Operasi Baris Elementer

BAB 1 Sistem Persamaan Linear

1.3 Solusi Sistem Persamaan Linear

1.3.2 Operasi Baris Elementer

1.3.2 Operasi Baris Elementer

Langkah operasi baris elementer adalah dengan mengubah bentuk sistem persamaan linear :

 kemudian dilakukan operasi baris elementer manjadi bentuk :



Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut :

x + y + 2z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0 dengan operasi baris elementer.

Jawab :

1.3. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR 5

x + y + 2z = 9 (B₁) 2x + 4y − 3z = 1 (B₂) 3x + 6y − 5z = 0 (B3)

Langkah pertama adalah membuat a11= 1, a21= 2, a31= 3 menjadi a11= 1, a21= 0, a31= 0.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris 1 dengan 1 supaya koefisien x bernilai 1. Supaya koefisien x yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 2 dengan dua kali baris 1, ku-rangkan baris 3 dengan tiga kali baris 1.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom



 dengan cara sebagai berikut :



Operasi baris elementer (OBE) : 1 1B₁ Sehingga proses Operasi Baris Elementer (OBE) dapat ditulis sebagai berikut :



Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris 2 dengan 2 supaya koefisien y bernilai 1. Supaya koefisien y yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 1 dengan baris 2, kurangkan baris 3 dengan tiga kali baris 2.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom

dengan cara sebagai berikut :



Operasi baris elementer (OBE) : 1 2B2 Sehingga proses Operasi Baris Elementer (OBE) dapat ditulis sebagai berikut :



Langkah ketiga adalah membuat a13= 11

2 , a23= −7

2, a33= −1

2 menjadi a13= 0, a23= 0, a33= 1.

Operasi Baris Elementer (OBE) Bagi baris 3 dengan −1

2 supaya koefisien z bernilai 1. Supaya koefisien z yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 1 dengan 11

2 kali baris 3, jumlahkan baris 2 dengan 7

2 kali baris 3.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom



 dengan cara sebagai berikut :



1.3. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR 7

Operasi baris elementer (OBE) : 1

−¹₂B3

Sehingga proses Operasi Baris Elementer (OBE) dapat ditulis sebagai berikut :

 Jadi solusinya adalah :



Bab 2

Program Linear

Program linear merupakan bagian yang sangat penting pada Riset Operasi karena sebagai besar masalah pada Riset Operasi menggunakan program linear. Pada bangku sekolah, masalah pada program linear menggunakan metode grafis telah dipelajari. Pada buku ini akan dijelaskan teknik pemecahan masalah program linear lebih mendalam berdasarkan bentuk kendala, seperti metode Simpleks dan metode Big M.

2.1 Pengenalan Program Linear

Bentuk umum program linear untuk masalah optimisasi berupa memaksimumkan fungsi obyek-tif adalah :

max Z = c₁x₁+ c₂x₂+ . . . + c_nx_n (2.1) dengan kendala

a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn ≤ b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_2nx_n ≤ b₂

... a_m1x₁+ a_m2x₂+ . . . + a_mnx_n ≤ b_m

(2.2)

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, . . . , x_n≥ 0 (2.3) Selain bentuk di atas, bentuk umum program linear untuk masalah optimisasi berupa memini-mumkan fungsi obyektif adalah :

min Z = c₁x₁+ c₂x₂+ . . . + c_nx_n (2.4) dengan kendala

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ . . . + a_1nx_n ≥ b₁ a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn ≥ b₂

... a_m1x₁+ a_m2x₂+ . . . + a_mnx_n ≥ b_m

(2.5)

9

x1 ≥ 0, x₂≥ 0, . . . , x_n≥ 0 (2.6) Keterangan dari kedua bentuk di atas adalah :

1. Z adalah fungsi obyektif yaitu fungsi yang akan dioptimalkan (dimaksimumkan atau di-minimumkan).

2. x₁, x₂, . . . , x_n adalah variabel keputusan yang akan dicari.

3. aij(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), b1, b2, . . . , bm, c1, c2, . . . , cn adalah parameter.

4. Fungsi obyektif Z berbentuk linear.

5. Fungsi kendala bentuk sistem linear.

Tujuan dari program linear kedua bentuk di atas adalah menentukan nilai x1, x2, . . . , xnyang men-goptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) Z.

2.2 Formulasi Model : Memaksimumkan Keuntungan

Terdapat tiga pabrik yaitu : pabrik A, pabrik B, dan pabrik C. Ketiga pabrik tersebut memproduksi kaca pintu dan kaca jendela.

Aturan produksi pada masing-masing pabrik adalah :

Pabrik A memproduksi kaca pintu dengan waktu produksi 1 jam per minggu. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik A adalah maksimum 4 jam per minggu.

Pabrik B memproduksi kaca jendela dengan waktu produksi 2 jam per minggu. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik B adalah maksimum 12 jam per minggu.

Pabrik C memproduksi kaca pintu dengan waktu produksi 3 jam per minggu dan kaca jendela dengan waktu produksi 2 jam per minggu. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik C adalah maksimum 18 jam per minggu.

Jika keuntungan kaca pintu adalah 300 dan keuntungan kaca jendela adalah 500. Tentukan jumlah kaca pintu dan jumlah kaca jendela yang diproduksi supaya pabrik tersebut mendapatkan keuntun-gan maksimum.

