? ? ? ? ? ? g ? ? sebanyak ? kali sampai menghasilkan ? . Contoh, berapakan nilai ? pada persamaan ?? ? ? ??. Dengan menggunakan operasi di atas diperoleh ? ? ? . Bentuk persamaan ?? ? ? ? merupakan suatu sistem aritmetik pada bilangan real (? ). Menentukan logaritma untuk suatu sistem aritmetik pada ? sudah tidak menjadi masalah karena telah ditemukan kalkulator yang dilengkapi dengan fitur log.
Dalam matematika tidak hanya dikenal sistem aritmetik bilangan real, tetapi juga terdapat sistem aritmetik yang lain. Dalam struktur aljabar diperkenalkan struktur yang disebut grup. Suatu himpunan dengan operasi biner tertentu disebut grup apabila memenuhi (1) asosiatif (2) terdapat elemen identitas (3) setiap elemennya mempunyai invers. Suatu grup dengan operasi biner penjumlahan (+) disebut grup aditif dan grup dengan operasi biner perkalian (?) disebut grup multiplikatif. Dalam tulisan ini diasumsikan bahwa grup adalah grup multiplikatif bersifat siklik. Suatu grup siklik ? yang dibangun oleh ? (? adalah generator dari ? ) berorder ? adalah ? ? ?? ? ? ???? ????g ???? ?}.
Secara umum, misalkan grup ? adalah grup siklik hingga berorder ? dan ? ?? ? ? dengan ? adalah generator dari ? . Logaritma diskret dari ? dengan basis ? dinotasikan dengan ?? ??? adalah integer tunggal ? , ? ? ? ? ? ? ? sedemikian sehingga ?? ? ? . Bagaimana menentukan integer tunggal ? , ? ? ? ? ? ? ? disebut masalah logaritma diskret pada ? (Menezes at,.al 1997). Secara komputasi jika nilai ? relatif kecil maka menghitung ? adalah mudah, akan tetapi akan menjadi sulit (tak layak hitung) untuk ? yang relatif besar. Hal ini menyebabkan masalah logaritma diskret banyak digunakan sebagai tumpuan keamanan pada algoritme kriptografi.
Algoritme-algoritme yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logarotma diskret pada grup siklik hingga ? adalah algoritme Exhaustive Search
(pelacakan pengkap), algoritme Baby-step giant-step, algoritme Pollard-rho,algoritme Pohlig-Hellman, dan algoritme Index-Calculus.
Algoritme-algoritme tersebut telah diterapkan pada grup siklik hingga ??? di mana ? prima (Menezes et al. 1997).
Himpunan integer modulo ? , ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? adalah field di bawah operasi penjumlaha dan perkalian modulo ? . Himpunan semua polinomial dalam peubah (indeterminit) ? dengan koefisien ?? dinotasikan dengan ???? ?. Misalkan ? ?? ? ? ???? ? merupakan polinomial irreducible berderajat ? atas ?? dan ? ? ???? ? dengan ???? ? merupakan perluasan field dari ?? maka
? ? ??? ? ? ???? ?????? ??? ???? ?
adalah finite field berorder ?? dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dalam modulo ? ?? ?. Elemen-elemen tak nol dari finite field ? ? ??? ? membentuk grup perkalian bersifat siklik dengan order ? ? ?? – ?, dinotasikan dengan ? ? ??? ??. Sehingga ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ???. Misalkan ? adalah generator dari ? ? ??? ?? maka ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ??????????g ??? ? ?? dan polinomial irreducibel ? ?? ? ? ???? ? berderajat ? atas ?? merupakan polinomial primitif dengan akar ? .
Penelitian ini membahas tentang eksplorasi algoritme-algoritme tersebut di atas sehingga dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada finite field ? ? ??? ? tanpa elemen nol yaitu pada ? ? ??? ??. Komputasi sistem aritmetik pada finite field ? ? ??? ? menggunakan representasi vektor sebagai input dan mengacu pada tulisan Ahmadi (2009).
Diberikan grup siklik hingga ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? – ? , ? adalah generator dari ? ? ??? ?? dan suatu ? ? ? ? ??? ?? . ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif berderajat ? atas ??. Masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? adalah bagaimana menentukan integer unik yang terdapat pada rentang ? ? ? ? ? ? ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ??? ?? (Menezes at,.al, 1997).
Algoritme exhaustive search (pelacakan lengkap) merupakan algoritme yang berdasarkan pada Definisi Masalah Logaritma Diskret. Kemungkinan solusi sebanyak order dari ? ? ??? ?? yaitu ? ? ?? – ? pada kasus terburuk. Solusi
3
diperoleh dengan melakukan pelacakan terhadap semua kemungkinan tersebut sampai ditemukan solusi yang benar. Algoritme ini tidak efisien untuk ? yang relatif besar. Eksplorasi dilakukan berdasarkan sifat order ? ? ??? ?? yang selalu bernilai genap sehingga pelacakan dapat dilakukan hanya sampai pada setengah dari order ? ? ??? ??. Algoritme hasil eksplorasi disebut Negative Exhaustive
Search Algorithm (algoritme pelacakan lengkap negatif).
Algoritme Baby-step Giant-step 1 adalah algoritme di mana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program (space-time tradeoff ) (Hellman 1980). Jika order ? ? ??? ?? semakin besar maka diperlukan memori komputer yang besar. Eksplorasi dilakukan untuk mengurangi beban memori komputer. Algoritme hasil eksplorasi adalah algoritme Baby-step
Gian-step 2, algoritme Baby-step Gian-step 3 dan algoritme Baby-step Giant- step 4.
Algoritme Pollard-rho menggunakan ide dari teori Birthday Paradox dan
Floyd's cycle-finding. Teori Floyd's cycle-finding digunakan untuk menemukan cycle dalam barisan ??????????g ???? dengan membandingkan unsur-unsur ??
dengan ??? sehingga diperoleh pasangan ??? ???. Teori Birthday Paradox digunakan untuk menjamin adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam suatu barisan diperoleh setelah langkah ke ? ? ? OQ dengan peluang lebih dari setengah (Hoffstein et al. 2008). Algoritme Pollard rho biasanya digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik berorder bilangan prima (Menezes et al. 1997). Grup siklik hingga ? ? ??? ?? selalu berorder bilangan komposit. Eksplorasi dilakukan sehingga algoritme ini dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??.
