METODE PENELITIAN
4.3 Analisis Metode Branch And Bound
Tabel 4.8 Alternatif pembulatan jumlah rasa roti dan keuntungannya
Alternatif Jumlah produksi Keuntungan
Roti Kelapa Roti Cokelat Roti Melon
1. 7 22 3 Rp. 7.546.000
2. 7 23 4 Rp. 8.029.000
3. 8 22 3 Rp. 7.838.500
4. 8 23 4 Rp. 8.310.500
Iterasi 1
Langkah pertama adalah menentukan batas atas (BA) dan batas bawah (BB). Keuntungan dengan x1= 7,0784, x2= 22,081, x3= 3,1863 adalah Rp.
7.633.251.05, karena x1, x2, dan x3bukan bilangan integer, maka solusi ini tidak
valid, nilai keuntungan Rp. 7.633.251.05 dijadikan batas atas (BA). Dengan metode pembulatan kebawah, didapatkan x1= 7, x2= 22, x3= 3 dengan
keuntungan Rp. 7.546.000, hasil ini fisibel (layak) karena ketiga variabel merupakan bilangan integer. Jadi nilai keuntungan dengan pembulatan (mengintegerkan) ke bawah dijadikan batas bawah (BB).
Langkah kedua adalah memilih variabel keputusan yang memiliki pecahan terbesar untuk melakukan pencabangan. Karena pecahan terbesar berada pada x
yakni sebesar 0.1863 maka x3 dicabangkan menjadi sub-masalah 1 dan 2 dengan
tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah x3≥4 danx3 ≤3. Sehingga diperoleh formula untuk sub-masalah 1 dan 2 sebagai berikut:
1. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Dengan kendala : 10.5x1+10.1x2+10.25x3 ≤330 1.5x1+1x2+1.35x3≤37 2.75x1+2x2 +2x3 ≤70 0.15x1+0.15x2 +0.15x3≤6 0.13x1+0.13x2+0.13x3 ≤4.5 0.1x1+0.1x2+0.1x3≤4 66500x1+73000x2+40000x3 ≤5000000 x3 ≥4 2. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Dengan kendala : 10.5x1+10.1x2+10.25x3 ≤330 1.5x1+1x2+1.35x3≤37 2.75x1+2x2 +2x3 ≤70 0.15x1+0.15x2 +0.15x3≤6 0.13x1+0.13x2+0.13x3 ≤4.5 0.1x1+0.1x2+0.1x3≤4 66500x1+73000x2+40000x3 ≤5000000 x3 ≤3
Maka dengan metode simpleks diperoleh solusi :
Solusi sub-masalah 1 : x3 =4, x1= 6.486, x2= 21,871 maka Z = Rp. 7.626.763,31 Solusi sub-masalah 2: x3 =3,x1= 7,0701 x2= 22,2786 maka Z = Rp.7.627.283,12
Selanjutnya adalah meneliti batas atas dan batas bawah, nilai solusi dari masing-masing sub-masalah tidak boleh kurang dari batas bawah dan tidak akan lebih besar dari batas atas. Karena jika kurang dari batas bawah maka solusi yang diperoleh tidak optimal dan jika lebih besar dari batas atas maka solusi tidak layak karena jika disubstitusikan nilai variabel keputusan kedalam salah satu kendala akan diperoleh kendala melebihi persediaan yang ada.
Karena solusi sub-masalah 1 dan 2 tidak lebih kecil dari batas bawah dan tidak lebih besar dari batas atas serta nilai variabel keputusannya masih ada yang bernilai tidak integer maka pencabangan dapat diteruskan ke sub-masalah selanjutnya. Sub-masalah 1 dicabangkan menjadi sub-masalah 3 dan 4 dengan tambahan kendala x2 ≥22 dan x2 ≤21 sedangkan sub-masalah 2 dicabangkan menjadi sub-masalah 5 dan 6 dengan tambahan kendala x2 ≥23 dan x2 ≤22.
