16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan membahas keluarga fungsi yang membentuk suatu barisan. Dalam aplikasi, barisan fungsi muncul ketika kita berupaya menghampiri sebuah fungsi dengan keluarga fungsi yang kita kenal baik.
Sebuahbarisan fungsiadalah suatu pengaitann7→fn,n∈N, yang kita tuliskan sebagaihfni. Di sinifnmerupakan fungsi dan untuk tiapn∈Nkita asumsikan bahwa fn mempunyai daerah asal yang sama, sebutlahA⊆R.
Seperti pada pembahasan barisan bilangan real, ketika dihadapkan dengan se- buah barisan fungsi hfni kita akan tertarik untuk membahas perilaku fn apabila n→ ∞. Dalam perkataan lain, kita ingin mempelajari kekonvergenan barisanhfni padaA.
Mengingat bahwa untuk tiapx∈A, fn(x) membentuk suatu barisan bilangan real, maka kekonvergenan barisan fungsi hfnidapat didefinisikan melalui kekonver- genan barisan bilangan hfn(x)i. Bila untuk tiap x∈ A, barisanhfn(x)i konvergen ke suatu bilangan (yang secara umum bergantung pada x), sebutlah Lx, maka kita peroleh sebuah fungsi f :A → Rdengan f(x) = Lx. Jadi, untuk tiap x ∈A, kita mempunyai
fn(x)→f(x), n→ ∞.
Dalam hal ini, kita katakan bahwa hfni konvergen titik demi titik ke f, dan kita tuliskan
fn→f (titik demi titik), n→ ∞. Fungsif di sini disebut sebagailimit (titik demi titik) barisanhfni.
Contoh 1. Misalkan untuk tiapn∈Nkita mempunyai fn(x) :=xn, x∈[0,1].
Maka, barisan fungsihfnikonvergen titik demi titik ke fungsif dengan f(x) :=
0, 0≤x <1; 1, x= 1.
Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi, gambarlah grafik beberapa buah fungsifn dan juga grafik fungsif, pada sebuah sistem koordinat yang sama.
Dalam Contoh 1 kita melihat bahwafn kontinu pada [0,1] untuk tiapn∈N, namunf tidak kontinu pada [0,1]. Jadi, kekonvergenan titik demi titik secara umum tidak mempertahankan sifat kekontinuan fungsi. Padahal, dalam aplikasinya, ini merupakan salah satu isu penting. Oleh karena itu, dalam pembahasan berikutnya, kita akan mempelajari jenis kekonvergenan barisan fungsi yang lebih kuat, yang mem- pertahankan antara lain sifat kekontinuan fungsi.
Diberikan suatu barisan fungsihfki, kita mempunyai deretfungsi ∞
P
k=1
fk,yang didefinisikan sebagai limit titik demi titik dari barisan jumlah parsialPn
k=1
fk, asalkan barisan jumlah parsial ini konvergen.
Jika barisan jumlah parsial tersebut konvergen titik demi titik ke fungsispada A, makasdisebut sebagaijumlahderet padaA. Dalam hal ini, kita tuliskan
∞
X
k=1
fk(x) =s(x), x∈A.
Secara umum, indekskdapat berjalan mulai dari sembarangk∈Z.
Sebagai contoh, jika fk(x) := xk, k = 0,1,2, . . ., maka kita peroleh deret geometri P∞
k=0
xk, yang konvergen ke 1
1−x untuk|x|<1 (lihat kembali Bab 5). Pembahasan mengenai deret fungsi, khususnya deret yang berbentuk
∞
X
n=0
an(x−c)n akan dilakukan secara mendalam pada Bab 18.
Soal Latihan
1. Tinjau barisan fungsi hfniyang dibahas dalam Contoh 1. Diberikan x∈[0,1] danǫ > 0, tentukanN ∈N sedemikian sehingga untuk setiapn ≥N berlaku |fn(x)−f(x)|< ǫ. (Catatan. Kasusx= 1 perlu ditangani tersendiri.)
