BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.2. Peraturan Pembebanan Gempa Berdasarkan SNI 03-1726-2012
2.2.6. Kinerja Struktur Gedung
Kinerja struktur gedung dipengaruhi adanya simpangan antar tingkat, akibat pengaruh gempa rencana. Penentuan simpangan antar lantai tingkat disain (Δ) harus dihitung sebagai perbedaan defleksi pada pusat massa di tingkat teratas dan terbawah yang ditinjau. Apabila pusat massa tidak terletak segaris dalam arah vertical, diijinkan untuk menghitung defleksi di dasar tingkat berdasarkan proyeksi vertical dari pusat massa tingkat di atasnya.
Tabel 2.6 Koefisien Ct dan x
Tipe Struktur Ct x
Sistem rangka pemikul momen di maan rangka memikul 100 persen gaya gempa yang disyaratkan dan tidak dilingkupi atau dihubungkan dengan komponen yang lebih kaku dan akan mencegah rangka dari defleksi jika dikenai gaya gempa:
Rangka baja pemikul momen 0,0724a 0,80
Rangka beton pemikul momen 0,0466a 0,90
Rangka baja dengan bresing eksentris 0,0731a 0,75
Rangka baja dengan bresing terkekang terhadap tekuk 0,0731a 0,75
Semua sistem struktur lainnya 0,0488a 0,75
δxe = defleksi pada lokasi yang diisyaratkan, yang ditentukan dengan analisis elatis, mm;
Ie = faktor keutamaan.
Simpangan antar tingkat desain (Δ) yang ditentukan tidak boleh melebihi simpangan antar lantai ijin (Δa) seperti yang didapatkan dari
Tabel 2.7 untuk semua tingkat.
Tabel 2.7 Simpangan antar lantai izin (Δa)
Struktur
Kategori Resiko
I atau II III IV
Struktur, selain dari struktur dinding geser batu bata, 4 tingkat atau kurang dengan dinding interior, partisi, langit-langit dan sistem dinding eksterior yang telah didesain untuk
mengakomodasi simpangan antar lantai
0,025 hsx 0,025 hsx 0,025 hsx
Struktur dinding geser kantilever batu bata 0,010 hsx 0,010 hsx 0,010 hsx
Struktur dinding geser batu bata lainnya 0,007 hsx 0,007 hsx 0,007 hsx
Semua struktur lainnya 0,020 hsx 0,015 hsx 0,010 hsx
Keterangan:
hsx = tinggi tingkat di bawah tingkat x.
2.3. Peraturan Pembebanan Berdasarkan SNI 03-1727-2013
Pada perencanaan konstruksi bangunan beban – beban yang diperhitungkan adalah beban mati, beban hidup yang mengikuti peraturan yang berlaku saat ini ialah SNI 03-1727-2013 yang merupakan revisi dari PBI 1983, dimana terdapat beberapa perbedaan salah satunya misalnya pada PBI 1983 beban hidup pada lantai bangunan perkantoran ditetapkan sebesar 250 kg/m2 atau 25 kN/m2 sedangkan yang ditetapkan oleh peraturan yang berlaku saat ini SNI 03-1727-2013 telah direvisi menjadi 500 kg/m2 atau 50 kN/m2.
Dalam hal ini, besarnya beban hidup yang ditetapkan oleh peraturan yang berlaku saat ini menjadi lebih aman jika digunakan dalam perencaan sebab besar beban yang direncanakan lebih besar.
Beban Hidup Kg/m2
Lantai dan tangga,
Lantai dan rumah tinggal sederhana dan gudang-gudang tidak penting, yang bukan untuk toko atau ruang kerja
Lantai sekolah, ruang kuliah, kantor, toko, restorant, hotel, asrama dan rumah sakit.
Lantai ruang olahraga
Lantai ruang dansa
Lantai dan balkon dalam dari ruang-ruang untuk pertemuan yang lain dari pada yang di sebut dalam (a) s/d (e), seperti mesjid, gereja, ruang pagelaran, ruang rapat, bioskop, dan panggung penonton dengan tempat duduk tetap.