Iterasi 1
Sub-masalah 3 dan 4
sub-masalah 1 memiliki BA = Rp.7.626.763,31 (x1= 6,486, x2= 21, 871, x3= 4),
BB = Rp. 7.299.500 (x1=6, x2=21, x3=4) dan sub-masalah 2 yaitu BA =
Rp.7.627.283,12 (x3 =3,x1= 7,0701 x2= 22,2786), BB = Rp. 746.500 (x3 =3,x1= 7 x2= 22). Selanjutnya dapat dilakukan percabangan antara lain sebagai berikut:
3. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 3 = Sub-masalah 1 + kendala x2 ≥22 4. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 4 = Sub-masalah 1 + Kendala x2 ≤21 5. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 5 = Sub-masalah 2 + Kendala x2 ≥23
Sub-masalah 6 = Sub-masalah 2 + Kendala x2 ≤22
Dengan menggunkan metode simpleks pada Software QM diperoleh solusi: Solusi sub-masalah 3 : x1= 6,3619, x2= 22, x3= 4, Z= Rp. 7.620.333,11
Solusi sub-masalah 4 : x1= 4,0292, x2= 21, x3= 7,375, Z= Rp. 7.599.854,1.
Solusi sub-masalah 5 : x1= 7,04, x2= 23, x3= 2,32, Z= Rp. 7.605.999,84.
Solusi sub-masalah 6 : x1= 7.2727, x2= 22, x3= 3, Z= Rp. 7.622.863,61
Karena nilai solusi dari sub-masalah 3, 4, 5, 6 masih lebih kecil batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta variabelnya juga belum merupakan bilangan bulat maka ke empat sub-masalah itu masih terus dilanjutkan
Iterasi 2
Batas atas untuk sub-masalah 3 adalah BA = Rp. 7.620.333,11. Batas atas untuk sub-masalah 4 adalah BA = Rp. 7.599.841,1. Batas atas untuk sub-masalah 5 adalah BA = Rp. 7.605.499,84. Batas atas untuk sub-masalah 6 adalah BA = Rp. 7.622.863, 61.
Karena nilai variabel keputusannya masih bernilai tidak integer maka dilakukan pencabangan lagi agar mendapatkan nilai yang integer. Sub-masalah 3 dicabangkan menjadi sub-masalah 7 dan 8, sub-masalah 4 dicabangkan menjadi sub-masalah 9 dan 10, sub-masalah 5 dicabangkan menjadi sub-masalah 11 dan 12, dan sub-masalah 6 dicabangkan menjadi sub-masalah 13 dan 14 dengan tambahan kendala masing-masing sebagai berikut:
7. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 7 = Sub-masalah 3 + kendala x1≥7 8. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 8 = Sub-masalah 3 + Kendala x1≤6
9. Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 9 = Sub-masalah 4 + Kendala x3 ≥8 10.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 10 = Sub-masalah 4 + Kendala x3 ≤7 11.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 11 = Sub-masalah 5 + kendala x3 ≥3 12.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 12 = Sub-masalah 5 + Kendala x3 ≤2 13.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 13 = Sub-masalah 6 + Kendala x1≥8 14.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 14 = Sub-masalah 6 + Kendala x1≤7
Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh sebagai berikut:
Solusi sub-masalah 7 : solusi tidak fisibel ( tidak layak)
Solusi sub-masalah 8: x1= 6, x2= 22, x3= 4,3707, Z= Rp. 7.612.609,55. Solusi sub-masalah 9: x1= 3,5742, x2= 20,8387, x3= 8, Z= Rp. 7.594.870,83. Solusi sub-masalah 10: x1= 4,3667, x2= 21, x3= 7, Z= Rp. 7.596.666,61. Solusi sub-masalah 11 : x1= 6,3762, x2= 23, x3= 3, Z= Rp. 7.591.333,1 Solusi sub-masalah 12 : x1= 7,0258, x2= 23,3395, x3= 2, Z= Rp. 7.595.249,03. Solusi sub-masalah 13 : x1= 8, x2= 21,1429, x3= 2,32, Z= Rp. 7.602.285,67.
Solusi sub-masalah 14 : x1= 7, x2= 22, x3= 3, Z= Rp. 7.546.500 (telah integer dan fisibel (layak)).