Dari permasalahan di atas, dapat dibuat tabel sebagai berikut :

Pabrik Waktu Produksi Maksimum Waktu Produksi (jam per minggu) (jam per minggu) Kaca Pintu Kaca Jendela

Pabrik A 1 0 4

Pabrik B 0 2 12

Pabrik C 3 2 18

Keuntungan 300 500

Pendefinisian variabel keputusan adalah sebagai berikut : Misalkan :

x₁ adalah jumlah kaca pintu.

2.3. METODE GRAFIS 11 x2 adalah jumlah kaca jendela.

Sehingga pembentukan fungsi obyektifnya adalah :

max Z = 300x1+ 500x2

dengan kendala

x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x₁+ 2x₂ ≤ 18

x₁≥ 0, x₂ ≥ 0

2.3 Metode Grafis

Penyelesaian program linear di atas dapat diselesaikan menggunakan metode grafis. Pertama-tama, kita plot ketiga pertidaksamaan pada kendala sehingga terlihat seperti Gambar 2.3. Setelah itu, kita dapatkan daerah penyelesaian (feasible region) yang memenuhi terhadap semua kendala yang ada.

Gambar 2.3. Pertidaksamaan pada Kendala

Setelah itu, kita hitung titik potong pada grafik di atas. Dari hasil perhitungan, titik potongnya adalah (0,0), (4,0), (4,3), (2,6), dan (0,6). Kemudian kita masukkan pada fungsi obyektif Z = f (x1, x2) = 300x1+ 500x2.

f (0, 0) = 300(0) + 500(0) = 0 f (4, 0) = 300(4) + 500(0) = 1200 f (4, 3) = 300(4) + 500(3) = 2700 f (2, 6) = 300(2) + 500(6) = 3600 f (0, 6) = 300(0) + 500(6) = 3000

Dari hasil perhitungan di atas, terlihat bahwa titik (x₁, x₂) = (2, 6) menghasilkan nilai Z paling besar yaitu sebesar 3600. Sehingga titik (x1, x2) = (2, 6) adalah solusi optimal dan Z = 3600 adalah nilai optimal.

Jadi pabrik tersebut harus memproduksi jumlah kaca pintu x1 sebanyak 2 dan jumlah kaca jendela x2 sebanyak 6.

Namun adakalanya, titik potong tersebut bukan solusi optimal. Oleh karena itu kita dapat menggeser sedikit garis 3600 = 300x₁+500x₂sejajar dengan gradiennya namun harus menuju ke daerah penye-lesaiannya.

2.4 Formulasi Model : Meminimumkan Belanja

Seorang pembuat kue akan membuat kue : kue kering, brownis, dan donat. Ketiga kue tersebut mengandung keju dan coklat.

Kandungan bahan pada ketiga kue tersebut adalah :

Kue kering mengandung keju 1 gram. Menurut selera pasar, kandungan bahan pada kue kering adalah minimum 2 gram .

Brownis mengandung coklat 3 gram. Menurut selera pasar, kandungan bahan pada brownis adalah minimum 9 gram.

Donat mengandung 3 gram keju dan 2 gram coklat. Menurut selera pasar, kandungan bahan pada donat adalah minimum 18 gram.

Jika harga keju adalah 300 dan harga coklat adalah 500. Tentukan jumlah keju dan jumlah coklat yang harus dibeli supaya pembuat kue tersebut melakukan pembelanjaan minimum.

Dari permasalahan di atas, dapat dibuat tabel sebagai berikut :

Kandungan Bahan Minimum Kandungan Bahan

(gram) (gram)

Keju Coklat

Kue kering 1 0 2

Brownis 0 3 9

Donat 3 2 18

Harga 300 500

Pendefinisian variabel keputusan adalah sebagai berikut : Misalkan :

x₁ adalah jumlah keju.

x₂ adalah jumlah coklat.

Sehingga pembentukan fungsi obyektifnya adalah :

min Z = 300x₁+ 500x₂ dengan kendala

x1 ≥ 2 3x₂ ≥ 9 3x₁+ 2x₂ ≥ 18

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0

2.5. METODE GRAFIS 13

2.5 Metode Grafis

Penyelesaian program linear di atas dapat diselesaikan menggunakan metode grafis. Pertama-tama, kita plot ketiga pertidaksamaan pada kendala sehingga terlihat seperti Gambar 2.5. Setelah itu, kita dapatkan daerah penyelesaian (feasible region) yang memenuhi terhadap semua kendala yang ada.

Gambar 2.5. Pertidaksamaan pada Kendala

Setelah itu, kita hitung titik potong pada grafik di atas. Dari hasil perhitungan, titik potongnya adalah (4,3) dan (2,6). Kemudian kita masukkan pada fungsi obyektif Z = f (x1, x2) = 300x1+ 500x₂.

f (4, 3) = 300(4) + 500(3) = 2700 f (2, 6) = 300(2) + 500(6) = 3600

Dari hasil perhitungan di atas, terlihat bahwa titik (x₁, x₂) = (4, 3) menghasilkan nilai Z paling kecil yaitu sebesar 2700. Sehingga titik (x1, x2) = (4, 3) adalah solusi optimal dan Z = 2700 adalah nilai optimal.

Jadi pembuat roti tersebut harus membeli jumlah keju x1 sebanyak 4 dan jumlah coklat x2sebanyak 3.

Namun adakalanya, titik potong tersebut bukan solusi optimal. Oleh karena itu kita dapat menggeser sedikit garis 2700 = 300x₁+500x₂sejajar dengan gradiennya namun harus menuju ke daerah penye-lesaiannya.

2.6 Solusi pada Linear Programming

Solusi adalah nilai dari variabel keputusan (x₁, x₂, ..., x_n).

