BAB II. LANDASAN TEORI
2.2 Kerangka Pemikiran
Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama, pertama-tama mengestimasi parameter ¶ dan , kemudian dalam membentuk grafik
commit to user
14
pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel.
Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk EWMA ö − yang merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi, kemudian menggambarkan statistik tersebut dalam batas pengendali.
commit to user
15
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan tujuan penelitian.
Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah 1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan
2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean dengan langkah sebagai berikut
a. Menentukan nilai .
b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean.
c. Menentukan batas pengendali.
d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali
3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dengan langkah sebagai berikut
a. Menentukan nilai .
b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi.
c. Menentukan batas pengendali.
d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali.
4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA º − untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai berikut
a. Memilih nilai , dan L yang dapat ditentukan berdasar penelitian Khoo et al, (2009).
b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel.
c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.
15
commit to user
16
d. Menentukan statistik EWMA º − yang merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi.
e. Menggambarkan statistik EWMA º − pada batas pengendali.
5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan Microsoft Office Excel 2007.
commit to user
17
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Grafik Pengendali EWMA
Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil, karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya.
Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik EWMA memonitor proses variansi.
4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean
Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *> didefinisikan sebagai berikut
â> = *> + 1 − â> , = 1,2, … (4.1) dengan â =
*>: observasi pada waktu ke- i : konstanta smoothing, 0 < ≤ 1.
Untuk menunjukkan bahwa â> adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â> dengan â> pada persamaan (4.1), sehingga didapat
â> = *> + (1 − )â> . Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut
â> = *>+ 1 − *> + 1 − â> .
Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang â> dengan orde sebelumnya diperoleh
â> = 1 −
>
*> + 1 − >â .
Jika *> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ , maka variansi â> adalah
17
commit to user
18
râ> = ∑> 1 − r *> + 1 − > r(â ). (4.2) Karena nilai tertimbang 1 − menurun secara geometri dengan umur rata-rata sampel, maka
1 − λ
>
= 1 − 1 − >
1 − 1 − = 1 − 1 − >
dan r â = 0, maka persamaan (4.2) menjadi
râ> = 1 −
>
Ƽ t + 0
= Ƽ 1 − 1 − > , dan diperoleh deviasi standar dari â> adalah
Ƽ t = Ƽ 1 − 1 − > . (4.3) Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA
− ±Ƽ (2 − ) 1 − (1 − ) > ≤ ≤ + ±Ƽ (2 − ) 1 − (1 − ) > ,
sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean 7.B = + ±Ƽ (2 − ) 1 − (1 − ) >
=
7.7 = − ±Ƽ (2 − ) 1 − (1 − ) >
dengan adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L adalah lebar batas pengendali.
Jika naik, Ƽ t naik menuju nilai limit
commit to user
19
>→limƼ t = lim>→ Ƽ 2 − 1 − 1 − >
= Ƽ .
Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut 7.B = + ±Ƽ (2 − )
=
7.7 = − ±Ƽ (2 − )
4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *> berdistribusi normal dengan mean dan variansi Ƽ , exponentially weighted mean square error (EWMS),
> didefinisikan sebagai berikut
> = *>− + 1 − > , = 1,2, … dengan = 0
*>: observasi ke i
: konstanta smoothing (0 ≤ ≤ 1).
Untuk nilai yang besar maka Ć( > ) = Ƽ , hal ini dapat ditunjukkan dengan mensubtitusi − 1 untuk i pada persamaan (2.1)
> = *> − + 1 − > , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut
> = *>− + 1 − *> − + 1 − > . Selanjutnya dengan mengganti = 2,3, … diperoleh
> = ∑> 1 − > *> − + 1 − .
commit to user
20
Karena nilai ∑> 1 − >+ 1 − = 1, maka
Ć > = ∑> *>− = Ƽ . (4.4) Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka t akan mendekati distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas = 2 − / . Jika Ƽ adalah nilai target dari proses variansi, > dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1 − ) dari distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan (2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100 1 − % untuk grafik EWMA adalah
Ƽ , ( )≤ Ƽ ≤ Ƽ , .
Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi
7.B = Ƽ ,
7.7 = Ƽ , ( ). 4.2 Grafik pengendali ¸WMA −
Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA * − R yang lebih efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama.
Misalkan *> , dengan = 1,2, … dan = 1,2, … , > adalah hasil pengukuran dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan = + Ƽ dan standar deviasi Ƽ = Ƽ , dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan.
Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika = 0 dan = 1 sehingga
= + Ƽ
= + 0
commit to user
Diasumsikan (. ) adalah fungsi distribusi normal, ( , Ƽ ) dari variabel random. Jika = 0 dan = 1 maka > = (*> ) untuk j = 1,2,. .. . , > adalah pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform (0,1). Misal
R>′= >(e>)− >( )
= (*>et) − (*> )
adalah range sampel ke i untuk pengamatan > , > , … . , >e dimana > adalah sampel terkecil dan >e adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan
B> = dari cdf range sampel sebagai berikut
r′> = > , >e = >e e− 1 − 1 − > e.
Diketahui bahwa B>~ (0,1), ketika = 0 dan = 1 rata-rata dari n pengukuran independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga * dan R> untuk = 1,2, … independen maka * dan R>′
untuk = 1,2, … juga independen.
commit to user
22
Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan,
Ė> = B>+ (1 − )Ė> (4.8) dan
â> = 7>+ (1 − )â> (4.9)
dengan Ė = â = 0 adalah nilai awal, dan adalah konstanta smoothing.
Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō> diberikan oleh
ō> = max |Ė>|, |â>| , = 1,2, … (4.10) Jika ō> positif, grafik EWMA * − R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik ō> pada batas pengendali
7.B = Ć ō> + ± rō> . (4.11) sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō> adalah = ′
commit to user
23
Nilai ekspektasi dari ō> adalah Ć ō> = ∞
= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .
Misalkan = maka
Ć ō> = 2 ∞ 2 ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 . Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh
Ć ō> = .
Dengan mensubtitusikan Ƽ >= r dan Ƽ >= maka
Ć ō> = t t . (4.12)
Diperoleh nilai Ć ō> sebagai berikut Ć ō> = ∞
= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .
Misalkan = maka
Ć ō> = ∞ 2r ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .
Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh
Ć ō> = r + r + .
Dengan mensubtitusikan Ƽ >= r dan Ƽ >= maka
Ć ō> = Ƽ > tt + Ƽ >+ Ƽ > tt , sehingga
r ō> = Ƽ > t
t − 1 + Ƽ > t
t − 1 + Ƽ >Ƽ > (4.13) dengan nilai
commit to user
24
Ƽ >= 1 − 1 − > dan Ƽ > = 1 − 1 − >
dengan , adalah konstanta smoothing.
Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali
7.B = t t + ± Ƽ > tt − 1 + Ƽ > tt − 1 + Ƽ >Ƽ >
7.7 = 0.
Diketahui bahwa ō> pada persamaan (4.10) akan semakin besar ketika proses mean mengalami pergeseran ke atas maupun ke bawah dan atau proses variansi meningkat atau menurun. ō> akan mengecil ketika proses mean dan proses variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.
Grafik pengendali ĆĖōB * − R memiliki keuntungan dengan transformasi yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu:
i. Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena distribusi dari B> dan 7> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika
= 0 dan = 1.
ii. Grafik pengendali tunggal dibentuk untuk memonitor baik proses mean dan proses variansi karena B> dan 7> memiliki distribusi yang sama, ketika
= 0 dan = 1.