Maka diperoleh solusi dari sub-masalah 7 tidak fisibel ( tidak layak) maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan dan solusi dari sub-masalah 8, 9, 10, 11, 12, dan 13 masih dapat dilanjutkan pencabangannya karena memiliki solusi yang
tidak lebih kecil dari batas bawah dan tidak lebih besar dari batas atas serta memiliki nilai variabel keputusan yang tidak integer, Sedangkan solusi dari sub- masalah 14 telah integer maka untuk sub-masalah 14 tidak perlu dilakukan pencabangan lagi.
Iterasi 3
Batas atas untuk sub-masalah 8 adalah BA = Rp 7.612.609,55 Batas atas untuk sub-masalah 9 adalah BA = Rp. 7.594.870,83 Batas atas untuk sub-masalah 10 adalah BA = Rp. 7.596.666,61 Batas atas untuk sub-masalah 11 adalah BA = Rp. 7.591.333,1 Batas atas untuk sub-masalah 12 adalah BA = Rp. 7.595.249,03 Batas atas untuk sub-masalah13 adalah BA = Rp. 7.602.285,67
Karena nilai variabel keputusan 8, 9, 10, 11, 12, dan 13 masih bernilai tidak integer maka iterasi dilakukan dengan pencabangan lagi agar mendapatkan nilai yang integer. Sub-masalah 8 dicabangkan menjadi sub-masalah 15 dan 16, Sub-masalah 9 dicabangkan menjadi sub-masalah 17 dan 18, Sub-masalah 10 dicabangkan menjadi sub-masalah 19 dan 20, Sub-masalah 11 dicabangkan menjadi sub-masalah 21 dan 22, Sub-masalah 12 dicabangkan menjadi sub- masalah 23 dan 24, Sub-masalah 13 dicabangkan menjadi sub-masalah 25 dan 26. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:
15.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 15 = Sub-masalah 8 + kendala x3 ≥5 16.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 16 = Sub-masalah 8 + Kendala x3 ≤4 17.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 17 = Sub-masalah 9 + Kendala x2 ≥21 18.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
19.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 19 = Sub-masalah 10 + kendala x1≥5 20.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 20 = Sub-masalah 10 + Kendala x1≤4 21.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 21 = Sub-masalah 11 + Kendala x1≥7 22.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 22 = Sub-masalah 11 + Kendala x1≤6 23.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 23 = Sub-masalah 12 + kendala x2 ≥24 24.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 24 = Sub-masalah 12 + Kendala x2 ≤23 25.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 25 = Sub-masalah 13 + Kendala x3 ≥3 26.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 26 = Sub-masalah 13 + Kendalax3 ≤2
Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM diperoleh nilai optimal sebagai berikut:
Solusi sub-masalah 15: x1= 5,3857, x2= 22, x3= 5, Z= Rp.7.599.499,78.
Solusi sub-masalah 16: x1= 6, x2= 23,3762, x3= 4, Z= Rp.7.601.583,97
Solusi sub-masalah 17: x1= 3,419, x2= 21, x3= 8, Z= Rp. 7.586.833,12
Solusi sub-masalah 18 : x1= 1,2083, x2= 20, x3= 11,25, Z= Rp. 7.568.958,25
Solusi sub-masalah 19: x1= 5 x2= 21, x3= 6,2963, Z= Rp. 7.599.314,76
Solusi sub-masalah 21 : Solusi tidak fisibel (tidak layak).
Solusi sub-masalah 22: x1= 6, x2= 23,3911, x3= 3, Z= Rp.7.571.843,87.
Solusi sub-masalah 23: x1= 6,9983, x2= 24, x3= 1,3774, Z= Rp.7.575.304,18
Solusi sub-masalah 24: x1= 7,2727, x2= 23, x3= 2, Z= Rp. 7.589.863,64
Solusi sub-masalah 25 : x1= 8, x2= 20,95, x3= 3, Z= Rp. 7.596.024,96
Solusi sub-masalah 26: x1= 8, x2= 22, x3= 2, Z= Rp. 7.573.999,95 (telah integer dan fisibel (layak)).
Solusi optimal dari sub-masalah 21 tidak fisibel maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan dan solusi dari sub-masalah 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, dan 25 masih dapat dilakukan pencabangan karena memiliki solusi lebih kecil dari batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta memiliki nilai variabel keputusan yang tidak integer. Sedangkan solusi optimal dari sub-masalah 20 dan 26 telah integer maka untuk sub-masalah 20 dan 26 tidak perlu dilakukan pencabangan lagi.
