BAB IV ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RS PANTI RAPIH
D. Analisis Perhitungan Performa Antrian
BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
7 BAB II
DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika sebagai landasan pembahasan skripsi ini.
A. Peluang
Definisi 2.1 Ruang Sampel
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol .
Contoh 2.1
Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu gambar dan angka, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah
{ , , , }.
Simbol menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka”
pada sisi koin.
Definisi 2.2 Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya .
Contoh 2.2
Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.
: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.
Maka = { , , , , , , , , }
dengan menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka: 1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }. 2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }. 3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan � dengan
� = { � | }. 4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan
\ = �.
Definisi 2.4 Peluang
Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan � yang memenuhi:
1. � .
2. � = .
3. Jika , , , …. adalah kejadian yang saling asing di maka
� … = ∑ � �
∞ �=
.
Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian
Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah
� =
dengan adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya anggota ruang sampel .
Contoh 2.3
Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi
“Angka”?
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah = { , , , }
dengan menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada
sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya
Definisi 2.6 Peluang Bersyarat
Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah kejadian terjadi dinotasikan dengan � | ,
� | =� � , � > .
Dua kejadian dan saling bebas jika � = � � .
Contoh 2.4
Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas. Jawab:
= { , } berarti � = = ,
� = = dan � = = ,
oleh karena � � = ≠ � = maka dan tidak saling bebas.
Definisi 2.7 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah
Contoh 2.5
Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Ruang sampel pada percobaan tersebut:
= { , , , }
dengan menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna
“Hijau”.
= banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.
ℝ
Gambar 2.1 Pemetaan .
Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit
Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut , � adalah suatu fungsi probabilitas diskrit untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:
1. � untuk setiap � ℝ.
2. ∑ � = .
Contoh 2.6
Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Jawab:
Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.
� � = =( ( ( = , � = =( ( ( = = , � = =( ( ( = ,
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika:
1. untuk setiap � ℝ.
2. −∞∞ = .
3. � = −∞∞ .
Contoh 2.7
Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas:
= { , − < <, lainnya a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas.
b. Tentukan � < .
Jawab:
a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas ,
∫∞ = ∫− = |− = .
−∞
Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
= � = { ∑ ∀ ,jika diskrit, ∫ −∞ ,jika kontinu.
Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan memenuhi:
1. , , ∀ , .
2. ∑ ∑ , = .
Untuk setiap di bidang , �[ , ] = ∑ ∑� , .
Contoh 2.8
Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau. Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi , . Jawab:
Nilai dari pasangan terurut , yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , .
Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut
adalah ( = . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak
adalah ( ( = . Jadi , = = . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum
diperoleh , = ( − −
(8 untuk setiap = , , ; = , , ; dan
+ .
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak dan jika: 1. , , ∀ , . 2. −∞∞ −∞∞ , = . , Total Baris 0 1 2 0 1 2 0 Total Kolom
Contoh 2.9
Diberikan , sebagai berikut:
, = { + , ,
, ,
Tunjukkan bahwa −∞∞ −∞∞ , = .
Jawab:
Integral dari , adalah ∫ ∫∞ , −∞ ∞ −∞ = ∫ ∫ + = ∫ + | == = ∫ ( + ) = + | = + = .
Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi ℎ dan , mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama , dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika , = ℎ untuk setiap pasangan bilangan real , . Pasangan bilangan real , diperoleh = , ℎ = , dan
ℎ = × = ≠ , = .
B. Nilai Harapan
Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau nilai harapan dari adalah:
= = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Contoh 2.11
Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut. Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah
= ( ( −
( , = , , , sehingga diperoleh
= , = , = ,
nilai harapan adalah
= = + + + = = .
jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut adalah . .
Contoh 2.12
Diberikan variabel acak yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan fungsi densitas sebagai berikut:
, = { , > , lainnya Tentukanlah nilai harapan .
Menurut definsi nilai harapan diperoleh:
= = ∫∞ = ∫∞ = .
Nilai harapan dari adalah .
Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan adalah fungsi yang bernilai real dari . Nilai harapan adalah:
= [ ] = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit, = [ ] = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Lemma 2.1
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Lemma 2.2
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Teorema 2.1
Diberikan , suatu konstanta, + = + .
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskrit,
+ = ∑ +
= ∑ +
= ∑ + ∑
Untuk variabel acak kontinu, + = ∫∞ + −∞ = ∫ + ∫∞ −∞ ∞ −∞ = + . ∎
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah [ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskit,
[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]
= ∑[ + ℎ ]
= ∑ + ∑ ℎ
= [ ] + [ ]. Untuk variabel acak kontinu,
[ + ℎ ] = ∫ [ + ℎ ]
∞ −∞
= ∫ + ∫ ℎ∞ −∞ ∞
−∞
= [ ] + [ℎ ]. ∎
Teorema 2.3Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
[ − ℎ ] = [ ] − [ℎ ]. Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh: untuk variabel acak diskrit,
[ − ℎ ] = ∑[ − ℎ ]
= ∑[ − ℎ ]
= ∑ − ∑ ℎ
= [ ] − [ ]. Untuk variabel acak kontinu,
[ − ℎ ] = ∫ [ − ℎ ] ∞ −∞ = ∫ − ∫ ℎ∞ −∞ ∞ −∞ = [ ] − [ℎ ]. ∎
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut: Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak .
0 1 2 3
Carilah nilai harapan = − . Jawab:
Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi = − dapat ditulis sebagai berikut:
[ − ] = − + = − + ,
= ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = , = ( ) + ( ) + + ( ) = ,
Jadi, nilai harapan = − adalah [ − ] = − + = .
Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak
Diberikan variabel acak dan yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian
Bukti:
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , diskrit diperoleh,
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑
= .
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh, = ∫ ∫∞ −∞ ∞ −∞ ℎ = ∫ [∫∞ ℎ −∞ ] ∞ −∞ = ∫∞ −∞ = ∫∞ −∞ = ). ∎
C. Variansi
Definisi 2.17 Variansi
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan mean . Variansi dari adalah:
� = [ − ] = ∑ − ; jika variabel acak diskrit, � = [ − ] = ∫∞ −
−∞
; jika variabel acak kontinu.
Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.14
Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari .
Diketahui bahwa = . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh:
= , = , = , = .
Variansi dari adalah
� = ∑ − .
=
= − . ( ) + − . ( ) + − . ( ) + − . ( )
= . .
Teorema 2.5
Variansi dari variabel acak adalah
Bukti:
Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh,
� = ∑ −
= ∑ − +
= ∑ − ∑ + ∑ .
Menurut definisi nilai harapan = ∑ dan menurut definisi fungsi probabilitas diskrit yang ke (2) ∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit maka diperoleh
� = ∑ −
= − .
Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh
� = ∫∞ − −∞ = ∫∞ − + −∞ = ∫ − ∫ + ∫ ∞ . −∞ ∞ −∞ ∞ −∞
Menurut definisi nilai harapan = −∞∞ dan menurut fungsi probabilitas kontinu yang ke (2) −∞∞ = untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka diperoleh � = ∫ − ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ = − . ∎
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah komputasi dalam statistika matematis.
Definisi 2.18
Momen ke-� dari variabel acak adalah dan dinotasikan ′ .
Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut
= .
Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak
Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen masing-masing adalah , , … , � .
Jika = + + ⋯ + maka = × × … × � .
Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh:
= = ( + +⋯+ � = × × … × � = × × … × � = × × … × . ∎ Teorema 2.7 Ketunggalan
Diberikan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel
random dan . Jika = maka dan mempunyai distribusi yang sama.
Bukti:
(Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi) Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
� = �
dengan � adalah bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan mengganti = −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫∞ �
−∞ = ∫
� ∞
maka = (skripsi hal 54).
Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
E. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak yang menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.20 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:
; = ! − , = , , , ….
dengan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan adalah menunjukkan selang waktu.
Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Nilai harapan dari variabel acak diskrit yang berdistribusi Poisson adalah = .
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:
= ∑ ∞ = = ∑ − ! ∞ = = ∑ − − !− ∞ = = ∑ − − !− ∞ = . Misalkan = − , maka = ∑ − ! . ∞ =
Mengingat bahwa = −� ! berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi fungsi probabilitas diskrit ke- (2) ∑∞ =
= maka diperoleh = ∑ − − − ! ∞ = = ∑ − ! ∞ = = . ∎
Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson
Variansi dari variabel acak diskrit berdistribusi Poisson ; adalah = .
Bukti:
Misalkan: = − + = − + = [ − ] + , [ − ] = ∑ − ∞ = = ∑ − − ! ∞ = = ∑ − − − − !− ∞ = , [ − ] = ∑ − − !− ∞ = = , sehingga diperoleh = [ − ] + = + , dengan demikian = − = + − = . ∎
Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak berdistribusi Poisson adalah − Bukti: Misalkan = �, maka = ∑� !−� ∞ = = ∑� !−� ∞ = = −�∑ � ! ∞ = = � −� = � − = − . ∎ F. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma merupakan distribusi probabilitas berasal dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas. Distribusi Gamma merupakan distribusi kontinu. Beberapa distribusi merupakan kejadian khusus dari distribusi Gamma. Misalnya distribusi Eksponensial.
Definisi 2.21 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut
Γ = ∫∞ − − , > .
Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma
Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma: 1. Γ = − Γ − untuk setiap > .
2. Γ = .
3. Γ = − ! untuk setiap bilangan bulat positif . Bukti:
1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara
parsial yaitu = − , dengan memisalkan = − maka
= − − , dan = − maka = ∞ − = − − |∞ sehingga
diperoleh Γ = lim→∞− − − | − ∫ −∞ − − − = lim→∞− − − | + ∫∞ − − − = lim→∞− − − | + − ∫∞ − − − = −lim→∞ − + − Γ − = −lim→∞[exp( − ln ] + − Γ −
= −lim→∞[exp( − ln − ] + − Γ − = −lim→∞{exp [ − (ln − )]} + − Γ −
= − Γ − .
2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ = ∫ − − ∞ = ∫∞ − = lim→∞− − | = − − = . (2.1)
3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ − = − ∫∞ − −
= − − ∫∞ − − −
= − ∫∞ − − −
= − Γ − , .
menurut teorema sifat-sifat fungsi Gamma ke-(1) dan ke- (2) serta dari persamaan (2.1) dan persamaan (2.2) diperoleh:
Γ = − Γ − (2.3) = − − Γ − = − − − Γ − = − − − − Γ − … . Γ = − − − − Γ − … . = − !. ∎
Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma
Variabel acak kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter dan dengan fungsi densitas sebagai berikut:
= {
− −
Γ , untuk > , > , > , , selainnya.
Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai Harapan variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah = .
Bukti:
Misalkan = menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma diperoleh:
misalkan = maka dan = = maka persamaan (2.4) menjadi
berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan (2.5) menjadi
= − ! Γ + = − ! Γ
= − ! − !
= (2.6)
karena = maka persamaan (2.6) menjadi
= . ∎
Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
Variansi variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah = .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .
= ∫ − − Γ ∞ = Γ ∫∞ + − = Γ [ + Γ + ] = ∫∞ − ! − − = ∫∞ + − + − ! + − − ,
= +Γ Γ α = + , = − ( = + − = + − = . ∎
Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu berdistribusi Gamma , adalah
= − .
Bukti:
Misalkan = , berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi Pembangkit Momen diperoleh persamaan
=
= ∫∞ [Γ − − ]
= ∫ Γ∞ − −
misalkan = − atau = −
�
dengan < maka = −
�
sehingga Persamaan 2.7 menjadi
= ∫ Γ − − − − ∞ − = ∫ − Γ − − ∞ = ∫ − − − Γ ∞ = − ∫ − − Γ , ∞ . karena �− − Γ ∞
adalah fungsi probabilitas Gamma dengan = maka menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-(2) persamaan 2.8 menjadi
=
− =
− .
G. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi
Gamma yaitu ketika = dan = . Banyak sekali pengambilan keputusan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial. Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.
Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter , ditulis , bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:
= { −, ,
lainnya
Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial
Nilai harapan dari variabel acak kontinu berdistribusi Eksponensial adalah
= .
Bukti:
= = × = . ∎
Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial
Variansi dari variabel acak kontinu berdistribusi Exponensial ; adalah = .
Bukti:
= = × ( ) = . ∎
Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
Bila ~ , maka fungsi pembangkit momennya adalah =
− . Bukti:
= − =
− . ∎
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov atau sering disebut (godness of fit) adalah uji kecocokan atau keselarasan. Uji ini ditemukan oleh matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Uji ini memusatkan perhatian pada dua buah fungsi distribusi kumulatif yaitu distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan distribusi kumulatif yang diamati. Mengingat menyatakan suatu fungsi distribusi kumulatif. Apabila ingin mengambil sampel dari distribusi kumulatif yang belum diketahui, hal ini mendorong untuk memastikan apakah dapat disimpulkan = untuk semua dengan adalah suatu fungsi distribusi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni distribusi kumulatif yang dihipotesiskan. Jika = sangat diharapkan ada kecocokan antara
dan , dengan adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi distribusi empirik.
Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik
Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di definisikan sebagai berikut:
= { , < � � , � < < �+ ,
dengan � adalah pengaruh urutan ke-� dan � menyatakan banyaknya nilai pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan banyaknya pengamatan.
Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov
Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan didefinisikan sebagai berikut: = max +, − .
+ = max[ − ].
− = max [ − ].
Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut: 1. Tentukan hipotesis yaitu:
: =
2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu .
3. Hitung dan yang diamati dan hitunglah − .
4. Tentukan wilayah kritis yaitu:
ditolak dan diterima bila > .
5. Carilah nilai dan nilai , diperoleh dari Lampiran 5. 6. Buatlah kesimpulan.
Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga dapat dilakukan dengan SPSS.
Contoh 2.15
Diberikan data suatu sampel acak.
Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.
Data
8 1 3 3 2
1 4 0 5 9
Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak? Jawab:
1. :data berdistribusi Poisson. :data tidak berdistribusi Poisson. 2. Tingkat signifikansi = . .
3. Perhitungan secara manual: Rata-rata dari data adalah 3.6.
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual.
frek Fkum � − � + − 0 1 1 1 0.1 0.027324 0 0.0726763 0.027324 1 2 3 2 0.2 0.125689 0.1 0.0743109 0.025689 2 1 4 3 0.3 0.302747 0.2 -0.002747 0.102747 3 2 6 4 0.4 0.515216 0.3 -0.115216 0.215216 4 1 7 5 0.5 0.706438 0.4 -0.206438 0.306438 5 1 8 6 0.6 0.844119 0.5 -0.244119 0.344119 8 1 9 7 0.7 0.988329 0.6 -0.288329 0.388329 9 1 10 8 0.8 0.995976 0.7 -0.195976 0.295976
max + = . dan max − = . .
Perhitungan dengan SPSS:
Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS.
VAR00002
N 10
Poisson Parametera,,b Mean 3.6000
Most Extreme Differences Absolute .174
Positive .174
Negative -.169
Kolmogorov-Smirnov Z .551
Asymp. Sig. (2-tailed) .922
a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data.
4. Daerah penolakan ditolak bila:
> tabel = . atau Asymp.Sig (2-tailed) < . 5. Kesimpulan:
Dari perhitungan diperoleh = . < tabel = . dan dari SPSS diperoleh nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah = . > = . . maka diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.
45 BAB III Teori Antrian
A. Proses Antrian
Antrian adalah suatu kondisi subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul karena adanya ketidakseimbangan antara banyaknya subyek yang dilayani dengan pelayanannya.
Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayan (server). Pokok dari analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar kedatangan yang terjadi secara berturut-turut, untuk selanjutnya istilah waktu antar kedatangan ditulis dengan waktu kedatangan. Pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan pada tiap pelanggan. Secara umum waktu antar kedatangan bersifat suatu kemungkinan, misalnya suatu pelanggan yang datang untuk membeli tiket bioskop atau bersifat telah ditetapkan, misalnya kedatangan pelamar pekerjaan untuk wawancara.
B. Unsur-Unsur Antrian
Dalam sebuah antrian terdapat unsur-unsur penting yaitu: 1. Distribusi kedatangan.
Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan dalam distribusi probabilitas tertentu seperti distribusi Poisson, distribusi Eksponensial, atau distribusi
Erlang. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi menjadi dua yaitu:
a. Kedatangan secara individu. b. Kedatangan secara kelompok. 2. Distribusi pelayanan
Dalam distribusi pelayanan dibutuhkan pola pelayanan yaitu waktu pelayanan. Waktu pelayanan berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya diketahui. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua yaitu:
a. Pelayanan secara individu. b. Pelayanan secara kelompok. 3. Perilaku pelanggan pada antrian.
Perilaku pelanggan pada sistem antrian merupakan faktor yang penting. Perilaku pelanggan pada sistem antrian bisa mempengaruhi analisis pada barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian berperan sebagai berikut:
a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.
b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian dan menunggu hingga memperoleh pelayanan.
c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.
4. Peraturan pelayanan
Pelanggan pada sistem antrian dapat dilayani secara individual atau berkelompok. Peraturan pelayanan sangat penting sebab peraturan pelayanan meghasilkan keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan pada sistem antrian, siapa yang akan dilayani terlebih dahulu. Terdapat empat cara dalam mengambil keputusan pada peraturan pelayan yaitu:
a. First in first out (FIFO)
First in first out (FIFO) bisa juga menggunakan istilah first come first served (FCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya pelanggan yang mengantri untuk melakukan transaksi dengan teller di bank.
b. Last in first out (LIFO)
Last in first out (LIFO) bisa juga menggunakan istilah last come first served
(LCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan yang terakhir datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama. Pelanggan yang pertama kali keluar adalah pelanggan yang terakhir masuk ke dalam elevator.
c. Random selection for service (RRS)
Random selection for service (RRS) bisa juga menggunakan istilah Service in random order (SIRO). Pada peraturan pelayanan ini, setiap pelanggan pada antrian mempunyai peluang yang sama untuk dilayani terlebih dahulu, misalnya pada arisan. Pelayanan dalam sistem antrian dilakukan berdasarkan undian.
d. Priority service (PS)
Pada peraturan pelayanan Priority service (PS) berarti prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding pelanggan yang lain, misalnya seseorang yang mempunyai penyakit yang lebih serius akan dilayani terlebih dahulu.
5. Klasifikasi model antrian
Berdasarkan proses pelayanannya ada dua istilah yang dikenal pada struktur antrian. Istilah saluran atau baris pada antrian menunjukkan banyaknya jalur antrian yang tersusun secara paralel untuk memasuki sistem pelayanan sedangkan istilah fase menunjukkan banyaknya pelayanan yang tersusun secara seri. Saluran atau baris dapat berupa tunggal ataupun ganda begitu pula fase dapat berupa tunggal ataupun ganda.
Model antrian yang terjadi secara umum adalah sebagai berikut: a. Satu saluran satu fase
Satu saluran satu fase (single channel single phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan satu pelayanan. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri di sebuah bilik ATM.
b. Satu saluran multi fase
Satu saluran multi fase (single channel multi phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang disusun secara seri. Beberapa fase pada model antrian ini menujukkan adanya dua atau lebih pelayanan yang dilakukan secara seri. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri berobat di sebuah rumah sakit yang harus melewati beberapa tahap yaitu, pendaftaran konsultasi dokter
pembayaran di kasir pengambilan obat di apotek rumah sakit.