Masalah campuran atau larutan ini adalah masalah umum yang banyak terjadi dalam bidang kima. Pertimbangkanlah sebuah tangki yang pada awalnya menampung sebanyak galon larutan atau air garam (brine) yang berisi Ib garam. Dan suatu larutan lainnya, yang berisi Ib garam per galon, kemudian dituangkan kedalam tangki tersebut pada laju galon per menit.
Sementara itu secara simultan, larutan yang diaduk secara merata tersebut juga dialirkan keluar dari tangki tersebut pada laju galon per menit. Problemnya ssekaranga adalah bagaimana kita menentukan jumlah garam yang ada pada tangki tersebut pada suatu waktu tertentu ?
Misalkan menyatakan jumlah (dalam pounds) garam didalam tangki pada suatu waktu . Laju waktu perubahan dari , yaitu , sama dengan laju dimana garam memasuki tanki tersebut minus laju dimana garam meninggalkan tangki. Garam memasuki tangki pada laju Ib per menit. Untuk menentukan laju dimana garam meninggalkan tangki, pertama-tama kita harus menghitung volume dari larutan garam (brine) pada tangki pada suatu waktu , yang mana volume awalnya adalah plus volume larutan garam yang ditambahkan minus volume larutan garam yang dialirkan . Oleh karenanya, volume larutan garam pada suatu waktu adalah ,
+ −
Konsentrasi dari garam didalam tangki pada suatu waktu adalah /( + − ), yang mana diikuti bahwa garam meninggalkan tangki pada laju,
lb per menit
maka, garam. Pada saat = 0, air murni dituangkan kedalam tangki tersebut dengan laju 5 galon per menit., sementara campuran yang diaduk dengan baik tersebut juga dialirkan dan dikeluarkan dari tangki tersebut dengan laju yang sama. Hitunglah jumlah garam yang ada dalam tangki
Pada saat = 0, kita diberikan bahwa = = 20. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini pada persamaan diatas, maka kita dapatkan bahwa = 20. Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan kembali menjadi :
= 20
Catatan :
Ketika → ∞, → 0 seperti yang seharusnya, karena hanya ada air murni yang ditambahkan pada tangki tersebut.
Contoh 2 :
Sebuah tangki pada awalnya berisi 120 galon air asin, yang mengandung 75 pound garam yang terlarut dalam campuran. Air garam yang mengandung 1,2 pound garam per galon dimasukkan kedalam tangki tersebut dengan laju 2 galon per menit. Sementara air asin keluar dari tangki tersebut juga dengan laju yang sama. Jika campurannya dipertahankan seragam dengan adukan yang konstan. Tentukan jumlah garam yang ada dalam tangki setelah waktu 1 jam.
Penyelesaian :
Andaikan sebagai jumlah pound garam dalam tangki pada akhir menit. Dari aliran masuk air asin, tangki memperoleh 2,4 pound garam per menit; dan dari aliran keluar, tangki kehilangan
pound per menit. Jadi,
= 2,4 − 1 60
Pada saat = 0, = 75. Persamaan diatas dapat dituliskan menjadi,
+ 1 60 = 2,4
Yang merupakan bentuk persamaan diferensial linear yang sudah kita pelajari sebelumnya.
Persamaan tersebut memiliki faktor integrasi = , sehingga didapat,
= 2,4
Kita menyimpulkan bahwa
= 2,4 = (60)(2,4) +
Dengan mensubstitusi nilai = 75 pada saat = 0, maka akan didapatkan nilai = −69, sehingga,
= 144 − 69 = 144 − 69
Pada waktu 1 jam ( = 60), maka akan didapatkan jumlah garam sebanyak :
= 144 − 69 ≈ 118,62 pound
Perhatikan bahwa limit nilai untuk ketika → ∞ adalah 144. Hal ini bersesuaian dengan kenyataan bahwa tangki pada akhirnya akan mengambil corak air asin yang memasuki tangki.
120 galon air asin dengan konsentrasi 1,2 pound garam per gallon akan mengandung 144 pound garam.
Dalam masalah aliran seperti contoh diatas, kita menerapkan prinsip umum. Andaikan mengukur jumlah yang tersedia didalam tangki pada waktu . Jadi, laju perubahan terhadap waktu adalah laju masukan dikurangi laju keluaran, yaitu :
= laju masuk – laju keluar Contoh 3 :
Sebuah tangki berisi 50 galon dari sebuah larutan dengan komposisi 90% air dan 10% alkohol.
