BAB 9 Pemrograman Multiobyektif
9.2 Analytic Hierarchy Process (AHP)
Analytic Hierarchy Process (AHP) digunakan untuk menyelesaikan masalah pengambilan keputusan dengan banyak kriteria (multicriteria).
Langkah-langkah AHP adalah :
1. Menentukan matriks perbandingan pasangan (pairwise comparison maatrix) dengan nilai :
pij =
( c, Jika kriteria i lebih penting daripada kriteria j;
1
c, Jika kriteria j lebih penting daripada kriteria i.
2. Jumlahkan setiap kolom pada matriks perbandingan pasangan.
3. Bagi setiap elemen pij dengan nilai jumlah kolom yang bersesuaian sehingga menghasilkan matriks perbandingan pasangan dalam bentuk normal.
4. Hitung rata-rata setiap baris pada matriks perbandingan pasangan dalam bentuk normal.
Semakin tinggi nilai rata-ratanya, semakin penting kriterianya.
5. Untuk setiap jenis obyek, buatlah matriks perbandingan pasangan sesuai dengan langkah 1-3.
6. Buatlah ranking prioritas pemilihan obyek.
9.2. ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) 169 Contoh :
Seorang pembeli ingin membeli sebuah mobil dengan mempertimbangkan kriteria : harga (x1), kehematan bahan bakar (x2), kenyamanan (x3), dan model (x4). Setelah proses seleksi, terdapat 3 mobil (mobil A, mobil B, mobil C) yang akan dipilih menjadi 1 mobil. Buatlah ranking prioritas pemilihan mobil yang akan dibeli.
Jawab :
Tentukan nilai c dari prioritas.
Kriteria Nilai Tentukan prioritas dari kombinasi kriteria pemilihan mobil.
Perbandingan pasangan Kriteria paling penting Prioritas c
x1− x2 x1 7
Buatlah matriks perbandingan pasangan sebagai berikut :
(x1) (x2) (x3) (x4)
Jumlah 1,476 24 13,125 7,295
Bagi setiap elemen pij dengan nilai jumlah kolom yang bersesuaian sehingga menghasilkan matriks perbandingan pasangan dalam bentuk normal.
(x1) (x2) (x3) (x4) (x1) 0,677 0,292 0,457 0,823 (x2) 0,097 0,042 0,010 0,017 (x3) 0,113 0,333 0,076 0,023 (x4) 0,113 0,333 0,457 0,137 Hitunglah rata-rata setiap baris dan tentukan peringkat pada prioritas.
(x1) (x2) (x3) (x4) Rata-rata Peringkat (x1) 0,677 0,292 0,457 0,823 0,562 1 (x2) 0,097 0,042 0,010 0,017 0,041 4 (x3) 0,113 0,333 0,076 0,023 0,136 3 (x4) 0,113 0,333 0,457 0,137 0,260 2 Untuk setiap mobil, buatlah matriks perbandingan pasangan.
Kriteria : Harga (x1)
Mobil A Mobil B Mobil C
Mobil A 1 1
3
1 4
Mobil B 3 1 1
Mobil C 4 2 21
Kriteria : Kehematan bahan bakar (x2)
Mobil A Mobil B Mobil C
Mobil A 1 1
4
1 6
Mobil B 4 1 1
Mobil C 6 3 31
Kriteria : Kenyamanan (x3)
Mobil A Mobil B Mobil C
Mobil A 1 2 8
Mobil B 1
2 1 6
Mobil C 1
8
1
6 1
Kriteria : Model (x4)
9.2. ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) 171 Mobil A Mobil B Mobil C
Mobil A 1 1
3 4
Mobil B 3 1 7
Mobil C 1
4
1
7 1
Sehingga diperoleh rata-rata kriteria sebagai berikut :
Harga (x1) Kehematan bahan bakar (x2) Kenyamanan (x3) Model (x4)
Mobil A 0,123 0,087 0,593 0,265
Mobil B 0,320 0,274 0,341 0,656
Mobil C 0,557 0,639 0,065 0,080
Gunakan AHP untuk menentukan prioritas pada masing-masing obyek.
Mobil A : 0,562(0,123)+0,041(0,087)+0,136(0,593)+0,260(0,265)=0,223 Mobil B : 0,562(0,320)+0,041(0,274)+0,136(0,341)+0,260(0,656)=0,408 Mobil C : 0,562(0,557)+0,041(0,639)+0,136(0,065)+0,260(0,080)=0,369
Dari hasil perhitungan, dapat disimpulkan : mobil B adalah prioritas pertama, mobil C adalah prioritas kedua, dan mobil A adalah prioritas ketiga.