Pada linear programming, daerah solusi dibagi menjadi dua, yaitu : 1. Solusi feasible : Solusi yang memenuhi semua kendala.

2. Solusi infeasible : Solusi yang tidak memenuhi paling sedikit satu kendala.

Contoh :

Pada program linear :

max Z = 3x₁+ 5x₂ dengan kendala

x₁ ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+ 2x2 ≤ 18

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0

Selidiki apakah titik (2, 3), (4, 4) termasuk solusi feasible atau solusi infeasible.

Jawab : Titik (2, 3)

x₁ = 2 ≤ 4 2x₂ = 2(3) = 6 ≤ 12 3x₁+ 2x₂= 3(2) + 2(3) = 12 ≤ 18 x1 = 2 ≥ 0 x2 = 3 ≥ 0

Jadi titik (2, 3) memenuhi semua kendala sehingga termasuk solusi yang feasible.

Titik (4, 4)

x₁ = 4 ≤ 4 2x2 = 2(4) = 8 ≤ 12 3x1+ 2x2= 3(4) + 2(4) = 20 ≥ 18 x₁ = 4 ≥ 0 x₂ = 4 ≥ 0

Jadi titik (4, 4) tidak memenuhi kendala 3x₁+ 2x₂≤ 18 sehingga termasuk solusi yang infeasible.

2.6.1 Solusi Optimal

Jenis-jenis solusi optimal dalam linear programming adalah sebagai berikut : 1. Solusi optimal feasible.

Contoh :

max Z = 3x₁+ 5x₂

2.6. SOLUSI PADA LINEAR PROGRAMMING 15 dengan kendala

x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+ 2x2 ≤ 18

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0 Daerah penyelesaian :

Gambar 3. Solusi Feasible Masalah Maksimalisasi

Contoh :

min Z = 3x1+ 5x2

dengan kendala

x1 ≥ 2 3x₂ ≥ 9 3x₁+ 2x₂ ≥ 18

x1 ≥ 0, x₂≥ 0 Daerah penyelesaian :

Gambar 1. Solusi Feasible Masalah Minimalisasi

2. Solusi optimal infeasible.

Contoh :

max Z = 3x1+ 5x2

dengan kendala

x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x₁+ 2x₂ ≤ 18 3x₁+ 5x₂ ≥ 50

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 Daerah penyelesaian :

Gambar 2. Solusi Infeasible

3. Multiple solusi optimal.

Contoh :

max Z = 3x₁+ 2x₂ dengan kendala

x₁ ≤ 4 2x₂ ≤ 12 3x1+ 2x2 ≤ 18

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 Daerah penyelesaian :

2.7. METODE SIMPLEKS 17

Gambar 3. Multiple Solusi Optimal

4. Solusi optimal tak terbatas.

Contoh :

max Z = 3x1+ 5x2

dengan kendala

x₁ ≤ 4 x1 ≥ 0, x₂≥ 0 Daerah penyelesaian :

Gambar 4. Solusi Optimal tak Terbatas

2.7 Metode Simpleks

2.7.1 Pengertian Variabel Slack dan Teknik Modifikasi

Variabel slack adalah variabel tambahan yang akan mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan.

Kita lihat pertidaksamaan pada kendala berikut :

max Z = 3x1+ 5x2

dengan kendala

x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+ 2x2 ≤ 18

x1≥ 0, x₂ ≥ 0

Kita tambah variabel slack s₃, s₄, s₅ sehingga kendala menjadi : max Z = 3x₁+ 5x₂

dengan kendala

x1+ s3 = 4 2x₂+ s₄ = 12 3x₁+ 2x₂+ s₅ = 18 x1 ≥ 0, x₂≥ 0, s₃≥ 0, s₄≥ 0, s₅≥ 0

Sehingga secara keseluruhan bentuk program linear di atas dapat dimodifikasi sebagai berikut : max Z

dengan kendala

Z − 3x₁− 5x₂ = 0 (0) x1+ s3 = 4 (1) 2x2+ s4 = 12 (2) 3x₁+ 2x₂+ s₅ = 18 (3) x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, s₃≥ 0, s₄≥ 0, s₅≥ 0 2.7.2 Metode Simpleks dan Komputasinya

Penggunaan metode Simpleks yang dibahasi pada bagian ini, hanya untuk program linear yang berbentuk :

max Z = c₁x₁+ c₂x₂+ . . . + c_nx_n (2.7) dengan kendala

a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn ≤ b₁ a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn ≤ b₂

... am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn ≤ b_m

(2.8)

x1 ≥ 0, x₂≥ 0, . . . , x_n≥ 0 (2.9) Untuk bentuk lainnya, seperti meminimumkan fungsi, akan dibahas pada bagian berikutnya. Peng-gunaan metode Simpleks di sini, kita menggunakan tabel Simpleks dimana variabel keputusan dinyatakan dengan x1, x2, . . . , xn dan variabel slack dinyatakan dengan sn+1, sn+2, . . . , sn+m.

Var. No. Koefisien dari Nilai Kanan

Z x1 x2 . . . xn sn+1 sn+2 . . . sn+m

Z 0 1 −c₁ −c₂ . . . −c_n 0 0 . . . 0 0

s_n+1 1 0 a₁₁ a₁₂ . . . a_1n 1 0 . . . 0 b₁

sn+2 2 0 a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 b2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

sn+m m 0 am1 am2 . . . amn 0 0 . . . 1 bm

2.7. METODE SIMPLEKS 19 Untuk memudahkan perhitungan, kita buat suatu matriks dimana baris menyatakan persamaan pada kendala dan kolom menyatakan variabel basis, variabel nonbasis, dan nilai kanan.