Larutan yang kedua berisi 50% air dan 50% alkohol ditambahkan pada tangki tersebut dengan laju 4 galon per menit. Ketika larutan yang kedua sedang ditambahkan, tangki tersebut juga sedang dialirkan dengan laju 5 galon per menit. Larutan didalam tangki tersebut diaduk secara konstan dan merata. Hitunglah berapa banyakkah alkohol didalam tangki tersebut setelah waktu 10 menit ?
Penyelesaian :
Dimisalkan adalah jumlah galon dari alkohol didalam tangki pada suatu waktu . Seperti telah diketahu bahwa = 5 pada saat = 0. Karena jumlah galon dari larutan didalam tangki pada suatu waktu adalah 50 − , dan tangki kehilangan 5 galon dari larutan per menit, itu boleh jadi akan mengalami kehilangan,
5 50 −
galon alkohol per menit. Lebih jauh lagi, karena tangki tersebut sedang mendapatkan 2 gaon alkohol per menit, laju perubahan dari alkohol didalam tangki adalah,
= 2 − 5
50 −
+ 5
50 − = 2
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, diketahui : ( ) = didapatkan hasilnya,
( ) = 5
50 − = −5 ln |50 − |
Karena < 50, kita dapat mendrop tanda nilai absolute dan menyimpulkan bahwa
∫ ( ) = ( )= 1
Karena = 5 ketika = 0, maka kita akan dapatkan,
Jadi pada saat = 10, jumlah dari alkohol yang ada didalam tangki tersebut adalah :
= − 20 ≈ 13.45 galon
Yang merepresentasikan suatu larutan yang berisi 33.6% alkohol.
Contoh 4 :
Pada waktu = 0, sebuah tangki berisi lb garam yang terlarut dalam 100 galon air.
Anggaplah bahwa air berisi lb garam/galon sedang dituangkan kedalami tangki tersebut dengan laju galon per menit dan campuran yang diaduk dengan baik tersebut dialirkan keluar dari tangki dengan laju yang sama. Aturlah problem nilai awal yang menggambarkan proses aliran ini. Tentukan banyaknya garam ( ) didalam tangki tersebut pada suatu waktu , dan juga tentukan jumlah pembatas (limiting amount) yang ada setelah waktu yang sangat lama. Jika
= 3 dan = 2 , carilah waktu setelah mana tingkat garam tersebut berada (berkisar) dalam 2 % dar . Juga carilah laju aliran yang diperlukan jika nilai adalah agar tidak melebihi 45 menit.
Penyelesaian :
Kita menganggap bahwa garam tidak dibuat atau dirusak didalam tangki. Oleh karenanya, variasi-variasi dalam hal jumlah garam adalah karena murni aliran yang masuk atau keluar dari tangki. Lebih tepatnya lagi, laju perubahan dari garam didalam tangki, , adalah sebanding dengan laju dimana garam sedang mengalir masuk minus laju dimana dia keluar. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut,
= laju masuk – laju keluar.
Laju dimana garam memasuki tangki adalah konsentrasi lb/galon dikalikan dengan laju aliran galon per menit, atau lb per menit. Untuk mencari laju dimana garam meninggalkan tangki tersebut, kita perlu mengalikan konsentrasi garam di dalam tangki tersebut dengan laju aliran keluar gallon per menit. Karena laju dari aliran masuk dan aliran keluar adalah sama, volume dari air didalam tangki tetap konstan pada 100 galon, dan oleh karena campuran adalah diaduk dengan baik, konsentrasi diseluruh tangki adalah sama, yaitu ( ) lb per gallon. Oleh karenanya, laju dimana garam keluar dari tangki adalah ( ) lb per galon. Sehingga persamaan diferensial berkenaan dengan proses ini adalah,
=4− 100 Kondisi awal adalah,
(0) =
Setelah berfikir tentang problem tersebut secara fisik, kita boleh jadi mengantisipasi bahwa pada akhirnya bahwa campuran yang pada awalnya didalam tangki esensinya akan digantikan oleh campuran yang mengalir masuk, yang konsentrasinya adalah lb per galon. Konsekwensinya, kita mungkin berharap bahwa pada akhirnya jumlah garam didlam tangki akan sangat mendekati 25 lb. Kita juga dapat menemukan jumlah pembatas (limiting amount) = 25 dengan
menseting sama dengan nol. Pada pers (2) dan menyelesaikan hasil persamaan aljabar untuk .
