Ruas Garis Berarah
C. KELIPATAN RUAS GARIS BERARAH
Perkalian sebuah bilangan real dengan sebuah ruas garis berarah Anda pelajari melalui Definisi 3.7.
Definisi 3.7 Andaikan diberikan AB dan k suatu bilangan real. Apabila k > 0 maka k AB adalah AP sehingga P AB dan AP = k(AB). Apabila k < 0 maka k AB adalah AP dengan P anggota sinar yang berlawanan dengan AB sedangkan AP = |k|AB. Selanjutnya AP disebut kelipatan dari AB.
Untuk memantapkan pengertian kelipatan ruas garis berarah ini, Anda pelajari Contoh 3.5.
Contoh 3.5
Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti di bawah ini.
Gambar 3.18 Lukis: a) 1AB 2 b) 3 4 AB Penyelesaian a) Karena k = 1 2 > 0 maka 1
2 AB adalah AP sehingga P AB dengan AP = 1
2(AB). b) Karena k = 3
4 < 0 maka 3
4 AB adalah AQ sehingga Q anggota sinar yang berlawanan dengan AB, dengan AQ = 3
4 AB = 3 4AB.
Gambar 3.19
Dengan mempelajari uraian di atas, Anda diharapkan memperoleh gambaran yang jelas mengenai ruas garis berarah dan sifat-sifatnya.
PEMA4213/MODUL 3 3.31
Selanjutnya silakan Anda kerjakan latihan berikut dengan sungguh-sungguh.
1) Diberikan titik A, B, C, dan D serta tiap tiga titik tak ada yang segaris. Lukis: a) titik E sehingga CE
ABb) titik F sehingga DF
BA c) A(AB)2) Diberikan titik A, B, dan C yang tak segaris. Lukislah a) titik D sehingga AD = 3 AB
b) titik E sehingga AE = 4 3 AB c) titik F sehingga CF
2 AB3) Buktikan bahwa apabila AB
CD , maka AB = CD dan AB// CD atau AB= CD .4) Buktikan bahwa
a) Apabila P1(x1, y1), P2 (x2, y2) dan P3 (x3, y3) titik yang diketahui, maka titik P (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1) adalah titik tunggal sehingga
3
P P P P . 1 2
b) Apabila Pn (xn, yn), n = l, 2, 3, 4 maka P P 1 2
P P jika dan hanya 3 4 jika x2 – x1 = x4 – x3 dan y2 – y1 = y4 – y3.5) Diketahui A(2, 1), B(3, –4), dan C(–1, 5). Tentukan a) D sehingga CD
ABb) E sehingga AE
BC c) F sehingga AF
12 AC LAT IH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi tersebut, kerjakanlah latihan berikut!
6) Apabila A(1, 3), B(2, 7), dan C(–1, 4) titik-titik sudut jajaran genjang ABCD. Tentukan koordinat titik D.
7) Apabila A(–2, 4), B(h, 3), C(3, 0), dan D(5, k) titik-titik sudut jajaran genjang ABCD, tentukan nilai h dan k.
8) Diketahui garis g dan h sejajar. Titik P g sedangkan titik Q tidak pada g maupun h.
a.) Lukis P1 = (hg) (P) dan Q = (hg)(Q) b) Buktikan bahwa PQ P Q .
Petunjuk Jawaban Latihan
Untuk mengetahui apakah Anda telah mengerjakan latihan dengan benar, silakan cocokan jawaban Anda dengan rambu-rambu jawaban latihan di bawah ini:
1) a) Karena CE
AB maka AB
CE . Akibatnya P(A) = E dengan P titik tengah dari BC. Sehingga titik E diperoleh dengan cara mencari titik P sebagai titik tengah dari BC, kemudian mencari E sehingga E = P (A).b) Karena DF
BA, maka BA
DF. Akibatnya Q(B) = F dengan Q titik tengah AD. Sehingga titik F diperoleh dengan cara mencari titik Q sebagai titik tengah dari AD, kemudian mencari titik F sehingga F = Q(B).c) A(A) = A dan B = A(B) dengan A titik tengah BB maka
A
σ AB AB .