Algoritme Pohlig-Hellman berlaku untuk ? ganjil pada ? ? ??? ??. (Menezes et al. 1997). Algoritme ini dipengaruhi oleh faktorisasi prima dari order grup. Order ? ? ??? ?? selalu menghasilkan faktorisasi prima besar. Solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? menggunakan algoritme Pohlig-Hellman dipengaruhi oleh faktorisasi prima kecil. Oleh karena itu eksplorasi dilakukan berdasarkan sifat-sifat ? ? ??? ??. Eksplorasi menghasilkan algoritme yang dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? untuk ? ganjil maupun untuk ? genap.
Algoritme Index-Calculus sangat tergantung pada pemilihan subset ? sebagai faktor basis. Faktor basis dipilih dari elemen ? ? ??? ?? sedemikian sehingga elemen-elemen ? ? ??? ?? dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen ? . Dalam penelitian ini faktor basis yang dipilih adalah polinomial elemen-elemen ? ? ??? ?? berderajat kurang dari setengah ? atau sama dengan dengan ? G
Algoritme solusi masalah logaritma diskret yang efisien sangat diperlukan untuk mengukur tingkat keamanan algoritme kriptografi yang tumpuan keamanannya mengandalkan masalah logaritma diskret.
1.2 Tujuan Penelitian
1. Mengkaji secara teoritik masalah logaritma diskret pada finite field ? ? ??? ?G
2. Melakukan eksplorasi algoritme yang berhubungan dengan masalah logaritma diskret.
3. Mengimplementasikan algoritme-algoritme yang dihasilkan pada sofware Maple 11.
1.3 Manfaat Penelitian
Hasil pembahasan penelitian ini dapat digunakan untuk mengukur tingkat keamanan algoritme kriptografi yang tumpuan keamanannya mengandalkan masalah logaritma diskret.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo ? , struktur aljabar dan masalah logaritma diskret.
2.1 Teori Bilangan
Himpunan integer ?GGG?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? GGG? dinotasikan dengan simbol ? .
Definisi 2.1.1 (Menezes et al., 1997) Misalkan ? ?? adalah integer. Maka ? membagi ? jika terdapat integer ? sedemikian sehingga ? ? ? ?. Jika
? membagi ? ? maka dinotasikan oleh ? ?? .
Definisi 2.1.2 (Menezes et al., 1997). Jika ? dan ? adalah integer dengan ? ? ?, maka pembagian ? oleh ? menghasilkan integer ? (hasil pembagian) dan ? (sisa
pembagian) sehingga ? ? ? ? ? ?, di mana ? ? ? ? ? G Sisa pembagian
dinotasikan a mod b dan hasil pembagian dinotasikan a div b.
Definisi 2.1.3 (Menezes et al. 1997) Suatu integer ? dikatakan pembagi bersama dari ? dan ? jika ??? dan ??? G
Definisi 2.1.4 (Menezes et al., 1997) Suatu integer tak negatif d disebut pembagi
bersama terbesar (greatest common divisor/gcd) dari integer ? dan ? ? dinotasikan
? ? ??? ?? ?? ? jika
1. ? adalah pembagi bersama ? dan ? , 2. jika ? dengan ??? dan ??? , maka ??? .
Definisi 2.1.5 (Menezes et al., 1997) Integer ? dan ? dikatakan prima relatif atau disebut juga koprima jika ??? ?? ?? ? ? ? G
Definisi 2.1.6 (Menezes et al., 1997) Untuk ? ? ? , didefinisikan ? ?? ? adalah banyaknya bilangan bulat pada selang ?? ?? ? yang prima relatif dengan ? . Fungsi
Teorema 2.1.7 Teorema dasar aritmetika. (Menezes et al., 1997) Setiap bilangan bulat ? ? ? dapat difaktorkan sebagai produk kuasa prima yang khas :
? ? SH
SH g SNHN ,
di mana pi adalah bilangan prima yang berbeda dan ei bilangan bulat positif.
Teorema 2.1.8 Sifat-sifat fungsi-? Euler (Menezes, et al., 1997) 1. Jika ? prima, maka ? ?? ? ? ? ? ?.
2. Fungsi-? Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika ??? ?? ?? ? ? ? maka ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?
3. Jika ? ? ???????? g ???? adalah faktorisasi prima dari ? , maka ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ???.
Definisi 2.1.9 (Childs, 2009) Untuk sebarang bilangan ? ? ? ? dapat dituliskan dalam suatu bilangan ? menggunakan kuasa ? ,
? ? ???? ? ?
? ? ??? ? ?? GGG? ??? ? ??
di mana untuk setiap ?????GGG??? dimana ? ? ? ? ? ? ? ? ? , hal ini disebut representasi dari ? dalam basis (atau radix) ? .
2.2 Bilangan Bulat Modulo ?
Definisi 2.2.1 (Menezes et al., 1997) Misalkan ? bilangan bulat positif. Bilangan bulat modulo ? , dinotasikan ??, adalah himpunan bilangan bulat ?? ?? ?? ?g ?? ? ? ?. Operasi penjumlahan, pengurangan dinyatakan dalam
modulo ? .
Definisi 2.2.2 (Menezes et al., 1997) Jika ? dan ? adalah integer, maka ? disebut
kongruen ? modulo ? , ditulis ? ? ? ?• ? ? ? ?, jika ? membagi ?? –? ?G Integer ?
disebut modulus dari kongruensi.
Teorema 2.2.3 Sistem Residu Lengkap (Niven et al., 1991, diacu dalam Lestari 2007) Sistem Residu Lengkap Modulo ? G Jika ? ? ? ?• ? ? ? ? maka ? disebut residu dari ? modulo ? G Selanjutnya himpunan ? ? ???????g ???? dinamakan sistem residu lengkap (SRL) modulo ? jika untuk setiap integer ? terdapat satu dan hanya satu ?? sedemikian sehingga ? ? ???• ? ? ? ?G
7
Teorema 2.2.4 Sistem Residu Tereduksi Modulo ? (Niven et al., 1991, diacu dalam Lestari 2007). Sistem residu tereduksi (SRT) modulo ? adalah himpunan bilangan bulat ??, di mana ??? ????? ? ? ? ???? ?? ??•? ? ? ?G Selanjutnya, setiap ? yang prima relatif dengan ? kongruen dengan suatu ?? pada himpunan tersebut.
Definisi 2.2.5 (Menezes et al., 1997) Misalkan ? ? ??. ? memiliki invers jika dan hanya jika ??? ?? ?? ? ? ? .
Definisi 2.2.6 (Menezes et al., 1997) Misalkan ? ? ??. Multiplikatif invers atau invers perkalian dari ? modulo ? adalah sebuah bilangan bulat ? ? ?? sedemikian sehingga ? ? ? ? ?• ? ? ? ?. Jika ? ada, maka pasti unik, dan ? disebut memiliki invers (invertible). Invers dari ? dinotasikan sebagai ?? ?.