Untuk menyelesaikan problem nilai awal (2), (3) secara analitik, catatan bahwa persamaan (2) adalah keduanya linear dan dapat dipisahkan. Dengan menuliskannya kembali didalam bentuk standar untuk sebuah persamaan linear, kita akan mendapatkan,
+100= memilih = − 25. Oleh karenanya, solusi dari problem nilai awal (2), (3) adalah,
( ) = 25 + ( − 25) atau,
( ) = 25 1 − +
Dari persamaan (6) atau (7), kita dapat melihat bahwa ( ) → 25 (lb) karena → ∞, sehingga nilai pembatas adalah 25, dengan mengkonfirmasi intuisi fisik kita. Lebih jauh lagi, ( ) mendekati atau mencapai batas tersebut lebih cepat ketika meningkat. Dalam menginterpretasikan solusi (7), catatan bahwa suku yang kedua pada sisi sebelah kanan adalah bagian atau porsi dari garam original yang masih ada (remains) pada waktu , sementara suku yang pertama memberikan jumlah garam didalam tangki sebagai sebuah konsekwensi atas proses aliran.
Contoh 5 :
Pertimbangkanlah sebuah kolam yang pada awalnya berisi 10 juta gallon air murni. Air yang berisi bahan kimia yang tidak diinginkan mengalir masuk kedalam kolam tersebut dengan laju 5 juta gallon per tahun, dan pada saat yang sama campuran didalam kolam tersebut juga mengalir keluar dengan laju yang sama. Konsentrasi ( ) dari bahan kimia didalam air yang masuk bervariasi secara periodic dengan waktu sesuai dengan pernyataan atau persamaan ( ) = 2 + sin 2 gram per gallon. Konstruksikanlah sebuah model matematika dari proses aliran ini dan tentukanlah jumlah bahan kimia yang ada di kolam tersebut pada suatu waktu.
Penyelesaian :
Karena aliran air yang masuk dan keluar adalah sama, maka jumlah air didalam kolam tersebut tetap konstan sebesar 10 galon. Mari kita tunjukkan waktu dengan , diukur dalam tahun dan bahan kimia ( ), diukur dalam satuan gram. Maka sesuai dengan pernyatan sebelumnya, juga berlaku persamaan berikut,
= laju masuk – laju keluar
Dimana laju masuk dan laju keluar merujuk pada laju dimana bahan kimia yang mengalir masuk dan keluar dari kolam tersebut secara berturut-turut. Laju dimana bahan kimia mengalir masuk adalah,
Laju masuk = (5 × 10 ) galon/tahun (2 + sin 2 ) gram/gallon
Konsentrasi dari bahan kimia didalam kolam tersebut adalah ( ) gram/gallon, sehingga laju aliran keluarnya adalah,
Laju keluar = (5 × 10 ) galon/tahun ( ) gram/gallon = ( ) gram/tahun
Maka kita akan memperoleh sebuah persamaan diferensial sebagai berikut,
= (5 × 10 )(2 + sin 2 ) − ( ) 2
Dimana masing-masing suku diatas mempunyai satuan gram/tehaun.
Untuk membuat koefisien-koefisien lebih mudah diatur, adalah lebih menyenangkan untuk memperkenalkan sebuah variabel tak bebas yang baru yang didefinisikan oleh ( ) =
( )/10 atau ( ) = 10 ( ). Ini artinya bahwa ( ) adalah diukur dalam satuan juta gram atau megagrams (metric tons). Jika kita membuat substitusi ini didalam persamaan terakhir diatas, maka setiap suku berisi faktor 10 , yang dapat canceled. Jika kita juga mentranspose suku yang meliputi ( ) pada sisi kiri dari persamaan tersebut, maka akhirnya kita akan mendapatkan
+1 sebuah fungsi dari waktu, koefisien adalah sebuah konstanta. Sehingga faktor integrasi adalah
. Dengan mengalikan persamaan diatas dengan faktor ini dan mengintegrasikan hasil persamaannya, maka kita akan mendapatkan solusi umumnya sebagai berikut,
( ) = 20 −40
17cos 2 +10 17 sin 2 +
Kondisi awal memerlukan = − , sehingga solusi dari problem nilai awalnya adalah
( ) = 20 −40
17cos 2 +10
17 sin 2 − 300 17 Problem Benda Jatuh
Pertimbangkanlah sebuah benda dengan massa yang jatuh secara vertikal yang dipengaruhi oleh grafitasi dan tahanan udara yang adalah sebanding dengan kecepatan dari benda tersebut.