PEMA4213/MODUL 3 3.33
2) a) AD = 3AB, k = 3 > 0 maka D AB dan AD = 3(AB) b) AE = 4
3 AB, k = 4
3 < 0 maka E anggota sinar yang berlawanan dengan AB dan AE = 4
3 (AB) = 4 3(AB)
c) Misalkan AP = 2 AB , k = 2 > 0 maka P AB dan AP = 2 (AB). Karena CF 2 AB dan 2 AB = AP maka CF AP . Dengan cara yang serupa dengan soal No. 1 a) Anda
mendapatkan titik F.
Gambar 3.21 3) Kita perhatikan dua kasus, yaitu
a) apabila A, B dan C kolinear maka AB = CD , AB = CD
b) apabila A, B dan C tidak kolinear maka AB // CD , AB = CD (perhatikan Teorema 3.14). Jadi, apabila AB CD maka AB = CD dan AB // CD atau AB = CD .
4) a) Misalkan P(x, y), karena P P 3 P P dan misal R titik tengah 1 2 PP 1 maka koordinat x x1 y y1
R ,
2 2 (1)
Selanjutnya R(P3) = P2 atau R titik tengah P P sehingga diperoleh 2 3
2 3 2 3
x x y y
R ,
Dari (1) dan (2) didapat 2 3 2 3 1 1 x x y y x x y y , , 2 2 2 2 Jadi, x = x3 + x2 – x1 dan y = y3 + y2 – y1 P (x3 + x2 – x1 , y3 + y2 – y1)
b) Misal R titik tengah P P . Karena 2 3 P P1 2 P P maka R titik tengah 3 4
1 4 P P . Akibatnya, 2 3 2 3 1 4 1 4 x x y y x x y y R , , 2 2 2 2 Jadi, x2 + x3 = x1 + x4 dan y2 + y3 = y1 + y4 atau x2 – x1 = x4 – x3 dan y2 – y1 = y4 – y3 Diketahui x2 – x1 = x4 – x3 dan y2 – y1 = y4 – y3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 4 4 3 4 3 P P (x x ) (y y ) P P (x x ) (y y )
akibatnya P P1 2 P P3 4 (1) Koefisien arah dari P P adalah 1 2 2 12 1
y y
x x , koefisien arah dari P P 3 4 adalah 4 3
4 3
y y
x x P P // P P 1 2 3 4 (2) Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa P P1 2 P P . 3 4
5) a) Misalkan D (x, y), karena CD AB berdasarkan soal no. 4b),
didapat hubungan x – (–1) = 3 – 2 dan y – 5 = –4 – 1 sehingga x = 0 dan y = 0. Jadi, D (0, 0).
b) Misalkan E (x, y), karena AE BC dengan cara yang serupa seperti a), didapat hubungan: x – 2 = –1 – 3 dan y – 1 = 5 + 4 sehingga x = –2 dan y = 10. Jadi, C (–2, 10).
c) Karena AF 1 AC
2 , k > 0 maka F AC dan AF = 1AC
2 . Jadi, F titik tengah AC. Jadi F (1
PEMA4213/MODUL 3 3.35
6) Karena ABCD suatu jajaran genjang maka AB DC . Misalkan D(x, y)
maka didapat hubungan 2 – 1 = –1 – x dan 7 – 3 = 4 – y. Sehingga x = –2 dan y = 0. Jadi, D (–2, 0).
7) Karena ABCD suatu jajaran genjang maka AB DC . Sehingga diperoleh hubungan h + 2 = 3 – 5 dan 3 – 4 = 0 – k. Akibatnya h = –4 dan k = 1.
8) a) Misalkan g(P) = P1, h(P1) = P maka (h g)(P) = P. Misalkan
g(Q) = Q1, h(Ql) = Q maka (hg)(Q) = Q.
