Apabila T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A

Setengah Putaran

Teorema 3.13 Apabila T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A

sebuah titik tertentu maka A  T (L) jika dan hanya jika T^-1(A)  L.

Bukti:

Yang harus kita tunjukkan dalam hal ini dua hal, yaitu 1. Jika A  T(L) maka T^-1(A) L

T(L) = {Y |Y = T(X), X  L} dan diberikan A  T(L) maka ada X  L sehingga A = T(x). Akibatnya kita mendapatkan

2. Jika T^-1(A)  L maka A  T(L) Diberikan T^-1(A)  L, ini berarti bahwa T[T^-1(A)]  T(L)  (T _ T^-1)(A)  T (L) (A)  T (L)

Jadi, A  T (L)

Untuk memantapkan Teorema 3.13 Anda pelajari Contoh 3.3. Contoh 3.3

Diberikan L ={(x, y)| x² + 4y² = 16}, A(4, –3) dan B(3, 1). Jika g adalah sumbu x, selidiki apakah A  (_g_B)(L)?

Penyelesaian

(_g_B)^-1 = σ_B¹  μg ¹ = _B_g,

_B[(x, y)] = (2.3 – x, 2.1 – y) = (6 – x, 2 – y),  (x, y)  V

_g[(x, y)] = (x, –y),  (x, y)  V

maka (_g_B)^-1 [(x, y)] = (_B_g)[(x, y)] = _B[(_g(x, y)] = _B[(x, –y)] = (6 – x, 2 + y)

Sehingga (_g_B)^-1(A) = (6 – 4, 2 – 3) = (2, 1). Karena (2)² + 4(1)² = 4 + 4 = 8  16, maka (2, –1)  L atau (_g_B)^-1(A)  L. Berdasarkan Teorema 3.13, kita simpulkan bahwa A  (_g_B)(L).

Dengan mempelajari uraian-uraian di atas, Anda diharapkan memperoleh gambaran serta pemahaman yang cukup mengenai pengertian setengah putaran, sifat-sifat setengah putaran, dan persamaan setengah putaran.

 PEMA4213/MODUL 3 3.15

1) Diberikan tiga titik A, B, P tidak kolinear dan berbeda Lukis: a) A(P)

b) R sehingga _B(R) = P c) (AB)(P)

d) (_B_A)(P)

e) Apa yang Anda dapat simpulkan tentang AB dan BA. 2) Diberikan  ABC, jajaran genjang DEFG dan titik K seperti Gambar 3.8

di bawah ini.

Lukis: a) _K(ABC)

b) tentukan H sehingga H(DEFG) = DEFG

Gambar 3.8 3) Jika B(1, 3) tentukan:

a) _B(D) apabila D(–3, 4) b) E apabila B(E) = (–2, 5) c) _B(P) apabila P(x, y)

d) Persamaan garis g dan h sehingga _B = _g_h

4) Apabila C(–4, 3) dan g = {(x, y)| y = –x}, tentukan: a) (_g_C)[(2, –1)]

b) (gC)(P) jika P (x, y) c) (_g_C)^-1(P)

Apakah _g_C = _C_g? Jelaskan LAT IH A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi tersebut, kerjakanlah latihan berikut!

5) Diberikan tiga titik A, B dan C. Buktikan bahwa a) (_{A }_B)^-1 = _{B }_A

b) (_A_B_C)^-1 = _C_B_A

6) a) Apabila A(0, 0), B(–4, 1), tentukan K sehingga (_A  _B)(K) = (6, 2).

b) Apabila (_g  _A)(P) = R, nyatakanlah koordinat P dengan koordinat R

7) Diberikan titik A, B dan garis g sehingga A  g, B  g. Lukis: a) g = (_A_B)(g)

b) garis k sehingga (_A_B)(k) = g

8) Apabila g = {(x, y)|2x – 5y = 4) dan A(1, 4), selidiki apakah C(–1, 6)

 g = _A(g)? Tentukan pula persamaan g.

9) Apabila Q titik tengah PR, buktikan bahwa _{Q }_P = _{R }_Q. 10) Buktikan:

a) Apabila g // h maka _g_h tidak memiliki titik invarian

b) Apabila A  g, g suatu garis maka A  g tidak memiliki titik invarian.

