BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
2.2 Dasar Teori
2.2.8 Analisis Keandalan Struktur
Keandalan struktur adalah peluang struktur untuk memenuhi tugas yang telah ditetapkan tanpa mengalami kegagalan selama kurun waktu tertentu apabila dioperasikan dengan benar dalam lingkungan tertentu. Kegagalan bahkan dapat terjadi dalam kasus langka seperti runtuhnya struktur akibat kesalahan dalam perancangan (Rosyid, 2007).
Didalam sistem rekayasa, sesungguhnya tidak ada parameter perancangan dan kinerja operasi yang dapat diketahui secara pasti. Secara garis besar, ketidakpastian dapat dikelompokkan menjadi tiga (Rosyid, 2007) :
31 1. Ketidakpastian fisik, yaitu ketidakpastian yang berhubungan dengan keragaman fisik seperti beban, sifat material dan ukuran material. Keragaman fisik ini hanya bisa dinyatakan dalam contoh data dengan pertimbangan praktis dan ekonomis
2. Ketidakpastian statistik, berhubungan dengan data-data yang digunakan untuk membuat model secara probabilistik dari berbagai macam keragaman fisik di atas
3. Ketidakpastian model, merupakan ketidakpastian yang berhubungan dengan anggapan dari jenis struktur yang dimodelkan secara matematis dalam bentuk deterministik atau probabilistik
2.2.8.2 Indeks Keandalan
Untuk mengukur keandalan adalah dengan cara menggunakan indeks keandalan (β), yang didefinisikan sebagai perbandingan antara nilai rata-rata dan nilai simpangan baku dari margin keselamatan, S, yaitu:
i
jk\k (2.23)
Jika menggunakan nilai kritis margin keselamatan, S = 0, dan jaraknya dengan nilai rata-rata margin keamanan µS, maka indeks keandalan ini dapat diinterprestasikan sebagai jumlah kelipatan simpangan baku σS pada jarak ini. Artinya, jarak antara S = 0 dengan µS ini dapat dibagi menjadi beberapa simpangan baku. Semakin panjang, relative terhadap simpangan baku, maka semakin besar indeks keandalannya. Selanjutnya indeks keandalan berbanding terbalik dengan koefisien variasi margin keselamatan atau dapat dituliskan:
i 1 lm 1 (2.24)
Untuk menghasilkan ekspresi yang lebih umum atas indeks keandalan, dapat digunakan persamaan di bawah ini. Mengingat n1 noK np dan A1 AoK 2 qop Ao Ap Ap, maka:
i
jr'js32
Dimana Ρxy adalah koefisien korelasi diantara kapasitas dan beban. Untuk X dan Y terdistribusi normal, maka keandalan adalah:
> Φ "i& (2.26)
Dan peluang kegagalan ditentukan sebagai:
wGU 1 K Φ "i& (2.27)
2.2.8.3 Simulasi Monte Carlo
Ketika suatu sistem yang sedang dipelajari mengandung variabel atau parameter yang memiliki nilai random, atau mengandung perubah acak maka metode simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk memecahkan persoalan ini, suatu set nilai dari tiap-tiap variabel (satu nilai untuk setiap variabel) dari suatu sistem disimulasikan berdasarkan distribusi peluangnya, misalnya berdasarkan fungsi kerapatan peluang tiap-tiap variabel tersebut. Untuk setiap set ini, respon atau kinerja sistem dihitung berdasarkan fungsi kinerja dari sistem tersebut. Perhitungan respon atau kinerja sistem dihitung berdasarkan fungsi deterministik untuk suatu set nilai dari respon atau kinerja sistem tersebut, sehingga pada akhir simulasi akan diperoleh sekumpulan data respon atau kinerja sistem.