Panggung penonton tempat duduk tidak tetap atau untuk penonton yang berdiri
Tangga, bordes tangga, lantai, dan gang dari ruang-ruang yang disebut dalam poin (c)
Tangga, bordes tangga, lantai, dan gang dari ruang-ruang yang
disebut dalam poin (d), (e), (f) dan (g)
Lantai ruang pelengkap dari ruang-ruang yang di sebut (c), (d), (e), (f), dan (g)
Lantai untuk : pabrik, bengkel, gudang, perpustakaan, ruang arsip, toko buku, toko besi, ruang alat-alat danruang mesin, harus
direncanakan terhadap beban hidup yang ditentukan tersendiri, dengan minimum
Lantai gedung parkir bertingkat :
Untuk lantai bawah
Untuk lantai tingkat lainnya
m. Balkon-balkon yang menjorok bebas keluar harus direncanakan terhadap beban hidup dari lantai ruang yang berbatasan, dengan minimum (Sumber : Peraturan Pembebanan Indonesia untuk Gedung 1983)
2.3.1. Beban Mati
Berat sendiri dari bahan-bahan bangunan penting dan dari beberapa komponen gedung diambil dari Tabel 2.8.
Tabel 2.8 Berat sendiri bahan bangunan dan komponen gedung (SNI 03-1727-2013)
No Bahan bangunan kg/m3 kN/m3 kg/m2 kN/m2
1 Baja 7850 76.93
2 Batu belah, batu bulat, batu gunung (berat tumpuk) 2600 25.48
3 Batu karang (berat tumpuk) 1500 14.7
4 Batu pecah 700 6.86
5 Besi tuang 1450 14.21
6 Beton (1) 7250 71.05
7 Beton bertulang (2) 2200 21.56
8 Kayu (Kelas I) (3) 2400 23.52
9 Kerikil, Koral (kerikil udara sampai lembab, tanpa
diayak) 1000 9.8
Tabel 2.8 Berat sendiri bahan bangunan dan komponen gedung (SNI 03-1727-2013) (Lanjutan)
No Bahan bangunan kg/m3 kN/m3 kg/m2 kN/m2
diayak)
10 Pasangan batu bata 1650 16.17
11 Pasangan batu belah, batu bulat, batu gunung 1700 16.66
12 Pasangan batu karang 2200 21.56
13 Pasir (kering udara sampai lembab) 1450 14.21
14 Pasir (jenuh air) 1600 15.68
15 Pasir kerikil, koral (kering udara sampai lembab) 1800 17.64 16 Tanah, lempung dan lanau (kering udara sampai
lembab) 1850 18.13
17 Tanah, lempung dan lanau (basah) 1700 16.66
18 Timah hitam (timbal) 2000 19.6
19 Komponen gedung 11400 111.72
20 Adukan, per cm tebal :
- dari semen 21 0.21
21 - dari kapur, semen merah atau tras 17 0.17 17 0.17
22 Aspal, termasuk bahan-bahan mineral penambah, per
cm tebal 14 0.14 14 0.14
23 Dinding pasangan batu bata :
- satu batu 450 4.41
- setengah batu 250 2.45
24 Langit-langit dan dinding (termasuk rusuk-rusuknya, tanpa penggantung langit-langit atau pengaku), terdiri dari :
- semen asbes (eternit dan bahan lain sejenis), dengan
tebal maksimum 4 mm 11 0.11
- kaca, dengan tebal (3-4) mm 10 0.1
25 Lantai kayu sederhana dengan balok kayu, tanpa langit-langit dengan bentang maksimum 5 m dan untuk beban hidup maksimum 200 kg/m2
40 0.4
26 Penggantung langit-langit (dari kayu), dengan bentang maksimum 5 m dan jarak sumbu ke sumbu minimum 0.8 m
7 0.068
27 Penutup atap genting dengan reng dan usuk/kaso per
m2 bidang atap 50 0.49
28 Penutup atap sirap dengan reng dan usuk/kaso per m2
bidang atap 40 0.39
29 Penutup atap seng gelombang (BWG 24) tanpa
gording 24 0.24
30 Penutup lantai dari ubin semen Portland, teraso dan
beton tanpa adukan, per cm tebal 11 0.11
CATATAN :
(1) Nilai ini berlaku untuk beton pengisi;
(2) Untuk beton getar, beton kejut, beton mampat dan beton padat lain sejenis, berat sendirinya harus ditentukan tersendiri;
(3) Nilai ini adalah nilai rata-rata, untuk jenis-jenis kayu tertentu dapat dilihat pada NI 5 Peraturan Konstruksi Kayu Indonesia.