Masukkan koefisien dari bentuk program linear ke dalam tabel Simpleks.

Tahap Optimisasi

1. Menentukan Kolom Pivot. Kolom pivot dapat ditentukan dengan cara memilih koefisien variabel nonbasis pada persamaan 0 yang memiliki nilai negatif paling besar.

max(| − c₁|, | − c₂)|, . . . , | − c_n|) (2.11) 2. Menentukan Baris Pivot. Baris pivot dapat ditentukan dengan cara memilih rasio nilai

kanan per koefisien kolom pivot terkecil pada nilai kanan variabel basis.

min( b₁ kkp₁, b₂

kkp₂, . . . , b_m

kkp_m) (2.12)

3. Operasi Baris Elementer.

Tahap Pemberhentian

Tahap pemberhentian terjadi jika tidak ada koefisien pada persamaan 0 yang negatif.

Komputasi

Untuk memudahkan perhitungan, dapat menggunakan tabel iterasi sebagai berikut : Iterasi 1

Menentukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 Nilai Kanan Rasio

B₀ 1 -3 -5 0 0 0 0

B1 0 1 0 1 0 0 4 4/0

B₂ 0 0 2^∗ 0 1 0 12 12/2=6

B₃ 0 3 2 0 0 1 18 18/2=9

Dari tabel, pada persamaan B₀ terlihat bahwa -5 (kolom 2) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 2 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 12/2 = 6 (baris 2) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 2 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 2.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 2 supaya koefisien x₂ bernilai 1. Supaya koefisien x₂ yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : jumlahkan baris 0 dengan lima kali baris 2, kurangkan baris 3 dengan dua kali baris 2.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



dengan cara sebagai berikut :

Operasi baris elementer (OBE) : 1 2B2

Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ Nilai Kanan

Menetukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

2.7. METODE SIMPLEKS 21

Dari tabel, pada persamaan B0 terlihat bahwa -3 (kolom 1) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 1 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 6/3 = 2 (baris 3) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 3 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 3.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 3 supaya koefisien x₁ bernilai 1. Supaya koefisien x₁ yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : jumlahkan baris 0 dengan tiga kali baris 3, kurangkan baris 1 dengan baris 3.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



dengan cara sebagai berikut :

Operasi baris elementer (OBE) : 1 3B₃ Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ Nilai Kanan

B0 1 0 0 0 ³₂ 1 36

B₁ 0 0 0 1 ¹₃ −¹₃ 2

B2 0 0 1 0 ¹₂ 0 6

B3 0 1 0 0 −¹₃ ¹₃ 2

Selesai iterasi 2, terlihat bahwa solusinya x₁ = 2 dan x₂ = 6 dengan nilai Z = 3(2) + 5(6) = 36.

Solusi ini optimal karena tidak ada koefisien pada persamaan 0 yang bernilai negatif.

2.8 Metode Big M pada Kendala Berbentuk Persamaan =

Metode Big M digunakan pada masalah program linear yang dimodifikasi seperti berikut.

max Z = c1x1+ c2x2+ . . . + cnxn (2.13) dengan kendala

ai1x1+ ai2x2+ . . . + ainxn = bi (2.14) untuk sembarang i.

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, . . . , x_n≥ 0 (2.15) 2.8.1 Pengertian Variabel Artificial dan Teknik Modifikasi

Variabel artificial adalah variabel yang ditambahkan jika kendala berbentuk =, ≥.

Misalkan kita ubah program linear sebelumnya menjadi : max Z = 3x1+ 5x2

dengan kendala

x₁ ≤ 4 2x₂ ≤ 12 3x1+ 2x2 = 18

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0

Kita tambahkan variabel artificial pada kendala yang berbentuk = dan variabel slack pada kendala yang berbentuk ≤ sehingga program linear menjadi :

max Z = 3x₁+ 5x₂− M ¯s₅ dengan kendala

x₁+ s₃ = 4 2x₂+ s₄ = 12 3x1+ 2x2+ ¯s5 = 18 x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, s₃≥ 0, s₄≥ 0, ¯s₅≥ 0

2.8. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERSAMAAN = 23 Sehingga secara keseluruhan bentuk program linear di atas dapat dimodifikasi sebagai berikut :

max Z dengan kendala

Z − 3x₁− 5x₂+ M ¯s₅ = 0 (0) x1+ s3 = 4 (1) 2x2+ s4 = 12 (2) 3x1+ 2x2+ ¯s5 = 18 (3) x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, s₃ ≥ 0, s₄ ≥ 0, ¯s₅ ≥ 0 2.8.2 Metode Big M dan Komputasinya

Tahap Awal (Inisialisasi)

Masukkan koefisien dari bentuk program linear ke dalam tabel Simpleks. Pada baris 0, koefisien pada variabel artificial harus 0.

Tahap Optimisasi

1. Menentukan Kolom Pivot. Kolom pivot dapat ditentukan dengan cara memilih koefisien variabel nonbasis pada persamaan 0 yang memiliki nilai negatif paling besar.

max(| − c₁|, | − c₂)|, . . . , | − c_n|) (2.16) 2. Menentukan Baris Pivot. Baris pivot dapat ditentukan dengan cara memilih rasio nilai

kanan per koefisien kolom pivot terkecil pada nilai kanan variabel basis.

min( b1

kkp₁, b2

kkp₂, . . . , bm

kkp_m) (2.17)

3. Operasi Baris Elementer.

Tahap Pemberhentian

Tahap pemberhentian terjadi jika tidak ada koefisien pada persamaan 0 yang negatif.