Anggaplah bahwa grafitasi dan masa keduanya adalah konstan dan, untuk memudahkan pilihlah arah ke bawah sebagai arah positip.
Yang perlu kita ketahui bahwa hukum kedua Newton tentang gerak (motion) bahwa gaya (net force) yang bekerja pada sebuah benda adalah sama dengan laju waktu perubahan dari momentum benda; atau, untuk masa yang konstan maka berlaku persamaan,
=
dimana adalah gaya (net force) yang bekerja pada benda dan adalah kecepatan dari benda tersebut, keduanya pada waktu .
Ada dua gaya (forces) yang bekerja (acting) pada benda, yaitu : gaya karena grafitasi yang diberikan oleh berat dari benda tersebut, dan besarnya adalah sama dengan . Dan gaya karena tahanan udara yang diberikan oleh − , dimana ≥ 0 adalah sebuah konstanta proporsionalitas. Tanda minus adalah diperlukan karena gaya ini adalah berlawanan dengan kecepatan; yaitu, dia berlaku dalam arah keatas (upward), atau negatip dengan arah seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Gaya (net force) pada benda adalah oleh karenanya ,
= −
Dengan mensubstitusi hasil ini pada (8.3), maka kita akan mendapatkan,
− = ,
atau :
+ =
sebagai persamaan gerak untuk benda.
Jika tahanan udara dapat diabaikan (negligible) atau dianggap tidak ada, maka = 0 dan persamaan (8.4) disederhanakan menjadi :
=
Ketika > 0, kecepatan pembatas adalah didefinisakn sebagai :
=
Dalam kebanyakan problem benda jatuh, tahanan udara adalah diabaikan. Pada contoh berikut ini, faktor tersebut akan dilibatkan. Dalam contoh tersebut, tahanan udara pada benda yang jatuh tersebut dianggap proporsional atau sebanding dengan kecepatannya . Jika adalah percepatan karena grafitasi, gaya yang mengarah ke bawah pada sebuah benda yang jatuh dengan masa adalah diberikan oleh − − . Jika adalah percepatan dari benda, maka hukum Newton proporsional terhadap kecepatan dari benda tersebut. Tentukanlah kecepatan dari benda tersebut sebagai sebuah fungsi waktu .
Penyelesaian :
Kecepatan memenuhi persamaa,
+ = −
Misalkan = , maka kita dapat memisahkan variabel-variabelnya untuk mendapatkan ,
= −( + )
+ = − 1ln | + | = − +
ln | + | = − +
Karena benda tersebut jatuh, = 0 ketika = 0. Sehingga = dan
= − +
= − (1 − )
= 1 −
Catatan :
Persamaan 8.4, 8.5 dan 8.6 adalah valid hanya jika kondisi yang diberikan adalah memenuhi.
Persamaan-persamaan ini adalah tidak valid jika, misalnya, tahanan udara adalah tidak proporsional dengan velocity squared, atau jika arah keatas (upward direction) adalah diambil menjadi arah positip.
Problem Pertumbuhan dan Penurunan Eksponensial
Pada banyak aplikasi, laju perubahan dari sebuah variabel adalah proporsional atau sebanding dengan nilai dari . Apabila adalah sebuah fungsi dari waktu , maka proporsinya dapat dituliskan sebagai berikut,
=
Solusi umum dari persamaan diferensial model ini adalah diberikan dalam teorema berikut : Teorema
Jika adalah sebuah fungsi yang dapat diturunkan sehingga > 0 dan = untuk yang konstan, maka :
=
Dimana adalan nilai awal dari , dan adalah konstanta proporsionalitas. Pertumbuhan eksponensial akan terjadi apabila > 0, dan penurunan eksponensial akan terjadi apabila <
0.