Oleh karena itu, dilakukan pencabangan lagi karena masih terdapat sub- masalah yang memiliki variabel keputusan yang bernilai tidak integer.
Iterasi 4
Batas atas untuk sub-masalah 15 adalah BA = Rp.7.599.499,78. Batas atas untuk sub-masalah 16 adalah BA = Rp.7.601.583,97 Batas atas untuk sub-masalah 17 adalah BA = Rp. 7.586.833,12 Batas atas untuk sub-masalah 18 adalah BA = Rp. 7.568.958,25 Batas atas untuk sub-masalah 19 adalah BA = Rp. 7.599.314,76 Batas atas untuk sub-masalah 22 adalah BA = Rp.7.571.843,87 Batas atas untuk sub-masalah 23 adalah BA = Rp.7.575.304,18 Batas atas untuk sub-masalah 24 adalah BA = Rp. 7.589.863,64 Batas atas untuk sub-masalah 25 adalah BA = Rp. 7.596.024,96
Selanjutnya dilakukan langkah yang sama yakni mencabangkan sub-masalah yang belum memiliki solusi yan integer menjadi dua bagian. Sub-masalah 15 dicabangkan menjadi sub-masalah 27 dan 28, Sub-masalah 16 dicabangkan menjadi sub-masalah 29 dan 30, Sub-masalah 17 dicabangkan menjadi sub- masalah 31 dan 32, Sub-masalah 18 dicabangkan menjadi sub-masalah 33 dan 34, Sub-masalah 19 dicabangkan menjadi sub-masalah 35 dan 36, Sub-masalah22 dicabangkan menjadi sub-masalah 37 dan 38, , Sub-masalah 23 dicabangkan menjadi sub-masalah 39 dan 40, Sub-masalah 24 dicabangkan menjadi sub- masalah 41 dan 42, Sub-masalah 25 dicabangkan menjadi sub-masalah 43 dan 44. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:
27.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 27 = Sub-masalah 15 + kendala x1≥6 28.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 28 = Sub-masalah 15 + Kendala x1≤5 29.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 29 = Sub-masalah 16 + Kendala x2 ≥23 30.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 30 = Sub-masalah 16 + Kendalax2 ≤22 31.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 31 = Sub-masalah 17 - + kendala x1≥4 32.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 32 = Sub-masalah 17 + Kendala x1≤3 33.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 33 = Sub-masalah 18 + Kendala x3 ≥12 34.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 34 = Sub-masalah 18 + Kendala x3 ≤11 35.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
36.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 36 = Sub-masalah 19 + Kendala x3 ≤6
37.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 37 = Sub-masalah 22 + Kendala x2 ≥24 38.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 38 = Sub-masalah 22 + Kendala x2 ≤23 39.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 39 = Sub-masalah 23 + kendala x1≥7 40.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 40 = Sub-masalah 23 + Kendala x1≤6 41.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 41 = Sub-masalah 24 + Kendala x1≥8 42.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 42 = Sub-masalah 24 + Kendala x1≤7 43.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 43 = Sub-masalah 25 + kendala x2 ≥21 44.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 44 = Sub-masalah 25 + Kendala x2 ≤20
Dengan menggunakan metode simpleks pada software QM maka akan diperoleh nilai dari variabel keputusannya, antara lain sebagai berikut:
Solusi sub-masalah 27 : Solusi tidak fisibel ( tidak layak)
Solusi sub-masalah 28: x1= 5, x2= 22, x3= 5,3951, Z= Rp.7.591.268,09
Solusi sub-masalah 29: x1= 5,4 x2= 23, x3= 4, Z= Rp. 7.570.499,77
Solusi sub-masalah 30: x1= 6, x2= 22 x3= 4, Z= Rp. 7.519.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 32 : x1= 3 x2= 21, x3= 8, Z= Rp. 7.469.500 (telah integer dan tidak fisibel (layak)).
Solusi sub-masalah 33 : Solusi tidak fisibel (layak).
