Analisis Model Penyebaran Penyakit Ebola

Berdasarkan Gambar (1.1) populasi individu terbagi dalam 4 kompartemen, yaitu: kompartemen individu rentan (S_h), kompartemen individu laten (E_h), kompartemen individu terinfeksi (I_h), dan kompartemen individu Removed yang di dalamnya terdapat populasi individu yang sembuh dan populasi individu yang

mati akibat penyakit (R_h) . Populasi kelelawar terbagi dalam 3 kompartemen:

kompartemen kelelawar rentan (S_v), kompartemen kelelawar laten (E_v), dan kompartemen kelelawar terinfeksi (I_v). Setiap kelahiran individu (µ_h) maupun kelahiran kelelawar (µ_v)akan masuk kompartemen Sucseptible(S_h) dan (S_v) dan menjadi populasi rentan . Individu rentan dapat menjadi individu terinfeksi melalui kontak dengan individu terinfeksi dengan tingkat kontak sebesar c, dan melalui kontak dengan kelelawar terinfeksi dengan tingkat kontak sebesar b. Kelelawar rentan yang melakukan kontak dengan kelelawar terinfeksi akan menjadi kelelawar terinfeksi dengan tingkat kontak sebesar u. Individu yang telah terinfeksi tetapi belum punya gejala, akan menjadi individu laten dengan peluang penularan sebesar β_s, dan peluang penularan sebesar β_h jika penularan melalui kontak dengan kelelawar terinfeksi. Kelelawar yang telah terinfeksi tetapi belum punya gejala, akan menjadi kelelawar laten dengan peluang penularan sebesar β_q. Kemudian, individu laten mulai menunjukkan gejala penyakit dalam periode inkubasi selama beberapa hari dengan tingkat periode inkubasi per waktu sebesarδ_h dan masuk ke dalam populasi individu terinfeksi. Kelelawar laten yang mulai menunjukkan gejala penyakit dalam periode inkubasi selama beberapa hari, dengan tingkat periode inkubasi per waktu sebesar δ_v juga akan masuk ke dalam populasi kelelawar terinfeksi. Selanjutnya, individu yang sembuh atau mati akibat penyakit dengan tingkat perpindahan individu terinfeksi menjadi individu Removed sebesarγ_hakan masuk ke dalam populasi Removed. Tingkat kelahiran alami dan kematian alami diasumsikan sama, baik populasi individu maupun populasi kelelawar.

Berikut adalah faktor-faktor yang mengakibatkan perubahan jumlah setiap kelompok dalam populasi.

1. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah individu rentan (S_h).

(a) Jumlah individu rentan (Sh) akan bertambah dengan pengaruh dari tingkat kelahiran alami manusia sebesarµ_h.

(b) Pengurangan jumlah individu rentan (S_h) dipengaruhi oleh

• Kontak dengan individu terinfeksi (I_h) dengan tingkat rata-rata kontak sebesarcdan peluang penularan sebesarβ_s.

• Kontak dengan kelelawar yang terinfeksi (I_v) dengan tingkat rata-rata kontakbdan peluang penularan sebesarβ_h.

Maka tingkat perubahan jumlah individu rentan (S_h) terhadap waktu adalah:

dSh

dt = µhNh− µhSh− βhbIv

N_hSh − βscIh

N_hSh. 2. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah individu laten (E_h).

(a) Jumlah individu laten (Eh) akan bertambah dipengaruhi oleh

• Kontak antar individu rentan (S_h) dengan individu terinfeksi (I_h) dengan dan tingkat rata-rata kontak sebesar c dan peluang penularan sebesarβ_s.

• Kontak antar individu rentan (S_h) dengan kelelawar terinfeksi (I_v) dengan tingkat rata-rata kontak sebesar b dan peluang penularan sebesarβ_h.

(b) Jumlah individu laten (E_h) akan berkurang dipengaruhi oleh

• Tingkat kematian alami individu laten (E_h) sebesarµ_h.

• Munculnya gejala pada individu dan individu laten akan menjadi individu terinfeksi yang dapat menularkan penyakit setelah periode inkubasi selama beberapa hari, dengan tingkat periode inkubasi per waktu sebesarδ_h.

Maka tingkat perubahan jumlah individu laten (Eh) terhadap waktu adalah:

dE_h

dt = β_hb I_v

N_hS_h + β_scI_h

N_hS_h− µ_hE_h− δ_hE_h. 3. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah individu terinfeksi (I_h).