Komputasi

Sistem kendala tersebut belum sesuai karena terdapat koefisien variabel artificial ¯s5 yang tak nol.

Karena itu, kita perlu mengeliminasi variabel ¯s₅.

Z − 3x₁− 5x₂+ M ¯s₅ = 0 | × 1| Z − 3x₁− 5x₂+ M ¯s₅ = 0 3x1+ 2x2+ ¯s5 = 18 | × (−M )| −3M x₁− 2M x₂− M ¯s5 = −18M

Z − (3M + 3)x₁− (2M + 5)x₂ = −18M

Untuk memudahkan perhitungan, dapat menggunakan tabel iterasi sebagai berikut : Iterasi 1

Menentukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 Nilai Kanan Rasio

B0 1 −(3M + 3) −(2M + 5) 0 0 0 −18M

B₁ 0 1 0 1 0 0 4 4/1=4

B₂ 0 0 2 0 1 0 12 12/0

B3 0 3 2 0 0 1 18 18/3=6

Dari tabel, pada persamaan B₀ terlihat bahwa −(3M + 3) (kolom 1) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 1 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 4/1 = 4 (baris 1) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 1 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 1.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 1 supaya koefisien x1 bernilai 1. Supaya koefisien x1 yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : jumlahkan baris 0 dengan (3M + 3) kali baris 1, kurangkan baris 3 dengan tiga kali baris 1.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



Operasi baris elementer (OBE) : 1 1B1

2.8. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERSAMAAN = 25

0 3 2 0 0 1 = 18 | × 1| 0 3 2 0 0 1 = 18

0 1 0 1 0 0 = 4 | × −3| 0 −3 0 −3 0 0 = −12

0 0 2 −3 0 1 = 6

Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 Nilai Kanan

Menetukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ Nilai Kanan Rasio B₀ 1 0 −(2M + 5) (3M + 3) 0 0 −6M + 12

B₁ 0 1 0 1 0 0 4 4/0

B2 0 0 2 0 1 0 12 12/2=6

B₃ 0 0 2 -3 0 1 6 6/2=3

Dari tabel, pada persamaan B0 terlihat bahwa −(2M + 5) (kolom 2) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 2 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 6/2 = 3 (baris 3) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 3 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 2.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 2 supaya koefisien x₂ bernilai 1. Supaya koefisien x₂ yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : jumlahkan baris 0 dengan (2M + 5) kali baris 3, kurangkan baris 2 dengan dua kali baris 3.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



Operasi baris elementer (OBE) : 1 2B3

0 0 2 −3 0 1 = 6 | ×¹₂| 0 0 1 −³₂ 0 ¹₂ = 3

Operasi baris elementer (OBE) : B0+ (2M + 5)B3

1 0 −(2M + 5) (3M + 3) 0 0 = −6M + 12 | × 1|

0 0 1 −³₂ 0 ¹₂ = 3 | × (2M + 5)|

1 0 −(2M + 5) (3M + 3) 0 0 = −6M + 12 0 0 (2M + 5) −³₂(2M + 5) 0 ¹₂(2M + 5) = 3(2M + 5)

1 0 0 −⁹₂ 0 ¹₂(2M + 5) = 27 Operasi baris elementer (OBE) : B2− 2B₃

0 0 2 0 1 0 = 12 | × 1| 0 0 2 0 1 0 = 12

0 0 1 −³₂ 0 ¹₂ = 3 | × −2| 0 0 −2 3 0 −1 = −6

0 0 0 3 1 −1 = 6

Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 Nilai Kanan B0 1 0 0 −⁹₂ 0 ¹₂(2M + 5) 27

B1 0 1 0 1 0 0 4

B₂ 0 0 0 3 1 -1 6

B3 0 0 1 −³₂ 0 ¹₂ 3

Selesai iterasi 2, terlihat bahwa solusinya x₁ = 4 dan x₂ = 3 dengan nilai Z = 3(4) + 5(3) = 27.

Solusi ini belum optimal karena terdapat koefisien pada persamaan 0 yang bernilai negatif.

Iterasi 3

Menetukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ Nilai Kanan Rasio B₀ 1 0 0 −⁹₂ 0 ¹₂(2M + 5) 27

B₁ 0 1 0 1 0 0 4 4/1=4

B2 0 0 0 3 1 -1 6 6/3=2

B₃ 0 0 1 −³₂ 0 ¹₂ 3 3/(-3/2)=-2

Dari tabel, pada persamaan B0 terlihat bahwa ⁹₂ (kolom 3) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 3 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 6/3 = 2 (baris 2) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 2 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 3.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 3 supaya koefisien x₃ bernilai 1. Supaya koefisien x₃ yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : jumlahkan baris 0 dengan ⁹₂ kali baris 2, kurangkan baris 1 dengan baris 2, kurangkan baris 3 dengan ³₂ kali baris 2.

2.8. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERSAMAAN = 27

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



dengan cara sebagai berikut :

Operasi baris elementer (OBE) : 1 3B2 Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ Nilai Kanan

Solusi ini optimal karena tidak terdapat koefisien pada persamaan 0 yang bernilai negatif.

2.9 Metode Big M pada Kendala Berbentuk Pertidaksamaan ≥

Metode Big M digunakan pada masalah program linear yang dimodifikasi seperti berikut.

min Z = c₁x₁+ c₂x₂+ . . . + c_nx_n (2.18) dengan kendala

ai1x1+ ai2x2+ . . . + ainxn ≥ b_i (2.19) untuk sembarang i.

