Analytical Hierarchy Process (AHP) - 2. LANDASAN TEORI. Universitas Kristen Petra

Analytical hierarchy process (AHP) dikembangkan oleh Prof. Thomas L.

Saaty pada tahun 1970-an. AHP adalah metode yang cukup fleksibel dan mudah

keputusan ke dalam komponen-komponennya (kriteria, sub-kriteria dan alternatif). Metodologi AHP dapat memasukkan baik faktor-faktor subyektif maupun faktor-faktor obyektif dalam proses evaluasi pengambilan keputusan.

(Ababutain, 2002)

Konsep dasar pengambilan keputusan dengan cara AHP terdiri dari 4 (empat) prinsip utama yaitu (Saaty dan Kearns, 1991) :

1. Prinsip identity dan decomposition

2. Prinsip discrimination dan comparative judgement 3. Prinsip synthesis of priorities

4. Prinsip logical consistency

2.7.1. Prinsip identity dan decomposition

Prinsip identity dan decomposition merupakan proses untuk mendefinisikan permasalahan dan menyusun struktur hirarki permasalahan dengan jalan mendekomposisi (memecah-mecah) permasalahan menjadi unsur-unsur yang lebih kecil. Pada umumnya struktur hirarki disusun mulai dari dari tingkat paling tinggi yaitu tujuan yang akan dicapai , kemudian dilanjutkan dengan beberapa tingkat yang berisi kriteria-kriteria dimana masing-masing kriteria dapat didekomposisi lagi menjadi sub kriteria – sub kriteria pada tingkat-tingkat berikutnya dan ditutup dengan daftar alternatif penyelesaian permasalahan pada paling bawah.

Sebagai contoh diambil struktur hirarki permasalahan memilih apartemen terbaik yang dimodifikasi dari Gunther (2005) di antara 3 (tiga) alternatif pilihan apartemen seperti Gambar 2.9.

2.7.2. Prinsip discrimination dan comparative judgement

Dalam AHP proses penilaian dilakukan dengan cara membandingkan antara dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkat di atasnya yang disebut pairwise comparison.

Memilih apartemen

terbaik

tujuan

Harga sewa

Luas Kondisi

apartemen

Lokasi

kriteria

Aptmt 1 Aptmt 2 Aptmt 3 alternatif

Gambar 2.9. Contoh hirarki AHP (Gunther, 2005)

Matrik pairwise comparison ini dinyatakan dalam bentuk matrik bujursangkar Anxn sebagai berikut

a11 a12 . . a1n

a21 a22 . . a2n

A = . . . . . (2.3)

. . . . . an1 an2 . . ann

dimana n menyatakan jumlah elemen yang diperbandingkan dan nilai aij pada matrik A menyatakan bahwa elemen pada baris ke-i aij kali lebih penting / lebih kuat / lebih disukai / lebih mendominasi / lebih mempengaruhi dibanding elemen kolom ke-j terhadap suatu kriteria tertentu dengan ketentuan bahwa : (Saaty dan Setiono, 1991)

1) aii = 1 , untuk setiap i=j (2.4)

2) aij = ---- (2.5)

aji

Untuk mengisi matrik A , Saaty dan Kearns (1991) mengusulkan nilai skala 1-9 untuk menyatakan preferensi pengambil keputusan seperti Tabel 2.10.

dan nilai reciprocal-nya yang menunjukkan bahwa jika elemen i adalah aij kali

Tabel 2.10. Skala pairwise comparison (Saaty dan Kearns, 1991) Tingkat

Kepentingan

Definisi Penjelasan

1 Kedua elemen sama pentingnya Kontribusi kedua elemen sama besar pada tujuan

3 Elemen yang satu sedikit lebih penting dibanding elemen lain

Pengalaman dan penilaian sedikit lebih mendukung satu elemen dibanding lainnya

5 Elemen yang satu lebih penting dibanding elemen lain

Pengalaman dan penilaian dengan kuat mendukung satu elemen dibanding lainnya

7 Elemen yang satu sangat penting dibanding elemen lain

Satu elemen sangat dominan dibanding elemen lain

9 Elemen yang satu mutlak penting dibanding elemen lain

Satu elemen terbukti sangat tinggi tingkat kepentingannya dibanding elemen lain

2,4,6,8 Nilai-nilai antara diantara dua pertimbangan yang berdekatan

Nilai kompromi diantara 1,3,5,7 & 9

Sebagai contoh misalnya pengambil keputusan membuat matrik pairwise comparison untuk hirarki pada Gambar 2.9 dari alternatif pilihan apartemen 1,2 dan 3 terhadap kriteria harga sewa, luas , kondisi apartemen dan lokasi dengan nilai skala seperti Gambar 2.10. Pada masing-masing matrik, pengambil keputusan membuat sebanyak 3 x (3-1) / 2 = 3 pembandingan sedangkan enam nilai lainnya otomatis adalah nilai kebalikannya , dan nilai pada diagonal utama semuanya sama dengan 1 (satu).