Teorema 2.2.7 (Menezes et al. 1997) Misalkan ? ??. Maka ? adalah invertibel jika dan hanya jika ??? ?? ?? ? ? ? G
Definisi 2.2.8 (Menezes et al., 1997) Misalkan ? ?? ? ??. Pembagian ? oleh ? modulo ? adalah perkalian ? dengan ?? ? modulo ? , yang terdefinisi jika ? mempunyai invers modulo ? .
Teorema 2.2.9 (Menezes et al. 1997) Misalkan p adalah prima.
1. (Teorema Fermat) Jika ??? ?? ?? ? ? ? , maka ?? ? ? ? ? ?• ? ? ? ?G 2. Jika ? ? ??• ? ? ? – ? ?, •?•? ?? ? ???• ? ? ? ? untuk setiap integer ? G 3. Khususnya, untuk sembarang integer ? ? ? ? ? ? ?• ? ? ? ?G
Teorema 2.2.10 Teorema Sisa Cina (Menezes ?? ? ?G?1997) Misalkan ? ??? ??g ?? ? merupakan integer prima relatif satu sama lain, dan misalkan ??????g ??? adalah sembarang integer maka sistem kongruensi
? ? ???? ? ? ? ??, ? ? ???? ? ? ? ??,…, ? ? ???? ? ? ? ??…….. (?) mempunyai solusi. Jika ?? adalah salah satu solusinya, maka bilangan bulat ? memenuhi sistem kongruensi (?) jika dan hanya jika ? ? ?? ? ? ? untuk suatu bilangan bulat ? dan ? ? ? ?? ?g ? ?.
Algoritma 2.2.11 Gauss (Menezes ?? ? ?G?1997). Solusi ? dari Teorema 2.2.10 dapat dihitung sebagai ? ? s ?? ?? ????? ?? • ? ? ??, dimana ??? ? ?? dan ?
? ?? ??? ? ? ? ? ? ?.
Lemma 2.2.12 (Safaat 2007) Andaikan M adalah himpunan hingga dan diketahui ada fungsi ? ?? ? ? G Dipilih ?? ? ? untuk membangkitkan barisan ??? ??? ???g dengan menggunakan iterasi ??? ? ? ? ???? untuk ? ? ? . Ada ??? ? ? sehingga ??? ?? untuk ? ? ? dan ada ? ? ? sehingga ?? ? ???. Jika barisan ??? ??? ???g dibangkitkan oleh ?? ? ?? menggunakan iterasi ??? ? ? ? ?? ????? untuk ? ? ? maka hasilnya akan sama dengan barisan ??? ??? ???g
Teorema 2.2.12 Sifat-sifat kongruensi (Koshy 2007).
Misal ? ?? ???? dan ? adalah integer, maka pernyataan berikut benar :
1. ? ? ? ?• ? ? ? ? jika dan hanya jika ? ? ? ? ? ? untuk suatu integer ? G 2. ? ? ? ?• ? ? ? ? (sifat refleksi)
3. Jika ? ? ? (mod n) maka ? ? ? ?mod ? ?G (sifat simetri)
4. Jika ? ? ? ?• ? ? ? ? dan ? ? ??• ? ? ? ?? maka ? ? ??• ? ? ? ?G (sifat
transitif)
5. ???? ? ? ? ?mod ? ? dan ? ? ? ?mod ? ?? maka (i) ? ? ? ? ? ? ? ?•?? ? ??
(ii? ? ? ? ? ? ?• ? ? ? ? 6. Jika ? ? ? ?• ? ? ? ? maka
(i) ? ? ? ? ? ? ? ?•?? ? ?, (ii) ? ? ? ? ??• ? ? ? ?G
7. Jika ? ? ? ? ??• ? ? ? ? dan gcd(??? ? ? ? , maka ? ? ? ?• ? ? ? ?G 8. Jika ? ? ? ? ??• ? ? ? ? dan gcd???? ? ? ? , maka ? ? ? ?• ? ? ? ?? ?G 9. Jika ? ? ? ?• ? ? ???, di mana ? ? ? ? ? , maka
? ? ? ?• ? ? ???????GGG?????G
10. Jika ? ? ? ?• ? ? ? ?? maka ?? ? ???• ? ? ? ? untuk sembarang integer positif ? .
9
Teorema 2.2.13 (Menezes et al. 1997) Misalkan ? ? ??? ?? ?? ?G Kongruensi ? ? ? ? ?• ? ? ? ? mempunyai solusi ? jika dan hanya jika ? membagi ? , dalam hal ini terdapat solusi eksak ? antara ? dan ? –? .
2.3 Struktur Aljabar 2.3.1 Grup
Operasi biner (?? pada suatu himpunan ? adalah suatu fungsi ? ? ? ? ?
????? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
Operasi biner ??? pada himpunan ? harus memenuhi ketiga kriteria berikut: 1. Universal, semua elemen ? ? ? harus mempunyai nilai.
2. Unik, tidak bernilai ganda.
3. Tertutup, setiap ? ? ? harus berada di ? .
Definisi 2.3.1.1 (Aliatiningtyas, 2002) Sruktur aljabar ? dengan operasi biner ??) disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Opersai biner ??? bersifat assosiatif: yaitu berlaku, ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? .
2. Terdapat elemen identitas ? ? ? untuk ??? pada ? , sehingga berlaku ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? .
3. Untuk setiap ? ? ? terdapat ?? ? ? ? , sedemikian ????•??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yang dalam hal ini ? adalah elemen identitas dan ?? ? adalah invers dari ? .
Grup ? disebut grup komutatif jika operasi ??? bersifat komutatif yaitu : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? G
Definisi 2.3.1.2 (Guritman 2004) Misal ? sembarang grup, ? ? ? , dan ? bilangan bulat positif, maka:
? ? ? ? G? G? g ?? ?? ? ?? ? ? ???? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?G?? ?G?? ? g ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?.
Teorema 2.3.1.3 (Aliatiningtyas, 2002) ????? ? G? merupakan grup komutatif. Teorema 2.3.1.4 (Guritman 2004) Jika ? yaitu suatu grup dan ? ? ? , maka untuk setiap bilangan bulat ? dan ? berlaku hukum eksponen:
1. ?? ?? ? ?? ? ?G 2. ??? ?? ? ?? ? 3. ??? ??? ? ????? ? .