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, . . . , x_n≥ 0 (2.20) 2.9.1 Masalah Nilai Negatif pada Nilai Kanan Kendala

Metode Simpleks atau Metode Big M hanya dapat digunakan jika nilai kanan kendala bernilai positif. Jika nilai kendala bernilai negatif, maka kita harus mengalikan kedua ruas dengan -1.

Contoh :

−0, 6x₁− 0, 4x₂ ≤ −6 Kalikan kedua ruas dengan -1 sehingga menjadi :

0, 6x₁+ 0, 4x₂ ≥ 6 2.9.2 Masalah Minimalisasi

Penggunaan Metode Simpleks dan Metode Big M untuk masalah minimimalisasi adalah dengan menggunakan hubungan berikut :

min Z =Pn

i=1c_ix_i (2.21)

ekuivalen dengan :

max −Z =Pn

i=1(−ci)xi (2.22)

Contoh :

min Z = 0, 4x1+ 0, 5x2

ekuivalen dengan :

max −Z = −0, 4x₁− 0, 5x₂

2.9.3 Pengertian Variabel Surplus dan Teknik Modifikasi Variabel surplus adalah variabel yang ditambahkan jika kendala berbentuk ≥.

Misalkan kita ubah program linear sebelumnya menjadi : min Z = 0, 4x₁+ 0, 5x₂

2.9. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERTIDAKSAMAAN ≥ 29 dengan kendala

0, 3x1+ 0, 1x2 ≤ 2, 7 0, 5x₁+ 0, 5x₂ = 6 0, 6x₁+ 0, 4x₂ ≥ 6

x1≥ 0, x₂ ≥ 0

Kita tambahkan variabel artificial pada kendala yang berbentuk = dan ≥, variabel surplus pada kendala yang berbentuk ≥, dan variabel slack pada kendala yang berbentuk ≤ sehingga program linear menjadi :

max −Z = −0, 4x₁− 0, 5x₂− M ¯s₄− M ¯s₆ dengan kendala

0, 3x₁+ 0, 1x₂+ s₃ = 2, 7 0, 5x₁+ 0, 5x₂+ ¯s₄ = 6 0, 6x₁+ 0, 4x₂− s₅+ ¯s₆ = 6

x1 ≥ 0, x₂ ≥ 0, s₃ ≥ 0, ¯s4 ≥ 0, s₅ ≥ 0, ¯s6 ≥ 0

Sehingga secara keseluruhan bentuk program linear di atas dapat dimodifikasi sebagai berikut : max −Z

dengan kendala

−Z + 0, 4x₁+ 0, 5x2+ M ¯s4+ M ¯s6 = 0 (0) 0, 3x₁+ 0, 1x₂+ s₃ = 2, 7 (1) 0, 5x₁+ 0, 5x₂+ ¯s₄ = 6 (2) 0, 6x1+ 0, 4x2− s₅+ ¯s6 = 6 (3) x1 ≥ 0, x₂ ≥ 0, s₃ ≥ 0, ¯s4 ≥ 0, s₅ ≥ 0, ¯s6 ≥ 0 2.9.4 Metode Big M dan Komputasinya

Tahap Awal (Inisialisasi)

Masukkan koefisien dari bentuk program linear ke dalam tabel Simpleks. Pada baris 0, koefisien pada variabel artificial harus 0.

Tahap Optimisasi

1. Menentukan Kolom Pivot. Kolom pivot dapat ditentukan dengan cara memilih koefisien variabel nonbasis pada persamaan 0 yang memiliki nilai negatif paling besar.

max(| − c₁|, | − c₂|, . . . , | − c_n|) (2.23) 2. Menentukan Baris Pivot. Baris pivot dapat ditentukan dengan cara memilih rasio nilai

kanan per koefisien kolom pivot terkecil pada nilai kanan variabel basis.

min( b₁ kkp₁, b₂

kkp₂, . . . , b_m

kkp_m) (2.24)

3. Operasi Baris Elementer.

Tahap Pemberhentian

Tahap pemberhentian terjadi jika tidak ada koefisien pada persamaan 0 yang negatif.

Komputasi

Sistem kendala tersebut belum selesai karena terdapat koefisien variabel artificial ¯s₄ dan ¯s₆ yang tak nol. Karena itu, kita perlu mengeliminasi variabel ¯s4 dan ¯s6.

−Z + 0, 4x₁+ 0, 5x₂+ M ¯s₄+ M ¯s₆ = 0 | × 1| Untuk memudahkan perhitungan, dapat menggunakan tabel iterasi sebagai berikut : Iterasi 1

Menentukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 s6 Nilai Kanan Rasio

B0 -1 −1, 1M + 0, 4 −0, 9M + 0, 5 0 0 M 0 −12M

B₁ 0 0,3 0,1 1 0 0 0 2,7 2,7/0,3=9

B₂ 0 0,5 0,5 0 1 0 0 6 6/0,5=12

B3 0 0,6 0,4 0 0 -1 1 6 6/0,6=10

Dari tabel, pada persamaan B₀ terlihat bahwa −1, 1M + 0, 4 (kolom 1) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 1 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 2, 7/0, 3 = 9 (baris 1) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 1 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 0,3.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan 0,3 supaya koefisien x1 bernilai 1. Supaya koefisien x1 yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 0 dengan −1, 1M + 0, 4 kali baris 1, kurangkan baris 2 dengan 0,5 kali baris 1, kurangkan baris 3 dengan 0,6 kali baris 1.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



