i
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN
BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN
BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL
(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Amalya Widiastuti
NIM: 123114017
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
THE QUEUEING MODEL WITH POISSON DISTRIBUTED
ARRIVAL AND EXPONENTIAL DISTRIBUTED SERVICE
TIME
(Case Study: Priority Queue of BPJS Service at
Panti Rapih Hospital)
A THESIS
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by: Amalya Widiastuti Student ID: 123114017
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
iii SKRIPSI
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL
(Studi Kasus : Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
Disusun oleh:
Nama: Amalya Widiastuti
NIM: 123114017
Telah disetujui oleh:
Dosen pembimbing skripsi
Ir. Ig Aris Dwiatmoko, M.Sc. Tanggal: 17 Oktober 2016
iv SKRIPSI
MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL
(Studi Kasus: Antrian Prioritas BPJS RS Panti Rapih)
Disiapkan dan ditulis oleh:
Amalya Widiastuti
NIM: 123114017
Telah dipertahankan dihadapan Panita Penguji
Pada tanggal 16 November 2016
Dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama lengkap tanda tangan
Ketua: Sudi Mungkasi, Ph.D. ...
Sekertaris: Y.G. Hartono, Ph.D. ...
Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ...
Yogyakarta,
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
*Jangan pernah menunda sesuatu, sebab menunda adalah
masalah.
Karya tulis ini ku persembahkan untuk:
Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga
skripsi ini dapat selesai,
Mama yang selalu mendoakan ku dan memberi perhatian serta kasih sayang
hingga saat ini.
Papa, Mas Thias, Mba Laila dan Dimas yang selalu mendukung serta
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar
pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Oktober 2016
vii ABSTRAK
Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai karakteristik yang harus dipelajari.
Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.
viii ABSTRACT
Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline respectively have characteristics that need to be studied.
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Amalya Widiastuti
NIM : 123114017
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Model Antrian Dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson Dan Pelayanan Berdistribusi Eksponensial
(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 16 November 2016 Yang menyatakan
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Allah SWT atas berkat yang selalu menyertai penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas
Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan skripsi ini, namun dengan
penyertaan Allah SWT serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini
dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah
diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi
Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik Matematika 2012.
3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika
yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Kedua orang tuaku tercinta Asriyanto dan Rusmiati, kakakku Thias Bahtiar
xi
Arum, Eni dan Adi yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat
sehingga terselesaikannya skripsi ini.
6. Sahabat BSD (Rian dan Fitri), teman-teman Matematika 2012 (Ajeng,
Putri, Sila, Anggun, Noni, Manda, Happy, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby,
Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi, dan Risma), Nawacatur, Bovis, dan Nancy
Amanda, Ensi, dan Linda yang telah membantu dalam penulisan skripsi
ini, dan memberikan keceriaan serta dukungan selama masa kuliah.
7. Rumah Sakit Panti Rapih yang telah mengizinkan penulis melakukan
penelitian pada skripsi ini.
8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.
Semoga segala doa, perhatian, dukungan, bantuan, dan cinta yang telah diberikan
mendapatkan balasan dari Allah SWT.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penelitian
selanjutnya. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan
menjadi referensi belajar yang baik.
Yogyakarta, 17 Oktober 2016
Penulis,
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xv
DAFTAR GAMBAR ... xvi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
F. Manfaat Penulisan ... 4
xiii
BAB II DASAR- DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA ... 7
A.Peluang ... 7
B. Nilai Harapan ... 17
C.Variansi ... 25
D.Fungsi Pembangkit Momen (FPM) ... 27
E. Distribusi Poisson ... 29
F. Distribusi Gamma ... 32
G.Distribusi Eksponensial ... 39
H.Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ... 40
BAB III TEORI ANTRIAN ... 45
A.Proses Antrian ... 45
B. Unsur-Unsur Antrian ... 45
C.Aturan Distribusi Eksponensial ... 51
D.Proses Poisson ... 53
E. Waktu Antar Kedatangan ... 60
F. Hubungan Antara Distribusi Poisson dengan Distribusi Eksponensial.64 G.Model Antrian Poisson yang Diperumum ... 65
H.Antrian Poisson Khusus ... 70
I. Model Antrian dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga ... 75
J. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga ... 81
xiv
A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih dan
Harapan Pasien ... 87
B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan ... 93
C. Analisis Sistem Antrian Layanan BPJS ... 97
D. Analisis Perhitungan Performa Antrian ... 107
E. Evaluasi dan Saran Untuk Sistem Antrian ... 109
BAB V PENUTUP ... 110
A. Kesimpulan ... 110
B. Saran ... 111
DAFTAR PUSTAKA ... 112
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil ... 12
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama... 15
Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak ... 23
Tabel 2.4 Data suatu sampel acak ... 42
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual ... 43
Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Sminrov dengan SPSS... 44
Tabel 3.1 Hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian ... 64
Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K ... 68
Tabel 3.3 Hasil perhitungan performa antrian dengan software MATLAB ... 85
Tabel 4.1 Pembagian tugas loket dalam melayani pasien ... 91
Tabel 4.2 Jawaban dari pertanyaan nomor 1 oleh responden ... 92
Tabel 4.3 Jawaban responden mengenai waktu mengantri ... 92
Tabel 4.4 Informasi kedatangan dan waktu pelayanan sistem antrian ... 94
Tabel 4.5 Statistik hasil uji distribusi kedatangan ... 96
Tabel 4.6 Statistik hasil uji waktu pelayanan ... 97
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani ... 2
Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim ... 2
Gambar 2.1 Pemetaan ... 11
Gambar 3.1 Model antrian satu saluran satu fase ... 48
Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase ... 49
Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase ... 50
Gambar 3.4 Model antrian multi saluran multi fase ... 50
Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu ... 61
Gambar 3.6 Diagam transisi antrian Poisson ... 66
Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus ... 71
Gambar 4.1 Ilustrasi antrian layanan BPJS RS Panti Rapih ... 87
Gambar 4.2 Pengambilan tiket antrian layanan BPJS ... 89
Gambar 4.3 Pasien yang menunggu untuk dilayani ... 89
Gambar 4.4 Pasien yang sedang mendapatkan pelayanan oleh petugas di loket (server) ... 90
1
BAB I
PENDAHULUAN
A.Latar Belakang
Antrian masih menjadi masalah yang sering ditemukan di fasilitas
pelayanan umum. Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju
suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan
oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Dalam hal ini terjadi waktu
tunggu yaitu waktu yang diperlukan dalam sebuah antrian. Antrian yang terbentuk
dalam pelayanan terjadi akibat kurangnya jumlah pelayanan, banyaknya
kedatangan, dan waktu tunggu yang lama. Kedatangan dan waktu pelayanan yang
berbeda-beda, setiap orang yang terlibat dalam antrian akan memiliki waktu tunggu
yang berbeda-beda. Terjadinya antrian merupakan sesuatu yang kurang baik dalam
suatu pelayanan karena membuat orang yang terlibat dalam antrian harus
menunggu untuk dilayani.