2.3.2. Beban Hidup
Beban hidup adalah semua beban yang terjadi akibat penghunian atau penggunaan suatu gedung, termasuk beban-beban pada lantai yang berasal dari barang-barang yang dapat berpindah, mesin-mesin, serta peralatan yang bukan bagian tak terpisahkan dari gedung itu, sehingga mengakibatkan perubahan dalam pembebanan lantai dan atap. Khusus pada atap, beban hidup juga mencakup beban hujan, baik akibat genangan maupun akibat tekanan jatuh (energi kinetik) butiran air. Beberapa beban hidup yang bekerja pada gedung dapat diambil dari Tabel 2.9.
Beban hidup tersebut sudah termasuk perlengkapan ruang sesuai dengan kegunaan lantai ruang yang bersangkutan dan juga dinding-dinding pemisah dengan berat tidak lebih dari 100 kg/m2.
Tabel 2.9 Beban hidup pada lantai gedung (SNI 03-1727-2013)
Hunian atau penggunaan Merata psf
(kN/m2)
Terpusat lb (kN) Apartemen (lihat rumah tinggal)
Sistem lantai akses Ruang kantor Ruang komputer
50 (2.4) 100 (4.79)
2000 (8.9) 2000 (8.9) Gudang persenjataan dan ruang latihan 150 (7.18)
Ruang pertemuan dan bioskop Kursi tetap (terikat di lantai) Lobi
Kursi dapat dipindahkan Panggung pertemuan Lantai podium
60 (2.87) 100 (4.79) 100 (4.79) 100 (4.79) 150 (7.18) Balkon (eksterior)
Rumah untuk satu atau dua keluarga, dan luas tidak melebihi 100 ft2 (9.3 m2)
100 (4.79)
60 (2.87) Lintasan bowling, ruang kolam renang, dan tempat
rekreasi sejenis lainnya 75 (3.59)
Jalur untuk akses pemeliharaan 40 (1.92) 300 (1.33)
Tabel 2.9 Beban hidup pada lantai gedung (SNI 03-1727-2013) (Lanjutan)
Hunian atau penggunaan Merata psf
(kN/m2)
Terpusat lb (kN) Koridor
Lantai pertama
Lantai lain, sama seperti pelayanan hunian kecuali
disebutkan lain 100 (4.79)
Ruang dansa dan ruang ballroom/pesta 100 (4.79) Dek (pekarangan dan atap)
Sama seperti daerah yang dilayani, atau untuk jenis hunian yang diakomodasi
Ruang makan dan restoran 100 (4.79)
Hunian (lihat rumah tinggal)
Ruang mesin elevator (pada daerah seluas 4 in2 [2580
mm2]) 300 (1.33)
Konstruksi pelat lantai finishing ringan (pada luasan 1
in2[645 mm2]) 200 (0.89)
Jalur penyelamatan terhadap kebakaran Hunian satu keluarga saja
100 (4.79) 40 (1.92)
Tangga permanen Lihat pasal 4.4
Garasi (mobil penumpang saja)
Truk dan bus 40 (1.92)a,b
Tribun (lihat stadion dan arena, tempat duduk di stadion)
Lantai utama gymnasium dan balkon 100 (4.79)
Susunan tangga, rel pengaman dan batang pegangan Lihat pasal 4.4 Rumah sakit :
Tabel 2.9 Beban hidup pada lantai gedung (SNI 03-1727-2013) (Lanjutan)
Hunian atau penggunaan Merata psf
(kN/m2)
Koridor di atas lantai pertama
60 (2.87)
Kanopi di depan pintu masuk gedung 75 (3.59)
Gedung perkantoran:
Ruang arsip dan komputer harus dirancang untuk beban yang lebih berat berdasarkan pada perkiraan hunian Lobi dan koridor lantai pertama
Kantor
Koridor di atas lantai pertama
100 (4.79)
Hunian (satu keluarga dan dua keluarga) Loteng yang tidak dapat didiami tanpa gudang Loteng yang tidak dapat didiami dengan gudang Loteng yang dapat didiami dan ruang tidur Semua ruang kecuali tangga dan balkon Hotel dan rumah susun