2.9. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERTIDAKSAMAAN ≥ 31

Operasi baris elementer (OBE) : 1 0, 3B1

0 0, 3 0, 1 1 0 0 0 = 2, 7 | ×_0,3¹ | 0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 = 9 Operasi baris elementer (OBE) : B₀− (−1, 1M + 0, 4)B₁

−1 −1, 1M + 0, 4 −0, 9M + 0, 5 0 0 M 0 = −12M | × 1|

0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 = 9 | × −(−1, 1M + 0, 4)|

−1 −1, 1M + 0, 4 −0, 9M + 0, 5 0 0 M 0 = −12M

0 −1, 1M + 0, 4 ^{−1,1M +0,4}₃ ^{−11M +4}₃ 0 0 0 = 9(−1, 1M + 0, 4)

−1 0 ⁻¹⁶₃₀ M + ¹¹₃₀ ¹¹₃M − ⁴₃ 0 M 0 = −2, 1M − 3, 6 Operasi baris elementer (OBE) : B2− 0, 5B₁

0 0, 5 0, 5 0 1 0 0 = 6 | × 1| 0 0, 5 0, 5 0 1 0 0 = 6 0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 = 9 | × −0, 5| 0 −0, 5 −^0,5₃ −⁵₃ 0 0 0 = −4, 5

0 0 ¹₃ −⁵₃ 1 0 0 = 1, 5 Operasi baris elementer (OBE) : B3− 0, 6B₁

0 0, 6 0, 4 0 0 −1 1 = 6 | × 1| 0 0, 6 0, 4 0 0 −1 1 = 6 0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 = 9 | × −0, 6| 0 −0, 6 −^0,6₃ −2 0 0 0 = −5, 4

0 0 0, 2 −2 0 −1 1 = 0, 6 Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 s6 Nilai Kanan B0 -1 0 −¹⁶₃₀M + ¹¹₃₀ ¹¹₃ M −⁴₃ 0 M 0 −2, 1M − 3, 6

B₁ 0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 9

B2 0 0 ¹₃ −⁵₃ 1 0 0 1,5

B3 0 0 0,2 -2 0 -1 1 0,6

Iterasi 2

Menetukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 s6 Nilai Kanan Rasio

B0 -1 0 ⁻¹⁶₃₀ M +¹¹₃₀ ¹¹₃ M −⁴₃ 0 M 0 −2, 1M − 3, 6

B1 0 1 ¹₃ ¹⁰₃ 0 0 0 9 9/(1/3)=27

B₂ 0 0 ¹₃ ⁻⁵₃ 1 0 0 1,5 1,5/(1/3)=4,5

B3 0 0 0,2 -2 0 -1 1 0,6 0,6/0,2=3

Dari tabel, pada persamaan B0 terlihat bahwa −¹⁶₃₀M + ¹¹₃₀ (kolom 2) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 2 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 0, 6/0, 2 = 3 (baris 3) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 3 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah 0,2.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan _0,2¹ supaya koefisien x₂ bernilai 1. Supaya koefisien x₂ yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 0 dengan (−¹⁶₃₀M +¹¹₃₀) kali baris 3, kurangkan baris 1 dengan ¹₃ kali baris 3, kurangkan baris 2 dengan ¹₃ kali baris 3.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



Operasi baris elementer (OBE) : 1 0, 2B₃

2.9. METODE BIG M PADA KENDALA BERBENTUK PERTIDAKSAMAAN ≥ 33 Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ s₆ Nilai Kanan

Solusi ini belum optimal karena terdapat koefisien pada persamaan 0 yang bernilai negatif.

Iterasi 3

Menetukan Kolom Pivot dan Baris Pivot

No. Z x₁ x₂ s₃ s₄ s₅ s₆ Nilai Kanan Rasio

B₀ -1 0 0 −⁵₃M +⁷₃ 0 −⁵₃M + ¹¹₆ ⁸₃M − ¹¹₆ -0,5M-4,7

B₁ 0 1 0 ²⁰₃ 0 ⁵₃ −⁵₃ 8 8/(5/3) = 4, 8

B2 0 0 0 ⁵₃ 1 ⁵₃ −⁵₃ 0,5 0,5/(5/3)=0,3

B₃ 0 0 1 -10 0 -5 5 3

Dari tabel, pada persamaan B₀ terlihat bahwa −⁵₃M + ¹¹₆ (kolom 5) adalah bilangan yang paling negatif sehingga kolom 5 adalah kolom pivot. Pada kolom rasio, terlihat bahwa 0, 5/(5/3) = 0, 3 (baris 2) adalah bilangan paling kecil sehingga baris 2 adalah baris pivot. Sehingga elemen yang terletak pada baris pivot dan kolom pivot adalah ⁵₃.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bagi baris pivot dengan ⁵₃ supaya koefisien x5 bernilai 1. Supaya koefisien x5 yang lain bernilai 0, maka dapat dilakukan operasi baris elementer yaitu : kurangkan baris 0 dengan (−⁵₃M + ¹¹₆ ) kali baris 2, kurangkan baris 1 dengan ⁵₃ kali baris 2, jumlahkan baris 3 dengan lima kali baris 2.

