BAB III. METODE PENELITIAN
4.2.1 ARL (Average Run Length)
Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan
. R± = = 1 − , = 1,2, …
dengan adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan sebagai
commit to user
25
BR± = Ć(R±)
= ∑ . .(R± = )
= + 2 1 − + 3 1 − + 4 (1 − )3+ ⋯ = [1 + 2 1 − + 3 1 − + 4 1 − 3+ ⋯ ] = ∑e + 1 1 − e.
Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑e e*e adalah r > 0 maka fungsi = ∑e e*e terdeferensiabel pada – r, r dengan
′ = ∑e e*e . Sehingga akan diperoleh,
BR± = = .
4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA −
Grafik pengendali ĆĖōB * − R dapat dibentuk dari langkah-langkah berikut:
i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan diestimasi dengan rumus * = ∑> dan standar deviasi Ƽ diestimasi dengan rumus
= ∑> t dimana = = e ⋯ e
dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.
ii. Memilih nilai , , ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai
B> , 7> , Ė>, â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-
masing sampel dengan Ė = â = 0 untuk nilai awal.
iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).
iv. Menggambarkan sampel i ketika ō> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses berada dalam batas pengendali. Ketika ō> ≥ 7.B dicek apakah |Ė>| =
| B>+ 1 − Ė> | dan |â>| = | 7>+ 1 − â> |. Jika |Ė>| > 7.B
commit to user
26
dan B> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B> < 0 berarti proses mean menurun. Jika |â>| > 7.B dan 7> > 0 berarti proses variansi meningkat namun bila 7> < 0 maka proses variansi menurun.
v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari penanganannya.
4.3 CONTOH KASUS
PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan (AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml.
data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.
1. Uji kenormalan
Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum
Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan = 0.05 sehingga data netto air minum berdistribusi normal.
commit to user
27
Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5)
commit to user
28
2. Uji independensi
Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak membentuk pola tertentu. Dari data diperoleh
o b s e r v a s i
Gambar 3. Plot independensi data netto air minum
Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.
4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses mean sebagai berikut
Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean
Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada batas pengendali 3 tidak ada pola tren sedangkan untuk BPA s 2s =233.4 tidak maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
commit to user
29
4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi
Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses variansi sebagai berikut
BPA = 8.632
BPB = 0
Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi
Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
4.3.3 Grafik pengendali EWMA X - R Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X - R a. Estimasi nilai mean adalah = * = 232.3067,
estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ = = 2.. 32= 2.7515.
b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA * − R biasanya dipilih nilai ARL pada kondisi terkendali BR± = 250 dan , = 0.25, 1.5 . kemudian dipilih konstanta smoothing , = 0.3,0.3 dan nilai ± = 3.13.
c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *> mengikuti distribusi normal, 232.3067 ,2.7515 untuk = 1,2, … ,15 dan = 1, 2, . . ,5. Diasumsikan . adalah fungsi distribusi dari *> dan > = *>
maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel 2.
commit to user
30
Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel
*> *> > >
commit to user 13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197 14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023 15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066 16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885 17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884 18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713 19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242 20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161
commit to user
32
Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai BPA=1.1708 dan BPB=0 sehingga dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.
Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA X -R untuk data netto air minum Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B = 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7 = 230.756, untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B = 8.632 dan 7.7 = 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA X - R diperoleh 7.B = 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA X - R memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali EWMA X - R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.
BPB = 0 BPA = 1.1708
commit to user
BAB V
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut
1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean a) Untuk > kecil
ò. = + y) (2 − )
=
ò.ò = − y) (2 − )
b) Untuk > besar
ò. = + y) (2 − ) 1 − (1 − )
=
ò.ò = − y) (2 − ) 1 − (1 − )
2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah
ò. = ) ,
ò.ò = ) , ( )
3. Batas pengendali untuk grafik pengendali ̎em v − adalah
ò. = 2 ) + )
+ y 2
) )
) − 1 + ) )
) − 1 + ) )
ò.ò = 0.
33
commit to user
4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL yang sama, grafik pengendali ̎em untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali
̎em v − untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah.
5.2 Saran
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses yang telah terkendali.
34