Bab 10
Pengantar Pemrograman Dinamis
Pemrograman dinamis merupakan suatu teknik untuk membuat urutan suatu keputusan secara sistematis. Pada buku ini akan dibahas sekilas penggunaan pemrograman dinamis pada pencarian rute terpendek pada Stagecoach Problem dan Bounded Knapsack Problem.
10.1 Stagecoach Problem
Contoh :
Seorang pengembara melakukan perjalanan dari titik A ke titik J untuk mencari emas. Jaringan pada Stagecoach Problem dapat dilihat pada Gambar ??, dimana pada jaringan tersebut dapat dibagi menjadi empat stage mulai dari titik awal A ke titik tujuan J. Angka yang tertera pada gambar adalah biaya perjalanan. Tentukan rute yang manakah yang harus diambil pengembara tersebut supaya biaya perjalanan minimum.
Gambar 10.1. Jaringan pada Stagecoach Problem
10.1.1 Rekursif Maju
Dari jaringan tersebut dapat dibentuk empat stage sehingga dapat dibentuk empat matriks jarak sebagai berikut :
173
Gambar 10.1.2. Empat Stage pada Stagecoach Problem
A
B 2
C 4
D 3
B C D
E 7 3 4
F 4 2 1
G 6 4 5
E F G
H 1 6 3
I 4 3 3
H I
J 3 4
Stage 1
Hitung jarak menuju titik B, C, D dari titik A.
s f1(s, x1) f1∗(s) x∗1 A
B 2 2 A
C 4 4 A
D 3 3 A
Stage 2
Hitung jarak menuju titik E, F, G dari titik B, C, D. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara kumulatif.
10.1. STAGECOACH PROBLEM 175 s f2(s, x2) f2∗(s) x∗2
B C D
E 2+7=9 4+3=7 3+4=7 7 C,D
F 2+4=6 4+2=6 3+1=4 4 D
G 2+6=8 4+4=8 3+5=8 8 B,C,D
Stage 3
Hitung jarak menuju titik H, I dari titik E, F, G. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara kumulatif.
s f3(s, x3) f3∗(s) x∗3
E F G
H 7+1=8 4+6=10 8+3=11 8 E
I 7+4=11 4+3=7 8+3=11 7 F
Stage 4
Hitung jarak menuju titik J dari titik H, I. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara kumulatif.
s f4(s, x4) f4∗(s) x∗4
H I G
J 8+3=11 7+4=11 11 H,I Jadi rute yang terpilih ada 3 yaitu :
1. Perhatikan stage 4. Untuk menuju s = J , maka harus melewati x∗4 = H. Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = H, maka harus melewati x∗3 = E. Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = E, maka harus melewati x∗2 = C. Lompat ke stage 1.
Untuk menuju s = C, maka harus melewati x∗1 = A.
Jadi rutenya adalah A → C → E → H → J dengan jarak 4 + 3 + 1 + 3 = 11.
2. Perhatikan stage 4. Untuk menuju s = J , maka harus melewati x∗4 = H. Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = H, maka harus melewati x∗3 = E. Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = E, maka harus melewati x∗2 = D. Lompat ke stage 1.
Untuk menuju s = D, maka harus melewati x∗1 = A.
Jadi rutenya adalah A → D → E → H → J dengan jarak 3 + 4 + 1 + 3 = 11.
3. Perhatikan stage 4. Untuk menuju s = I, maka harus melewati x∗4= I. Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = I, maka harus melewati x∗3 = F . Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = F , maka harus melewati x∗2 = D. Lompat ke stage 1.
Untuk menuju s = D, maka harus melewati x∗1 = A.
Jadi rutenya adalah A → D → F → I → J dengan jarak 3 + 1 + 3 + 4 = 11.
10.1.2 Rekursif Mundur
Dari jaringan tersebut dapat dibentuk empat stage sehingga dapat dibentuk empat matriks jarak sebagai berikut :
Gambar 10.1.2. Empat Stage pada Stagecoach Problem
J
H 3
I 4 H I
E 1 4
F 6 3
G 3 3
E F G
B 7 4 6
C 3 2 4
D 4 1 5
B C D
A 2 4 3
Stage 4
Hitung jarak menuju titik H, I dari titik J.