Misalkan ( ) adalah menyatakan jumlah dari substansi (atau populasi) yang mengalami pertumbuhan ataupun penurunan. Jika kita menganggap bahwa , adalah laju waktu perubahan dari jumlah substansi ini, adalah proporsional dengan dengan jumlah substansi yang terjadi, maka
= , atau :
− = 0
dimana adalah konstanta proporsionalitas.
Contoh 7 :
Pada permulaan tahun 1998, jumlah penduduk dunia diperkirakan sebanyak 5,9 miliar.
Dikatakan bahwa pada tahun 2020, penduduk akan mencapai 7,9 miliar. Bagaimanakah orang
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan persoalan ini secara matematis, kita andaikan = ( ) adalah banyaknya penduduk pada saat dengan banyaknya tahun setelah tahun 1998. Sebenarnya ( ) berupa bilangan bulat dan grafiknya “ meloncat ” apabila ada seseorang lahir atau meninggal dunia.
Namun, untuk populasi besar, loncatan-loncatan ini demikian kecil relatif terhadap jumlah penduduk dan kita tidak akan terlalu salah jika menganggap bahwa berupa suatu fungsi terdiferensiasi yang baik.
Nampaknya beralasan untuk mengandaikan bahwa pertambahan populasi Δ (kelahiran – kematian) dalam jangka waktu pendek Δ sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi Δ = Δ , atau :
Δ
Δ =
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial ,
=
Jika > 0, populasi bertambah; akan tetapi jika < 0, maka populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa sekitar 0,0132 (dengan anggapan diukur dalam tahun), walaupun beberapa statistikawan melaporkan angka yang berbeda. Kita ingin menyelesaikan persamaan diferensial = dengan syarat awal = apabila = 0.
Dengan memisahkan variabel dan mengintegrasikan, kita peroleh :
=
=
ln = +
Syarat = pada saat = 0 akan menghasilkan = ln , sehingga,
Dalam tahun 2020, pada waktu = 22, kita dapat meramalkan bahwa akan bernilai
= 5,9 , ( ) ≈ 7,9 miliar Contoh 8 :
Dengan anggapan diatas, setelah berapa lamakah penduduk dunia akan menjadi dua kali lipat ? Penyelesaian :
Pertanyaan tersebut sama dengan menanyakan “ Setelah berapa tahunkah, sesudah 1998, penduduk dunia mencapai 11,8 miliar ? “. Kita perlu menyelesaikan :
11,8 = 5,9 ,
2 = ,
Untuk , dengan mengambil logaritma kedua sisi menghasilkan ln 2 = 0,0132
= , ≈ 53 tahun
Jika populasi dunia akan dua kali lipat dalam 53 tahun pertama setelah tahun 1998, populasi tersebut akan dua kali lipat dalam sembarang periode 53 tahun; sehingga populasi akan berlipat empat dalam 106 tahun. Secara lebih umum, jika suatu besaran yang tumbuh secara eksponen berlipat dua sampai 2 dalam satu selang awal panjang , maka ia akan berlipat dua dalam
Kita sebut bilangan sebagai waktu pengganda.
Contoh 9 :
Dalam sebuah eksperimen, pertumbuhan lalat meningkat berdasrkan hukum pertumbuhan eksponensial. Ada 100 lalat setelah hari kedua eksperimen dan 300 lalat setelah hari keempat.
Kira-kira berapa banyakkah lalat pada populasi awalnya ? Penyelesaian :
Misalkan = adalah jumlah dari lalat pada waktu , dimana adalah diukur dalam hari.
Catatan bahwa adalah kontinu, dimana jumlah lalat adalah diskrit. Karena = 100 pada saat
= 2 dan = 300 pada saat = 4, maka kita dapat menuliskan, 100 = dan 300 = Dari persamaan pertama, kita telah mengetahui bahwa,
= 100
Dengan mensubstitusi nilai ini pada persamaan kedua menghasilkan sebagai berikut,
Sehingga model pertumbuhannya adalah dapat dituliskan menjadi berikut ini,
= ,
Sehingga populasi original (pada saat = 0) dianggap mendekati = = 33 lalat.