Definisi 2.3.1.5 (Guritman 2004) Misal ? dan ? grup. Suatu homomorfisma (grup) dari ? ke ? adalah suatu fungsi ? ?? ? ? sehingga untuk sembarang ? dan ? di dalam ? berlaku
? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?G
Definisi 2.3.1.6 (Guritman 2004) Misal ?? dan ?? grup. Homomorfisma ? ?? ? ? ? ? yang bijektif disebut isomorfisma dari ?? ke ??. Dua grup ?? dan ?? dikatakan isomorfik, dinotasikan ?? ? ??? jika ada suatu isomorfisma dari ?? ke ??G Bayangan (Imej) dari ? ? dinotasikan Im ?? ?? yaitu
Im ??? ? ????? ? ??????? ? ???G Kernel dari f, dinotasikan ker (f), yaitu
Ker (? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ??G
Definisi 2.3.1.7 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan ? grup dan ? subgrup dari ? . Maka N disebut subgrup normal dari ? jika ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? G
Definisi 2.3.1.8 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan ? grup, ? subgrup normal dari ? dan himpunan ? ?? beserta operasi perkalian pada ? ?? adalah sebagai berikut:
? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G
Maka ? ?? merupakan grup dan disebut grup faktor dari ? oleh ? .
Teorema 2.3.1.9 Teorema Dasar Homomorfisma untuk Grup (Aliatiningtyas 2002) Misalkan ? ? ? ? ? ? epimorfisma (surjektif) grup dengan Ker ? ? ? ? maka ? ?? ? ? ?G
11
Definisi 2.3.1.10 (Menezes,et al. 1997) Suatu grup ? dikatakan berhingga jika
kardinalitas ? berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga disebut order. Definisi 2.3.1.11 (Menezes,et al. 1997) Misalkan ? grup dan ? ? ? . Order dari
? (notasi O(a)) didefinisikan sebagai integer positif terkecil ? sedemikian sehingga ?? ? ?, jika integer tersebut ada. Jika tidak terdapat integer ? yang demikian maka order dari ? adalah tak hingga.
Definisi 2.3.1.12 (Menezes, et al. 1997) Suatu himpunan bagian tak nol ? dari grup ? adalah subgrup dari ? jika ? adalah grup yang operasinya sama dengan ? . Jika ? adalah subgrup dari ? dan ? ? ? , maka ? disebut proper subgrup dari ? .
Definisi 2.3.1.13 (Aliatiningtyas 2002) Misal ? adalah subgrup dari grup ? dan ? ? ? G Himpunan bagian ? ? ? ?? ? ??∈? ? disebut koset kiri dari ? yang memuat ? , dan ? ? ? ?? ? ??∈? ? dan disebut koset kanan dari ? yang memuat ? G
Teorema 2.3.1.14 Teorema Lagrange (Guritman 2004). Misalkan ? yaitu grup berhingga dan ? subgrup dari ? . Maka order dari ? membagi order ? G Akibatnya, jika ? sembarang elemen ? , maka ? ?? ? membagi order ? G
Lemma 2.3.1.15 (Rokhayat, 2005) Jika order dari ? modulo ? adalah ? maka, ? ?? ??? ?g ??? ? ? saling tidak kongruen.
Definisi 2.3.1.16 Guritman, 2004) Grup ? disebut siklik jika dan hanya jika ada elemen ? ? ? (? disebut generator) sehingga
? ? ?? ? ? ????? ? ? ?
Lemma 2.3.1.17 (Guritman 2004) Misalkan ? ? ?? ? dengan ?? ? ? ? ? jika ? ?? ? maka ?? ? ?? ? ? ??? ? ?? merupakan subgrup dari ? dan ??? ? ? ? G Proposisi 2.3.1.18 (Guritman, 2004) ??? ? ?? ? ?? ? akan merupakan grup terhadap perkalian jika dan hanya jika ? adalah prima. Misalkan ? adalah prima , ??? ? ?? ?? ?? ?g ?? ? ? ?
merupakan grup abelian (komutatif) terhadap operasi perkalian modulo ? . Jika ? ? ??? invers dari ? adalah solusi dari persamaan ?? ? ? • ? ? ?. Secara umum, untuk sembarang integer ? dengan ? ? ? , himpunan yang didefinisikan
? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ?? ? ? ? ?
adalah merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian modulo ? . Integer ? dan ? sehingga gcd(? ?? ? ? ? disebut prima relatif.
Teorema 2.3.1.19 Sifat-sifat Grup Siklik (Guritman 2004). 1. Setiap grup siklik adalah abelian (komutatif).
2. Setiap subgrup dari grup siklik yaitu siklik. 3. Jika ? ? ?? ? dan ? ? ? ? maka ? ?? ??? ?? ?G
4. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k|n, maka ada b ?
G sehingga ? ?? ? ? ? G
5. Misalkan ? yaitu grup abelian berorder ? ? dengan ? dan ? prima relatif. Jika ? ?? ? ? dengan ? ?? ? ? dan ? dengan ? ?? ? ? ? , maka ? merupakan grup siklik dengan ? ? ?? ? ?
6. Unsur ?? merupakan generator dari ? ? ?? ? dengan ?? ? ? ? jika dan hanya jika ? dan ? prima relatif.
2.3.2 Ring (Gelanggang)
Definisi 2.3.2.1 (Aliatiningtyas 2002) Struktur aljabar ?? ?? ??? dengan operasi (+) disebut operasi penjumlahan dan operasi ??? disebut operasi perkalian, adalah
ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.
1. ?? ?? ? grup komutatif.
2. Operasi perkalian bersifat asosiatif.
3. Hukum distributif kiri berlaku ? ?,? ,? ? ? , ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? Hukum distributif kanan berlaku, ? ? ?? ?? ? ? , ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?G
Elemen identitas terhadap ?? ? dinotasikan dengan ? dan disebut elemen nol. Selanjutnya,
1. Jika operasi perkalian bersifat komutatif, ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? maka ? disebut ring komutatif.
13
2. Jika ada elemen identitas dibawah operasi perkalian (elemen ini disebut elemen kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat unkes), ? ? ? ? ? ? 1? ? , ? ?? ? ? ?? ? ? maka ? disebut ring dengan elemen kesatuan (unkes). Teorema 2.3.2.2 (Aliatiningtyas, 2002) Himpunan ????? ? G? terdiri dari bilangan-bilangan bulat modulo ? merupakan ring.
Teorema 2.3.2.3 (Buchman, diacu dalam Riyanto, 2007) Jika ? adalah bilangan bulat dengan ? ? ? maka ????? ?G? adalah ring komutatif dengan unkes (uniti) ? ? ?? selanjutnya ring seperti ini disebut dengan ring bilangan bulat modulo ? . Definisi 2.3.2.4 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan ? ring, ? ? ? ?? ? ? G Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi:
1. a, b ? I ? a – b ? I
2. r ? R, a ? I ? ra ? I dan ar ? I.