11) Diberikan  ABC, garis g dan titik K dengan K  g dan K di luar

ABC. Tentukan semua pasang titik X dan Y dengan X  g dan Y  ABC sehingga K titik tengah XY.

Petunjuk Jawaban Latihan

Untuk mengetahui apakah Anda telah mengerjakan latihan dengan benar, silakan cocokkan jawaban Anda dengan petunjuk latihan di bawah ini. 1) a) Misalkan _A(P) = Q, diketahui P  A, maka A titik tengah PQ .

Hubungkan titik A dengan P didapat AP, perpanjang AP ke arah A sampai Q, sehingga AQ = AP.

 PEMA4213/MODUL 3 3.17

b) Karena _B(R) = P maka σ _B¹ [_B(R)] = σ _B¹ (P). (σ _B¹ __B)(R) = _B (P).

 R = _B(P). Cara melukis R = _B(P) serupa dengan a).

c) (_A_B)(P) = _A[_B(P), berdasarkan b) _B (P) = R, = _A(R).

Misalkan S = _A(R), dengan cara seperti a) Anda mendapatkan titik S, sehingga S = (_A_B)(P).

d) (_B_A)(P) = _B[_A(P)], berdasarkan a) _A(P) = Q = _B(Q)

Misalkan X = _B (Q) dengan cara seperti a) Anda dapatkan titik X sehingga X = (_B_A)(P).

e) Berdasarkan hasil lukisan c) dan d) dapat disimpulkan bahwa

_A_B_B_A sebab S  X.

Gambar 3.9

2) a) Untuk _K(ABC), Anda lakukan _K(A) = A, _K(B) = B dan

K(C) = C maka K(ABC) = ABC.

b) Karena DEFG jajaran genjang, misalkan {H} = DF GE maka

_H(D) = F, _H(E) = G, _H(F) = D dan _H(G) = E. Akibatnya,

_H(DEFG) = FGDE = DEFG. Jadi, H titik potong diagonal DF dan GE.

3) a) _B(D) = _(1,-3)[( –3, 4)] = (2.1 + 3, 2(–3) – 4) = (5, –10). b) _B(E) = (–2, 5)  1 B σ [_B(E)] = σ _B¹[(–2, 5)]  (σ _B¹ __B) (E) = _B [(–2, 5)], karena σ _B¹ = _B  E = _B[(–2, 5)] = (2.1 + 2, 2(–3) – 5) = ( 4, –11). c) _B(P) = _B[(x, y)] = (2.1 – x, 2(–3) – y) = (2 – x, –6 – y),  P (x, y). d) Terdapat tak hingga garis g dan h yang memenuhi _B = _{g } _h

asalkan g  h dan {B} = g  h. Salah satu contohnya adalah g = {(x, y)| y = ax – (a – 3)}, h= {(x, y)| ay + x – 3a – 1 = 0}. Secara umum dapat ditulis:

g = {(x, y)| y –ax + a – 3 = 0}, h = {(x, y)| ay + x – 3a – 1 = 0}

4) a) _C(P) = (–8 – x, 6 – y),  P (x, y) dan _g(P) = (–y, –x) maka (_g_C)[(2, –1)] = _g[_C(2, –1)] = _g(–10, 7) = (–7, 10) b) (_g_C)(P) = _g[_C(P)} = _g [(–8 – x, 6 – y)] = (y – 6, x + 8). c) (_{g } _C)^-1(P) = (σ _C¹ _ 1 g μ )P = (_{C } _g)(P) = _C[_g(P)] = _C[(–y, –x)] = (–8 + y, 6 + x). Karena (y – 6, x +8)  (–8 + y, 6 + x),  x, y  R, R himpunan bilangan real maka

_g_C_C_g. 5) a) (_A_B)^-1 = σ _B¹ _ 1 A σ = _B_A b) (A BC)^-1 = [(AB) _o C]^-1 = σ _C¹ _o (AB)^-1 = _{C o} (σ _B¹ _ 1 A σ ) = _{C o} (_B_A) = _C_B_A. 6) a) (_{A }_B)(K) = (6, 2) maka K = (_B_A)[(6, 2)] = _B[_A(6, 2)] = _B(–6, –2) = (–8 + 6, 2 + 2) = (–2, 4) b) Karena (_g_A)(P) = R maka P = (_A_g)(R) .