Proses antrian juga dipengaruhi oleh banyaknya pelanggan yang semakin
banyak. Dengan kata lain fenomena yang terjadi pada antrian adalah pelayanan
masih berjalan tetapi dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat dengan
Berikut ini adalah contoh nyata sebuah antrian, yang ditunjukkan oleh
Gambar 1.1 dan Gambar 1.2.
Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani.
Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim.
Dalam karya tulis ini akan dibahas mengenai model antrian dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial
dan juga akan dipelajari ukuran kinerja sistem dalam antrian seperti rata-rata
banyaknya subyek dalam sistem antrian, rata-rata banyaknya subyek yang
menunggu dalam antrian, waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam sistem, dan
waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam antrian.
Ukuran kinerja sistem dapat digunakan untuk menentukan banyaknya
tulis ini, penulis melakukan penelitian dari suatu layanan antrian. Obyek yang
dijadikan penelitian adalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti rapih.
Penulis akan mengambil data secara langsung dan mengolah data serta akan
menganalisis ukuran kinerja sistem sehingga menghasilkan suatu usulan perbaikan.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana dasar-dasar teori antrian?
2. Bagaimana distribusi Poisson dan Eksponensial dapat dipergunakan dalam
sebuah antrian?
3. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan kedatangan yang
berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial?
C. Batasan Masalah
Dalam pembuatan tugas akhir ini ada beberapa hal yang dibatasi agar
permasalahan tidak meluas atau tidak sesuai dengan tujuan awal. Berikut adalah
batasan masalahnya:
1. Model yang dibahas adalah model dengan kedatangan berdistribusi Poisson
dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2. Model yang dibahas adalah:
a. Model antrian dengan pelayanan tunggal yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞
b. Model antrian dengan pelayanan yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞
4. Data yang digunakan adalah data antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti
Rapih Yogyakarta.
D. Tujuan penulisan
Penulisan ini bertujuan membahas dasar-dasar teori sebuah antrian, peranan
distribusi Eksponensial dalam sebuah antrian serta penerapannya pada masalah
antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang dipakai adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai antrian dengan
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan dicantumkan dalam daftar pustaka.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari karya tulis ini adalah:
1. Bagi penulis: memahami mengenai teori antrian dan mampu menganalisis
masalah antrian.
2. Bagi pembaca: memperdalam pengetahuan baru tentang teori antrian serta
G. Sistematika Penulisan
BAB I : PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
BAB II : DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
A. Peluang
B. Nilai Harapan atau Mean
C. Variansi
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
E. Distribusi Poisson
F. Distribusi Gamma
G. Distribusi Eksponensial
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
BAB III TEORI ANTRIAN
A. Proses Antrian
B. Unsur-Unsur Antrian
D. Proses Poisson
E. Waktu Antar Kedatangan
F. Model Antrian Poisson yang Diperumum
G. Antrian Poisson Khusus
H. Model Antrian Tunggal dengan Kapasitas Tak Hingga
I. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga
BAB IV: ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RUMAH SAKIT PANTI
RAPIH YOGYAKARTA
A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih
B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan
C. Analisis Sistem Antrian BPJS
D. Analisis Perhitungan
E. Evaluasi dan Saran
BAB V: PENUTUP
A. Kesimpulan
7 BAB II
DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika
sebagai landasan pembahasan skripsi ini.
A. Peluang
Definisi 2.1 Ruang Sampel
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel
dan dinyatakan dengan simbol .
Contoh 2.1
Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu
gambar dan angka, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah
{ , , , }.
Simbol menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka”
pada sisi koin.
Definisi 2.2 Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan
Contoh 2.2
Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa
pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna
hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.
: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.
Maka = { , , , , , , , , }
dengan menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna
merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka:
1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }.
2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }.
3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan � dengan � = { � | }.
4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan
\ = �.