Harga

Sewa Aptmt 1 Aptmt 2 Aptmt 3 Luas Aptmt 1 Aptmt 2 Aptmt 3

Aptmt 1 1 3 7 Aptmt 1 1 2 1/4

Aptmt 2 1/3 1 5 Aptmt 2 1/2 1 1/6

Aptmt 3 1/7 1/5 1 Aptmt 3 4 6 1

Kondisi

Apartemen Aptmt 1 Aptmt 2 Aptmt 3 Lokasi Aptmt 1 Aptmt 2 Aptmt 3

Aptmt 1 1 4 1/2 Aptmt 1 1 1/3 2

Aptmt 2 1/4 1 1/5 Aptmt 2 3 1 6

Aptmt 3 2 5 1 Aptmt 3 1/2 1/6 1

Gambar 2.10. Contoh matrik pembandingan (Gunther, 2005)

2.7.3. Prinsip synthesis of priorities

Matrik pairwise comparison yang ada pada setiap tingkat masing-masing dihitung nilai eigenvector-nya untuk mendapatkan local vector priority yang menyatakan bobot relatif dari sekumpulan alternatif / kriteria terhadap kriteria induk setingkat di atasnya. Local vector priority ini dapat dihitung secara numerik dengan teori matrik yaitu dengan menghitung terlebih dahulu nilai eigenvalue maksimumnya. Perhitungan nilai eigenvector matrik pairwise pada Gambar 2.10 ditampilkan pada Tabel 2.11 : (Gunther, 2005)

Tabel 2.11. Nilai eigenvector (local vector priority) (Gunther, 2005) Harga

sewa Luas Apartement^Kondisi Lokasi Aptmt 1 0.649 0.193 0.222 0.333 Aptmt 2 0.279 0.106 0.667 0.097 Aptmt 3 0.072 0.701 0.111 0.57

Total 1 1 1 1

Selain perhitungan secara numerik dengan teori matrik, Saaty dan Kearns (1991) juga mengusulkan cara pendekatan untuk menghitung pembobotan relatif menggunakan geometric mean. Matrik Anxn pada persamaan (2.3) dapat ditulis dengan cara lain sebagai berikut :

(2.4)

dimana aij = wi / wj dan wi / wj menyatakan perbandingan bobot atau intensitas elemen baris ke-i terhadap kolom ke-j.

Pendekatan nilai komponen eigenvector untuk matriks A pada persamaan

w1 w1 … w1

w1 w2 … wn

w2 w2 … w2

A = w₁ w₂ … w_n

: : : :

w_n w_n … w_n

w1 w2 … wn

w1 w1 … w1

Setelah dinormalisasi dengan persamaan 2.6 didapatkan local vector of priorities X sebagai berikut :

x1 = a / Total ; x2 = b / Total ; ... ; xn = c / Total

dan X = (x1,x2,…,xn)^T (2.6)

Proses synthesis of priorities ini dilakukan pada seluruh level dan elemen di dalam hirarki, misalkan dalam contoh kasus Gambar 2.9 pada level kriteria pembuat keputusan mempunyai preferensi pairwise comparison dari berbagai kriteria terhadap tujuan utama memilih apartemen terbaik sebagai berikut (beserta dengan nilai eigenvector-nya pada kolom paling kanan) :

Tabel 2.12. Contoh matrik pembandingan untuk kriteria (Gunther, 2005) Memilih

apartemen terbaik

Harga

sewa Ukuran apartemen^Kondisi Lokasi

Eigen-vector Harga

sewa 1 5 3 1/2 0.320

Ukuran

apartemen 1/5 1 2 1/5 0.103

Kondisi

1/3 1/2 1 1/5 0.082

(2.5)

Setelah proses pairwise comparison selesai dilakukan untuk seluruh level, maka dilakukan proses agregasi seperti Gambar 2.10, dimana untuk contoh kasus pemilihan apartemen di atas pilihan terbaik jatuh pada Apartemen 2 dengan nilai 0.438.

bobot harga

sewa ukuran apartemen^kondisi lokasi

harga

sewa 0.320

ranking prioritas apartemen

1 0.649 0.193 0.333 0.222 ukuran 0.103

apartemen

1 0.365

apartemen

2 0.279 0.106 0.097 0.667 x apartemen^kondisi 0.082 =

apartemen

2 0.438

apartemen

3 0.072 0.701 0.570 0.111 lokasi 0.495

apartemen

3 0.197

score matrix 3x4 weight matrix 4x1 rank matrix 3x1

Gambar 2.10. Proses agregasi

2.7.4. Prinsip logical consistency

Salah satu kelebihan metode AHP dibanding metode MADM lainnya adalah adanya uji konsistensi terhadap matrik pairwise comparison yang dibuat pembuat keputusan pada setiap tingkat. Prinsip konsistensi ini menurut Saaty (1990) berhubungan erat dengan konsep eigenvector dalam matrik pairwise comparison sebagaimana dijelaskan dalam pembahasan di bawah ini.

