DAFTAR LAMPIRAN
ANALISIS MODEL
2. Analisis Model Dinamik Interaksi Dua Spesies Mutualistik dengan kehadiran
2.3 Analisis kestabilan titik kritis Titik Kritis T
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T1yaitu:
1 j, 2 k, 3 l
λ = λ = λ = − (34)
Sehingga, karena pada titik kritis ini nilai eigen terdiri dari dua real positif dan satu real negatif maka trayektor pada titik ini merupakan titik tak stabil.
Titik Kritis T2
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T2 yaitu:
1 , 2 , 3
ka cj
j l
a
λ = − λ = + λ = − (35)
Diperoleh bahwa nilai eigen dari titik kritis ini terdiri dari dua nilai real negatif dan satu real positif. Sehingga aliran vektor pada titik kritis ini juga merupakan titik tak stabil. Titik Kritis T3
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T3 yaitu:
1 , 2 , 3
bk dj fk dl
k
d d
λ = + λ = − λ = − (36)
Dari nilai eigen tersebut dapat diperoleh bahwa pada titik kritis tersebut merupakan titik tak stabil.
Titik Kritis T4
Kondisi kestabilan pada T4 terjadi saat pemangsa punah, sehingga analisis dari titik kritis ini sama dengan model interaksi mutualisme dua spesies tanpa kehadiran pemangsa.
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T4, maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai berikut: Tabel 1. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam titik kritis T4 Model Mutualisme
Kasus a b c d ad > bc ad < bc 2.5 0.5 1 1 1 1 2.5 0.5 Kasus ad > bc
Pada saat ad > bc maka akan diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 0.333, 2 1.000, 3 2.333 λ = − λ = − λ = −
Sehingga trayektor pada titik tersebut merupakan titik stabil.
Gambar 8. Grafik ruang fase titik kritis T4 dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 2.5, b = 1, c = 1 dan d = 2.5
Gambar 9. Grafik ruang fase dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1
Kasus ad < bc
Pada saat ad < bc maka akan diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 3.000, 2 1.000, 3 2.999
λ = − λ = − λ =
Sehingga trayektor pada titik tersebut merupakan titik tak stabil, karena ada satu nilai eigennya yang bernilai real positif.
Gambar 10. Grafik ruang fase titik kritis T4
dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 0.5, b = 1, c = 1 dan d = 0.5
Gambar 11. Grafik ruang fase dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1
Titik Kritis T5
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T5 maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai berikut: Tabel 2. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam titik kritis T5 model mutualisme
Kasus f k d l fk < dl fk < dl fk = dl fk > dl fk > dl fk > dl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1.2 1 0.7 0.5 0.3 1.5 1.2 1 0.7 0.5 0.3
Dari beberapa parameter tersebut dapat diperoleh grafik ruang fase yang mamperlihatkan gejala bifurkasi pada titik kritis T5.Gambar 12 memperlihatkan gejala bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T5. Gambar 12(a) memperlihatkan orbit kestabilan di sekitar titik kritis T5 yang merupakan titik stabil kemudian dengan mengubah parameter, secara perlahan titik tersebut berubah menjadi spiral yang stabil seperti yang terlihat pada gambar 12(d), 12(e) dan 12(f). Terlihat trayektor memiliki lintasan periodik spiral di sekitar titik kritis yang semakin memenuhi bidang spiral.
Gambar 13 memperlihatkan laju perubahan populasi ketika spesies x tetap, dari grafik tersebut terlihat ketika populasi spesies x tetap maka populasi spesies y akan mengalami penurunan secara periodik hingga mencapai keseimbangan populasi, penurunan ini disebabkan karena laju pertumbuhan populasi dipengaruhi secara mutual oleh spesies x sehingga ketika interaksi interspesifiknya berkurang dibandingkan dengan interaksi intraspesifiknya maka populasinya akan mengalami penurunan secara periodik. Dari gambar terlihat pula ketika spesies x dibuat tetap populasi pemangsa z akan mengalami penurunan juga seiring dengan menurunnya spesies y yang menjadi mangsanya sampai pada suatu keseimbangan populasi tertentu.