2. Untuk masing-masing barisan fungsi di bawah ini, tentukan sebuah fungsi f yang merupakan limitnya (titik demi titik).
(a) fn(x) := xn n , x∈[0,1]. (b) fn(x) :=nx(1−x2)n, x∈[0,1]. (c) fn(x) := x n, x∈R. (d) fn(x) := 1+xx2n2n, x∈R. (e) fn(x) := sinnx n√x, x >0. 16.2 Kekonvergenan Seragam
Misalkan hfni adalah suatu barisan fungsi yang, katakanlah, konvergen titik demi titik ke fungsi f padaA. Dalam hal ini, diberikan x∈ Adan ǫ >0, terdapat N ∈N sedemikian sehingga untuk setiapn≥N berlaku|fn(x)−f(x)|< ǫ. Secara umum bilangan N di sini bergantung pada x, selain pada ǫ. Bila bilangan N tadi berlaku untuk tiapx∈A, makahfnidikatakankonvergen seragamkef padaA.
Jadi, barisan fungsihfnikonvergen seragam kef padaAapabila untuk setiap ǫ >0 terdapatN ∈Nsedemikian sehingga untuk setiapn≥N danx∈Aberlaku
|fn(x)−f(x)|< ǫ. Dalam hal ini kita tuliskan
fn→f (seragam), n→ ∞.
Jelas bahwa kekonvergenan seragam akan mengakibatkan kekonvergenan titik demi titik. (Dalam perkataan lain, kekonvergenan titik demi titik merupakan syarat perlu untuk kekonvergenan seragam.)
Gambar 16.1Pita dengan lebar 2ǫdan median grafik fungsif
Perhatikan bahwa ketaksamaan|fn(x)−f(x)|< ǫsetara dengan f(x)−ǫ < fn(x)< f(x) +ǫ.
Bila ini berlaku untuk setiapn≥N danx∈A, maka grafik fungsifn padaAberada di antara ‘pita’ [f −ǫ, f +ǫ] yang mempunyai lebar 2ǫ dan median grafik fungsi f, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 16.1.
Contoh 2. Barisan fungsi hfni dengan fn(x) := xn, x ∈ [0,1], tidak konvergen seragam kef pada [0,1], dengan
f(x) :=
0, 0≤x <1; 1, x= 1.
Di sini, pita [f−14, f+14] tidak akan memuat grafikfn untuk nberapa pun. Lemma berikut (yang merupakan negasi dari definisi kekonvergenan seragam) dapat dipakai untuk menyelediki ketidakkonvergenan seragam suatu barisan fungsi.
Lemma 3. Barisan fungsi hfni tidak konvergen seragam ke fungsi f pada A jika
dan hanya jika untuk suatu ǫ0 >0 terdapat subbarisan hfnki dari hfni dan barisan
bilangan hxki diA sedemikian sehingga
Dengan menggunakan Lemma 3, ketidakkonvergenan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2 dapat dibuktikan dengan mengambilǫ0= 14,nk=kdanxk= 12
1/k
. Di sini kita mempunyai
|fnk(xk)−f(xk)|= 1 2 −0 = 1 2 > ǫ0.
Ketidakkonvergenan seragam barisan dalam Contoh 2 juga dapat dijelaskan dengan teorema di bawah ini (yang mengatakan bahwa kekonvergenan seragam memperta- hankan sifat kekontinuan).
Teorema 4. Misalkanhfnikonvergen seragam kef pada suatu interval I⊆R. Jika fn kontinu di c∈I untuk tiapn∈N, maka f juga kontinu di c.
Bukti. Diberikan ǫ > 0, pilihN ∈ Nsedmeikian sehingga untuk setiap n≥N dan x∈I berlaku
|fn(x)−f(x)|< ǫ 3.
Karena fN kontinu di c, maka suatu intervalIδ(c)⊆ I yang memuat c sedemikian sehingga untuk setiapx∈Iδ(x) berlaku
|fN(x)−f(x)|< ǫ 3. Jadi, untuk setiapx∈Iδ(c), kita mempunyai
|f(x)−f(c)| ≤ |f(x)−fN(x)|+|fN(x)−fN(c)|+|fN(c)−f(c)|< ǫ 3 + ǫ 3+ ǫ 3 =ǫ. Ini membuktikan bahwaf kontinu dic.