Ruang pribadi dan koridor yang melayani mereka Ruang publik dan koridor yang melayani mereka
10 (0.48) Stand pemantauan, tribun, dan tempat duduk di stadion 100 (4.79)d
Tabel 2.9 Beban hidup pada lantai gedung (SNI 03-1727-2013) (Lanjutan)
Hunian atau penggunaan Merata psf
(kN/m2)
Terpusat lb (kN)
Atap
Atap datar, pelana, dan lengkung Atap digunakan untuk tempat berjalan
Atap yang digunakan untuk taman atap atau tujuan pertemuan
Atap yang digunakan untuk tujuan khusus Awning dan kanopi
Konstruksi struktur yang didukung oleh struktur rangka kaku ringan
Semua konstruksi lainnya
Komponen struktur atap utama, yang terhubung langsung dengan perkerjaan lantai
Titik panel tunggal dari batang bawah ranga atap atau setiap titik sepanjang komponen struktur utama yang mendukung atap diatas pabrik, gudang, dan perbaikan garasi
Semua hunian lainnya
Semua permukaan atap dengan beban pekerja pemeliharaan Bak-bak/scuttles, rusuk untuk atap kaca dan langit-langit
yang dapat diakses 200 (0.89)
Pinggir jalan untuk pejalan kaki, jalan lintas kendaraan,
dan lahan/jalan untuk truk-truk 250 (11.97)e 8000 (35.6)f Stadion dan arena
Tribun
Tempat duduk tetap (terikat di lantai)
100 (4.79)d 60 (2.87)d
Tabel 2.9 Beban hidup pada lantai gedung (SNI 03-1727-2013) (Lanjutan)
Hunian atau penggunaan Merata psf
(kN/m2)
Terpusat lb (kN)
Tangga dan jalan keluar
Rumah tinggal untuk satu dan dua keluarga saja
100 (4.79)
40 (1.92) g
Ruang gudang diatas langit-langit 20 (0.96)
Gudang penyimpang barang sebelum disalurkan ke pengecer (jika diantisipasi menjadi gudang penyimpanan, maka harus dirancang untuk beban lebih berat)
Ringan
Susuran jalan dan panggung yang ditinggikan (selain jalan
keluar) 60 (2.87)
Pekarangan dan teras, jalur pejalan kaki 100 (4.79)
2.4. Karakteristik Dinamik Struktur Bangunan
Pada persamaan differensial gerakan massa pada struktur derajat kebebasan tunggal (SDOF) melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan, dan redaman.
Ketiga properti struktur itu umumnya disebut karakteristik dinamik struktur. Properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problema statik. Kekakuan elemen/struktur adalah satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lain yaitu massa dan redaman tidak dipakai.
2.4.1. Massa
Suatu struktur yang kontinu berkemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang ada. Sama seperti struktur dengan derajat kebebasan tunggal, maka pada struktur dengan derajat kebebasan banyak juga diperlukan beberapa asumsi atau penyederhanaan.
Umumnya terdapat dua pemodelan pokok yang dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur. Pemodelan pertama, lumped mass model adalah sistem diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat tertentu. Apabila prinsip bangunan geser (shear building) dipakai maka setiap masa hanya akan bergerak secara horizontal.