(a) Jumlah individu terinfeksi (I_h) akan bertambah ketika individu laten (E_h) yang sudah tertular penyakit mulai menampakkan gejala dan dapat menularkan setelah periode inkubasi selama beberapa hari, dengan tingkat periode inkubasi per waktu sebesarδ_h

(b) Jumlah individu terinfeksi (I_h) akan berkurang dipengaruhi oleh

• Tingkat kematian alami individu terinfeksi (I_h) sebesarµ_h.

• Individu terinfeksi yang keluar dari populasi terinfeksi ketika mulai sembuh dari penyakit, atau ketika mati akibat penyakit, dengan tingkat perpindahan individu kelas terinfeksi menjadi individu kelas Removed sebesarγh.

Maka tingkat perubahan jumlah individu terinfeksi (I_h) terhadap waktu adalah:

dI_h

dt = δ_hE_h− µ_hI_h− γ_hI_h.

4. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah individu kelas Removed (sembuh atau mati karena penyakit) (R_h).

(a) Jumlah individu Removed (R_h) akan bertambah ketika individu keluar dari populasi terinfeksi ketika mulai sembuh, atau mati karena penyakit, dengan tingkat perpindahan individu kelas terinfeksi menjadi individu kelas Removed sebesarγ_h.

(b) Jumlah individu Removed (R_h) akan berkurang dengan dipengaruhi tingkat kematian alami sebesarµ_h.

Maka tingkat perubahan jumlah individu Removed (R_h) terhadap waktu adalah:

dR_h

dt = γ_hI_h− µ_hR_h.

5. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah kelelawar rentan. (S_v).

(a) Jumlah kelelawar rentan (Sv) akan bertambah dengan pengaruh dari tingkat kelahiran alami kelelawar sebesarµ_v.

(b) Pengurangan jumlah kelelawar rentan (S_v) dipengaruhi oleh

• Kontak dengan kelelawar yang terinfeksi (I_v) dengan tingkat rata-rata kontak sebesarudan peluang penularan sebesarβ_q Maka tingkat perubahan jumlah kelelawar rentan (S_v) terhadap waktu adalah:

dS_v

dt = µ_vN_v − µ_hS_v − β_quI_v N_vS_v.

6. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah kelelawar laten. (E_v).

(a) Jumlah kelelawar laten (E_v) akan bertambah dengan pengaruh dari kontak dengan kelelawar yang terinfeksi (I_v) tingkat rata-rata kontak sebesarudan peluang penularan sebesarβ_q.

(b) Pengurangan jumlah kelelawar laten (E_v) dipengaruhi oleh

• Tingkat kematian alami kelelawar laten (E_v) sebesarµ_v.

• Kelelawar laten yang mulai menampakkan gejala dan dapat menularkan penyakit, setelah periode inkubasi selama beberapa hari dengan tingkat periode inkubasi per waktuδv.

Maka tingkat perubahan jumlah kelelawar laten (E_v) terhadap waktu adalah:

dE_v

dt = β_quI_v Nv

S_v − µ_vE_v− δ_vE_v.

7. Faktor-faktor penyebab perubahan jumlah kelelawar terinfeksi (I_v).

(a) Jumlah kelelawar terinfeksi (I_v) akan bertambah dengan pengaruh dari kelelawar laten (E_v) yang mulai menampakkan gejala dan menularkan penyakit. setelah periode inkubasi selama beberapa hari, dengan tingkat periode inkubasi per waktu sebesarδ_v.

(b) Jumlah kelelawar terinfeksi (Iv) akan berkurang dengan pengaruh tingkat kematian alami kelelawar sebesarµ_v.

Maka tingkat perubahan jumlah kelelawar terinfeksi (I_v) terhadap waktu adalah:

dI_v

dt = δ_vE_v− µ_vI_v.

Sehingga pernyataan-pernyataan di atas dapat dibentuk model penyebaran penyakit Ebola melalui kontak antar individu dan kontak dengan kelelawar, dalam bentuk persamaan differensial berikut.

dS_h

dengan total populasi manusiaN_h = S_h+E_h+I_h+R_hdan total populasi kelelawar N_v = S_v+ E_v+ I_v. Model ini akan diubah kedalam bentuk model nondimensional

dan

sehingga jumlah populasi N_h dan N_v tidak berubah terhadap waktu, artinya model dengan populasi tertutup dan dapat dikatakan konstan. Karena r_h tidak muncul di persamaan lain, maka r_h diabaikan dari sistem. Yang artinya, populasi manusia yang sembuh dan mati dari infeksi virus Ebola tidak akan berdampak pada kompartemen yang lain. Maka dari 3.2 didapat sistem persamaan differensial nonlinear yang lebih sederhana:

ds_h nonlinear untuk model penyebaran infeksi virus Ebola yang lebih sederhana dari sistem (3.2).