Bila matrik A = (aij) adalah suatu matrik pairwise comparison yang menyatakan kekuatan suatu elemen Ci dibanding dengan Cj dalam suatu hirarki , maka karena matrik A bersifat reciprocal berlaku aji = 1 / aij . Jika penilaian pembuat keputusan dalam matrik pairwise comparison sempurna maka berlaku aik=aij.ajk untuk setiap i,j,k = 1,…,n. Matrik demikian ini dikatakan matrik konsisten. (Saaty, 1990). Elemen-emen matrik A pada Persamaan (2.4) dapat dinyatakan dalam bentuk:

aij = --- untuk i,j = 1,…,n (2.7) wj

Ambil suatu matrik X = (x1,…,xn)^T dan Y = (y1,…,yn)^T yang menyatakan suatu matrik vektor yang dihubungkan dengan matrik A melalui persamaan A.X=Y

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ y₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n x₂ y₂

: : : : :

a1n a2n … ann x3 y3

x =

Elemen-elemen baris ke-i matrik X dan Y di atas dapat dituliskan sebagai :

n Σ aij.xi = yi untuk i=1,…,n (2.8)

j=1

Dari Persamaan (2.7) didapatkan bawah untuk setiap elemen baris pada Matrik A berlaku :

aij . --- = 1 untuk i,j = 1,…,n wi

dan setelah digabungkan dengan Persamaan (2.8) didapatkan : n 1

Persamaan (2.9) dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut :

w₁ w₁ … w₁

Berdasarkan teori matrik, jika λ1, … , λn adalah bilangan yang memenuhi persamaan matrik A.X = λ. X yang disebut juga sebagai eigenvalue matrik A, maka jika aii = 1 untuk semua i , berlaku :

Σ λi = n i=1

Untuk matrik konsisten dalam persamaan (2.9), maka semua nilai eigennya sama dengan nol kecuali n, sehingga n adalah nilai eigen terbesar (λmax) dari matrik A.

Dalam kenyataannya matrik pairwise comparison yang dibuat berdasarkan pertimbangan subyektif pengambil keputusan seringkali tidak konsisten (Saaty dan Setiono,1991), seperti contoh matrik A dan B pada Gambar 2.11 di bawah :

A1 A2 A3 B1 B2 B3

A1 1 1/2 1/4 B1 1 1/2 1/4

A2 2 1 1/2 B2 2 1 1/4

A3 4 2 1 B3 4 4 1

Matrik A Matrik B

Gambar 2.11. Matrik pairwise comparison konsisten dan tidak konsisten

Matrik A pada Gambar 2.11 adalah contoh matrik pairwise comparison yang konsisten, misalkan tinjau elemen-elemen matrik sebagai berikut : preferensi baris A2 terhadap kolom A3 ⇔ A2 = 1/2 A3 , kemudian A3 = 4 A1 maka kalau matrik tersebut konsisten berlaku A2 = 1/2 x 4 A1 = 2 A1 dan berlaku pada seluruh elemen pair-wise comparison matrik A.

Matrik B pada gambar 2.11 adalah contoh matrik yang tidak konsisten, sebagai contoh ambil B2 = 2 B1 , kemudian B1 = 1/4 B3 , maka kalau matrik itu konsisten seharusnya B2 = 2 x ¼ B3 = ½ B3, ternyata dalam matrik B pengambil keputusan mengatakan bahwa B2 lebih penting ¼ x dibanding B3 sehingga terjadi ketidak-konsistensian.

Saaty (1990) menyatakan bahwa makin dekat nilai eigen maksimum (λmax) suatu matrik pairwise comparison A terhadap nilai n, semakin konsisten matrik tersebut sehingga nilai eigen λ dapat dijadikan alat untuk mengukur tingkat

Saaty (1990) mengembangkan seperangkat alat untuk mengukur tingkat konsistensi suatu matrik pairwise comparison dengan perumusan sebagai berikut :

λmax - n

Consistency index , CI = --- (2.10) n - 1

dimana n menyatakan jumlah elemen yang diperbandingkan dalam matrik pairwise. Selanjutnya perlu dihitung nilai consistency ratio-nya menurut Persamaan (2.11).

Consistency ratio, CR = --- (2.11)

dimana R.I adalah random index yang nilainya diambil dari Tabel 2.13 :

Tabel 2.13. Tabel random index (RI) , Saaty (1990)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59

Saaty (1990) menyatakan bahwa untuk matrik pairwise comparison dengan nilai consistency ratio ≤ 10% dapat dianggap konsisten, sedangkan apabila nilai CR > 10%, maka penilaian pengambil keputusan dalam matrik pairwise comparison perlu diperbaiki.

Dalam contoh kasus matrik pairwise comparison pada Tabel 2.12 perhitungan nilai consistency ratio-nya dapat dihitung sebagai berikut :

nilai eigen matrik tersebut λmax = 4.1560137 dan n = 4 , dengan persamaan (2.10) didapatkan

CI = (4.1560137-4) / (4-1) = 0.052

dan berdasarkan persamaan (2.11) dan Tabel 2.8 dimana untuk n = 4, RI = 0.90 didapatkan

CR = 0.052 / 0.90 = 0.058 < 0.1

Dengan demikian matrik keputusan (pairwise comparison matrix) pada Tabel

Dalam dokumen 2. LANDASAN TEORI. Universitas Kristen Petra (Halaman 24-34)