Definisi 2.3.2.5 (Rosdiana, 2008) Misalkan ? ring komutatif dengan elemen kesatuan 1 dan ? ? ? . Suatu himpunan dilambangkan dengan ?? ?, didefinisikan sebagai ?? ?? ??? ?? ? ? ?. Dapat ditunjukkan bahwa ?? ? merupakan ideal dan disebut ideal utama yang dibangun oleh ? .
Definisi 2.3.2.6 (Aliatiningtyas 2002) Ideal M dari ring R disebut ideal maksimal jika tidak ada ideal sejati dari R yang memuat M.
Definisi 2.3.2.7 (Aliatiningtyas 2002) Fungsi ? dari ring R ke ring R’ disebut homomorfisma jika ? a,b ? R, berlaku
? (a + b) = ? (a) + ? (b) ? (ab) = ? (a) ? (b)
Kernel ? = { a ? R | ? (a) = 0’}, 0’ elemen nol dari R’. Im(? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ). Jika ada isomorfisma dari R ke R’, maka dikatakan R isomorfik dengan R’, dinotasikan: R ? R’.
Teorema 2.3.2.8 (Rosdiana, 2008) misal ? ?? ? ? ? ring homomorfisme. Maka ker??? ? ?? ? ? ????? ? ??? merupakan ideal.
Definisi 2.3.2.9 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan R ring, N ideal dari ? ? maka koset-koset aditif dari N adalah ? ? ? dengan ? ? ? . Definisikan: ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan:
?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? G
Teorema 2.3.2.10 (Aliatiningtyas 2002)) ? ? ?? ?? ?? ? merupakan ring dan disebut ring faktor dari ? oleh ? G
2.3.3 Field (Lapangan)
Definisi 2.3.3.1 (Menezes et al., 1997) Field adalah ring komutatif, ada elemen kesatuan (unkes) dan semua elemen tak nolnya mempunyai invers perkalian.
Definisi 2.3.3.2 (Menezes et al., 1997) Suatu field ? dikatakan berhingga (finite
field) jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order ?
adalah banyaknya elemen ? .
Teorema 2.3.3.3 (Menezes, et al,. 1997) ?? adalah field jika dan hanya jika ? bilangan prima.
2.4 Polinomial Ring
Definisi 2.4.1 (Menezes et al., 1997) Jika ? adalah ring maka polinomial ? ?? ? dalam peubah (indeterminit) ? yang diekspresikan dalam bentuk
? ?? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ???
di mana masing- masing ?? ? ? dan ? ? ? . ?? adalah koefisien dari ?? dalam ? ?? ?. Integer terbesar ? pada ?? ? ? disebut derajat ? ?? ?, dinotasikan deg? ?? ? dan ?? disebut koepisien utama (leading koefisien) dari ? ?? ?. Jika ? ?? ? ? ?? dan ?? ? ? maka ? ?? ? berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Jika semua koefisien ? ?? ? adalah nol maka ? ?? ? disebut polinomial nol dan derajatnya ? ? . Jika koeofisien utamanya 1 maka ? ?? ? disebut polinomial monik.
Definisi 2.4.2 (Rosdiana 2008) Misalkan ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? dan ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? ? dengan asumsi ? ?? ? dan ? ?? ? berderajat sama maka operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah:
15
? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ????? ? ?? ?? ?? ? ? ???? ? ????? ? ?????? ? ? ? ???????
Teorema 2.4.3 (Fraleigh 2000) Himpunan ? ?? ? terdiri dari setiap polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring ? merupakan sebuah ring dibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial. Selanjutnya jika ? komutatif maka ? ?? ? juga komutatif, dan jika ? memiliki unkes ? maka ? juga merupakan unkes dalam ? ?? ?G
Teorema 2.4.4 (Rosdiana 2009) Misalkan F field, I ideal tak nol di F[x], dan elemen g(x) ? F[x]. Ideal I ? ?J?[?? jika dan hanya jika g(x) merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I.
Definisi 2.4.5 (Fraleigh, 2000) Suatu polinomial yang bukan konstanta ? ?? ? ? ? ?? ? adalah irreducible atas ? atau irreducible atas ? ?? ? jika ? ?? ? tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian ? ?? ?? ??? yakni dua polinomial ? ?? ? dan ? ?? ? dalam ) >[ @ yang keduanya berderajat lebih rendah dari ? ?? ?G Jika ? ?? ? ? ? ?? ? polinomial yang bukan konstanta tak irreducible maka ? ?? ? adalah reducible. Proposisi 2.4.6 (Laurtzen, 2003) Misalkan? ?? ? ? ? ?? ? maka ideal ?? ?? ?? adalah ideal maksimal jika dan hanya jika ? ?? ? adalah irreducible atas ? .
Teorema 2.4.7 (Menezes 1997) Jika ? ?? ? adalah irreducible atas ? , maka ring
faktor ? ?? ???? ?? ?? adalah field.
Teorema 2.4.8 (Menezes et al,. 1997) Polinomial irreducible ? ?? ? ? ????? berderajat ? adalah polinomial primitif jika dan hanya jika ? ?? ? membagi ?? –? untuk ? ? ?? –? dan bukan untuk integer positif terkecil ? .
Teorema 2.4.9 (Menezes et al. 1997) ????? adalah faktorisasi domain tunggal.
Yakni, setiap polinomial tak nol ? ?? ? ? ???? ? memiliki faktorisasi ? ?? ? ? ? ??????????? ??? g ??????? di mana ???? ? polinomial irreducible dalam
2.5 Perluasan Field
Teorema 2.5.1 (Rosdiana, 2008) Misal ? subfield dari field ? , ? ? ? dan ? tak tentu (indeterminit). Pemetaan ???? ?? ? ? ? yang didefinisikan dengan ???? ?? ?? ? ? ??? di mana ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ?
???, ? ?? ? ? ? ?? ? merupakan homomorfisme. Homomorfisma ?F disebut homomorfisma evaluasi, dan berlaku ???? ? ? ?, ????? ? ?, ? ? ? .
Definisi 2.5.2 (Rosdiana, 2008) Jika ? field yang memuat subfield ? , maka ? disebut perluasan field dari ? .
Teorema 2.5.3 (Fraleigh 2000) Misalkan ? adalah field dan ? ?? ? adalah polinomial tak konstan di ? ?? ?. Ada perluasan field ? dari ? dan ada ? ? ? sedemikian sehingga ? ??? ? ? .
Definisi 2.5.4 (Rosdiana 2009) Jika field E dibangun oleh unsur c atas field F, maka E disebut perluasan dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan.