Karena percepatan hanya terjadi pada struktur yang mempunyai massa maka matriks massa merupakan matriks diagonal. Pemodelan kedua adalah menurut prinsip consistent mass matrix yang mana element struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu.
a. Model Massa Tergumpalkan (Lumped Mass Model)
Pada prinsip diskretisasi massa, massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan atau derajat kebebasan (degree of freedom) suatu titik sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan atau satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian di luar diagonal matriks massa akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa (rotation degree of freedom), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan
ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (momen inersia massa dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.
Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap-tiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa atau tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.
b. Model Massa Tergumpalkan (Lumped Mass Model)
Pada prinsip consistent mass matrix, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap titik maka consistent mass matrix yang standar akan dapat diperoleh dengan matriks off-diagonal tidak sama dengan nol sebagaimana terjadi pada prinsip lumped mass. Pada struktur yang massanya terdistribusi secara merata misalnya analisis getaran balok atau cerobong, pemakaian prinsip consistent mass matrix menjadi lebih tepat. Namun demikian, pada struktur bangunan gedung bertingkat banyak yang mana massa struktur umumnya terkonsentrasi pada masing-masing tingkat, maka prinsip lumped mass banyak dipakai dan cukup akurat (Carr 1993).
Untuk menghitung massa baik yang single lumped mass maupun multiple lumped mass maka dapat dipakai formulasi sederhana yaitu,
g
m=W (2.10)
dimana:
m = massa struktur (kN-s2/m);
W = berat struktur (kN);
g = percepatan gravitasi (9.81 m/s2)
2.4.2. Kekakuan
Kekakuan merupakan salah satu karakteristik dinamik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigen problem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut, ω, dan perioda getar struktur, T. ω merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur. Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi penggoyangan. Adanya lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibanding dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linier dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung dengan rumus standar.
Pada prinsipnya, semakin kaku balok maka semakin besar kemampuannya dalam mengekang rotasi ujung kolom, sehingga akan menambah kekakuan kolom. Perhitungan kekakuan balok akan lebih teliti apabila pengaruh plat lantai ikut diperhatikan sehingga diperhitungkan sebagai balok T.
Kekakuan kolom jepit-jepit dapat dihitung dengan rumus,
3
12 h
K = EI (2.11)
Kekakuan kolom jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus,
3
3 h
K = EI (2.12)
dimana:
K = kekakuan kolom (kN/m);
E = modulus elastisitas (MPa);
I = inersia kolom (m4);
h = tinggi kolom (m).
2.4.3. Redaman
Redaman merupakan peristiwa pelepasan energy (energy dissipation) oleh struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu diantaranya adalah pelepasan energy oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energy oleh gesekan alat penyambung maupun sistim dukungan, pelepasan energy akibat gesekan dengan udara dan pada respon inelastik pelepasan energy akibat adanya rotasi sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energy maka hal tersebut akan mengurangi respon struktur.
Secara umum redaman atau damping dapat dikategorikan menurut damping system dan damping types. Damping system yang dimaksud adalah bagaimana sistem struktur mempunyai kemampuan dalam menyerap energy. Menurut sistem struktur yang dimaksud, terdapat dua sistem disipasi energy yaitu, redamang klasik (clasical damping) dan redaman nonklasik (non clasical damping).
a. Redaman Klasik (Clasical Damping)
Apabila dalam sistem struktur menggunakan bahan yang sama bahannya mempunyai rasio redaman (damping ratio) yang relatif kecil dan struktur damping dijepit didasarnya maka sistem struktur tersebut mempunyai damping yang bersifat klasik (classical damping).
Redaman dengan sistem ini akan memenuhi kaidah kondisi ortogonal (orthogonality condition).
b. Redaman Non-Klasik (Non Clasical Damping)
Redaman dengan sistem ini akan terbentuk pada suatu sistem struktur yang memakai bahan yang berlainan yang mana bahan-bahan yang bersangkutan mempunyai rasio redaman yang berbeda secara signifikan. Sebagai contoh suatu bangunan yang bagian bawahnya dipakai struktur beton bertulang sedangkan bagian atasnya memakai struktur baja. Antara keduanya mempunyai kemampuan disipasi energy yang berbeda sehingga keduanya tidak bisa membangun redaman klasik. Adanya interaksi antara tanah dengan struktur juga akan membentuk sistem redaman yang non-klasik, karena tanah mempunyai redaman yang cukup besar misalnya antara 10% hingga 25%, sedangkan struktur atasnya mempunyai redaman yang relatif kecil, misalnya 4% hingga 7%. Kasus yang lain berlakunya redaman non klasik adalah apabila massa, kekakuan ataupun matriks redaman berubah-ubah menurut frekuensi.