Lebih jelasnya adalah mengubah kolom pivot



Operasi baris elementer (OBE) : 1 5/3B2

0 0 0 ⁵₃ 1 ⁵₃ −⁵₃ = 0, 5 | ×_5/3¹ | 0 0 0 1 ³₅ 1 −1 = 0, 3 Operasi baris elementer (OBE) : B₀− (−⁵₃M +¹¹₆ )B₂

−1 0 0 −⁵₃M + ⁷₃ 0 −⁵₃M +¹¹₆ ⁸₃M −¹¹₆ = −0, 5M − 4, 7 | × 1|

0 0 0 1 ³₅ 1 −1 = 0, 3 | × −(−⁵₃M + ¹¹₆)|

−1 0 0 −⁵₃M +⁷₃ 0 −⁵₃M + ¹¹₆ ⁸₃M −¹¹₆ = −0, 5M − 4, 7 0 0 0 ⁵₃M −¹¹₆ M −³³₃₀ ⁵₃M − ¹¹₆ −⁵₃M +¹¹₆ = 0, 5M −³³₆₀

−1 0 0 ¹₂ M − 1, 1 0 M = −5, 25 Operasi baris elementer (OBE) : B1−⁵₃B2

0 1 0 ²⁰₃ 0 ⁵₃ −⁵₃ = 8 | × 1| 0 1 0 ²⁰₃ 0 ⁵₃ −⁵₃ = 8 0 0 0 1 ³₅ 1 −1 = 0, 3 | × −⁵₃| 0 0 0 −⁵₃ −1 −⁵₃ ⁵₃ = −0, 5

0 1 0 5 −1 0 0 = 7, 5 Operasi baris elementer (OBE) : B3+ 5B2

0 0 1 −10 0 −5 5 = 3 | × 1| 0 0 1 −10 0 −5 5 = 3

0 0 0 1 ³₅ 1 −1 = 0, 3 | × 5| 0 0 0 5 3 5 −5 = 1, 5 0 0 1 −5 3 0 0 = 4, 5 Sehingga diperoleh tabel yang baru adalah :

No. Z x1 x2 s3 s4 s5 s6 Nilai Kanan

B0 -1 0 0 0,5 M-1,1 0 M -5,25

B₁ 0 1 0 5 -1 0 0 7,5

B₂ 0 0 0 1 0,6 1 -1 0,3

B3 0 0 1 -5 3 0 0 4,5

Selesai iterasi 3, terlihat bahwa solusinya x1 = 7, 5 dan x2 = 4, 5 dengan nilai Z = 0, 4(7, 5) + 0, 5(4, 5) = 5, 25. Solusi ini optimal karena tidak terdapat koefisien pada persamaan 0 yang bernilai negatif.

Bab 3

Teori Dual

Dalam suatu masalah optimisasi, selalu terdapat hubungan mana yang akan dimaksimumkan dan mana yang akan diminimumkan. Hubungan maksimum dan minimum dapat diselidiki melalui teori dual yang akan dibahas pada buku ini.

3.1 Hubungan Masalah Primal dan Masalah Dual

Konsep duality adalah mengenai hubungan antara bentuk program linear (misal masalah maksi-malisasi) dengan mengubah menjadi program linear yang lainnya (misal masalah minimaksi-malisasi).

Hubungan masalah primal dan masalah dual adalah sebagai berikut : Masalah Primal

max Z =Pn

j=1c_jx_j (3.1)

dengan kendala

Pn

j=1a_ijx_j ≤ b_i i = 1, 2, . . . , m (3.2)

x_j ≥ 0 j = 1, 2, . . . , n (3.3)

Masalah Dual

min W =Pm

i=1b_iy_i (3.4)

dengan kendala

Pm

i=1a_jiy_i ≥ c_j j = 1, 2, . . . , n (3.5)

y_i ≥ 0 i = 1, 2, . . . , m (3.6)

Contoh :

Diketahui program linear sebagai berikut :

max Z = 3x₁+ 5x₂ 35

dengan kendala

x1 ≤ 4 2x₂ ≤ 12 3x₁+ 2x₂ ≤ 18

x₁ ≥ 0, x₂≥ 0

Ubahlah menjadi masalah minimalisasi menggunakan teori dual.

Jawab :

min W = 4y1+ 12y2+ 18y3

dengan kendala

y₁+ 3y₃ ≥ 3 2y₂+ 2y₃ ≥ 5 y1≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃≥ 0 Contoh : Diketahui program linear sebagai berikut :

min Z = 3x₁+ 5x₂ dengan kendala

x1 ≥ 2 3x2 ≥ 9 3x1+ 2x2 ≥ 18

x1 ≥ 0, x₂≥ 0

Ubahlah menjadi masalah maksimalisasi menggunakan teori dual.

Jawab :

max W = 2y₁+ 9y₂+ 18y₃ dengan kendala

y1+ 3y3 ≤ 3 3y2+ 2y3 ≤ 5 y₁≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃≥ 0

3.2 Mengubah Masalah Maksimalisasi Menjadi Masalah Minimal-isasi

Contoh :

Terdapat tiga pabrik yaitu : pabrik A, pabrik B, dan pabrik C. Ketiga pabrik tersebut memproduksi kaca pintu dan kaca jendela.

3.2. MENGUBAH MASALAH MAKSIMALISASI MENJADI MASALAH MINIMALISASI 37 Aturan produksi pada masing-masing pabrik adalah :

Pabrik A memproduksi kaca pintu dengan waktu produksi 1 jam. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik A adalah maksimum 4 jam.

Pabrik B memproduksi kaca jendela dengan waktu produksi 2 jam. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik B adalah maksimum 12 jam.

Pabrik C memproduksi kaca pintu dengan waktu produksi 3 jam dan kaca jendela dengan waktu produksi 2 jam. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik C adalah maksimum 18 jam.

Pabrik C memproduksi kaca pintu dengan waktu produksi 3 jam dan kaca jendela dengan waktu produksi 2 jam. Secara umum, waktu produksi pada Pabrik C adalah maksimum 18 jam.