Solusi sub-masalah 34: x1= 1,4333, x2= 20, x3= 11, Z= Rp.7.568.833,26
Solusi sub-masalah 35: x1= 5, x2= 20,05, x3= 7, Z= Rp.7.568.474,92
Solusi sub-masalah 36: x1= 5,2667, x2= 21, x3= 6, Z= Rp. 7.599.166,61
Solusi sub-masalah 37 : x1= 5,4143, x2= 24, x3= 3, Z= Rp. 7.541.499,76 (tidak
fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 38: x1= 6 x2= 23, x3= 3, Z= Rp. 7.486.000 (telah integer dan tidak fisibel ( tidak layak).
Solusi sub-masalah 39: x1= 7, x2= 24, x3= 1,375, Z= Rp.7.575187,5.
Solusi sub-masalah 40: x1= 6, x2= 24, x3= 2, Z= Rp.7.542.103,76 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 41: x1= 8, x2= 23, x3= 1, Z= Rp. 7.541.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 42 : x1= 7, x2= 23, x3= 2, Z= Rp. 7.513.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 43: solusi tidak fisibel (tidak layak)
Solusi sub-masalah 44 : x1= 8,633 x2= 20, x3= 3, Z= Rp. 7.564.833,29
Dapat dilihat bahwa, solusi dari sub-masalah 27, 31, 33, dan 43 tidak fisibel (tidak layak) maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan, solusi dari sub- masalah 28, 29, 34, 35, 36, 39, dan 44 masih dapat dilakukan pencabangan karena memiliki nilai solusi yang lebih kecil dari batas atas dan tidak lebih besar dari batas bawah serta memiliki variabel keputusan yang bernilai tidak integer maka pencabangan dapat dilanjutkan, sedangkan solusi dari sub-masalah 30, 32, 37, 38, 40, 41, dan 42 tidak dapat diikutsertakan untuk iterasi selanjutnya karena memiliki solusi yang lebih kecil dari batas bawah.
Iterasi 4
Batas atas untuk sub-masalah 28 adalah BA = Rp.7.591.268,09. Batas atas untuk sub-masalah 29 adalah BA = Rp. 7.570.499,77 Batas atas untuk sub-masalah34 adalah BA = Rp.7.568.833,26 Batas atas untuk sub-masalah 35 adalah BA = Rp.7.568474,92 Batas atas untuk sub-masalah 36 adalah BA = Rp. 7.599.166,61 Batas atas untuk sub-masalah 39 adalah BA = Rp.7.575.187,5 Batas atas untuk sub-masalah 44 adalah BA = Rp. 7.564.833,29
Karena masih terdapat sub-masalah yang bernilai tidak integer maka percabangan dilanjutkan dengan cara yang sama yakni membuat sub-masalah atas masing-masing sub-masalah sebelumnya yang memiliki nilai tidak integer. sub- masalah 28 dicabangkan menjadi sub-masalah 45 dan 46, sub-masalah 29 dicabangkan menjadi sub-masalah 47 dan 48, sub-masalah 34 dicabangkan menjadi sub-masalah 49 dan 50, sub-masalah 35 dicabangkan menjadi sub- masalah 51 dan 52, sub-masalah 36 dicabangkan menjadi sub-masalah 53 dan 54, sub-masalah 39 dicabangkan menjadi sub-masalah 55 dan 56, , sub-masalah 44 dicabangkan menjadi sub-masalah 57 dan 58. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:
45.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 45 = Sub-masalah 28 + kendala x3 ≥6 46.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 46 = Sub-masalah 28 + Kendala x3 ≤5 47.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 47 = Sub-masalah 29 + Kendala x1≥6 48.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 48 = Sub-masalah 29 + Kendala x1≤5 49.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 49 = Sub-masalah 34 + kendala x1≥2 50.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 50 = Sub-masalah 34 + Kendala x1≤1 51.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 51 = Sub-masalah 35 + Kendala x2 ≥21 52.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 52 = Sub-masalah 35 + Kendala x2 ≤20 53.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 53 = Sub-masalah 36 + kendala x1≥6 54.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 54 = Sub-masalah 36 + Kendala x1≤5 55.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 55 = Sub-masalah 39 + Kendala x3 ≥2 56.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 56 = Sub-masalah 39 + Kendala x3 ≤1 57.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 44 = Sub-masalah 44 + kendala x1≥9 58.Maksimalkan : Z =280000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 44 = Sub-masalah 44 + Kendala x1≤8
Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh nilai dari variabelnya, antara lain sebaagai berikut:
Solusi sub-masalah 45 : x1= 4,4095, x2= 22, x3= 6, Z= Rp.7.578.666,44 Solusi sub-masalah 46 :x1= 5, x2= 22,401, x3= 5, Z= Rp.7.579.517,14
Solusi sub-masalah 47:x1= 6 x2= 22, x3= 4, Z= Rp. 7.519.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 48: x1= 5, x2= 22 x3= 4, Z= Rp. 7.230.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi optimal sub-masalah 49: solusi tidak fisibel
Solusi sub-masalah 50 : x1= 1 x2= 20, x3= 11, Z= Rp. 7.447.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 51: tidak ada solusi fisibel.