4.2.1 ARL (Average Run Length)
Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan
. R± = = 1 − , = 1,2, …
dengan adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan sebagai
commit to user
25
BR± = Ć(R±)
= ∑ . .(R± = )
= + 2 1 − + 3 1 − + 4 (1 − )3+ ⋯ = [1 + 2 1 − + 3 1 − + 4 1 − 3+ ⋯ ] = ∑e + 1 1 − e.
Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑e e*e adalah r > 0 maka fungsi = ∑e e*e terdeferensiabel pada – r, r dengan
′ = ∑e e*e . Sehingga akan diperoleh,
BR± = = .
4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA −
Grafik pengendali ĆĖōB * − R dapat dibentuk dari langkah-langkah berikut:
i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan diestimasi dengan rumus * = ∑> dan standar deviasi Ƽ diestimasi dengan rumus
= ∑> t dimana = = e ⋯ e
dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.
ii. Memilih nilai , , ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai
B> , 7> , Ė>, â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-
masing sampel dengan Ė = â = 0 untuk nilai awal.
iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).
iv. Menggambarkan sampel i ketika ō> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses berada dalam batas pengendali. Ketika ō> ≥ 7.B dicek apakah |Ė>| =
| B>+ 1 − Ė> | dan |â>| = | 7>+ 1 − â> |. Jika |Ė>| > 7.B
commit to user
26
dan B> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B> < 0 berarti proses mean menurun. Jika |â>| > 7.B dan 7> > 0 berarti proses variansi meningkat namun bila 7> < 0 maka proses variansi menurun.
v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari penanganannya.
4.3 CONTOH KASUS
PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan (AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml.
data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.
1. Uji kenormalan
Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum
Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan = 0.05 sehingga data netto air minum berdistribusi normal.
commit to user
27
Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5)
commit to user
28
2. Uji independensi
Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak membentuk pola tertentu. Dari data diperoleh
o b s e r v a s i
Gambar 3. Plot independensi data netto air minum
Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.
4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses mean sebagai berikut
Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean
Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada batas pengendali 3 tidak ada pola tren sedangkan untuk BPA s 2s =233.4 tidak maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
commit to user
29
4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi
Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses variansi sebagai berikut
BPA = 8.632
BPB = 0
Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi
Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
4.3.3 Grafik pengendali EWMA X - R Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X - R a. Estimasi nilai mean adalah = * = 232.3067,
estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ = = 2.. 32= 2.7515.
b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA * − R biasanya dipilih nilai ARL pada kondisi terkendali BR± = 250 dan , = 0.25, 1.5 . kemudian dipilih konstanta smoothing , = 0.3,0.3 dan nilai ± = 3.13.
c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *> mengikuti distribusi normal, 232.3067 ,2.7515 untuk = 1,2, … ,15 dan = 1, 2, . . ,5. Diasumsikan . adalah fungsi distribusi dari *> dan > = *>
maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel 2.
commit to user
30
Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel
*> *> > >
commit to user 13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197 14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023 15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066 16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885 17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884 18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713 19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242 20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161
commit to user
32
Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai BPA=1.1708 dan BPB=0 sehingga dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.
Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA X -R untuk data netto air minum Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B = 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7 = 230.756, untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B = 8.632 dan 7.7 = 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA X - R diperoleh 7.B = 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA X - R memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali EWMA X - R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.
BPB = 0 BPA = 1.1708
commit to user
BAB V
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut
1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean a) Untuk > kecil
ò. = + y) (2 − )
=
ò.ò = − y) (2 − )
b) Untuk > besar
ò. = + y) (2 − ) 1 − (1 − )
=
ò.ò = − y) (2 − ) 1 − (1 − )
2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah
ò. = ) ,
ò.ò = ) , ( )
3. Batas pengendali untuk grafik pengendali ̎em v − adalah
ò. = 2 ) + )
+ y 2
) )
) − 1 + ) )
) − 1 + ) )
ò.ò = 0.
33
commit to user
4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL yang sama, grafik pengendali ̎em untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali
̎em v − untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah.
5.2 Saran
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses yang telah terkendali.
34