Definisi 2.4 Peluang
Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan �
yang memenuhi:
Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian
Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah
� =
dengan adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya
anggota ruang sampel .
Contoh 2.3
Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi
“Angka”?
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah
= { , , , }
dengan menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada
sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya
Definisi 2.6 Peluang Bersyarat
Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah
kejadian terjadi dinotasikan dengan � | ,
� | =� � , � > .
Dua kejadian dan saling bebas jika � = � � .
Contoh 2.4
Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian
bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka
diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas.
Jawab:
= { , } berarti � = = ,
� = = dan � = = ,
oleh karena � � = ≠ � = maka dan tidak saling bebas.
Definisi 2.7 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur
dalam ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan
dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah
Contoh 2.5
Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi
4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel
acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Ruang sampel pada percobaan tersebut:
= { , , , }
dengan menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna
“Hijau”.
= banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0,
1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.
ℝ
Gambar 2.1 Pemetaan .
Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit
Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari
kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka
variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut , � adalah suatu fungsi probabilitas diskrit
untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:
1. � untuk setiap � ℝ.
2. ∑ � = .
Contoh 2.6
Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang
terambil.
Jawab:
Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola
berwarna merah yang terambil.
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.
�
� = =( (
( = ,
� = =( (
( = = ,
� = =( (
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel
random kontinu , jika:
1. untuk setiap � ℝ.
2. −∞∞ = .
3. � = −∞∞ .
Contoh 2.7
Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu
yang mempunyai fungsi densitas:
= { , − < <, lainnya
a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas.
b. Tentukan � < .
Jawab:
a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas ,
∫ = ∫ = |− =
− .
∞
−∞
Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu
didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan
memenuhi:
berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau.
Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil
merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi , .
Jawab:
Nilai dari pasangan terurut , yang mungkin adalah
Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil
berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut
adalah ( = . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil
merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak
adalah ( ( = . Jadi , = = . Perhitungan yang sama dapat digunakan
untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum
diperoleh , = ( − −
(8 untuk setiap = , , ; = , , ; dan
+ .
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak
dan jika:
1. , , ∀ , .
2. −∞∞ −∞∞ , = .
, Total Baris
0 1 2
0 1
2 0
Contoh 2.9
Diberikan , sebagai berikut:
, = { + ,
Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi ℎ
dan , mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama
, dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan
ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama ,
dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan
ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika
, = ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi
2.14 dan saling bebas jika , = ℎ untuk setiap pasangan bilangan
real , . Pasangan bilangan real , diperoleh = , ℎ = , dan
ℎ = × = ≠ , = .
B. Nilai Harapan
Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau
= = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= = ∫∞
−∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Contoh 2.11
Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya
tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah
nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut.
Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak
rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah
= ( ( −
( , = , , ,
sehingga diperoleh
= , = , = ,
nilai harapan adalah
= = + + + = = .
jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan
tersebut adalah . .
Contoh 2.12
Diberikan variabel acak yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan
, = { , > , lainnya
Tentukanlah nilai harapan .
Menurut definsi nilai harapan diperoleh:
= = ∫∞ = ∫∞ = .
Nilai harapan dari adalah .
Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan adalah
fungsi yang bernilai real dari . Nilai harapan adalah:
= [ ] = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,
= [ ] = ∫∞ −∞
; jika adalah variabel acak kontinu.
Lemma 2.1
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = .
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Lemma 2.2
Diberikan suatu konstanta tak nol maka = .
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
= ∑ = ∑ = .
Untuk variabel acak kontinu,
= ∫ = ∫ = . ∎
Teorema 2.1
Diberikan , suatu konstanta, + = + .
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:
untuk variabel acak diskrit,
+ = ∑ +
= ∑ +
= ∑ + ∑
Untuk variabel acak kontinu,
Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah
[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut:
untuk variabel acak diskit,
[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]
= ∑[ + ℎ ]
= ∑ + ∑ ℎ
= [ ] + [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
[ + ℎ ] = ∫ [ + ℎ ]
∞
= ∫ + ∫ ℎ∞ −∞ ∞
−∞
= [ ] + [ℎ ]. ∎
Teorema 2.3Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak
[ − ℎ ] = [ ] − [ℎ ].
Bukti:
Menurut Definisi 2.16 diperoleh:
untuk variabel acak diskrit,
[ − ℎ ] = ∑[ − ℎ ]
= ∑[ − ℎ ]
= ∑ − ∑ ℎ
= [ ] − [ ].
Untuk variabel acak kontinu,
Contoh 2.13
Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut:
Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak .
0 1 2 3
Carilah nilai harapan = − .
Jawab:
Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi =
− dapat ditulis sebagai berikut:
[ − ] = − + = − + ,
= ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
= ( ) + ( ) + + ( ) = ,
Jadi, nilai harapan = − adalah [ − ] = − + = .
Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak
Diberikan variabel acak dan yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian
Bukti:
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , diskrit diperoleh,
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑ ∑ ℎ
= ∑
= .
Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh,
= ∫ ∫∞ −∞ ∞
−∞ ℎ
= ∫ [∫∞ ℎ
−∞ ]
∞
−∞
= ∫∞ −∞
= ∫∞
−∞
C. Variansi
Definisi 2.17 Variansi
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan
mean . Variansi dari adalah:
� = [ − ] = ∑ − ; jika variabel acak diskrit,
� = [ − ] = ∫∞ − −∞
; jika variabel acak kontinu.
Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.14
Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari .
Diketahui bahwa = . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh:
= , = , = , = .
Variansi dari adalah
� = ∑ − .
=
= − . ( ) + − . ( ) + − . ( ) + − . ( )
= . .
Teorema 2.5
Variansi dari variabel acak adalah
Bukti:
Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh,
� = ∑ −
= ∑ − +
= ∑ − ∑ + ∑ .
Menurut definisi nilai harapan = ∑ dan menurut definisi fungsi
probabilitas diskrit yang ke (2) ∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit
maka diperoleh
� = ∑ −
= − .
Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh
� = ∫∞ − −∞
= ∫∞ − +
−∞
= ∫ − ∫ + ∫ ∞ .
−∞ ∞
−∞ ∞
Menurut definisi nilai harapan = −∞∞ dan menurut fungsi probabilitas
kontinu yang ke (2) −∞∞ = untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka
diperoleh
� = ∫ − ∫ ∞
−∞ ∞
−∞
= − . ∎
D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah
komputasi dalam statistika matematis.
Definisi 2.18
Momen ke-� dari variabel acak adalah dan dinotasikan ′ .
Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut
= .
Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak
Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen masing-masing adalah , , … , � .
Jika = + + ⋯ + maka = × × … × � .
Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut
Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh:
=
(Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi)
Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
� = �
dengan � adalah bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan
mengganti = −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan
adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫∞ �
−∞ = ∫
� ∞
maka = (skripsi hal 54).
Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
E. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak yang
menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu
disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya
telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut
distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.20 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson yang menyatakan banyaknya
hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu
didefinisikan sebagai berikut:
; = ! − , = , , , ….
dengan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang
waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan adalah menunjukkan selang
waktu.
Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Nilai harapan dari variabel acak diskrit yang berdistribusi Poisson adalah
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:
= ∑
! berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi
fungsi probabilitas diskrit ke- (2) ∑∞= = maka diperoleh
Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson
Variansi dari variabel acak diskrit berdistribusi Poisson ; adalah
= .
Bukti:
Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak berdistribusi Poisson adalah
−
Distribusi Gamma merupakan distribusi probabilitas berasal dari fungsi
Gamma yang sudah dikenal luas. Distribusi Gamma merupakan distribusi kontinu.
Beberapa distribusi merupakan kejadian khusus dari distribusi Gamma. Misalnya
Definisi 2.21 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut
Γ = ∫∞ − − , > .
Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma
Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma:
1. Γ = − Γ − untuk setiap > .
2. Γ = .
3. Γ = − ! untuk setiap bilangan bulat positif .
Bukti:
1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara
parsial yaitu = − , dengan memisalkan = − maka
= − − , dan = − maka = ∞ − = − − |∞ sehingga
diperoleh
Γ = lim→∞− − − | − ∫ −∞ − − −
= lim→∞− − − | + ∫∞ − − −
= lim→∞− − − | + − ∫∞ − − −
= −lim→∞ − + − Γ −
= −lim→∞[exp( − ln − ] + − Γ −
= −lim→∞{exp [ − (ln − )]} + − Γ −
= − Γ − .
2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ = ∫ − −
∞
= ∫∞ −
= lim→∞− − |
= − −
= . (2.1)
3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ − = − ∫∞ − −
= − − ∫∞ − − −
= − ∫∞ − − −
= − Γ − , .
menurut teorema sifat-sifat fungsi Gamma ke-(1) dan ke- (2) serta dari persamaan
Γ = − Γ − (2.3)
= − − Γ −
= − − − Γ −
= − − − − Γ − … . Γ
= − − − − Γ − … .
= − !. ∎
Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma
Variabel acak kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter dan dengan
fungsi densitas sebagai berikut:
= {
− −
Γ , untuk > , > , > , , selainnya.
Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai Harapan variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah
= .
Bukti:
Misalkan = menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma
diperoleh:
misalkan = maka dan = = maka persamaan (2.4) menjadi
berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan (2.5) menjadi
= − ! Γ +
= − ! Γ
= − ! − !
= (2.6)
karena = maka persamaan (2.6) menjadi
= . ∎
Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
Variansi variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah
= .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .
= ∫ −
−
Γ ∞
= Γ ∫∞ + −
= Γ [ + Γ + ]
= ∫∞ − ! − −
= +Γ Γ α
= + ,
= − (
= + −
= + −
= . ∎
Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu berdistribusi
Gamma , adalah
= − .
Bukti:
Misalkan = , berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi
Pembangkit Momen diperoleh persamaan
=
= ∫∞ [Γ − − ]
= ∫ Γ∞ − −
misalkan = − atau =
−� dengan < maka = −�
sehingga Persamaan 2.7 menjadi
= ∫ Γ
menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-(2) persamaan 2.8 menjadi
=
−
=
− .
G. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi
Gamma yaitu ketika = dan = . Banyak sekali pengambilan keputusan untuk
menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial.
Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.
Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter ,
ditulis , bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:
= { −, ,
lainnya
Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial
Nilai harapan dari variabel acak kontinu berdistribusi Eksponensial adalah
= .
Bukti:
= = × = . ∎
Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial
Variansi dari variabel acak kontinu berdistribusi Exponensial ; adalah
Bukti:
= = × ( ) = . ∎
Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
Bila ~ , maka fungsi pembangkit momennya adalah
=
− .