Gambar 3.22
b) Ambil sumbu x adalah garis melalui P tegak lurus g. Akibatnya sumbu x adalah PP . Ambil sumbu y adalah garis g sehingga g = [(x, y)| x = 0] dan P (0,0). Misalkan Q (x0, y0) dan h = {(x, y)| x = a}. Akibatnya g [(x, y)] = (–x, y). Sedangkan h[(x, y)] = (2a – x, y). Akibatnya P = (hg)(P) = h[g(P)] = h(P) = (2a,0). Q = (hg)(Q) = h[g(Q)] = h(–x0 , y0) = (2a + x0, y0)
PQ = x20 y20 dan PQ = (2a 2a x )0 2 (0 y )0 2
2 2 0 0
x y . Jadi, PQ = PQ (1) Karena koefisien arah PQ adalah 0
0
y
x sedangkan koefisien arah P Q adalah 0 0 0
0 0 0
y y y
Berdasarkan (1) dan (2) maka PQQP suatu jajaran genjang. Akibatnya PQ P Q
Diharapkan semua jawaban Anda tidak jauh berbeda dengan rambu-rambu jawaban di atas.
1. Ruas garis berarah berbeda dengan ruas garis. Ruas garis berarah salah satu ujungnya disebut titik pangkal dan lainnya titik akhir. AB ruas garis berarah dengan pangkal titik A dan akhir titik B.
2. Relasi ““ merupakan relasi ekuivalen pada himpunan semua ruas garis berarah.
3. Titik-titik A, B, C dan D memenuhi AB CD jika dan hanya jika ABDC jajaran genjang.
4. Jika diberikan titik P dan AB, maka ada titik Q yang tunggal sehingga PQ AB
5. a. Ke AB adalah AP sehingga P AB dan AP ke AB untuk
k 0
b. Ke AB adalah AP dengan P anggota sinar yang berlawanan dengan AB sedangkan AP k AB untuk k 0.
1) Diberikan 3 titik tidak kolinear A, B dan C. Lukisan manakah yang mewakili titik D sehingga 2 AC DB
5 .
A.
RA NG KUM AN
TES F ORM AT IF 2
PEMA4213/MODUL 3 3.37
B.
C.
D.
2) Diberikan A (0, 0), B (5, 4), dan C (–2, 4). Koordinat titik D sehingga CD BA adalah ....
A. (–1, –6) B. (–3, 0) C. (–7, 0) D. (–2, –7)
3) Apabila A (–h, –k), B (5, –2 3), C (k, 8 3), dan D (–9, h). Nilai h dan k sehingga segiempat ABCD membentuk jajaran genjang adalah .... A. h = –2 – 5 3, k = 2 – 5 3
B. h = 2 + 5 3, k = –2 + 5 3 C. h = 2 – 5 3, k = –2 – 5 3 D. h = –2 + 5 3, k = 2 + 5 3
4) Diberikan A (1, 1), B (1, –2), dan C (0, 3). Koordinat D sehingga AD 2 BC adalah .... A. (–1, 11) B. (1, 7) C. (–1, 7) D. (1, 11)
5) Diberikan pernyataan: 1. σ (AB)A σ (AB) B
2. A = B(A) maka AA 2AB 3. A( AB ) = BA
Pernyataan yang bernilai benar adalah .... A. 1 dan 2
B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3
6) Apabila diberikan AB CD , dan pernyataan-pernyataan 1. AC = BD
2. AD BC 3. AB // CD
Pernyataan yang benar adalah ... A. 1 dan 2
B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3
7) Diberikan titik B (0, 1), C (1, 0) dan E (3, –2). Koordinat titik D sehingga DC BE adalah ....
A. (–2, 3) B. (2, 3) C. (2, –3) D. (–2, –3)
8) Apabila A (6, 2), B (1, –k), C (k, h), dan D (–h, l) maka nilai h dan k sehingga AC BD adalah ....