7) a) Untuk melukis g = (_{A o} _B )(g), Anda ambil titik C dan D pada g kemudian Anda cari (_A_B)(C) dan (_A_B)(D).

Misalkan (AB)(C) = C dan (AB)(D) = D maka g = C D . (lihat Gambar 3.11)

b) (A  B)(k) = g maka k = (B  A)(g), dengan cara yang sama seperti lukisan a) Anda akan sampai pada salah satu contoh lukisan.

 PEMA4213/MODUL 3 3.19

Gambar 3.11 8) A(1,4) A((x,y)) = (2 – x, 8 – y), (x,y)  V

(2,0) dan (–3, –2)  g. A(2,0) = (0,8) dan A(–3, –2) = (5,10) Persamaan garis g = ^{y 8} 10 8 ⁼ x 0 5 0  g : 2x – 5y = –40 C(–1,6)  2(–1) – 5(6) = -32  -40 Jadi C  g

9) Ambil sumbu x sebagai garis PR dan sumbu y adalah garis yang melalui Q tegak lurus PR. Misalkan P(–a, 0), R(a, 0) maka Q (0,0). Ambil S(x, y)  V. Kemudian Anda cari

(QP)(S) = Q[p(S)] = Q(–2a –x, 0 –y) = Q(–2a –x, –y)

= (2a + x, y) (1)

(R Q)(S) = R[Q(S)] = R(–x, –y) = (2a + x, y) (2)

Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa (_{Q o} _P)(S) = (R o Q)(S), S = (x, y). Jadi, Q o P = R o Q.

10) a) Ambil garis k tegak lurus g dan h, misalkan k  g = {A}, k  h = {B} maka gh = gh = g (kk) _oh

= (_{g }_k) _(_{k }_h) = AB

Karena Anda telah mengetahui bahwa _{A }_B tidak memiliki titik invarian maka gh, juga tidak memiliki titik invarian.

b) Misalkan ada titik invarian dari _{A } _g, yaitu X. Akibatnya (Ag) (X) = X  1 A σ _ (_A_g)(X) = σ (X) _A¹  [(σ_A¹__A)__g](X) = _A(x)  (g)(X) = A (X) _g(X) = _A (X)

Misalkan _g(X) = _A(X) = Y maka

A titik tengah XY (1)

g sumbu XY (2)

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan A  g. Terjadi kontradiksi dengan yang diketahui bahwa A  g. Akibatnya pengandaian X titik varian dari

Ag bernilai salah. Berdasarkan hal ini Anda simpulkan Ag tidak memiliki titik invarian.

11) Untuk mendapatkan titik X dan Y yang memenuhi syarat pada persoalan yang diberikan, Anda gunakan setengah putaran dengan pusat di titik K,

yaitu _K. Kemudian Anda cari _K(g), misalkan g = _K(g). Ambil Y  gABC. Kemudian kita cari K(Y), misalkan X = K(Y)

 g memenuhi persyaratan persoalan yang Anda hadapi.

Gambar 3.12

Pada lukisan tersebut terdapat dua pasang X dan Y yang memenuhi persoalan, sebab irisan dari g = _K(g) dengan  ABC terdiri dari dua titik. Anda dapat menganalisis, apabila irisan g dan ABC merupakan himpunan kosong. Bagaimana pasangan X dan Y itu? Apabila irisan g

dan  ABC merupakan himpunan yang terdiri dari satu unsur, bagaimana pasangan X dan Y itu? Mungkinkah irisan g dan  ABC merupakan himpunan yang terdiri dari lebih dari dua unsur? Berdasarkan analisis tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa pasangan X dan Y adalah 0, 1, dan 2 saja.

Mudah-mudahan pekerjaan Anda tidak terlalu jauh berbeda dengan rambu-rambu jawaban tersebut.