Bukti:
= − =
− . ∎
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov atau sering disebut (godness of
fit) adalah uji kecocokan atau keselarasan. Uji ini ditemukan oleh matematikawan
Rusia A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Uji ini memusatkan perhatian pada dua
buah fungsi distribusi kumulatif yaitu distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan
distribusi kumulatif yang diamati. Mengingat menyatakan suatu fungsi
distribusi kumulatif. Apabila ingin mengambil sampel dari distribusi kumulatif
yang belum diketahui, hal ini mendorong untuk memastikan apakah dapat
disimpulkan = untuk semua dengan adalah suatu fungsi
distribusi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni distribusi kumulatif yang
dan , dengan adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi
distribusi empirik.
Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik
Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di
definisikan sebagai berikut:
pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan
banyaknya pengamatan.
Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov
Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan didefinisikan sebagai berikut:
= max +, − .
+ = max[ − ].
− = max [ − ].
Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut:
1. Tentukan hipotesis yaitu:
: =
2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu .
3. Hitung dan yang diamati dan hitunglah − .
4. Tentukan wilayah kritis yaitu:
ditolak dan diterima bila > .
5. Carilah nilai dan nilai , diperoleh dari Lampiran 5.
6. Buatlah kesimpulan.
Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga
dapat dilakukan dengan SPSS.
Contoh 2.15
Diberikan data suatu sampel acak.
Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.
Data
8 1 3 3 2
1 4 0 5 9
Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak?
Jawab:
1. :data berdistribusi Poisson.
:data tidak berdistribusi Poisson.
3. Perhitungan secara manual:
Rata-rata dari data adalah 3.6.
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual.
frek Fkum � − � + −
0 1 1 1 0.1 0.027324 0 0.0726763 0.027324
1 2 3 2 0.2 0.125689 0.1 0.0743109 0.025689
2 1 4 3 0.3 0.302747 0.2 -0.002747 0.102747
3 2 6 4 0.4 0.515216 0.3 -0.115216 0.215216
4 1 7 5 0.5 0.706438 0.4 -0.206438 0.306438
5 1 8 6 0.6 0.844119 0.5 -0.244119 0.344119
8 1 9 7 0.7 0.988329 0.6 -0.288329 0.388329
9 1 10 8 0.8 0.995976 0.7 -0.195976 0.295976
max + = . dan max − = . .
Perhitungan dengan SPSS:
Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS.
VAR00002
N 10
Poisson Parametera,,b Mean 3.6000
Most Extreme Differences Absolute .174
Positive .174
Negative -.169
Kolmogorov-Smirnov Z .551
Asymp. Sig. (2-tailed) .922
a. Test distribution is Poisson.
b. Calculated from data.
4. Daerah penolakan ditolak bila:
> tabel = . atau Asymp.Sig (2-tailed) < .
5. Kesimpulan:
Dari perhitungan diperoleh = . < tabel = . dan dari SPSS
diperoleh nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah = . > = . . maka
diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.
45 BAB III Teori Antrian
A. Proses Antrian
Antrian adalah suatu kondisi subyek-subyek menuju suatu area untuk
dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme
pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul karena adanya
ketidakseimbangan antara banyaknya subyek yang dilayani dengan pelayanannya.
Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam
antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayan (server). Pokok dari
analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar
kedatangan yang terjadi secara berturut-turut, untuk selanjutnya istilah waktu antar
kedatangan ditulis dengan waktu kedatangan. Pelayanan diwakili dengan waktu
pelayanan pada tiap pelanggan. Secara umum waktu antar kedatangan bersifat suatu
kemungkinan, misalnya suatu pelanggan yang datang untuk membeli tiket bioskop
atau bersifat telah ditetapkan, misalnya kedatangan pelamar pekerjaan untuk
wawancara.
B. Unsur-Unsur Antrian
Dalam sebuah antrian terdapat unsur-unsur penting yaitu:
1. Distribusi kedatangan.
Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan dalam distribusi probabilitas
Erlang. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi
menjadi dua yaitu:
a. Kedatangan secara individu.
b. Kedatangan secara kelompok.
2. Distribusi pelayanan
Dalam distribusi pelayanan dibutuhkan pola pelayanan yaitu waktu pelayanan.
Waktu pelayanan berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya
diketahui. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua yaitu:
a. Pelayanan secara individu.
b. Pelayanan secara kelompok.
3. Perilaku pelanggan pada antrian.
Perilaku pelanggan pada sistem antrian merupakan faktor yang penting.
Perilaku pelanggan pada sistem antrian bisa mempengaruhi analisis pada
barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian berperan sebagai
berikut:
a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu
dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.
b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian dan
menunggu hingga memperoleh pelayanan.
c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian,
namun belum memperoleh pelayan, kemudian meninggalkan antrian
4. Peraturan pelayanan
Pelanggan pada sistem antrian dapat dilayani secara individual atau
berkelompok. Peraturan pelayanan sangat penting sebab peraturan pelayanan
meghasilkan keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan pada
sistem antrian, siapa yang akan dilayani terlebih dahulu. Terdapat empat cara
dalam mengambil keputusan pada peraturan pelayan yaitu:
a. First in first out (FIFO)
First in first out (FIFO) bisa juga menggunakan istilah first come first
served (FCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan pertama yang
datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya pelanggan yang mengantri
untuk melakukan transaksi dengan teller di bank.
b. Last in first out (LIFO)
Last in first out (LIFO) bisa juga menggunakan istilah last come first served
(LCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan yang terakhir datang
akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian dalam elevator untuk
lantai yang sama. Pelanggan yang pertama kali keluar adalah pelanggan
yang terakhir masuk ke dalam elevator.
c. Random selection for service (RRS)
Random selection for service (RRS) bisa juga menggunakan istilah Service
in random order (SIRO). Pada peraturan pelayanan ini, setiap pelanggan
pada antrian mempunyai peluang yang sama untuk dilayani terlebih dahulu,
misalnya pada arisan. Pelayanan dalam sistem antrian dilakukan
d. Priority service (PS)
Pada peraturan pelayanan Priority service (PS) berarti prioritas pelayanan
diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi
dibanding pelanggan yang lain, misalnya seseorang yang mempunyai
penyakit yang lebih serius akan dilayani terlebih dahulu.