Hal ini terjadi pada analisis yang memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur.
2.5. Derajat Kebebasan (Degree of Freedom)
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Apabila suatu titik yang ditinjau mengalami perpindahan tempat secara horizontal, vertikal dan ke samping misalnya, maka sistem tersebut mempunyai derajat kebebasan. Hal ini terjadi karena titik yang bersangkutan dapat berpindah secara bebas dalam 3 arah. Pada masalah dinamika, setiap titik atau massa
umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal.
Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang (2-dimensi) maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi ordinat tertentu baik bertanda positif maupun negatif. Pada kondisi 2-D tersebut simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu y(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal. Secara umum bangunan 1 tingkat dianggap hanya mempunyai derajat kebebasan tunggal (single degree of freedom, SDOF) dan struktur yang mempunyai n tingkat akan mempunyai n derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom, MDOF).
2.5.1. Persamaan Differensial pada Struktur SDOF
Struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau.
Bangunan satu-tingkat, menara air (water tower) adalah salah satu contoh bangunan dengan derajat kebebasan tunggal.
Gambar 2.2 Pemodelan struktur SDOF
Pada Gambar 2.2.a tersebut tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yang beban dan
intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti Gambar 2.2.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada Gambar 2.2.b. Notasi m, c dan k seperti seperti yang tampak di gambar tersebut berturut-turut adalah massa, koefisien redaman dan kekakuan kolom. Pada Gambar 2.2.c ditampilkan model matematik untuk struktur SDOF yang mempunyai redaman.
Apabila beban dinamik P(t) seperti tampak pada Gambar 2.2.c bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, redaman dan gaya inersia. Gambar 2.2.d adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,
( )
t FD FS FIP − − = atau FI +FD +FS =P
( )
t (2.13)u m
FI = && (2.14)
u c
FD = & (2.15)
cu
FS = (2.16)
dimana:
FI = gaya inersia;
F = gaya redaman; D
F = gaya pegas; S
u&& = percepatan massa (m/s2);
u& = kecepatan massa (m/s);
u = perpindahan massa (m).
Apabila persamaan Error! Reference source not found., Error! Reference source not found., dan Error! Reference source not found. disubstitusikan ke persamaan Error!
Reference source not found., maka akan diperoleh:
( )
tP ku u c u
m&&+ &+ = (2.17)
Persamaan Error! Reference source not found. adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik P(t). Pada problem dinamik, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah u(t). Simpangan horizontal tingkat akan berpengaruh langsung terhadap momen kolom maupun momen balok.
2.5.2. Persamaan Differensial pada Struktur SDOF akibat Pergerakan Dasar
Beban dinamik yang umum dipakai pada anlisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relatif terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil-structure interaction analysis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah
dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan diferensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Pemodelan struktur SDOF akibat pergerakan dasar
Jika pergeseran (displacement) pada tanah dinotasikan dengan ug, total perpindahan dari massa struktur dinotasikan dengan ut, dan perpindahan relatif antara massa dan tanahnya dinotasikan dengan dengan u, maka berdasarkan Gambar 2.3 dapat dirumuskan,
( ) ( ) ( )
t u t u tut = + g (2.18)
Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia fI tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi,
=0 +
+ D s
I f f
f (2.19)
dengan,
t
I mu
f = (2.20)
Dengan mensubstisusikan persamaan (2.15), (2.16), (2.20) ke (2.19), sehingga
Dengan mensubstisusikan persamaan (2.15), (2.16), (2.20) ke (2.19), sehingga