A. h = –4, k = 1 B. h = –l, k = 4
PEMA4213/MODUL 3 3.39
C. h = 4, k = 1 D. h = l, k = –4
9) Diberikan A (0, 1), B (2, 0), C (3, –3). Koordinat titik D sehingga 1 AC DB 3 adalah .... A. (–12, 11) B. (11, –12) C. (–11, 12) D. (12, –11) 10) Diberikan pernyataan 1. AB BA
2. A = σB(A) maka AA 2AB
3. B = (AB)(B), A = (AB)(A) maka A B AB Pernyataan yang benar adalah ....
A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 11) A. misalkan (x0, y0) g y0 = 2x0 – 1 (1) (x, y) = A(x0, y0) = (–2 – x0, 8 – y0) (Teorema 3.5)
x0 = –2 – x dan y0 = 8 – y (2) Dari (l) dan (2) didapat: A(g) = {(x, y)|2x – y + 13 = 0} 2) C. (Bg) (x, y) = [B(g(x,y)] = B(y,x) = (6 – y, 4 – x)
A Sehingga (Bg) (2, 5) = (1, 2) L (2, 5) (gB)(L) B (Bg) (1, 1) = (5, 3) L (1, 1) (gB)(L)
C (Bg) (1, 4) = (2, 3) L (1, 4) (gB)(L) D (Bg)( –2, –1) = (7, 6) L (–2, –1) (gB)(L) 3) B. Alasan 1 jelas bernilai salah, sedangkan 2 dan 3 jelas bernilai benar. 4) D. Fg dengan F g maka
Fg = (μl g) g, l g, {F} = l g = μl (gg)
= μl
= μl
Jadi, Fg mempunyai tak hingga titik invarian.
5) B. ABC siku-siku di titik B maka (perhatikan gambar 3.23)
ABC = (n k) (k μl) (μl m) = nm
= D
Jadi, ABC mempunyai satu titik invarian.
Gambar 3.23 6) C. Alasan sudah jelas
PEMA4213/MODUL 3 3.41
8) A. Misal (x0, y0) g y0 = x0 – 1 (1) Karena A(g) = g g = A(g)
A(x0, y0) = (8 – x0, 2 – y0) = (x, y) maka
x0 = 8 – x dan y0 = 2 – y (2) Dari (1) dan (2) didapat: g = {(x, y)| x – y – 5 = 0}
9) B. (hB) (x, y) h(–2 –x, 4 – y) = (y – 4, x + 2) sehingga (hB)(1, –2) = (–6, 3) S (1, –2) (Bh)(S) (hB)( –2, 1) = (–3, 0) S (–2, 1) (Bh)(S) (hB)(1, 1) = (–3, 3) S (1, 1) (Bh)(S) (hB)( –5, 5) = (1, –3) S (–5, 5) (Bh)(S) 10) A. A B = (μl m) (m n) dengan m = AB, l m, n m, l m = {A}, n m = {B}. AB = μl m, l // n, l n.
Jelas μl n tidak mempunyai titik invarian Tes Formatif 2
1) A. Alasan cukup jelas
2) C. Gunakan teori pada soal latihan 4b) dengan CD BA . Didapat koordinat D (–7, 0).
3) B. Karena ABCD jajaran genjang maka AB DC . Gunakan lagi teori pada soal latihan 4b) didapat h = 2 + 5 3 dan k = –2 + 5 3. 4) A. Misal 2BC BE E (–l, 8) (ingat C titik tengah BE).
Sehingga AD BE berdasarkan teori pada soal latihan No. 4b) didapat koordinat D (–1, 11)
5) A. 1 dan 2 jelas bernilai benar sedangkan 3 jelas salah. 6) B. Karena AB CD ABDC jajaran genjang.
jelas AC BD dan AB //CD benar, tetapi AD BC salah sebab AD & BC diagonal ABDC.
7) A. Gunakan teori pada soal latihan 4b) didapat koordinat D (–2, 3). 8) C. Gunakan teori pada soal latihan 4b) didapat
k – 6 = –h – 1 dan h – 2 = 1 + k
9) B. Misalkan DE 1DB
3 , dengan D (x0, y0) maka E 4x0 2 4y0
,
3 3 AC DE didapat koordinat D(11, –12). 10) C. Jelas bahwa 1 bernilai salah sedangkan 2 dan 3 bernilai benar.
PEMA4213/MODUL 3 3.43
Daftar Pustaka
Eccles, Frank M. (1971). An Introduction to Transformational Geometry.Phillips Academy, Andorn, Massachusetts: Addison Wesley Company. Martin, George E. (1982). Transformation Geometry: An Introduction to
Symmetry. New York: Springer, Verlag