Definisi 2.5.5 (Rosdiana 2009) Misal ? perluasan field dari field ? dan ? ? ? . ? disebut algebraic atas ? jika ? ??? ? ? untuk ? ?? ? ? ? ?? ? yang tak nol.
Teorema 2.5.6 (Rosdiana 2009) Misal ? ? ? ??? dengan ? ? ? algebraic atas ? , dan deg???? ? ? ? ? ? ? ?. Setiap unsur Ε dari ? ? ? ??? dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk ? ? ? ? ? ??? ?? GGG? ?? ? ??? ? ?, di mana ?? ? ? G Teorema 2.5.7 (Menezes et al., 1997)
1. Jika F adalah finite field, maka F mempunyai ?? elemen untuk ? prima dan ? ? ? G
2. Untuk setiap perpangkatan bilangan prima ?? , ? ? ? terdapat satu finite
field berorder ?? . Field ini dinotasikan ? ? ??? ?.
Teorema 2.5.8 (Menezes et al. 1997) Misalkan ? ?? ? ? ? ?? ? adalah polinomial
irreducible atas ? berderajat ? . Maka ? [x]??I?[??adalah finite field berorder ?? G Penjumlahan dan perkalian polinomial dinyatakan dalam bentuk modulo ? ?? ?G
17
Teorema 2.5.9 (Rosdiana 2009) Misal ? ?? ? adalah polinomial irredusibel berderajat m atas ??,
? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ????????g ??? ? ? ? ??? adalah field.
Definisi 2.5.10 (Guritman 2005) Diberikan sembarang himpunan ? dan sembarang field ? . Pada ? didefinisikan aturan penjumlahan dan aturan perkalian skalar vektor. ? disebut ruang vektor atas ? jika memenuhi aksioma-aksioma berikut.
1. ?? ? ?? ? ? ? ?? K? ? ? ? ? ? ? ? ? G
2. ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?G 3. ??K?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G
4. ?? ? ? ? ???K?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, dalam hal ini ? ? ? ?G 5. ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G
6. ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? K? ? ? ? ? ? ? ? G 7. ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ??G 8. ?? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ??G 9. (? ? ?? ? ? , ? u ? ? ) ?? ?? u = ? ??? ?G
10. ?? ? ? ? ? ?? ? ? di mana ? adalah unsur identitas dari ? terhadap operasi perkalian
Definisi 2.5.11 (Rosdiana, 2008) Misalkan ? perluasan field dari field ? dan ? ? ? agebraic atas ? . Polinomial irreducible untuk ? atas ? dari polinomial monik ? ?? ? dinotasikan dengan irr(?? ? ? dan derajat polinomial irreducible untuk ? atas ? dinotasikan dengan deg(?? ? ?.
Teorema 2.5.12 (Rosdiana 2009) Misal ? perluasan field dari field ? dan ? ? ?
algebraic atas ? . Jika deg???? ? ? ? , maka ? ??? adalah ruang vektor atas
? berdimensi-? dengan basis {? ?????? GGG??? ? ??G
Teorema 2.5.13 (Menezes, et al. 1997) Himpunan elemen-elemen tak nol ? ? ??? ? membentuk sebuah grup dibawah operasi perkalian disebut grup perkalian dari ? ? ??? ?. dinotasikan dengan ? ? ??? ??.
Teorema 2.5.14 (Menezes et al. 1997) Grup ? ? ?? ?? di mana ? ? ?? adalah
grup siklik multiplikatif berorder ? –? . Karenanya ?? ? ? untuk setiap ? ? ? ? ??? ??.
Teorema 2.5.15 (Rosdiana, 2008) Sembarang ? ? ??? ? memuat elemen primitif atau akar primitif.
Definisi 2.5.16 (Menezes at.al 1997) Suatu polinomial irreducible ? ?? ? ? ???? ? berderajat ? disebut polinomial primitif dengan akar ? , jika ? adalah generator dari ? ? ??? ??.
2.6 Masalah Logaritma Diskret
Definisi 2.6.1 (Menezes et al. 1997) Misal ? adalah grup siklik hingga berorder ? . Misal ? adalah suatu generator dari ? , dan misalkan ? ? ? . Logaritma diskret dari ? , dengan basis ? , dinotasikan ?? ??? adalah integer tunggal ? , ? ? ? ?
? ? 1, sedemikian sehingga ?? ? ? G
Teorema 2.6.2 (Menezes et al. 1997) Jika ? ?adalah generator grup siklik ? berorder ? ?? ?? ? ? dan ? adalah integer maka
?? ???? ? ? ? ?????? ? ?? ??? ? • ? ? ? dan ?? ?????? ? ? ????? • ? ? ?
Definisi 2.6.3 (Menezes et al. 1997) Diberikan grup siklik hingga ? berorder ? , suatu generator ? dari ? , dan ? ? ? , Masalah logaritma diskret adalah mene ntukan integer ? , ? ? ? ? ? ? ? sedemikian sehingga
?? ? ? (mod ? )
Teorema 2.6.4 (Lestari, 2007) Misalkan ? adalah generator dari ? ?Q, maka untuk setiap ? ? ??Q terdapat nilai ? yang khas pada rentang ? ? ? ? ? ?? ? – ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??G
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas tentang finite field ? ? ??? ?, masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??, solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? menggunakan algoritme Exhaustive Search, algoritme Baby-Step Giant Step,
algoritme Pollard’s rho, algoritme Pohlig-Hellman dan algoritme Index-Calculus, dan komputasi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??.
3.1 Finite Field ? ? ??? ?
Berikut ini adalah pembahasan tentang finite field ? ? ??? ?. Berdasarkan Teorema 2.3.3.3, ?? merupakan field. Berdasarkan Definisi 2.4.3, himpunan ???? ? terdiri dari setiap polinomial dalam peubah (indeterminit) ? dengan koefisien ??. Misalkan ? ? ???? ?, maka berdasarkan Teorema 2.5.1 dapat ditunjukkan bahwa
?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ???? ?,
dengan ? ?? ? ? ???? ? polinomial irreducible atas ??. Berdasarkan Teorema 2.4.7, ???? ? ?? ?? ?? ? merupakan field, akibatnya ???? ? adalah field, selanjutnya menurut Teorema 2.5.3, ???? ? merupakan perluasan field dari ??. Misalkan deg(? ???? ? ? , ? ? ? maka berdasarkan Teorema 2.5.6, setiap elemen Ε dari
???? ? dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk
? ? ? ? ? ??? ?? GGG? ?? ? ??? ? ?, di mana ?? ? ??G (1a) Selanjutnya Teorema 2.5.7, ? ? ??? ? menunjukkan eksistensi dan ketunggalan dari ? ? ??? ?. Berdasarkan Teorema 2.5.8 dan Teorema 2.5.9
? ? ??? ? ? ?