s f4(s, x4) f4∗(s) x∗4 J
H 3 3 J
I 4 4 J
Stage 3
Hitung jarak menuju titik E, F, G dari titik H, I. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara
10.1. STAGECOACH PROBLEM 177 kumulatif.
s f3(s, x3) f3∗(s) x∗3
H I
E 3+1=4 4+4=8 4 H
F 3+6=9 4+3=7 7 I
G 3+3=6 4+3=7 6 H
Stage 2
Hitung jarak menuju titik B, C, D dari titik E, F, G. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara kumulatif.
s f2(s, x2) f2∗(s) x∗2
E F G
B 4+7=11 7+4=11 6+6=12 11 E,F
C 4+3=7 7+2=9 6+4=10 7 E
D 4+4=8 7+1=8 6+5=11 8 E,F
Stage 1
Hitung jarak minimum menuju titik A dari titik B, C, D. Kemudian tentukan jarak minimumnya secara kumulatif.
s f1(s, x1) f1∗(s) x∗1
B C D
A 11+2=13 7+4=11 8+3=11 11 C,D Jadi rute yang terpilih ada 3 yaitu :
1. Perhatikan stage 1. Untuk menuju s = A, maka harus melewati x∗1= C. Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = C, maka harus melewati x∗2 = E. Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = E, maka harus melewati x∗3 = H. Lompat ke stage 4.
Untuk menuju s = H, maka harus melewati x∗4 = J .
Jadi rutenya adalah A → C → E → H → J dengan jarak 4 + 3 + 1 + 3 = 11.
2. Perhatikan stage 1. Untuk menuju s = A, maka harus melewati x∗1= D. Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = D, maka harus melewati x∗2 = E. Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = E, maka harus melewati x∗3 = H. Lompat ke stage 4.
Untuk menuju s = H, maka harus melewati x∗4 = J .
Jadi rutenya adalah A → D → E → H → J dengan jarak 3 + 4 + 1 + 3 = 11.
3. Perhatikan stage 1. Untuk menuju s = A, maka harus melewati x∗1= D. Lompat ke stage 2.
Untuk menuju s = D, maka harus melewati x∗2 = F . Lompat ke stage 3.
Untuk menuju s = F , maka harus melewati x∗3= I. Lompat ke stage 4.
Untuk menuju s = I, maka harus melewati x∗4 = J .
Jadi rutenya adalah A → D → F → I → J dengan jarak 3 + 1 + 3 + 4 = 11.
10.2 Bounded Knapsack Problem
Bentuk umum dari program linear untuk Bounded Knapsack Problem adalah :
max Z = r1m1+ r2m2+ . . . + rnmn (10.1) dengan kendala
w1m1+ w2m2+ . . . + wnmn ≤ W (10.2)
m1 ≥ 0, m2 ≥ 0, . . . , mn≥ 0 (10.3) Keterangan dari bentuk di atas adalah :
ri(i = 1, 2, ..., n) adalah keuntungan dari barang i.
mi(i = 1, 2, ..., n) adalah jumlah unit dari barang i.
wi(i = 1, 2, ..., n) adalah bobot unit i.
Contoh :
Suatu truk dengan kapasitas muatan 4 ton akan diisi 3 jenis barang (barang 1, barang 2, dan barang 3) yang memiliki bobot dan keuntungan yang berbeda seperti pada tabel.
Barang i Bobot wi Keuntungan ri
1 2 31
2 3 47
3 1 14
Tentukan berapa banyak barang dari tiap jenis barang yang dapat dimasukkan ke dalam truk sehingga memberikan keuntungan maksimum.
Jawab :
Dari permasalahan di atas, bentuk program linear berbentuk adalah sebagai berikut : max Z = 31m1+ 47m2+ 14m3
dengan kendala
2m1+ 3m2+ m3 ≤ 4 m1≥ 0, m2 ≥ 0, m3 ≥ 0
Program linear di atas dapat diselesaikan dengan cara rekursif mundur.
Stage 3
10.2. BOUNDED KNAPSACK PROBLEM 179
Karena max(m3) = 4, maka jumlah barang 3 yang boleh dimasukkan adalah 0, 1, 2, 3, 4.
m3= {0, 1, 2, 3, 4}
f3(x3) = maxm3=0,1,2,3,4(14m3)
x3 14m3 Solusi Optimal
m3 = 0 m3 = 1 m3= 2 m3 = 3 m3= 4 f3(x3) m∗3
Karena max(m2) = 1, maka jumlah barang 2 yang boleh dimasukkan adalah 0, 1.
m2 = {0, 1}
Karena max(m1) = 2, maka jumlah barang 1 yang boleh dimasukkan adalah 0, 1, 2.