5. Klasifikasi model antrian
Berdasarkan proses pelayanannya ada dua istilah yang dikenal pada struktur
antrian. Istilah saluran atau baris pada antrian menunjukkan banyaknya jalur antrian yang tersusun secara paralel untuk memasuki sistem pelayanan
sedangkan istilah fase menunjukkan banyaknya pelayanan yang tersusun secara seri. Saluran atau baris dapat berupa tunggal ataupun ganda begitu pula fase
dapat berupa tunggal ataupun ganda.
Model antrian yang terjadi secara umum adalah sebagai berikut:
a. Satu saluran satu fase
Satu saluran satu fase (single channel single phase) merupakan model
antrian yang memiliki satu jalur antrian dan satu pelayanan. Contoh dari
model ini adalah seseorang yang mengantri di sebuah bilik ATM.
b. Satu saluran multi fase
Satu saluran multi fase (single channel multi phase) merupakan model
antrian yang memiliki satu jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang
disusun secara seri. Beberapa fase pada model antrian ini menujukkan
adanya dua atau lebih pelayanan yang dilakukan secara seri. Contoh dari
model ini adalah seseorang yang mengantri berobat di sebuah rumah sakit
yang harus melewati beberapa tahap yaitu, pendaftaran konsultasi dokter
pembayaran di kasir pengambilan obat di apotek rumah sakit.
Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase.
c. Multi saluran satu fase
Multi saluran satu fase (multi channel single phase) merupakan model
antrian yang mempunyai lebih dari satu jalur antrian dan hanya satu fase
pelayanan. Contoh dari model ini adalah antrian pembelian tiket bioskop,
yaitu terdapat beberapa jalur antrian dan satu fase pelayanan yaitu layanan
Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase.
d. Multi saluran multi fase
Multi saluran multi fase (multi channel multi phase) adalah model antrian
yang memiliki beberapa jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang
disusun secara seri, berarti terdapat dua atau lebih fase pelayanan yang
dilakukan secara berurutan atau seri. Contoh dari model antrian ini adalah
produksi pewarnaan kertas yang prosesnya dimulai dari kertas dimasukkan
ke dalam mesin pewarnaan kertas dimasukkan ke dalam mesin pemotong
kertas dipilah kertas dimasukkan ke dalam mesin pengepakan.
6. Ukuran sumber kedatangan
Sumber kedatangan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber
yang terbatas (finite source) berati bahwa pelanggan yang datang untuk
mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin
yang menunggu servis dari montir. Sumber yang tak terbatas (infinite source)
adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti seperti panggilan terhadap
operator telepon.
C. Aturan Distribusi Eksponensial
Kedatangan subyek atau pelanggan pada sebuah antrian bersifat acak berarti
peristiwa kedatangan pelanggan atau penyelesaian pelayanan tidak dipengaruhi
oleh panjang waktu yang telah berlalu sejak terjadinya peristiwa sebelumnya.
Waktu pelayanan dan antar kedatangan yang acak ini dijelaskan menurut
model antrian dengan distribusi Eksponensial. Pada Definisi 2.22 telah dijelaskan
fungsi peluang distribusi Eksponensial.
= − , > .
Fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
� = ∫ −
= − − .
Fakta bahwa distribusi Eksponensial bersifat acak diilustrasikan dari contoh
berikut; jika sekarang menunjukan pukul 08.20 dan waktu kedatangan paling awal
terjadi pada pukul 08.02. Kemungkinan bahwa kedatangan selanjutnya terjadi pada
hal tersebut tidak terikat pada lama waktu yang telah berlalu ketika terjadinya
peristiwa pertama yaitu antara 08.02 hingga 08.20. Sifat distribusi Eksponensial
semacam ini disebut sifat tanpa ingatan (memoryless atau lack of memory atau
forgetfulness).
Teorema 3.1 Sifat Tanpa Ingatan Distribusi Eksponensial
Dimisalkan adalah fungsi probabilitas Eksponensial dengan mewakili
waktu kedatangan. Jika adalah interval waktu kejadian pertama dan ℎ adalah
interval kejadian dari peristiwa terakhir maka sifat tanpa ingatan dari distribusi
Eksponensial adalah
� > + ℎ | > = � > ℎ ,
untuk menunjukkan sifat tanpa ingatan pada distribusi Eksponensial:
� > = − � <
= − ,
dengan demikian,
� > + ℎ | > =� > + ℎ > � >
=�� > + ℎ>
= −−+ℎ
D. Proses Poisson
Definisi 3.1 Proses Stokastik
Proses stokastik { , � } adalah himpunan semua kemungkinan nilai
pada suatu ruang sampel dengan adalah himpunan indeks yang berkaitan dengan
waktu diskrit, = { , , , … }.