Contoh 10 :
Banyaknya bakteri dalam suatu kultur yang tumbuh secara cepat ditaksir sebesar 10.000 pada tengah hari dan sebesar 40.000 setelah dua jam. Berapakah banyak bakteri akan terdapat pada pukul 17.00 ?
Penyelesaian :
Kita menganggap bahwa persamaan diferensial = dapat diterapkan, sehingga = . Kita mempunyai dua syarat ( = 10.000 dan = 40.000 pada saat = 2), sehingga dapat kita
Tidak semuanya tumbuh; beberapa berkurang menurut waktu. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan, dan berlangsung pada laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada. Sehingga laju pertumbuhannya juga memenuhi persamaan diferensial,
=
Tetapi sekarang negative. Adalah tetap benar bahwa = merupakan penyelesaian terhadap persamaan ini.
Contoh 11 :
Karbon 14, salah satu dari tiga isotope karbon adalah zat radioaltif dan meluruh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada. Waktu paruhnya (half life) adalah 5730 tahun;
artinya zat tersebut memerlukan waktu 5730 tahun untuk menyusut menjadi setengahnya.
Apabila pada saat awal ada 10 gram, berapakah sisanya setelah 2000 tahun ? Penyelesaian :
Waktu paruhnya sebesar 5730, memungkinkan kita untuk menentukan sebab mengimplikasikan bahwa
10 gram isotope plutonium adalah dilepaskan didalam sebuah kecelakaan nuklir. Berapa lamakah akan berlangsung bagi 10 gram isotope tersebut akan meluruh menjadi 1 gram ?
Penyelesaian :
Misalkan merepresentasikan masa dari plutonium (dalam gram). Karena laju peluruhan (decay) adalah proporsional atau sebanding dengan , kita mengetahui bahwa,
=
dimana adalah waktu dalam tahun. Untuk menemukan nilai dari konstanta dan , tetapkan dan berikan kondisi awal. Dengan menggunakan fakta bahwa = 10 pada saat = 0, maka kita dapat menuliskan,
10 = → 10 =
Yang menyatakan bahwa = 10. Berikutnya, dengan menggunakan fakta bahwa waktu paruh dari plutonium adalah 24.100 tahun, kita akan mendapatkan = = 5 pada saat = 24.000.
Sehingga kita dapat menuliskan,
Untuk mencari waktu yang diperlukan bagi 10 gram plutonium untuk meluruh menjadi 1 gram, kita dapat menyelesaikan untuk pada persamaan,
1 = 10 , Sehingga solusinya adalah mendekati 80,059 tahun.
Dari contoh mengenai peluruhan diatas, perhatikan bahwa didalam sebuah masalah pertumbuhan atau peluruhan eksponensial, adalah mudah untuk menyelesaikan ketika kita diberikan sebuah nilai pada saat = 0. Model peluruhan pada contoh diatas juga dapat ditulis sebagai = 10 . . Model ini jauh lebih mudah untuk diturunkan, tetapi untuk beberapa aplikasi adalah tidak menarik digunakan.
Penurunan Penjualan Contoh 13 :
Empat bulan setelah penghentian iklannya, sebuah pabrik mendapati bahwa penjualannya mengalami penurunan dari 100.000 unit per bulan menjadi 80.000 unit per bulan. Penurunan penjualan tersebut mengikuti pola penurunan eksponensial. Akan seperti apakah kira-kira penjualan setelah 2 bulan berikutnya ?
Penyelesaian :
Gunakan model penurunan eksponensial = , dimana adalah diukur dalam bulan. Dari kondisi awal ( = 0), diketahui bahwa = 100.000. Lebih jauh lagi, karena = 80.000
Jadi, setelah 2 bulan lebih ( = 6), kita dapat mengharapkan penjualan bulanan menjadi :
= 100.000 , ( ) ≈ 71, 500 unit Problem Rangkaian Listrik
Banyak persamaan dalam bidang rekayasa yang berkaitan dengan persamaan diffrerensial. Salah satu contoh aplikasi yang akan dibahas berikutnya dalam buku ajar ini adalah dalam rangkaian listrik RL, RC ataupun RLC. Misalkan terdapat suatu rangkaian seri RL dimana besarnya kuat arus (Ampere) dalam satuan waktu (t) yang melalui rangkaian tersebut dihitung dengan menggunakan rumus berikut,
Ι+ Ι = ( )
Bentuk rumus diatas merupakan bentuk persamaan differensial dengan t merupakan satu-satunya variabel bebas. Sedangkan besaran tahanan R (Ohm) dan induksi L (Henry) diberikan. Fungsi E(t) merupakan besaran gaya elektromagnetik/voltase (Volt).