Sekumpulan data ini dapat dianggap sebagai sampel data, dengan analisa statistik dapat dilakukan untuk menentukan nilai rata-rata, simpangan baku, bahkan distribusi dari respon atau kinerja sistem tersebut. Unsur pokok yang diperlukan di dalam simulasi Monte Carlo adalah sebuah random number generator (RNG). Hal ini karena, secara teknis, prinsip dasar metode simultan Monte Carlo sebenarnya adalah sampling numerik dengan bantuan RNG, dimana simulasi dilakukan dengan mengambil beberapa sampel dari perubah acak berdasarkan distribusi peluang perubah acak tersebut. Ini berarti, simulasi Monte Carlo mensyaratkan bahwa distribusi peluang dari perubah acak yang terlibat di dalam sistem yang sedang dipelajari telah diketahui atau dapat diasumsikan. Sampel yang telah diambil tersebut dipakai sebagai masukan ke dalam persamaan fungsi
33 kinerja FK(x), dan harga FK(x) kemudian dihitung. Untuk suatu fungsi kinerja tertentu, misalnya setiap kali FK(x) < 0 maka sistem/komponen yang ditinjau dianggap gagal. Jika jumlah sampel tersebut adalah N (atau replikasi sejumlah N) maka dapat dicatat kejadian FK(x) < 0 sejumlah n kali. Dengan demikian, peluang kegagalan (Pg) sistem/komponen yang sedang ditinjau adalah rasio antara jumlah kejadian gagal dengan sampel atau replikasi, Pg = n/N. Diagram alir pengerjaan simulasi Monte carlo dapat dilihat pada gambar 2.10
Persoalan utama di dalam simulasi Monte Carlo adalah bagaimana mentranformasikan angka acak yang dikeluarkan oleh random number generator (RNG) menjadi besaran fisis yang sesuai dengan fungsi kerapatan peluang (fkp)-nya. Ini disebabkan karena angka acak yang dikeluarkan oleh RNG memiliki fkp
uniform, sedangkan perubah dasar dalam FK(x) seringkali tidak demikian (misal terdistribusi secara normal, lognormal, dan sebagainya). RNG biasanya ada dalam CPU komputer sebagai built-in computer program dalam bagian ROM-nya. RNG yang disediakan ini hampir selalu berbentuk linear congruential generator yang mengeluarkan suatu deretan bilangan cacah (integer) I1, I2, I3.
Tranformasi bilangan acak menjadi nilai perubah acak juga dapat dilakukan secara numerik dengan prosedur intuitif berikut:
1. Untuk XP dengan fungsi kerapatan peluang yang diketahui fkp, bagilah rentang
XP menjadi I interval yang sama sepanjang dx.
2. Hitung luas tiap pias (ini akan menghasilkan peluang XP memiliki harga dalam interval i, yaitu sebesar Pi) dengan mengalikan interval dx dengan tinggi fkp pada Xi. Untuk setiap aP, yang keluar dari RNG maka aP diperbandingkan dengan batas interval yang sesuai. Apabila Pi < aP <Pi+1 maka aP “dipahami” (ditransformasikan) sebagai Xi.
34
35 Disamping itu, transformasi dari bilangan acak ke nilai perubah acak dapat dilakukan secara analitik berdasarkan fungsi distribusi kumulatif perubah acak tersebut. Oleh karena fungsi distribusi kumulatif (fdk) dari suatu perubah acak X merupakan fungsi kontinyu dan monotonik dari X maka nilai Fx(x) dapat dipakai sebagai alat transformasi dari nilai bilangan acak u menjadi nilai perubah acak x, sebagaimana digambarkan pada gambar 2.9.
Gambar 2.11. Hubungan Bilangan Acak yang Mengikuti Distribusi Uniform dengan Perubah Acak X yang Memiliki Fungsi Distribusi Kumulatif Fx(x).
Sebagaimana ditunjukkan pada gambar di atas, oleh karena u = g(x) = Fx(x) merupakan fungsi yang tidak memiliki elemen yang menurun (non-decreasing
function) maka untuk sembarang nilai u diantara 0 dan 1, fungsi invers x = ξ(u) dapat didefinisikan sebagai nilai x terkecil yang memenuhi persamaan Fx(x) ≥ u (berdasarkan definisi kuantil dalam fungsi distribusi kumulatif). Sehingga dapat didefinisikan bahwa nilai bilangan acak diambil sebagai nilai dari kuantil, u = Fx(x), sedemikian sehingga nilai perubah acak dapat ditentukan (setelah fungsi distribusi kumulatifnya dimiliki).
36
37