Definisi 3.2 Proses Membilang
Proses membilang { , } haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut:
1. .
2. adalah bilangan bulat.
3. Jika < maka .
4. Untuk < , − menyatakan kejadian yang terjadi pada interval
waktu , ].
Proses membilang juga mempunyai sifat orderliness yaitu peluang dari dua
atau lebih kedatangan yang terjadi secara bersama-sama diabaikan.
Sifat lainnya dari proses membilang adalah tanpa memori (memorylessness)
yaitu setiap titik dalam waktu proses membilang saling bebas dengan masa lalu.
Definisi 3.3 Kenaikan Bebas
Proses membilang disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments)
jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara dan + yaitu + −
.
Definsi 3.4 Kenaikan Stasioner
Proses membilang juga disebut proses kenaikan stasioner (stationary increments)
jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu
hanya tergantung pada panjang interval tersebut, tidak bergantung pada letak
interval tersebut. Artinya banyaknya kejadian pada interval waktu + , + ]
yaitu + − + mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya
kejadian pada interval waktu , ] yaitu − untuk semua < ,
� + − = � = � .
Definisi 3.5 Proses Poisson
Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika :
1. = .
2. Banyaknya kejadian pada dua interval yang tidak tumpang tindih serta saling
bebas yaitu untuk setiap > > > > , dan variabel acak −
dengan variabel acak − adalah saling bebas.
3. Peluang ada � kejadian dalam interval waktu berdistribusi Poisson dengan
mean untuk setiap , berlaku:
Definisi 3.6 Fungsi � �
tidak ada kejadian dari interval ℎ > atau dapat ditulis sebagai berikut:
� ℎ = = − ℎ + ℎ . (3.1)
Definisi 3.7 Proses Poisson
Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika:
1. = .
2. Bersifat kenaikan stasioner.
3. � ℎ = = ℎ + ℎ .
Untuk menyatakan peluang bahwa ada kejadian � yang terjadi pada interval waktu
, ] dengan berlaku:
� = � = � | = , � = , , , … .
Contoh 3.2
Misalkan adalah banyaknya ikan yang ditangkap pada waktu [ , ]. Andaikan
ikan yang tersedia sangatlah banyak. Proses { ; } dapat dianggap sebagai
proses Poisson, kesempatan menangkap ikan di sungai tidak tergantung dengan
banyak ikan yang telah tertangkap. Dengan demikian pemancing yang baru saja
tiba di sungai mempunyai kesempatan yang sama untuk menangkap ikan dengan
pemancing yang sudah menunggu selama 4 jam menangkap ikan.
Teorema 3.2
Definisi 3.5 ekivalen dengan Definisi 3.7.
Bukti:
Definisi 3.5 ⇛ Definisi 3.7
1. Definisi 3.5 ke-(1) dengan Definisi 3.7 ke-(1) sangatlah jelas ekivalen.
2. Pada Definisi 3.5 ke-(2) + − mempunyai distribusi yang sama
dengan . Artinya mempunyai kenaikan yang stasioner.
3. Sifat 3 Definisi 3.5:
Untuk � ℎ = = − ℎ ℎ
� ℎ = = ℎ ∑ − ℎ
Memenuhi sifat (3) pada Definisi 3.7.
� ℎ = − ℎ∑ − ℎ
bila mengambil nilai limitnya diperoleh:
= limℎ→ ℎ
Memenuhi sifat (4) pada Definisi 3.7.
Definisi 3.7 ⇒ Definisi 3.5
2. Pada Definisi 3.4 tidka bergantung pada letak interval, artinya saling
bebas.
3. Dari Definisi 3.7 diperoleh bentuk:
� = � = �
� + ℎ = � + ℎ = Definisi � = � = �
= � = , + ℎ − = Definisi Kenaikan Bebas
= � = � + ℎ − =
= � � ℎ Definisi Kenaikan Stasioner
= � − ℎ + ℎ
= � − ℎ� + ℎ .
Dari bentuk � + ℎ = � − ℎ� + ℎ diperoleh:
�′ = lim ℎ→
� + ℎ − � ℎ
= limℎ→ � − ℎ� ℎ+ ℎ − �
= limℎ→ − ℎ� ℎ + ℎ
= limℎ→ − � + ℎℎ
= − �
�′
Dari persamaan (3.4) dipilih � = sehingga diperoleh:
dari persamaan (3.4) diperoleh:
� = � − !−
E. Waktu antar kedatangan
Berdasarkan proses membilang { , }, menyatakan banyaknya
kedatangan sampai waktu . Kedatangan tersebut dapat terjadi dalam interval , ].
Andaikan adalah waktu terjadinya kedatangan pertama, dalam hal ini =
= dan = untuk < . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan
dengan cara yang sama. Jadi + − adalah panjang waktu diantara saat
terjadinya kedatangan ke-� + setelah kedatangan ke-�. Panjang selang inilah
yang disebut waktu antar kedatangan.
Definisi 3.8
Misalkan menyatakan interval waktu dari kedatangan pertama. Untuk ,
misalkan adalah interval waktu antara kejadian ke- − dan kejadian ke-
maka { , = , , , . . . } adalah barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar
kejadian.
Definisi 3.9 Waktu Tunggu
Waktu tunggu sampai waktu kedatangan ke- adalah
= + + ⋯ + . .
=
Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu.
Teorema 3.3 Waktu Antar Kedatangan
Waktu antar kedatangan , � = , , , …. dari suatu proses Poisson adalah saling
Bukti:
� = − � > = − �{ = } = − − .