m1= {0, 1, 2}
f1(x1) = maxm1=0,1,2(31m1+ f2(x1− 2m1))
x1 31m1+ f2(x1− 2m1) Solusi Optimal
m1 = 0 m1 = 1 m1= 2 f1(x1) m∗1
0 31(0) + f2(0 − 2(0)) - - 0 0
= 0 + 0 = 0
1 31(0) + f2(1 − 2(0)) - - 14 0
= 0 + 14 = 14
2 31(0) + f2(2 − 2(0)) 31(1) + f2(2 − 2(1)) - 31 1
= 0 + 28 = 28 = 31 + 0 = 31
3 31(0) + f2(3 − 2(0)) 31(1) + f2(3 − 2(1)) - 47 1
= 0 + 47 = 47 = 31 + 14 = 45
4 31(0) + f2(4 − 2(0)) 31(1) + f2(4 − 2(1)) 31(2) + f2(4 − 2(2)) 62 2
= 0 + 61 = 61 = 31 + 28 = 59 = 62 + 0 = 62 Dari tabel di atas, diperoleh m∗1 yang maksimum adalah 2 dengan x1 = 4.
Jika x1= 4, maka m∗1 = 2 yang menghasilkan x2= x1− 2m∗1= 4 − 2(2) = 0.
Jika x2= 0, maka m∗2 = 0 yang menghasilkan x3= x2− 3m∗2= 0 − 3(0) = 0.
Jika x3= 0, maka m∗3 = 0.
Jadi solusi optimalnya adalah (m1, m2, m3) = (2, 0, 0) dengan total keuntungan Z = 31(2) + 47(0) + 14(0) = 62.
Daftar Pustaka
[1] Anderson, D.R. 2012. An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making. South Western Cengage Learning.
[2] Gen, M. Cheng, R. 1997. Genetic Algorithm and Engineering Design. John Wiley and Sons.
[3] Hillier, F.S. Lieberman, G.J. 2000. Introduction to Operational Research. Mc Graw Hill.
[4] Sulistiyo, Modul Ajar Riset Operasi Matematika ITS.
[5] Taha, H.A. 2007. Operational Research an Introduction. Prentice Hall.
181
Dinita Rahmalia, M.Si. Penulis lahir di Gresik, Jawa Timur tanggal 27 April 1988. Setelah menempuh pendidikan sekolah menengah di Gresik, penulis melanjutkan pendidikan S1 Matematika di Institut Teknologi Sepuluh Nopember tahun 2006-2010, kemudian melajutkan pendidikan S2 Matematika di Institut Teknologi Bandung tahun 2011-2013.
Saat ini penulis bekerja sebagai dosen pengajar di Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, dengan mata kuliah Kalkulus, Riset Operasi, Statistika, dan Program Komputer. Selain itu penulis juga aktif melakukan penelitian tentang Riset Operasi dan Optimisasi, Data Mining, Sistem Dinamik dan Kontrol. Lebih lanjut dapat menghub
Email : [email protected] atau [email protected] Dr. Teguh Herlambang. Lahir di Surabaya, Jawa Timur, pada tanggal 22 November 1987. Gelar Sarjana Sains (S.Si) dan Magister Sains (M.Si) diperoleh dari Jurusan di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) pada tahun 2010 dan 2012. Penulis mulai mengajar di Fakultas Teknik Universitas Nahdlatul Ulama Surabaya pada tahun 2013.
Pada tahun 2013, penulis mengikuti program doktor (S-3) di Institut Teknologi Sepuluh Nopember dengan mengambil konsentrasi di bidang Sistem Kendali Kapal Selam Tanpa Awak, dan meraih gelar Doktor (Dr) di Fakultas Teknologi Kelautan pada Tahun 2016.
Mata kuliah yang diajarkan penulis di program S-1 adalah Aljabar Linear, Matematika Diskrit, Statistika, Matematika Ekonomi, Algoritma dan Pemrograman dan Riset Operasi. Selain itu penulis juga aktif melakukan penelitian tentang Sistem Navigasi dan Kendali, Komputasi Numerik, Riset Operasi dan Optimisasi, Pemodelan dan Autonomous Underwater Vehicel (AUV).
Dr. Teguh Herlambang, juga telah mendapatkan beberapa dana hibah peneltian dari Kemenristekdikti dan telah menghasilkan sejumlah publikasi internasional terindex serta melakukan join riset dengan Pusat Unggulan IPTEK Mechatronics and Industrial Automation Research Center ITS (PUI-PT MIA-RC ITS) dalam penelitian Autonomous Underwater Vehicle (AUV), Autonomous Surface Vehicle), Thruster, Arm robot dan beberapa penelitian lainnya.
Email : [email protected]