Soal Latihan
1. Selidiki apakah masing-masing barisan fungsi di bawah ini konvergen seragam ke limitnya. (a) fn(x) := xnn, x∈[0,1]. (b) fn(x) :=nx(1−x2)n, x∈[0,1]. (c) fn(x) := x n, x∈R. (d) fn(x) := x2n 1+x2n, x∈R. (e) fn(x) := sinnx n√x, x >0.
2. Buktikan jikahfnidan hgnikonvergen seragam ke f dan g padaA (berturut- turut), makahfn+gnikonvergen seragam kef+g padaA.
3. Misalkanfn(x) :=x+1
n danf(x) =x, x∈R. Buktikan bahwahfnikonvergen seragam kef padaR, namunhfn2itidak konvergen seragam kef2 padaR.
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
Dalam membahas kekonvergenan seragam, seringkali kita terbantu dengan pe- ngertian norma seragam berikut. Ingat bahwa untuk A ⊆ R, fungsi f : A → R
dikatakan terbatas pada A apabila f(A) merupakan himpunan terbatas. Sekarang, jikaf terbatas padaA, maka kita definisikan norma seragamf padaAsebagai
kfkA:= sup{|f(x)| : x∈A}.
Perhatikan bahwakfkA< ǫsetara dengan|f(x)|< ǫuntuk tiapx∈A.
Menggunakan norma seragam, kita mempunyai lemma berikut tentang kekon- vergenan seragam.
Lemma 5. Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfni
konvergen seragam kef pada Ajika dan hanya jika lim
n→∞kfn−fkA= 0.
Dengan menggunakan Lemma 5, kita juga dapat membuktikan ketidakkonver- genan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2, dengan menghitung bahwa
kfn−fk[0,1]= 1 untuk tiapn∈N.
Dengan menggunakan norma seragam, kita peroleh pula kriteria berikut untuk kekonvergenan seragam suatu barisan fungsi.
Teorema 6 (Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam). Misalkan fn
terbatas pada A untuk tiap n∈ N. Maka, barisan hfni konvergen seragam ke suatu
fungsi terbatas f pada A jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat N ∈ N
Bukti. Misalkanhfnikonvergen seragam kef padaA. Diberikan ǫ >0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku kfn −fkA < 2ǫ. Akibatnya, jikam, n≥N, maka
|fm(x)−fn(x)| ≤ |fm(x)−f(x)|+|fn(x)−f(x)|< ǫ 2+
ǫ 2 =ǫ untuk tiapx∈A. Jadikfm−fnkA< ǫuntuk m, n≥N.
Sebaliknya, misalkan untuk setiapǫ >0 terdapatN ∈Nsedemikian sehingga untukm, n≥N kita mempunyaikfm−fnkA< ǫ. Maka, untuk setiapx∈A, berlaku
|fm(x)−fn(x)| ≤ kfm−fnkA< ǫ,
untuk m, n ≥ N. Ini berarti bahwa hfn(x)i merupakan barisan Cauchy di R, dan karenanya ia merupakan barisan yang konvergen, katakanlah ke f(x). Selanjutnya, untuk setiap x∈A, kita mempunyai
|fm(x)−f(x)|= lim
n→∞|fm(x)−fn(x)| ≤ǫ,
untukm≥N. Ini menunjukkan bahwahfnikonvergen seragam kef padaA.
Soal Latihan
1. Buktikan Lemma 5.
2. Misalkan hfni dan hgni adalah barisan fungsi terbatas pada A, yang konver- gen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut). Tunjukkan bahwa hfngni konvergen seragam kef g padaA.
3. Uji-M Weierstrass. Misalkanhfniadalah barisan fungsi padaAdan|fn(x)| ≤ Mn untuk tiap x ∈ A dan n ∈ N. Buktikan jika P∞k=1Mk konvergen, maka deret fungsiP∞