 PEMA4213/MODUL 3 3.21

1. Setengah putaran pada titik A adalah fungsi σ_A yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bilangan Euclides V sebagai berikut.

a. Apabila P = A, maka σA

 

P A

b. Apabila PA, maka σA

 

P Q sehingga A titik tengah ruas garis PQ .

2. Setengah putaran adalah suatu isometri.

3. Setengah putaran merupakan komposisi dari dua pencerminan dengan kedua cerminnya saling tegak lurus dan melalui pusat putaran.

4. Setengah putaran merupakan suatu involusi.

5. Setengah putaran hanya mempunyai satu titik invarian.

6. Persamaan setengah putaran: A(P) = (2a – x, 2b – y) jika P(x, y) dan A(a,b).

7. Setiap pencerminan pada garis mempunyai tak hingga titik invarian.

8. Setiap pencerminan pada garis merupakan suatu kolineasi. 9. Setiap setengah putaran merupakan suatu kolineasi. 10. Setiap setengah putaran merupakan dilatasi.

11. Komposisi dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda tidak memiliki titik invarian.

12. Jika diberikan titik A dan B sehingga A  B maka hanya ada satu buah setengah putaran yang memetakan A ke B.

13. Jika T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A sebuah titik tertentu maka A  T(L) jika dan hanya jika T^-1(A)  L.

1) Apabila A(–1, 4) dan g = {(x, y)| y = 2x – 1}, maka persamaan _A(g) adalah .... A. {(x, y)| 2x – y + 13 = 0} B. {(x, y)| 2x – y + 5 = 0} C. {(x, y)| 2x + y – 5 = 0} D. {(x, y)| 2x + y – 11 = 0} RA NG KUM AN T E S F OR MA TI F 1

2) Apabila L = {(x, y)| x² + (y – 3)² = 4}, garis g = {(x, y)| y = x} dan B(3, 2). Mana di antara pernyataan berikut yang benar?

A. (2, 5)  (_g_B) (L) B. (1, 1)  (gB) (L) C. (1, 4)  (_g_B) (L) D. (–2, –1)  (_{g }_B) (L) 3) Dari pernyataan: 1. untuk titik-titik A  B _A_B = _{B }_A

2. setiap setengah putaran adalah suatu isometri langsung 3. apabila g  h maka (_{A }_B)(g)  (_A_B) (h) yang bernilai benar adalah

A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3

4) Apabila diberikan titik F, garis g dan F  g, maka _F _g adalah .... A. tak mempunyai titik invarian

B. mempunyai satu titik invarian C. mempunyai dua titik invarian

D. mempunyai lebih dari dua titik invarian

5) Jika  ABC siku-siku di B maka _{A } _{B } _C mempunyai ... titik invarian

A. 0 B. 1

C. banyak tapi terhingga D. tak terhingga

6) Diberikan pernyataan 1. (_A_g)^-1 = _{A }_g 2. (AB)^-1 = BA 3. (_g_s)^-1 = _s_g

Pernyataan yang bernilai benar adalah .... A. 1 dan 2

B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2 dan 3

 PEMA4213/MODUL 3 3.23

7) Manakah di antara lukisan berikut yang menyatakan (YX)(Z) = Z?

A. B.

C. D.

8) Apabila A(4, 1) dan g = {(x, y)|y – x + 1 = 0}, maka persamaan g

sehingga _A(g) = g adalah .... A. {(x, y)| x – y – 5 = 0} B. {(x, y)| x + y + 5 =0} C. {(x, y)| y – x + 5 = 0} D. {(x, y)| x + y – 5 = 0}

9) Apabila S = {(x, y) |x² – y + 9 = 0}, garis h = {(x, y)| y = –x} dan B(–1, 2). Mana di antara pernyataan berikut yang benar?

A. (1, –2)  (_B_h) (S) B. (–2, 1)  (Bh) (S) C. (1, 1)  (_B_h) (S) D. (–5, 5)  (_B_h) (S) 10) Jika A  B, maka _A_B

A. tak memiliki titik invarian B. memiliki satu titik invarian C. memiliki dua titik invarian D. memiliki banyak titik invarian

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = ^{Jumlah Jawaban yang Benar} 100% Jumlah Soal

 PEMA4213/MODUL 3 3.25

Kegiatan Belajar 2