Persamaan dasar yang mengatur (governing) jumlah arus I (ampere) didalam sebuah rangkaian RL yang sederhana (lihat gambar diatas) yang terdiri dari sebuah tahanan R (ohms), sebuah inducktor L (henries) dan sebuah gaya gerak listrik E adalah dapat diformulasikan sebagai berikut :
+ =
Sementara untuk suatu rangkaian RC yang terdiri dari sebuah tahanan , kapasitansi (farad) dan gaya gerak listrik E (lihat gambar diatas), persamaan tersebut mengatur (governing) jumlah muatan listrik (coulomb) pada kapasitor dapat diformulasikan sebagai berikut :
+ 1 =
Hubungan antara dan adalah :
=
Contoh 14 :
Sebuah rangkaian yang terdiri dari tahanan (ohm) dan induktor (henry) disusun secara parallel seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika diketahui bahwa pada saat = 0 besarnya arus = 0. Hitunglah besarnya kuat arus yang mengalir pada saat > 0.
Penyelesaian :
Dari gambar rangkaian tersebut, diketahui hukum arus Kirchoff (KCL) nya adalah :
= +
= +
=1
+
= +
= ( − )
1
− = −
1
− = − +
ln ( − ) = − +
− =
− =
− =
= +
Diketahui pada saat = 0 besarnya arus = 0 sehingga dengan memasukkan nilai tersebut pada persamaan terakhir diatas akan diperoleh nilai konstanta = − .
= −
Jadi arus yang mengalir pada inductor pada saat > 0 adalah :
= 1 −
Contoh 15 :
Suatu rangkaian disusun secara seri seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Pada kondisi awal ( = 0) kapasitor belum terisi muatan ( = 0). Kemudian setelah diberikan tegangan arus mulai mengalir yang menyebabkan kapasitor tersebut mengisi muatannya dan bertambah tegangannya. Seiring berjalannya waktu, tegangan pada resistor mulai turun dan menjadi berkurang. Begitupun arus yang mengalir dan tegangan pada kapasitor menjadi konstan (tetap sama) dan tidak ada lagi arus yang mengalir dalam rangkaian. Apabila diketahui besarnya tahanan = 100 ohm dan kapasitansi = 0,01 Farad dengan suplai tegangan batere sebesar = 10 volt. Hitunglah besarnya tegangan kapasitor pada saat > 0.
Penyelesaian :
Hukum tegangan Kirchoff (KVL) yang berlaku pada rangkaian tersebut adalah :
= +
10 = +
10 = +
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial linear orde satu :
+ = 10
Faktor integrasi dari persamaan tersebut didapat sebagai berikut
= ∫ =
Dengan menggunakan cara pemecahan persamaan diferensial linear orde satu, maka didapat
10 = 10 = 10 ∙1
1 +
∙ = 10 +
=10 +
= 10 +
Untuk mendapatkan harga , masukan nilai-nilai dan pada saat kondisi awal, maka didapatkan harga = 10.
Sehingga besarnya tegagan kapasitor pada saat > 0 adalah :
= 10 (1 − 10 )
Contoh 16 :
Sebuah rangkaian yang disusun secara seri seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika diketahui besarnya induktansi = 2 henry, tahanan = 6 ohm dan sebuah batere yang menghasilkan tegangan = 12 volt. Tentukanlah besarnya kuat arus pada saat , jika diketahui pada saat = 0 arus = 0 (ketika posisi saklar ditutup).
Penyelesaian :
Dengan menggunakan hukum tegangan Kirchoff (KVL), maka akan didapatkan bentuk persamaan diferensial berikut,
2 + 6 = 12 atau + 3 = 6
Persamaan diatas adalah bentuk persamaan diferensial linear orde satu. Dengan metode
Persamaan diatas adalah bentuk persamaan diferensial linear orde satu. Dengan metode