Analisis Titik Kritis T5
Parameter 1
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1.5 dan l = 1.5 maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2.500, 2 0.647, 3 -2.897
Diperoleh dua buah nilai eigen positif yang bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan garis stabil, sehingga dari nilai eigen tersebut diketahui pada titik kritis tersebut dengan kondisi parameter fk < dl merupakan titik sadel.
Parameter 2
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1.2 dan l = 1.2 maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2.200, 2 0.302, 3 -1.742
λ = λ = λ =
Diperoleh dua buah nilai eigen positif yang bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan garis stabil. Dari nilai eigen tersebut diketahui pada titik kritis tersebut dengan kondisi parameter fk < dl merupakan titik sadel.
Parameter 3
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1 dan l = 1, maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2.000, 2 0.000, 3 -1.000
λ = λ = λ =
Diperoleh sebuah eigen positif yang bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan garis stabil. Sehingga, dari nilai eigen tersebut maka diketahui pada titik kritis tersebut dengan kondisi parameter fk = dl merupakan titik stabil.
Parameter 4
Jika parameter yang dipakai adalah f =1, k = 1, d = 0.7 dan l = 0.7 maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2 3 1.700, -0.245 0.544 i -0.245-0.544 i λ λ λ = = + =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian dengan niali eigen real positifnya. Parameter 5
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 0.5 dan l = 0.5maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2 3 1.500, -0.125 0.599 i -0.125-0.599 i λ λ λ = = + =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian dengan niali eigen real positifnya. Parameter 6
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 0.3 dan l = 0.3 maka secara numerik diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2 3 1.300, -0.045 0.520 i -0.045-0.520 i λ λ λ = = + =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian dengan nilai eigen real positifnya.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Gambar 12. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T5 dengan t =1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter d = 1.5 dan l = 1.5 (b) parameter d = 1.2 dan l = 1.2 (c) parameter d = 1 dan l = 1 (d) parameter d = 0.7 dan l = 0.7 (e) parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta (f) parameter d = 0.3 dan l = 0.3.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Gambar 13. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T5 dengan beberapa parameter, (a) parameter d = 1.5 dan l = 1.5 (b) parameter d = 1.2 dan l = 1.2 (c) parameter d = 1 dan l = 1 (d) parameter d = 0.7 dan l = 0.7 (e) parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta (f) parameter d = 0.3 dan l = 0.3.
Titik Kritis T6
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T6 maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam titik kritis T6 model mutualisme
Kasus a b c d ad > bc ad > bc ad > bc ad = bc ad < bc ad < bc 1 1 1 1 1 1 0.1 0.5 0.8 1 1.1 1.2 0.1 0.5 0.8 1 1.1 1.2 1 1 1 1 1 1 Gambar 14. memperlihatkan terjadinya bifurkasi pada titik kritis T6 sesuai dengan perubahan pada parameter yang diberikan. Pada gambar 14(a) dengan parameter b = 0.1 dan c = 0.1, di sekitar titik kritisnya masih bersifat sebagai Simpul Stabil. Sedangkan pada gambar 14(b), 14(c), 14(d), dan 14(e) memperlihatkan bahwa terjadi bifurkasi dari simpul stabil menjadi Spiral Stabil. Jika parameter yang digunakan yaitu b = 1.2 dan c = 1.2 maka orbit di sekitar titik kritis tersebut akan bersifat Spiral Tak Stabil. Sehingga pada titik kritis T6 terjadi tiga kali bifurkasi yang memiliki sifat yang berbeda tergantung pada parameter yang digunakan.
Gambar 15 memperlihatkan laju perubahan populasi dengan memvariasikan parameter yang digunakan.pada gambar 15(a), 15(b), 15(c), 15(d), dan 15(e) memperlihatkan adanya kestabilan populasi karena parameter yang digunakan yaitu ad > bc, atau terjadinya interaksi antar spesies itu sendiri lebih besar (intraspesifik) dibandingkan dengan interaksi antar spesies yang berbeda (interspesifik) sehingga populasi ketiga spesies berada pada kondisi stabil. Sedangkan pada gambar 15(f) dengan parameter ad < bc atau interaksi antar spesies berbeda lebih besar dari interaksi antar spesies sejenis maka akan terjadi ketidakstabilan sehingga populasi ketiga spesies akan meningkat secara drastis, dalam hal ini pemangsa merupakan spesies yang paling diuntungkan sehingga populasinya meningkat paling tinggi dibandingkan spesies x dan spesies y.