Fungsi distribusi kumulatif dari adalah = − − oleh karena fungsi
peluang adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif , maka fungsi
peluang dapat diperoleh dengan cara berikut:
=
= ( − −
= − untuk .
Jadi waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial dengan parameter .
Untuk diperoleh dari peluang bersyarat dari kejadian pertama saat waktu .
� | = = − � > | =
= − � + − = | =
= − � + − = (Kenaikan bebas)
= − � = (Kenaikan stasioner)
= − −
= .
= � | = diatas tidak tergantung pada sehinga
berdistribusi Eksponensial secara rekrusif dapat ditunjukkan bahwa saling bebas
Menurut Definisi 3.5 dan Definisi 3.7, untuk proses Poisson
berdistribusi Poisson dengan parameter dan berdasarkan Teorema 3.3 , � =
, , … berdistibusi Eksponensial dengan parameter pada Persamaan 3.5 diperoleh
waktu tunggu dengan = .
Teorema 3.4
Andaikan , � = , , … . saling bebas dan berdistribusi Eksponensial maka
waktu tunggu berdistribusiGamma.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa berdistribusi Gamma. Diberikan , , … ,
berdistribusi Eksponensial dengan = . Nilai harapan dari , , … , adalah
= = ⋯ = = .
Berdasarkan Teorema 21.6, fungsi pembangkit momen dari , , … , adalah
� =
− .
Berdasarkan definisi waktu tunngu, = + + ⋯ + dan Teorema 2.6
diperoleh:
�� = − × − × … − (sebanyak � kali)
=
−
Pari Persamaan (3.6) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen
distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan = dan = �, dan menurut
Teorema 2.7, berdistribusi Gamma. ∎
F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial
Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi
Eksponensial
Tabel 3.1 Hubungan distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian.
Distribusi
Banyaknya kedatangan selama
Contoh 3.3
Kelahiran bayi pada suatu negara mempunyai mean 1 kelahiran setiap 12 menit.
Laju kelahiran bayi berdistribusi Eksponensial. Hitunglah:
a. Rata-rata kelahiran bayi per tahun.
b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari.
Jawab:
a. Kelahiran bayi per hari:
= × = kelahiran/hari.
Kelahiran bayi per tahun adalah:
= × = , kelahiran/tahun.
b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari dihitung dengan distribusi
Poisson.
� = × − ×
! = − = .
Cara lain untuk menghitung peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari
sama saja dengan menghitung peluang waktu antar kelahiran yang berturutan
lebih dari satu hari
�{ > } = − = .
G. Model Antrian Poisson yang Diperumum
Pengembangan model antrian dengan asumsi kedatangan berdistribusi
Poisson dan waktu antar kedatangan serta pelayanan berdistribusi Eksponensial
berdasarkan kondisi jangka panjang atau perilaku keadaan tunak (steady state)pada
antrian yaitu kondisi dengan rata-rata laju arus masuk sama dengan laju arus keluar.
Gambar 3.6: Diagram transisi antrian Poisson.
Terdapat istilah kedatangan dan keberangkatan (departure), istilah
kedatangan merepresentasikan sebagai penambahan banyaknya pelanggan pada
sistem antrian sedangkan istilah keberangkatan merepresentasikan sebagai
pengurangan banyaknya pelanggan pada sistem antrian.
Peluang dapat ditentukan dari diagram transisi antrian Poisson. Sistem
antrian pada status menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian adalah
. Peluang terjadinya lebih dari satu kejadian yang terjadi selama interval ℎ yang
kecil dinyatakan dengan ℎ → diartikan bahwa untuk setiap > , dapat
berubah menjadi dua kemungkinan yaitu − ketika keberangkatan terjadi pada
laju atau + ketika kedatangan terjadi pada laju , ketika = dapat
berubah menjadi ketika terjadi kedatangan pada laju . Pada tidak terdefinisi
karena tidak ada keberangkatan yang terjadi ketika sistem kosong.
Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan dalam sistem antrian:
= banyaknya pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
= rata-rata kedatangan dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
= peluang kondisi keadaan tunak (steady state)dari pelanggan yang
terlibat dalam sistem antrian.
Model yang diperumum berasal dari yang merupakan fungsi dari dan
. Peluang ini kemudian digunakan untuk menentukan langkah-langkah sistem
kinerja seperti rata-rata panjang antrian, waktu tunggu antrian, dan rata-rata
pelayanan.
Dalam kondisi keadaan tunak (steady state) untuk > laju arus masuk
yang diharapkan sama dengan laju arus keluar. Kondisi ketika dapat berubah
menjadi − atau + diperoleh:
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan :
− � − + + � + .
Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan :
� + � = + � .
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan
− � − + + � + = + � .
Pada Gambar 3.6 kondisi ketika = adalah:
=
= ( ) .
Untuk = diperoleh:
+ = +
= ( )
secara umum diperoleh bentuk:
= ( − − …
− … ) , = , , ..
(3.7)
nilai ditentukan dari ∑∞= = .
Contoh 3.4
Toko Grosir B & K mengoperasikan 3 toko. Manager toko menggunakan jadwal
untuk menentukan banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi. Berikut ini adalah
banyaknya pelanggan dalam toko.
Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K.
Banyaknya pelanggan dalam toko Banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi
1 – 3 1
4 – 6 2
Lebih dari 6 3
Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan 10
pelanggan per jam. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata
