Misalkan diberikan matriks berukuran 2 2 sebagai berikut:
dengan persamaan karakteristik
0
dan adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya menjadi
0
sedemikian sehingga diperoleh persamaan:
Δ 0
dengan
Δ .
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut:
, √2 4Δ.
ada tiga kasus untuk nilai Δ:
Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda maka titik tetap bersifat “sadel”.
• Kasus Δ 0.
4Δ 0.
- Jika 0 dan kedua nilai eigen real bernilai positif maka titik tetap
bersifat “simpul tak stabil”.
- Jika 0 dan kedua nilai eigen real bernilai negative maka titik tetap
bersifat “simpul stabil”.
4Δ 0.
- Jika 0 dan kedua nilai eigen imajiner , maka titik tetap
bersifat “spiral tak stabil”.
- Jika 0 dan kedua nilai eigen imajiner , maka titik tetap
bersifat “spiral stabil”.
- Jika 0 dan kedua nilai eigen imajiner murni , maka titik
tetap bersifat “center”.
4Δ 0.
- Parabola 4Δ 0 adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star
nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama maka titik tetap bersifat “simpul sejati”.
• Kasus Δ 0.
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol maka titik asal bersifat “titik tetap tak terisolasi”.
III PEMODELAN PERTUMBUHAN TUMOR 3.1 Model Gompertz
Model Gompertz telah banyak digunakan untuk menggambarkan kurva pertumbuhan populasi sel tumor. Model Gompertz hanya mempertimbangkan dinamika satu populasi yaitu yang merupakan populasi sel tumor pada waktu t. Kozusko dan Bajzer (2003) mengemukakan bahwa model Gompertz merupakan model pertumbuhan tumor yang sering digunakan oleh beberapa peneliti, karena dapat mendiskripsikan pertumbuhan populasi sel tumor. Pemodelan populasi sel tumor pada model Gompertz dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial :
ln . (3.1) dengan :
: total populasi sel tumor pada waktu t (tahun), : laju pertumbuhan populasi sel tumor,
: laju penghambat pertumbuhan populasi sel tumor.
Representasi persamaan (3.1) menyatakan bahwa laju perubahan populasi sel tumor dipengaruh oleh laju peningkatan pertumbuhan populasi sel tumor . dikurangi dengan laju penghambat pertumbuhan populasi sel tumor .
Dalam melakukan simulasi, dipilih nilai-nilai parameter untuk model Gompertz seperti yang terdapat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Nilai Parameter model Gompertz
No Simbol Definisi Parameter Nilai
1. Laju pertumbuhan sel tumor 2.76
2. Laju penghambat pertumbuhan sel tumor 0.134
Gambar 1 Pertumbuhan sel tumor dengan model Gompertz.
Gambar 1 menunjukkan bahwa banyaknya sel tumor mendekati 0 sel. Menurut Peter (1972), salah satu data banyaknya sel tumor yang diperolehnya adalah 0. 0 sel. Jumlah sel tumor dengan model Gompertz dapat menggambarkan jumlah sel tumor sebenarnya. Namun, model Gompertz hanya melihat pertumbuhan populasi sel tumor tanpa membedakan antara pertumbuhan populasi sel P dan populasi sel Q pada populasi sel tumor.
3.2 Model Gyllenberg-Webb
Model Gyllenberg-Webb mempertimbangkan dinamika interaksi dua populasi yaitu :
1. menyatakan populasi sel proliferasi (P) dari populasi sel tumor pada waktu t (tahun).
2. menyatakan populasi sel non-proliferasi (Q) dari populasi sel tumor pada waktu t (tahun).
0 50 100 150 200 t 2 108 4 108 6 108 8 108 1 109 N
Gambar 2 Skema dua kompartemen sel tumor yaitu sel P dan sel Q pada model Gyllenberg-Webb.
Interaksi populasi sel P dan populasi sel Q pada model Gyllenberg-Webb dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan :
(3.2) (3.3) (3.4) dimana
: banyaknya populasi sel P pada waktu t (tahun) : banyaknya populasi sel Q pada waktu t (tahun) : laju pertumbuhan populasi sel P
: laju kematian populasi sel P : laju kematian populasi sel Q
: fungsi transisi dari populasi sel P menjadi sel Q : fungsi transisi dari populasi sel Q menjadi sel P.