Solusi sub-masalah 52: x1= 5,0333, x2= 20, x3= 7, Z= Rp.7.566.833,26
Solusi sub-masalah 53: x1= 6, x2= 19,5, x3= 4, Z= Rp.7.552.199,95
Solusi sub-masalah 54: solusi tidak fisibel (tidak layak) Solusi sub-masalah 55 : Solusi tidak fisibel (tidak layak) Solusi sub-masalah 56: Solusi tidak fisibel (tidak layak)
Solusi sub-masalah 57: x1= 9, x2= 19,45, x3= 3, Z= Rp.7.546.774,96
Solusi sub-masalah 58: x1= 8, x2= 20, x3= 3, Z= Rp.7.387.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Dapat dilihat bahwa, solusi dari sub-masalah 49, 51, 54, 55, dan 56 tidak fisibel maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan, sedangkan solusi dari sub- masalah 45, 46, 52, 53, dan 57 masih dapat dilakukan pencabangan lagi karena nilai solusinya lebih kecil dari batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta variabel keputusannya masih bernilai tidak integer maka pencabangan dapat dilanjutkan. Solusi dari sub-masalah 47, 48, 50, dan 58 lebih kecil dari batas bawah maka cabang ini tidak diikutsertakan untuk iterasi selanjutnya.
Iterasi 5
Karena masih terdapat sub-masalah yang bernilai tidak integer maka pencabangan dilanjutkan dengan cara yang sama yakni membuat sub-masalah atas masing-masing sub-masalah sebelumnya yang memiliki nilai tidak integer. Sub- masalah 45 dicabangkan menjadi sub-masalah 59 dan 60, sub-masalah 46 dicabangkan menjadi sub-masalah 61 dan 62, sub-masalah 52 dicabangkan menjadi sub-masalah 63 dan 64, sub-masalah 53 dicabangkan menjadi sub-
masalah 65 dan 66, sub-masalah 57 dicabangkan menjadi sub-masalah 67 dan 68. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:
59.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 59 = Sub-masalah 45 + kendala x1≥5 60.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 60 = Sub-masalah 45 + Kendala x1≤4 61.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 61 = Sub-masalah 46 + Kendala x2 ≥23 62.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 62 = Sub-masalah 46 + Kendala x2 ≤22
63.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 63 = Sub-masalah 52 + kendala x1≤5 64.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 64 = Sub-masalah 52 + Kendalax1≥6 65.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 65 = Sub-masalah 53 + Kendala x2 ≥20 66.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 66 = Sub-masalah 53 + Kendalax2 ≤19
67.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3
Sub-masalah 67 = Sub-masalah 57 + kendala x2 ≥20 68.Maksimalkan : Z =28000x1+219500x2+252500x3 Sub-masalah 68 = Sub-masalah 57 + Kendala x2 ≤19
Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh nilai dari variabelnya, antara lain sebaagai berikut:
Solusi sub-masalah 60 :x1= 4, x2= 22, x3= 6, Z= Rp.7.464.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak))
Solusi sub-masalah 61:x1= 4,4238 x2= 23, x3= 3, Z= Rp. 7.044.664 (tidak
layak karena nilai solusinya lebih kecil dari batas bawah).