Kasus ad > bc
Jika parameter yang dipakai adalah
a = 1,b = 0.1, c = 0.1, d = 1, e = 1, f = 1, g = 1, h = 1, j = 1, k = 1 , l = 1.
maka akan di peroleh nilai eigen:
1 -1.145, 2 -0.826, 3 -0.127
λ = λ = λ =
Dari nilai eigen yang diperoleh dapat dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis yang bersifat simpul stabil karena nilai eigennya merupakan real negatif. Sehingga, jika interaksi antarspesiesnya lebih diperkecil maka akan diperoleh titik kritis yang bersifat simpul stabil seperti terlihat pada gambar 14(a). Pada gambar 15(a) terlihat laju perubahan populasi menuju suatu kestabilan asimtotik dimana populasi spesies x dan spesies y memiliki populasi tertinggi, sedangkan pemangsa z mengalami populasi terendah yang juga stabil.
Kasus ad = bc
Jika parameter yang dipakai adalah
a = 1.01, b = 1.01, c = 1, d = 1, e = 1, f = 1, g = 1, h = 1, j = 1, k =1, l = 1.
maka akan diperoleh nilai eigen:
1 2 3 -2.808, -0.100+1.189 i -0.100-1.189 i λ λ λ = = =
Dari nilai eigen yang diperoleh dapat dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis yang bersifat spiral stabil seperti terlihat pada gambar 14(d). karena nilai eigennya merupakan kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif sehingga bersifat stabil. Pada gambar 15(d) terlihat laju perubahan populasi menuju suatu kestabilan asymtotic dimana populasi spesies x dan pemangsa z memiliki populasi tertinggi sedangkan populasi spesies y yang menjadi mangsa dari predator z memiliki populasi yang paling rendah karena adanya pemangsaan dari pemangsa z, sedangkan interaksi interspesifiknya dan interaksi intraspesifiknya sama besar, populasi spesies y inipun menuju suatu kestabilan populasi.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Gambar 14. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T6 dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter b = 0.1 dan c = 0.1 (b) parameter b = 0.5 dan c = 0.5 (c) parameter b = 0.8, c = 0.8 (d) parameter b = 1 dan c = 1 (e) parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta (f) parameter b = 1.2 dan c = 1.2.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Gambar 15. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T6 dengan beberapa parameter, (a) parameter b = 0.1 dan c = 0.1 (b) parameter b = 0.5 dan c = 0.5 (c) parameter b = 0.8, c = 0.8 (d) parameter b = 1 dan c = 1 (e) parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta (f) parameter b = 1.2 dan c = 1.2.
Kasus ad < bc
Jika parameter yang dipakai adalah
a = 1, b = 1.2, c = 1.2, d = 1, e = 1, f = 1 , g = 1, h =1, j = 1, k = 1, l = 1.
maka akan di peroleh nilai eigen:
1 2 3 -3.237, 0. 018+1.339 i 0.018-1.339 i λ λ λ = = =
Dari nilai eigen yang diperoleh dapat dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis yang bersifat spiral tak stabil sebagaimana diperlihatkan pada gambar 14(f). Karena nilai eigen yang diperoleh merupakan kompleks dengan bagian real bernilai positif sehingga bersifat tak stabil.
Gambar 15(f) memeperlihatkan laju perubahan populasi dengan parameter yang digunakan dalam hal ini yaitu ad < bc sehingga interaksi antarspesies yang berbeda lebih besar dibandingkan dengan interaksi antar spesies sejenisnya sehingga menimbulkan pengaruh pada pemangsaan spesies y oleh pemangsa z. Jadi ketika interaksi intraspesifik lebih kecil dari interaksi interspesifiknya maka pengaruh pemangsaan spesies y oleh pemangsa juga akan amat mempengaruhi kestabilan spesies x meski tak terkait secara langsung dengan pemangsa z. Spesies x dan spesies y akan mengalami fluktuasi secara periodik, sedangkan pemangsa z akan mengalami peningkatan populasi secara drastis namun tetap periodik menuju ketidakstabilan populasi.
3. Analisis Model Dinamik Dua Mangsa