Representasi persamaan (3.2) menyatakan bahwa laju perubahan populasi sel P dipengaruhi oleh laju pertumbuhan populasi sel P dan laju transisi dari sel Q menjadi sel P yang mengakibatkan laju perubahan populasi sel P akan meningkat, diberikan oleh penjumlahan . Namun, laju
P
Q
perubahan populasi sel P juga dipengaruhi oleh laju kematian populasi sel P dan laju transisi dari sel P menjadi sel Q yang mengakibatkan laju perubahan populasi sel P akan menurun, diberikan oleh penjumlahan
.
Representasi persamaan (3.3) menyatakan bahwa laju perubahan populasi sel Q dipengaruhi oleh adanya laju transisi dari sel P menjadi sel Q , yang mengakibatkan laju perubahan populasi sel Q akan meningkat, diberikan oleh . Namun, laju perubahan populasi sel Q juga dipengaruhi oleh laju kematian populasi sel Q dan laju transisi dari sel Q menjadi sel P , yang mengakibatkan laju perubahan populasi sel akan menurun, diberikan oleh penjumlahan . Representasi persamaan (3.4) menyatakan bahwa penjumlahan dari populasi sel P dan populasi sel Q sama dengan populasi sel tumor.
Gyllenberg dan Webb (1991) menyatakan bahwa secara data empiris, sangat besar kemungkinan terjadi transisi dari sel P menjadi sel Q dan sangat kecil kemungkinan terjadi transisi dari sel Q menjadi sel P , fakta- fakta ini di ambil sebagai asumsi dasar dari model Gyllenberg-Webb sehingga Gyllenberg dan Webb (1991) mendefinisikan bahwa merupakan fungsi tak turun, sebagai berikut :
ln (3.5) dan merupakan fungsi tak naik, dalam tulisan ini didefinisikan sebagai berikut:
, (3.6) Selanjutnya model Gyllenberg-Webb dapat dituliskan sebagai
ln (3.7) ln (3.8)
3.2.1 Analisis Model Gyllenberg-Webb
Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (3.7)-(3.8) diperoleh dengan menentukan 0 dan 0, sehingga :
ln 0 (4.1) ln 0 (4.2) . (4.3)
Penyelesaian dari persamaan (4.1)-(4.3) secara bersamaan akan diperoleh dua titik tetap yaitu , dan , sebagai berikut,
, , , 2 4 2 , 2 4 2 (lihat lampiran 1).
Analisis kestabilan titik tetap model Gyllenberg-Webb dilakukan dengan memisalkan sistem persamaan (3.7)-(3.8) ditulis sebagai berikut:
, ln (4.4)
, ln (4.5)
dengan melakukan pelinearan pada persamaan (4.4)-(4.5) maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut,
Nilai
,
,
dan terdapat pada lampiran 2a. Untuk pembahasan digunakan nilai-nilai parameter di dalam Tabel 2 berikut :Tabel 2 Nilai-nilai parameter model Gyllenberg-Webb
No Simbol Definisi Parameter Nilai
1. Laju pertumbuhan sel P 0.7
2. Laju kematian sel P 0.2
3. Laju kematian sel Q 0.2
Nilai-nilai parameter di atas merupakan nilai-nilai real yang ditetapkan untuk digunakan pada model Gyllenberg-Webb dan diasumsikan Nilai awal untuk masing-masing populasi adalah 0 dan 0 4.
Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik , terlebih dahulu melakukan pelinearan pada titik tetap , sehingga diperoleh matriks Jacobi , dan nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan ,
. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter diperoleh 0 dan 0 Sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil (lihat lampiran 2b).
Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik , terlebih dahulu melakukan pelinearan pada titik tetap , sehingga diperoleh matriks Jacobi , dan nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan ,
. dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter diperoleh 0 dan 0 Sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetapnya bersifat tak stabil (lihat lampiran 2c).
3.2.2 Simulasi Model
Simulasi dinamika sel P dan sel Q terhadap tiga parameter yaitu , dan . Simulasi pertama, simulasi dilakukan terhadap nilai parameter (standar). Simulasi kedua, simulasi dilakukan dengan menurunkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Simulasi ketiga, simulasi dilakukan dengan menurunkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Simulasi keempat, simulasi dilakukan dengan menurunkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Simulasi kelima, simulasi dilakukan dengan menaikkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Simulasi keenam, simulasi dilakukan dengan menaikkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Simulasi ketujuh, simulasi dilakukan dengan menaikkan nilai parameter , sementara nilai parameter lainnya tetap. Seperti tercantum dalam Tabel 3 berikut ini.