Solusi sub-masalah 62: x1= 5, x2= 22 x3= 5, Z= Rp. 7491.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).
Solusi sub-masalah 63: solusi tidak fisibel (tidak layak)
Solusi sub-masalah 64 : x1= 5 x2= 20, x3= 6, Z= Rp. 7.305.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak))
Solusi sub-masalah 65: solusi tidak fisibel (tidak layak)
Solusi sub-masalah 66: x1= 8, x2= 19, x3= 4,444, Z= Rp.7.532.727(tidak layak
karena nilai solusinya lebih kecil dari batas bawah) Solusi sub-masalah 67: solusi tidak fisibel (tidak layak).
Solusi sub-masalah 68: x1= 9,3, x2= 19, x3= 3, Z= Rp.7.531.999,96 (tidak layak
karena nilai solusinya lebih kecil dari batas bawah)
Dapat dilihat bahwa, solusi dari sub-masalah 59, 63, 65, dan 67 tidak fisibel maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan, sedangkan dengan solusi dari sub-masalah 60, 62, dan 64 tidak dapat dicabangkan lagi karena nilai solusi untuk masing-masing sub-masalah tersebut telah integer namun nilai solusinya lebih kecih dari batas bawah. Begitu juga sub-masalah 61, 66, dan 68 tidak dapat dicabangkan lagi karena memiliki nilai solusi lebih kecil dari batas bawah.
Jadi, karena tidak ada masalah yang dapat di cabangkan lagi, maka iterasi selesai. selanjutnya pilih nilai solusi optimal yang telah integer dan fisibel (artinya nilai solusi optimalnya berada antara batas bawah dan batas atas).
Gambar 4.1 Diagram Branch and Bound dalam mengoptimalkan jumlah Produksi roti Pada Titik x3
3 3 x ≤ x3≥4 OPT 2 1 3 4 5 6 14 13 12 11 1 9 8 7 20 19 18 17 16 15 26 25 24 23 22 21 36 35 34 33 32 31 3 29 28 27 44 43 42 4 40 39 38 3 58 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 66 65 64 62 61 68 67 57
Keterangan:
1. Warna biru adalah tanda untuk nilai solusi optimal yang sudah integer dan tidak kurang dari batas bawah.
2. Warna hitam adalah tanda untuk solusi optimal yang tidak memiliki solusi. 3. Warna orange adalah tanda untuk variabel keputusan yang telah integer
tapi ni nilai optimalnya kurang dari batas bawah.
4. Warna ungu adalah tanda untuk solusi optimal yang kurang dari batas bawah namun belum integer
.
Maka dari penjelasan di atas diperoleh dua cabang yang memiliki variabel keputusan telah integer dan solusi optimalnya berada antara BB dan BA
a. Sub-masalah 14 : x1= 7, x2= 22, x3= 3, Z= Rp. 7.546.500.
b. Sub-masalah 26 : x1= 8, x2= 22, x3= 2, Z= Rp. 7.573.999,95.
.
Dari hasil perhitungan dengan metode branch and bound maka diambil sub-masalah dengan nilai optimal terbesar yakni Z= Rp. 7.573.999,95. Dengan masing-masing rasa diprodusi antara lain rasa kelapa 8 adonan, rasa coklat 22 adonan, dan rasa melon 2 adonan. Berdasarkan informasi dari perusahaan bahwa 1 adonan akan memproduksi 450 buah roti.
Maka diperoleh jumlah untuk masing-masing rasa roti yaitu:
1. Roti rasa kelapa sebanyak 8 adonan x 450 buah roti = 3600 buah 2. Roti rasa cokelat sebanyak 22 adonan x 450 buah roti = 9.900 buah 3. Roti rasa melon sebanyak 2 adonan x 450 buah roti = 900 buah Dengan keuntungan penjualan senilai Rp. 7.573.999,95. Jadi jumlah roti yang bisa diproduksi dari bahan-bahan yang tersedia ialah 14.400 buah roti. Sedangkan perkiraan perusahaan adalah dengan bahan-bahan yang tersedia dapat memproduksi 14.000 buah roti. Dengan jumlah untuk masing-masing rasa roti : kelapa 8 adonan, cokelat 20 adonan, melon 3 adonan.
BAB 5