??? ? ?? ?? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ????? ???
(1b) Selanjutnya menurut Teorema 2.5.12, ???? ? merupakan ruang vektor berdimensi
? atas ?? dengan basis {? ?? ?? ?? GGG??? ? ??GPolinomial pada persamaan (1a) dapat direpresentasikan sebagai
Berdasarkaan uraian di atas finite field ? ? ??? ? ? ???? ? ?? ?? ?? ? ? ???? ? dapat direpresentasikan dalam bentuk sebagai berikut:
1. Representasi himpunan polinomial ? ? ??? ? ? { ?
? ? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ???? ? ??}
2. Representasi ruang vektor atas ?? berdimensi ? dengan basis standar {? ?? ?? ?? GGG??? ? ??
3. Representasi vektor dengan koordinat { ??? ??? ???g ??? ? ?? sehingga ? ? ??? ? ? {[??? ??? ???g ??? ? ?? ???? ???.
Berdasarkan Teorema 2.5.13, himpunan elemen-elemen tak nol dari finite
field ? ? ??? ? membentuk sebuah grup terhadap operasi perkalian dinotasikan
dengan ? ? ??? ?? disebut grup multiplikatif (perkalian) dari ? ? ??? ?, jadi ? ? ??? ?? ? ?? ? ??? ?????. Menurut Teorema 2.5.14, ? ? ??? ?? merupakan grup siklik berorder ? ? ?? ? ? . Jika dipilih ? ?? ? ? ???? ? polinomial
primitif maka ? adalah generator dari ? ? ??? ??. Sehingga
? ? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ????g ??? ? ??. (1d) Selanjutnya menurut Lemma 2.3.1.15, elemen-elemen ? ?? ????g ??? ? ? semuanya berbeda.
Contoh 3.1.1
Diberikan grup siklik ? ? ?????? ? generator ? ? ????? dan ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif atas ?? berderajat ? dengan ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? . Order dari ? ? ????? adalah ? ? ?? ? ? ? 24, ? ?? ? ? ? G Representasi elemen-elemen
? ? ????? dengan generator ? adalah • ?? ? ? • ?? ? ? • ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? G • ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? G • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? G
21 • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? G • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? • ??? ? ???? ? ? ? ? ?
Tabel dibawah ini menunjukkan representasi ? ? ????? dengan generator ? yaitu ? ? ????? ? ?? ? ? ??????????g ?????
Tabel 1 Representasi elemen-elemen grup siklik ? ? ????? ? ?? ?.
No Representasi Grup Siklik Representasi Polinomial Representasi Vektor 1 ?? ? [1,0] 2 ?? ?? [0,1] 3 ?? ? ? ? ? [3,4] 4 ?? ? ? ? ? [2,4] 5 ?? ? ? ? ? [2,3] 6 ?? ? ? ? ? [4,4] 7 ?? ? [2,0] 8 ?? ? ? [0,2] 9 ?? ? ? ? ? [1,3] 10 ?? ? ? ? ? [4,3] 11 ??? ? ? ? [4,1] 12 ??? ? ? ? ? [3,3] 13 ??? ? [4,0] 14 ??? ? ? [4,0] 15 ??? ? ? ? [2,1] 16 ??? ? ? ? [3,1] 17 ??? ?? ? ? [3,2] 18 ??? ? ? ? [1,1] 19 ??? ? [3,0] 20 ??? ? ? [0,3] 21 ??? ? ? ? ? [4,2] 22 ??? ? ? ? ? [1,2] 23 24 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? [1,4] [2,2] 3.2 Masalah Logaritma Diskret Pada ? ? ??? ??
Jika diberikan grup siklik ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? ? ? , ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif berderajat ? atas ??, ? generator ? ? ??? ?? dan
? ? ? ? ??? ?? maka berdasarkan Definisi 2.6.1 dan Definisi 2.6.3, logaritma diskret dari ? dengan basis ? ditulis dengan notasi ?? ??? adalah integer unik ? , ? ? ? ? ? ? ? sedemikian sehingga
?? ? ? ?• ? ? ? ?? ?? (2a) Bagaimana menentukan nilai ? disebut masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??.
Nilai ? yang merupakan solusi dari kongruensi (2a) diperoleh dengan menggunakan operasi logaritma diskret yaitu ? ? ?? ??? . Teorema berikut menjamin bahwa nilai ? adalah unik.
Teorema 3.2.1 Misalkan diberikan grup siklik ? ? ??? ??, ? adalah generator dari
? ? ??? ??, ? ? ? ? ??? ??, ? ?? ? ? ?
??? ? adalah polinomial primitif berderajat ? atas ? , dan ? ? ??? ?? berorder ? ? ?? –? . Maka terdapat nilai ? yang unik pada rentang ? ? ? ? ? –? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??G
Bukti :
Diketahui ? adalah generator dari ? ? ??? ?? berorder ? , maka berdasarkan Lemma 2.3.1.15, elemen-elemen ? ?? ????g ??? ? ? semuanya berbeda. Karena banyaknya elemen ? ? ??? ?? adalah ? , maka terdapat korespondensi 1-1 antara ? ?? ????g ??? ? ? dengan elemen ? ? ??? ??, mengikuti aturan sistem residu tereduksi (Teorema 2.2.4).
Akibatnya ? ? ? ? ??? ?? dipetakan tepat satu ke ? ?? ????g ??? ? ?. Dalam hal ini
untuk setiap ? ? ? ? ??? ?? ada tepat satu ?? ? ? ? ??? ?? sedemikian sehingga ?? ? ? ?•?? ? ?? ??G
Jadi, terbukti bahwa ada tepat satu ? ? ? ? ? ? ? – ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?•?? ? ?? ??G ?
Menentukan solusi masalah logaritma diskret ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ?? pada ? ? ??? ?? akan menjadi tidak layak hitung (sulit) jika order dari ? ? ??? ?? relatif besar. Oleh karena itu diperlukan algoritme untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ??G
3.3 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada ? ? ??? ??
23
masalah logaritma diskret diantaranya adalah algoritme Exhaustive search
(pelacakan lengkap), algoritme Baby-Step Giant Step, algoritme Pohlig-Hellman
algoritme , algoritme Pollard-rho dan algoritme dan Index-Calculus. Algoritme-algoritme ini berlaku pada grup siklik ? secara umum dan secara konkret telah diterapkan pada grup siklik ???, berorder ? ? ? , ? prima dengan operasi perkalian modulo ? (Menezez at al,. 2007). Dalam tulisan ini algoritme-algoritme tersebut dieksplorasi sehingga dapat digunakan untuk menentukan solusi masalah logaritme diskret pada grup siklik ? ? ??? ??.