Tabel 3 Nilai-nilai parameter untuk simulasi model
Simulasi ke 1 Simulasi ke 2 turun Simulasi ke 3 turun Simulasi ke 4 turun Simulasi ke 5 naik Simulasi ke 6 naik Simulasi ke 7 naik
0.2 0.003 tetap tetap 0.4 tetap tetap
0.7 tetap tetap 0.5 tetap tetap 0.9
0.2 tetap 0.003 tetap tetap 0.4 tetap
Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap nilai parameter, penurunan dan peningkatan nilai parameter sebagai berikut :
Simulasi ke 1
(a) (b)
Gambar 3 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap nilai parameter standar, (a) dinamika P dan (b) dinamika Q
Dinamika populasi sel P pada Gambar 3(a) semakin lama semakin menurun menuju nilai kestabilannya, sementara pada Gambar 3(b) dinamika populasi sel Q pada waktu tertentu meningkat dan kemudian menurun menuju nilai kestabilannya. Banyaknya populasi sel P pada Gambar 3(a) kurang dari 7 sel dan banyaknya sel Q pada Gambar 3(b) kurang dari 10 sel.
Simulasi ke 2
(a) (b)
Gambar 4 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap penurunan nilai parameter , (a) dinamika P dan (b) dinamika Q.
0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q 0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P p Turun Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q p Turun Nilai standar
Perhatikan persamaan 3.7 dan 3.8 sebelumnya,
ln
ln
Berdasarkan Gambar 4(a), dengan menurunkan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel P akan meningkat, demikian juga dengan laju perubahan sel Q mengalami peningkatan. Dengan meningkatnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 4(b).
Simulasi ke 3
(a) (b)
Gambar 5 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap penurunan nilai parameter , (a) dinamika P dan (b) dinamika Q.
Penurunan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel Q akan meningkat, dapat dilihat pada Gambar 5(a), demikian juga dengan laju perubahan sel P mengalami peningkatan. Dengan meningkatnya sel Q akan mengubah laju perubahan sel P, hal ini ditunjukkan oleh Gambar 5(b).
0 2000 4000 6000 8000 10000t 0 200 400 600 800 1000 1200 P q Turun Nilai standar 0 2000 4000 6000 8000 10000t 0 50 000 100 000 150 000 Q q Turun Nilai standar
Simulasi ke 4
(a) (b)
Gambar 6 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap penurunan nilai parameter , (a) dinamika sel P dan (b) dinamika sel Q.
Dengan menurunkan nilai , dapat dilihat dari persamaan diatas bahwa laju perubahan sel P pada akan menurun, hal ini dapat dilihat pada Gambar 6(a), demikian juga dengan laju perubahan sel Q mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 6(b).
Simulasi ke 5
(a) (b)
Gambar 7 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , (a) dinamika P dan (b) dinamika Q
Berdasarkan Gambar 7(a), dengan meningkatkan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel P akan menurun, demikian juga dengan
0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P Turun Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q Turun Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P p Naik Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q p Naik Nilai standar
laju perubahan sel Q mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 7(b).
Simulasi ke 6
(a) (b)
Gambar 8 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , (a) dinamika P dan (b) dinamika Q.
Peningkatan nilai dari persamaan diatas menunjukkan laju perubahan sel Q akan menurun, dapat dilihat pada Gambar 8(a), demikian juga dengan laju perubahan sel P mengalami penurunan. Dengan menurunnya sel Q akan mengubah laju perubahan sel P, hal ini ditunjukkan oleh Gambar 8(b).
Simulasi ke 7
(a) (b)
Gambar 9 Simulasi model Gyllenberg-Webb terhadap peningkatan nilai parameter , (a) dinamika P dan (b) dinamika Q.
0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P q Naik Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q q Naik Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 1 2 3 4 5 6 7 P Naik Nilai standar 0 5 10 15 20 25 30t 0 2 4 6 8 10 Q Naik Nilai standar
Perhatikan persamaan 3.7 dan 3.8 sebelumnya, dengan meningkatkan nilai , dapat dilihat dari persamaan diatas bahwa laju perubahan sel P pada akan meningkat, hal ini dapat dilihat pada Gambar 9(a), demikian juga dengan laju perubahan sel Q mengalami peningkatan. Dengan meningkatnya sel P akan mengubah laju perubahan sel Q, hal ini dapat dilihat pada Gambar 9(b).
Jumlah sel P dan sel Q dengan model Gyllenberg-Webb tidak dapat menggambarkan jumlah sel tumor sebenarnya, pertumbuhannya sel tumor kurang dari 20 sel.
3.3 Model Alberto
Alberto dan Fasano (2011) mengasumsikan bahwa populasi sel tumor pada model Gyllenberg-Webb memenuhi model Gompertz.
Selanjutnya model Alberto dapat dituliskan sebagai berikut :
(3.12)