Komputasi algoritme hasil eksplorasi menggunakan representasi elemen ? ? ??? ?? dalam bentuk vektor penta. Komputasi algoritme sistem aritmetik standar (rutin) sebagai penunjang algoritme solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? mengacu pada tulisan Ahmadi (2009). Algoritme-algoritme tersebut adalah algoritme UbahDesKePen, AdisiP, ReduNol, KvekP, Gsatu, GcdP, MultiP, NegP, BagiP (tanpa modulo), RbagiP (dengan modulo), InvP dan ExpP.
3.3.1 Algoritme Exhaustive Search (Pelacakan Lengkap)
Algoritme Exhaustive search disebut juga algoritme pelacakan lengkap. Ide dasar dari algoritme pelacakan lengkap adalah definisi logaritma diskret (Definisi 2.6.3). Solusi masalah logaritma diskret ? pada kongruensi (2a) diperoleh dengan cara mengalikan ?? dengan ? sampai diperoleh ?. Banyaknya langkah dalam proses perkalian ini adalah ?, ? ? ? ? ? ? ? . Proses perhitungan berhenti setelah diperoleh ? yang memenuhi ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ??. Solusinya adalah ? ? ?? ??? ?• ? ? ? ? ? ?.
Berikut ini adalah algoritme pelacakan lengkap untuk menentukan masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ??? ?? dengan representasi elemen-elemen ? ? ??? ?? dalam bentuk vektor penta.
Algoritme 3.3.1.1 (PelacLog)
Algoritme Pelacakan lengkap untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ??? ??
Output : Integer positif (? ? Langkah- langkah:
1. A=[0,1], ? ? ?
2. Untuk ? dari 1 selama A tidak sama dengan B lakukan:
2.1 A=Gunakan algoritme MultiP dengan input vektor A, [0,1] dan integer ? 2.2 ? ? ? ? ? .
Return (? )
Algoritme berikut berlaku untuk basis logaritma sembarang.
Algoritme 3.3 1.2 PelacLogUmum
Algoritme Pelacakan Lengkap Umum dengan basis logaritma sembarang untuk menentukan solusi masalah logaritma diskret pada grup siklik ? ? ??? ??
Input : Vektor T = ??????????g ???, vektor B = ??????????g ??? dan integer positif ?
Output : Integer (? ? Langkah- langkah:
1. A = T, ? ? ?
2. Untuk ? dari 1 selama A tidak sama dengan B, lakukan:
2.1 A=Gunakan algoritme MultiP dengan input vektor A, vektor [0,1] dan integer positif ? .
2.2 ? ? ? ? ? 3. Return (? ?
Implementasi algoritme ini menggunakan software Maple 11, dapat dilihat pada Lampiran 6. Beban komputasi algoritme ini adalah ?? ? ? .
Berikut ini diberikan contoh menentukan masalah logaritma diskret pada ? ? ??? ?? menggunakan algoritme pelacakan lengkap dengan representasi elemen-elemen ? ? ??? ?? dalam bentuk polinomial.
Contoh 3.3.1.3
Diberikan ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif atas ?? berderajat ? dan grup silkik ? ? ?????? ? adalah generator dari ? ? ?????, ? ? ? ? ?????? dengan
25
? ? ? ? ? ? . Tentukan ? ? ?? ? ?? ?• ? ? ? ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ?? dengan menggunakan algoritme pelacakan lengkap.
Solusi :
Pilih polinomial primitif atas ?? yaitu ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?. Order dari grup siklik ? ? ????? adalah ? ? ?? ? ? ? ? ? . Terdapat ? ? kemungkinan nilai ? yang dapat memenuhi ?? ? ? ?•?? ??? ??. Nilai ? diperoleh dengan menghitung semua kemungkinan tersebut sampai diperoleh ??? ? ?•?? ??? ??, ?? ? ? ? ? ? ? ? G
Operasi yang digunakan adalah operasi perkalian modulo ? ???. Karena ? generator dari ? ? ????? maka ? ?? ? ? ?, sehingga
• ? ? ? ? ? ?? ? ? • ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? • ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? • ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
Perhitungan berhenti pada langkah ke-10, yaitu setelah diperoleh ? ? ? . ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??•?? ??? ??? sehingga solusi masalah
logaritma diskret ? yang memenuhi ?? ? ? ?• ? ? ??? ?? pada grup siklik ? ? ????? adalah
? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? • ? ? ? ? ? ?
Representasi solusi masalah logaritma diskret ? pada ? ? ????? dengan ? ? ? ? ? ? , dalam bentuk representasi grup siklik, representasi polinomial dan
Tabel 2 Representasi solusi masalah logaritma diskret pada ? ? ????? dengan ? ? ? ? ? ? No. Representasi Grup siklik Representasi Polinomial Representasi Vektor 1 ?? ? [1,0] 2 ?? ? [0,1] 3 ?? ? ? ? ? [3,4] 4 ?? ? ? ? ? [2,4] 5 ?? ? ? ? ? [2,3] 6 ?? ? ? ? ? [4,4] 7 ?? ? [2,0] 8 ?? ? ? [0,2] 9 10 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? [1,3] [4,3] Contoh 3.3.1.4
Diberikan ? ?? ? ? ???? ? adalah polinomial primitif atas ?? berderajat ? dan grup siklik ? ? ?????? a adalah generator dari ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? dengan ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? . Tentukan ? ? ?? ?
? ? ?• ? ? ??? ? sedemikian sehingga ?? ? ? ?• ? ? ? ?? ?? dengan menggunakan algoritme pelacakan lengkap.
Solusi :
Pilih polinomial primitif atas ?? yaitu ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? . Order dari ? ? ????? adalah ? ? ?? –? ? ? ? ? ?. Terdapat 3124 kemungkinan nilai ? sedimikian sehingga ?? ? ??•?? ??? ??. Nilai ? diperoleh dengan mengalikan
?? dengan ? sampai ditemukan ? yang memenuhi kongruensi ?? ? ??•?? ??? ?
dimana ?, ? ? ? ? ? ? ? menggunakan perkalian modulo ? ?? ?G Karena ? adalah generator dari grup siklik ? ? ?????? maka ? ?? ? ? ?, sehingga
• ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ??? ?? ? ??
• ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
• ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?
• ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
Hasil perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 4 berikut ini yang ditulis dalam bentuk representasi grup siklik, representasi polinomial dan representasi vektor.
